2.3 循环结构整体设计教学分析教科书通过实例介绍了循环结构．在教学过程中，教师应注意通过实例来分析循环结构，以加深学生的感性认识．三维目标掌握循环结构及其相应的算法框图，提高学生分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点：理解循环结构，会设计循环结构．教学难点：设计循环结构．课时安排1课时教学过程导入新课思路1(情境导入)．我们都想生活在一个优美的环境中，希望看到的是碧水蓝天，大家知道工厂的污水是怎样处理的吗？污水进入处理装置后进行第一次处理，如果达不到排放标准，则需要再进入处理装置进行处理，直到达到排放标准．污水处理装置是一个循环系统，对于处理需要反复操作的事情有很大的优势．我们数学中有很多问题需要反复操作，今天我们学习能够反复操作的逻辑结构——循环结构．思路2(直接导入)．前面我们学习了顺序结构，顺序结构像一条没有分支的河流，奔流到海不复回；上一节我们学习了选择结构，选择结构像有分支的河流最后归入大海．事实上，很多水系是循环往复的，今天我们开始学习循环往复的逻辑结构——循环结构．推进新课新知探究提出问题1．请大家举出一些常见的需要反复计算的例子．2．什么是循环结构、循环体？3．试用算法框图表示循环结构．讨论结果：1．例如用二分法求方程的近似解、数列求和等．2．在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构．反复执行的步骤称为循环体．3．在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构，即从算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理的过程．重复执行的处理步骤称为循环体．循环结构，如图1所示，它的功能是先执行重复执行的A框，然后判断给定的条件P 是否成立，如果P仍然不成立，则返回来继续执行A框，再判断条件P是否成立．继续重复操作，直到某一次给定的判断条件P成立时为止，此时不再返回来执行A框，离开循环结构．继续执行下面的框图．图1应用示例思路1例1 设计算法，输出1 000以内能被3和5整除的所有正整数，画出算法框图．分析：这个问题很简单，凡是能被3和5整除的正整数都是15的倍数，由于1 000＝15×66＋10，因此1 000以内一共有66个这样的正整数．解：引入变量a表示待输出的数，则a＝15n(n＝1,2,3，…，66)．n从1变到66，反复输出a，就能输出1 000以内的所有能被3和5整除的正整数．算法框图如图2所示．图2点评：像这样的算法结构称为循环结构，其中反复执行的第②部分称为循环体．变量n控制着循环的开始和结束，称为循环变量，第①部分就是赋予循环变量初始值，预示循环开始．第③部分判断是否继续执行循环体，称为循环的终止条件.变式训练请用算法框图表示前面讲过的“判断整数n(n＞2)是否为质数”的算法．解：算法框图如图3：图3例2 阅读图4中所示的算法框图，回答下列问题：(1)变量y在这个算法中的作用是什么？(2)这个算法的循环体是哪一部分，功能是什么？(3)这个算法的处理功能是什么？图4解：(1)变量y 是循环变量，控制着循环的开始和结束；(2)算法框图中的第②部分是循环体，其功能是判断年份y 是否是闰年，并输出结果；(3)由前面的分析，我们知道，这个算法的处理功能是：判断2000～2500年中，哪些年份是闰年，哪些年份不是闰年，并输出结果．点评：需要反复进行相同的操作，如果按照顺序结构来描述，算法显得十分烦琐，不利于阅读，如果采取循环结构来描述，算法就显得简洁、清楚．循环结构是一种简化算法叙述的结构.变式训练观察下面的算法框图(图5)，指出该算法解决的问题．图5解：这是一个累加求和问题，共99项相加，该算法是求11×2＋12×3＋13×4＋…＋199×100的值.思路2例1 设计一个计算1＋2＋…＋100的值的算法，并画出算法框图．解：通常，我们按照下列过程计算1＋2＋…＋100的值．第1步，0＋1＝1.第2步，1＋2＝3.第3步，3＋3＝6.第4步，6＋4＝10.……第100步，4 950＋100＝5 050.显然，这个过程中包含重复操作的步骤，可以用循环结构表示．分析上述计算过程，可以发现每一步都可以表示为第(i －1)步的结果＋i ＝第i 步的结果．为了方便、有效地表示上述过程，我们用一个累加变量S 来表示第一步的计算结果，即把S ＋i 的结果仍记为S ，从而把第i 步表示为S ＝S ＋i ，其中S 的初始值为0，i 依次取1,2，…，100，由于i 同时记录了循环的次数，所以也称为计数变量．算法框图如图6：图6点评：这是一个典型的用循环结构解决求和的问题，有典型的代表意义，可把它作为一个范例，仔细体会三种逻辑结构在算法框图中的作用，学会画算法框图.变式训练已知有一列数12，23，34，…，n n ＋1，设计算法框图实现求该列数前20项的和． 分析：该列数中每一项的分母是分子数加1，单独观察分子，恰好是1,2,3,4，…，n ，因此可用循环结构实现，设计数器i ，用i ＝i ＋1实现分子，设累加器S ，用S ＝S ＋i i ＋1，可实现累加，注意i 只能加到20.解：算法框图如图7：图7例2 某厂2005年的年生产总值为200万元，技术革新后预计以后每年的年生产总值都比上一年增长5%，设计一个算法框图，输出预计年生产总值超过300万元的最早年份．分析：先写出解决本例的算法步骤：1．输入2005年的年生产总值．2．计算下一年的年生产总值．3．判断所得的结果是否大于300，若是，则输出该年的年份；否则，返回第2步．4．算法结束．由于“第2步”是重复操作的步骤，所以本例可以用循环结构来实现．我们按照“确定循环”“初始化变量”“设定循环控制条件”的顺序来构造循环结构．(1)确定循环体：设a为某年的年生产总值，t为年生产总值的年增长量，n为年份，则循环体为t＝0.05a，a＝a＋t，n＝n＋1.(2)初始化变量：若将2005年的年生产总值看成计算的起始点，则n的初始值为2005，a的初始值为200.(3)设定循环控制条件：当“年生产总值超过300万元”时终止循环，所以可通过判断“a＞300”是否成立来控制循环体．解：算法框图如图8：图8变式训练1．设计算法框图实现1＋3＋5＋7＋…＋131的算法．分析：由于需加的数较多，所以要引入循环结构来实现累加．观察所加的数是一组有规律的数(每相邻两数相差2)，那么可考虑在循环过程中，设一个变量i，用i＝i＋2来实现这些有规律的数，设一个累加器sum，用来实现数的累加，在执行时，每循环一次，就产生一个需加的数，然后加到累加器sum中．解：算法步骤如下：1．赋初值i＝1，sum＝0.2．sum＝sum＋i，i＝i＋2.3．如果i≤131，则反复执行第2步；否则，执行下一步．4．输出sum.5．结束．算法框图如图9.图9点评：(1)设计算法框图要分步进行，把一个大的算法框图分割成几个小的部分，按照三个基本结构即顺序、选择、循环结构来局部安排，然后把算法框图进行整合．(2)算法框图画完后，要进行验证，按设计的流程分析是否能实现所求的数的累加，分析条件是否加到131就结束循环，所以我们要注意初始值的设置、循环条件的确定以及循环体内语句的先后顺序，三者要有机地结合起来．最关键的是循环条件，它决定循环次数，可以想一想，为什么条件不是“i≥131”，如果是“i≥131”，那么会少执行一次循环，131就加不上了．2．高中某班一共有40名学生，设计算法框图，统计班级数学成绩良好(分数＞80)和优秀(分数＞90)的人数．分析：用循环结构实现40个成绩的输入，每循环一次就输入一个成绩s，然后对s的值进行判断．设两个计数器m，n，如果s＞90，则m＝m＋1，如果80＜s≤90，则n＝n＋1.设计数器i，用来控制40个成绩的输入，注意循环条件的确定．解：算法框图如图10：图10知能训练设计一个算法，求1×22×33×…×100100的值，并画出算法框图．分析：待求式是各项相乘，且各项是有规律可循的，因此我们可以引入累乘变量S和计数变量i，则S＝S×i i，i＝i＋1，这两个式子是反复执行的．因此可以用循环结构设计算法框图．解：算法如下：1．S＝1；2．i＝1；3．如果i≤100，则执行第4步；否则，执行第6步；4．S＝S×i i；5．i＝i＋1，返回第3步；6．输出S.算法框图如图11：图11拓展提升设计一个算法，求1＋2＋4＋…＋249的值，并画出算法框图．解：算法步骤：1．sum＝0.2．i＝0.3．sum＝sum＋2i.4．i＝i＋1.5．判断i是否大于49，若成立，则输出sum，结束．否则，返回第3步重新执行．算法框图如图12.图12点评：(1)如果算法问题里涉及的运算进行了许多次重复的操作，且先后参与运算的数之间有相同的规律，就可引入变量循环参与运算(我们称之为循环变量)，应用于循环结构．在循环结构中，要注意根据条件设计合理的计数变量、累加和累乘变量及其个数等，特别要求条件的表述要恰当、精确．(2)累加变量的初始值一般取成0，而累乘变量的初始值一般取成1.课堂小结1．熟练掌握循环结构的特点及功能．2．能用循环结构画出求和等实际问题的算法框图，进一步理解学习算法的意义．作业习题2—2 A组8,9.设计感想本节的引入抓住了本节的特点，利用计算机进行循环往复运算，解决累加、累乘等问题．循环结构是逻辑结构中的难点，它一定包含一个选择结构，它能解决很多有趣的问题．本节选用了大量精彩的例题，对我们系统掌握流程图有很大的帮助．备课资料备选例题例1 相传古代的印度国王要奖赏国际象棋的发明者，问他需要什么．发明者说：陛下，在国际象棋的第一个格子里面放1粒麦子，在第二个格子里面放2粒麦子，第三个格子放4粒麦子，以后每个格子中的麦粒数都是它前一个格子中麦粒数的二倍，依此类推(国际象棋棋盘共有64个格子)，请将这些麦子赏给我，我将感激不尽．国王想这还不容易，就让人扛了一袋小麦，但不到一会儿就没了，最后一算结果，全印度一年生产的粮食也不够．国王很奇怪，小小的“棋盘”，不足100个格子，如此计算怎么能放这么多麦子？试用算法框图表示此算法过程．解：将实际问题转化为数学模型，该问题就是要求1＋2＋22＋…＋263的和．算法框图如图13：图13点评：对于开放式探究问题，我们可以建立数学模型(上面的题目要与等比数列的定义、性质和公式联系起来)和过程模型来分析好算法，通过设计算法以及语言的描述选择一些成熟的办法进行处理．例2 设计一个用有理数幂逼近无理指数幂52的算法，画出算法的算法框图．解：算法步骤：1．给定精确度d，令i＝1.2．取出2的到小数点后第i位的不足近似值，记为a；取出2的到小数点后第i位的过剩近似值，记为b.3．计算m＝5b－5a.4．若m＜d，则得到52的近似值为5a；否则，将i的值增加1，返回第2步．5．得到52的近似值为5a.算法框图如图14：图14例3 求，画出算法框图．分析：如果采用逐步计算的方法，利用顺序结构来实现，则非常麻烦，由于前后的运算需重复多次相同的运算，所以应采用循环结构，可用循环结构来实现其中的规律．观察原式中的变化的部分及不变项，找出总体的规律是4＋1x，要实现这个规律，需设初值x ＝4. 解：算法框图如图15：图15。
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3 循环结构错误!教学分析教科书通过实例介绍了循环结构．在教学过程中，教师应注意通过实例来分析循环结构，以加深学生的感性认识．三维目标掌握循环结构及其相应的算法框图，提高学生分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点：理解循环结构,会设计循环结构．教学难点:设计循环结构．课时安排1课时错误!导入新课思路1（情境导入)．我们都想生活在一个优美的环境中,希望看到的是碧水蓝天，大家知道工厂的污水是怎样处理的吗？污水进入处理装置后进行第一次处理，如果达不到排放标准，则需要再进入处理装置进行处理，直到达到排放标准．污水处理装置是一个循环系统，对于处理需要反复操作的事情有很大的优势．我们数学中有很多问题需要反复操作,今天我们学习能够反复操作的逻辑结构——循环结构．思路2(直接导入）．前面我们学习了顺序结构，顺序结构像一条没有分支的河流，奔流到海不复回;上一节我们学习了选择结构,选择结构像有分支的河流最后归入大海．事实上,很多水系是循环往复的,今天我们开始学习循环往复的逻辑结构-—循环结构．推进新课错误!错误!1．请大家举出一些常见的需要反复计算的例子．2．什么是循环结构、循环体？3．试用算法框图表示循环结构．讨论结果：1．例如用二分法求方程的近似解、数列求和等．2．在一些算法中，经常会出现从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤的情况,这就是循环结构．反复执行的步骤称为循环体．3．在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构，即从算法某处开始,按照一定条件重复执行某一处理的过程．重复执行的处理步骤称为循环体．循环结构,如图1所示，它的功能是先执行重复执行的A框，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则返回来继续执行A框，再判断条件P是否成立．继续重复操作，直到某一次给定的判断条件P成立时为止,此时不再返回来执行A框，离开循环结构．继续执行下面的框图．图1错误!思路1例1 设计算法，输出1 000以内能被3和5整除的所有正整数，画出算法框图．分析:这个问题很简单，凡是能被3和5整除的正整数都是15的倍数，由于1 000＝15×66＋10，因此1 000以内一共有66个这样的正整数．解：引入变量a表示待输出的数，则a＝15n（n＝1,2,3，…,66）．n从1变到66，反复输出a，就能输出1 000以内的所有能被3和5整除的正整数．算法框图如图2所示．图2点评：像这样的算法结构称为循环结构,其中反复执行的第②部分称为循环体．变量n控制着循环的开始和结束，称为循环变量，第①部分就是赋予循环变量初始值，预示循环开始．第③部分判断是否继续执行循环体，称为循环的终止条件。
2.2.3 循环结构1．理解循环结构的概念，把握循环结构的三个构成要素．(重点)2．体会循环结构在有关重复计算的算法设计中的重要作用，能识别和理解循环结构的框图及其功能．(难点)3．掌握三种算法结构的区别与联系．[基础·初探]教材整理循环结构阅读教材P93～P101回答下列问题．1．循环结构的概念(1)定义：按照一定条件，反复执行某一步骤的算法结构称为循环结构，反复执行的部分称为循环体．(2)循环变量：控制着循环的开始和结束的变量，称为循环变量．(3)循环的终止条件：决定是否继续执行循环体的判断条件，称为循环的终止条件．2．循环结构的基本模式在画出循环结构的算法框图之前，需要确定三件事：(1)确定循环变量和初始条件；(2)确定算法中反复执行的部分，即循环体；(3)确定循环的终止条件．这样，循环结构的算法框图的基本模式如图2213所示：图2213判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)循环结构中一定有选择结构．( )(2)循环结构中循环体只能反复执行几次．( )(3)判断是否继续执行循环体的条件是唯一的．( )【解析】(1)√，在循环结构中，需有循环的终止条件，这就需要选择结构．(2)×，在循环结构中，只要满足执行条件，该循环体可以执行很多次，而不仅仅是几次．(3)×，在算法框图中，判断框内的条件可以不同，只要等价变形就行．【答案】(1)√(2)×(3)×[小组合作型](1)根据如图2214所示框图，当输入x为6时，输出的y＝( )图2214A．1 B．2 C．5 D．10(2)执行如图2215所示的程序框图，则输出s 的值为( )图2215A.34 B ．56 C.1112 D.2524【精彩点拨】 (1)解题的关键是判断什么时候退出循环；(2)先判断条件是否成立，再确定是否循环，一步一步进行求解．【自主解答】 (1)当x ＝6时，x ＝6－3＝3，此时x ＝3≥0； 当x ＝3时，x ＝3－3＝0，此时x ＝0≥0； 当x ＝0时，x ＝0－3＝－3，此时x ＝－3<0，则y ＝(－3)2＋1＝10.(2)由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，此时输出s ＝2524，故选D.【答案】 (1)D (2)D高考中对算法框图的考查类型之一就是读图，解决此类问题的关键是根据算法框图理解算法的功能.考查的重点是算法框图的输出功能、算法框图的补充，以及算法思想和基本的运算能力、逻辑思维能力.试题难度不大，大多可以按照算法框图的流程逐步运算而得到.[再练一题]1．执行如图2216所示的程序框图，输出的k 值为( )【导学号：63580025】图2216A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 程序框图运行如下：k ＝0，a ＝3×12＝32，k ＝1，此时32>14；a ＝32×12＝34，k＝2，此时34>14；a ＝34×12＝38，k ＝3，此时38>14；a ＝38×12＝316，k ＝4，此时316<14，输出k ＝4，程序终止．【答案】 B如图2217，给出计算2＋4＋6＋…＋20的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )图2217A ．i ≥10B ．i ＞10C ．i ≤9D ．i ＜9【精彩点拨】 明确循环结构的类型，结合循环次数，依据初始条件，逐步写出循环过程，确定循环条件．【自主解答】 第一次循环：S ＝0＋12，n ＝4，i ＝2；第二次循环：S ＝0＋12＋14，n ＝6，i ＝3；第三次循环：S ＝0＋12＋14＋16，n ＝8，i ＝4；…第十次循环：S ＝0＋12＋14＋16＋…＋120，n ＝22，i ＝11.此时已得到所求，故应结束循环．所以应填i ＞10.故选B. 【答案】 B对于循环结构的程序框图的条件填充，首先要弄清循环结构是当型循环还是直到型循环，二是确定循环次数.若混淆两种循环结构，则得到相反的循环条件.[再练一题]2．执行如图2218所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )图2218A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤2524【解析】 由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填s ≤1112.【答案】 C[探究共研型]探究1【提示】在循环结构中需要判断是否继续循环，故循环结构中一定含有选择结构．探究2 循环结构中判断框中条件是唯一的吗？【提示】不是，在具体的算法框图设计时，判断框中的条件可以不同，但不同的表示应该有共同的确定的结果．探究3 在循环结构中，循环体是否可以被无限次地执行？【提示】不可以，循环体执行的次数是有限的，符合一定条件时就会终止循环．设计算法求11×3＋13×5＋15×7＋…＋151×53的值，要求画出算法框图．【精彩点拨】这是一个累加求和问题，共26项相加，因此不宜运用顺序结构采用逐一相加的策略，可设计一个计数变量i，一个累加变量S，用循环结构来实现这一算法．【自主解答】算法如下：1．S＝0；2．i＝1；3．S＝S＋1i i ＋；4．i＝i＋2；5．如果i>51，执行第6步；否则，返回重新执行第3步和第4步；6．输出S.算法框图如图所示：1．确定循环变量及初始值，循环变量用于控制循环的次数，也就是控制参与累加、累乘的项的个数．通常情况下，累加问题循环变量的初值设为0，累乘问题循环变量的初值设为1.2．确定循环体．循环体是循环结构的核心，通常由两部分构成：一是进行累加、累乘，二是设置控制变量的增加值．3．确定循环终止的条件，实质是一个条件分支结构，根据累加、累乘的项数确定终止循环的条件．[再练一题]3．利用循环结构写出12＋23＋…＋100101的算法并画出相应的算法框图．【解】 算法如下： 1．S ＝0； 2．i ＝1； 3．S ＝S ＋ii ＋1；4．i ＝i ＋1；5．如果i 不大于100，转第3步，否则输出S . 相应框图如下图所示：1．下列关于循环结构的说法正确的是( ) A ．循环结构中，判断框内的条件是唯一的 B ．判断框中的条件成立时，要结束循环向下执行C ．循环体中要对判断框中的条件变量有所改变才会使循环结构不会出现“死循环”D ．循环结构就是无限循环的结构，执行程序时会永无止境地运行下去【解析】 判断框内的条件不唯一，故A 错；判断框内的条件成立时可能执行，也可能不执行，故B 错．由于循环结构不是无限循环的，故C 正确，D 错．【答案】 C2．如图2219所示，该框图运行后输出的结果为( )图2219A．2 B．4 C．8 D．16【解析】第一次循环：b＝21＝2，a＝1＋1＝2；第二次循环：b＝22＝4，a＝2＋1＝3；第三次循环：b＝23＝8，a＝3＋1＝4，退出循环，输出b＝8.【答案】 C3．阅读如图2220所示的算法框图，输出的i值等于( )图2220A．2 B．3C．4 D．5【解析】①s＝0，i＝1；②a＝1×21，s＝0＋1×21，i＝2；③a＝2×22＝8，s＝2＋8＝10，i＝3；④a＝3×23＝24，s＝34，i＝4. 此时结束循环，输出i＝4.【答案】 C4．如图2221所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )图2221A．34 B．55 C．78 D．89【解析】运行程序：z＝x＋y＝1＋1＝2＜50，x＝y＝1，y＝z＝2；第一次循环：z＝1＋2＝3＜50，x＝y＝2，y＝z＝3；第二次循环：z＝2＋3＝5＜50，x＝y＝3，y＝z＝5；第三次循环：z＝3＋5＝8＜50，x＝y＝5，y＝z＝8；第四次循环：z＝5＋8＝13＜50，x＝y＝8，y＝z＝13；第五次循环：z＝8＋13＝21＜50，x＝y＝13，y＝z＝21；第六次循环：z＝13＋21＝34＜50，x＝y＝21，y＝z＝34；第七次循环：z＝21＋34＝55＞50，输出z＝55，故选B.【答案】 B5．执行如图2222所示的程序框图，输出的S值为________．图2222【解析】k＝0，S＝1；S＝1，k＝1；S＝2，k＝2；S＝8，k＝3，k＜3不成立，输出S ＝8.【答案】86．设计求1×2×3×4×…×2 016的算法，并画出相应的算法框图．【解】算法如下：1．设m的值为1；2．设i的值为2；3．如果i≤2 016则执行第四步，否则转回执行第六步；4．计算m乘i并将结果赋给m；5．计算i加1并将结果赋给i，转回执行第三步；6．输出m的值并结束算法．算法框图如下图所示：。
