高中数学专题-集合与函数

高中数学专题-集合与函数1．（人教版第14页B 组第1题）已知集合{}1,2A =，集合B 满足{}1,2A B =U ，则集合B 有 个.变式1：已知集合{}1,2A =，集合B 满足A B A =U ，集合B 与集合A 之间满足的关系是 解：B A ⊆变式2：已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有 个，真子集个数有 个 解：子集个数有2n 个，真子集个数有21n -个变式3：满足条件{}{}1,21,2,3A =U 的所有集合A 的个数是 个解：3必须在集合A 里面，A 的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个. 设计意图：考察集合的运算与集合之间的关系 2．（人教版第14页A 组第10题）已知集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，求()R C A B U ，()R C A B I ，()R C A B I ，()R A C B U变式1：已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B I 等于 A.[1,4)- B (2,3) C (2,3] D (1,4)- 解：答案为C ，集合{}{}||1|2|31A x x x x x =->=><-或，所以{}|13U C A x x =-≤≤，集合{}{}2|680|24B x x x x x =-+<=<<， 所以()U C A B I 为(2,3]变式2：设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B I 等于（ ）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅ 解：[0,4]A =，[4,0]B =-，所以(){0}R R C A B C =I ，故选B 。

变式3．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤集合{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q I 等于（A ）{}1,2,3 （B ）{}2,3 （C ）{}1,2 （D ）{}2 解：集合{}{}2|603,2Q x R x x =∈+-==-，所以答案为D. 设计意图：结合不等式考察集合的运算3．（北师大版第21页B 组第2题）已知集合{}31,3,A a =-，{}1,2B a =+，是否存在实数a ，使得B A ⊆，若存在，求集合A 和B ，若不存在，请说明理由.变式1：已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B A ⊆，则实数m ＝ ． 解：由已知22212101m m m m m =-⇒-+=⇒=变式2：{}2|60A x x x =+-=，{}|10B x mx =+=，且A B A =U ，则m 的取值范围是______ .解：{}{}2|603,2A x R x x =∈+-==-，当B =Φ时，0m =，当0m ≠时，1x m=-，所以12m -=或13m -=-，所以12m =-或13m =-，所以110,,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭变式3：设{}2|40A x x x =+=，{}22|2(1)10B x x a x a =+++-=且A B B =I ，求实数a 的值.解：{}4,0A =-，因为A B B =I ，所以B A ⊆，所以B =Φ或{}4B =-或{}0B =或{}4,0B =-，当B =Φ时，224(1)4(1)01a a a ∆=+--<⇒<-，当{}4B =-或{}0B =时， 01a ∆=⇒=-，{}0B =符合题意，当{}4,0B =-时，2402(1)401a a -+=-+⎧⎨-⨯=-⎩1a ⇒= 所以1a ≤-或1a =设计意图：结合参数讨论考察集合运算4．（北师大版第38页B 组第1题）设函数()f x =()g x =，求函数()()f x g x g 的定义域.变式1： 函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是 A.),31(+∞- B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞解：由13101301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，故选B.变式2：设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为A. ()()4,00,4Y -B. ()()4,11,4Y --C. ()()2,11,2Y --D. ()()4,22,4Y --解：选 C.由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<。

故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得()()4,11,4x ∈--U 。

故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4--U设计意图：考察函数的定义域 5．（人教版第84页B 组第4题）已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，且1)a ≠ （1） 求函数()()f x g x +定义域（2） 判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由.变式1：已知2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[1,2]a a -.则a = ，b =解：函数是偶函数，所以定义域关于原点对称.∴1123a a a -=-⇒=，0b = 变式2：函数|3||4|92-++-=x x x y 的图象关于 （ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线0=-y x 对称解：函数定义域为29033x x -≥⇒-≤≤，所以y ==偶函数，图像关于y 轴对称.变式3：若函数()log (a f x x =是奇函数，则a =解：由于()log (a f x x =是奇函数，∴()()0f x f x -+=，即log (log (0a a x x +-=，∴22log 2021a a a a =⇒=⇒=0a >，∴a = 设计意图：考察定义域与奇偶性 6．（人教版83页B 组第2题） 若3log 1(04aa <>，且1)a ≠，求实数a 的取值范围. 变式1：若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是 （ ）A ．),21(+∞B ．),1(+∞C ．)1,21(D ．)21,0(解：当1212a a >⇒>时，若011log 22<++a a a，则21011a a +<<+01a ⇒<<，∴112a << 当112002a a >>⇒<<时，若011log 22<++a a a，则2111a a +>+⇒1a >，此时无解！ 所以选C变式2：设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞（C ）)3log ,(a -∞ （D ）),3(log +∞a解：要使0)(<x f ，且10<<a ，所以2221xx a a -->⇒2230x x a a -->⇒(3)(1)03x x x a a a -+>⇒>，又10<<a ，∴log 3a x <，故选C.设计意图:考察对数函数的单调性 7．（人教A 版126页B 组第1题）经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？（图略）变式1：某地一年的气温Q（t）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10℃，令G（t）表示时间段〔0，t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（）答案：A变式2：为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关，且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：则7月份该产品的市场收购价格应为（）A10ºBCA ．69元B ．70元C ．71元D ．72元答案：C设计意图：考察学生读图、读表的能力 8．（人教版43页B 组第3题）已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.变式1：下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D. R x xy ∈=,)21(解：B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.变式2：函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是 （ ）A.2a ≤B.2a ≥-C.22a -≤≤D.2a ≤-或2a ≥解：当0a >时，∵函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，∴()y f x =在(0,)+∞上是减函数，所以若()(2)f a f ≤，则2a ≥，当0a <时，函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，且(2)(2)f f -=，∴2a ≤-，故选D 设计意图：考察函数奇偶性与单调性的关系 9．（人教版第49页B 组第4题）已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩，求(1)f ，(3)f -，(1)a +的值变式1：设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________解：1ln 2111(())(ln )222g g g e ===.变式2：已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)7解：分段函数的单调性需分段处理.答案选C变式3：设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧--+14)1(2x x 11x x <≥ 则使得f （x ）≥1的自变量x 的取值范围为A.（－∞，－2］∪［0，10］B.（－∞，－2］∪［0，1］C.（－∞，－2］∪［1，10］D.［－2，0］∪［1，10］解：当x ＜1时，f （x ）≥1⇔（x +1）2≥1⇔x ≤－2或x ≥0，∴x ≤－2或0≤x ＜1. 当x ≥1时，f （x ）≥1⇔4－1-x ≥1⇔1-x ≤3⇔1≤x ≤10.综上，知x ≤－2或0≤x ≤10. 答案：A设计意图：考察分段函数的概念和性质 10．（北师大版54页A 组第5题）对于下列函数，试求它们在指定区间上的最大值或最小值，并指出这时的x 值 （2）221y x x =--+，[3,1]x ∈-变式1：函数x y a =在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为（ ）A ．12 B.2 C.4 D.14解：当1a >或01a <<时，函数xy a =都是定义域上的单调函数， ∴0132a a a +=⇒=，故选C.变式2：若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ）A ．42 B ．22 C ．41 D ．21 解：∵01a <<，∴()f x 是定义域上的减函数，所以max ()log 1a f x a ==，min ()log 2a f x a =，∴3213log 2(2)814a a a a a a =⇒=⇒=⇒=A设计意图：考察函数的最值 11.（人教版65页第8题）已知下列等式，比较m ，n 的大小 （1）22m n < (2)0.20.2mn<变式1：设111()()1222b a <<<，那么 （ ） A.a a ＜a b ＜b a B.a a ＜ b a ＜a b C.a b ＜a a ＜b a D.a b ＜b a ＜a a 解：由111()()110222b a b a <<<⇒>>>，在A 和B 中，(01)x y a a =<<在定义域内是单调递减的，∴a ba a >，所以结论不成立.在C 中，(0)ny x n =>在(0,)+∞内是单调递增的，又a aa b a b <⇒<，所以答案为C. 变式2：已知111222log log log b a c <<，则 （ ）A ．222b a c >> B.222a b c >> B.222c b a >> D.222c a b >>解：由已知b a c >>，因为2xy =在定义域内是单调递增的，所以222b a c>> 答案为A.变式3：已知函数)(x f y =的图象与函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记]1)2(2)()[()(-+=f x f x f x g ．若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(YC ．)1,21[D ．]21,0(分析：本题根据反函数的定义求出()f x 的解析式，再用换元法判断()g x 的单调性，结合条件)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，求出实数a 的取值范围是，答案为D设计意图：考察指、对数函数的单调性 12．（人教版48页A 组第8题）设221()1x f x x +=-，求证：（1）()()f x f x -= （2）1()()f f x x=- 变式1：函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________.解：11(3)(12)(1)5f f f =+==-，1(5)(32)5(3)f f f =+==-，又 ()()12f x f x +=，∴1()(2)f x f x =+， ∴1111(5)(1)(52)(3)(1)5f f f f f -===-==--+-变式2：若奇函数()f x ()x R ∈满足(2)1,(2)()(2)f f x f x f =+=+，则(5)f =解：由已知(5)(3)(2)(3)1(1)(2)1(1)2f f f f f f f =+=+=++=+，令1x =-，则(1)(1)1f f =-+，又∵()f x 是奇函数，所以(1)(1)f f -=-，∴1(1)(1)1(1)2f f f =-+⇒=，∴1(5)22f = 变式3：函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x +=-，则()f x 等于 A.112-xB.1222-x x C.122-x D.122-x x解析：由题知1()()1f xg x x +=-①以x -代x ，①式得1()()1f x g x x -+-=--，即1()()1f xg x x -=-- ② ①+②得21()1f x x =- 答案：A设计意图：考察函数的抽象运算与综合性质 13．（人教版第49页B 组第5题）证明：(1)若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=(2)若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤变式1：如图所示，()(1,2,3,4)i f x i =是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的1x 和2x ，任意1212[0,1],[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλλ∈+-≤+-恒成立”的只有（ ）1()f x 2()f x 3()f x 4()f x A ．1()f x 和3()f x B ．2()f x C ．2()f x 和3()f xD ．4()f x解：当12λ=时，符合条件的函数是凹函数，从图像可看出有1()f x 和3()f x ，选择A. 变式2：.设函数()f x =cx bax ++2的图象如下图所示，则a 、b 、c 的大小关系是 11-1-1OxyA.a ＞b ＞cB.a ＞c ＞bC.b ＞a ＞cD.c ＞a ＞b解析：f （0）=c b=0，∴b =0.f （1）=1，∴ca +1=1. ∴a =c +1.由图象看出x ＞0时，f （x ）＞0，即x ＞0时，有cx ax+2＞0， ∴a ＞0.又f （x ）=xc x a +，当x ＞0时，要使f （x ）在x =1时取最大值1，需x +xc≥2c ， 当且仅当x =c =1时.∴c =1，此时应有f （x ）=2a=1.∴a =2.答案：B变式3：如图所示，单位圆中弧AB 的长为,()x f x 表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数()y f x =的图象是答案：( D )设计意图：考察图象与式子运算的能力 14：（北师大版136页B 组第1题）判断下列方程在（0，10）内是否存在实数解，并说明理由. (1)1ln 02x x += （2）2lg 0x x -= 变式1：设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式.证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-.ax x x 1021<<<<Θ, ∴ 0))((21>--x x x x a , ∴ 当时，x x f >)(.又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f , ,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且∴ 1)(x x f <,综上可知，所给问题获证.变式2：已知二次函数c bx ax x f ++=2)(．（1）若a>b >c ， 且f （1）=0，证明f （x ）的图象与x 轴有2个交点；（2）在（1）的条件下，是否存在m ∈R ，使得f （m ）=－ a 成立时，f （m +3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；（3）若对)()(,,,212121x f x f x x R x x ≠<∈且，方程)]()([21)(21x f x f x f +=有2个不等实根，),(21x x 证明必有一个根属于 解: （1）)(,04,00,0)1(2x f ac b c a c b a c b a f ∴>-=∆∴<>∴>>=++=且且Θ的图象与x 轴有两个交点.（2）(1)0f =Q ，∴1是()0f x =的一个根，由韦达定理知另一根为ac ， ∴00,01,,,c a c a b c b a c a><∴<<>>=--且又 10)1)((<<∴<-=--m a c a m a c m a 则13233=+->+>+∴acm )(x f Θ在（1，+∞）单调递增，0)1()3(=>+∴f m f ，即存在这样的m 使0)3(>+m f （3）令)]()([21)()(21x f x f x f x g +-=，则)(x g 是二次函数. 0)]()([41]2)()()(][2)()()([)()(22121221121≤--=+-+-=⋅x f x f x f x f x f x f x f x f x g x g Θ1212()(),()()0,()0f x f x g x g x g x ≠⋅<∴=Q 又有两个不等实根，且方程()0g x =的根必有一个属于),(21x x . 设计意图：考察函数的零点15．（北师大版第66页B 组第3题）求二次函数22()2(21)542f x x a x a a =--+-+在区间【0，1】上的最小值()g a 的表达式. 变式1：设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a ).（Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t ) （Ⅱ）求g (a )（Ⅲ）试求满足)1()(a g a g =的所有实数a解：（I ）∵x x t -++=11，∴要使t 有意义，必须01≥+x 且01≥-x ，即11≤≤-x∵]4,2[12222∈-+=x t ，且0≥t ……① ∴t 的取值范围是]2,2[。