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2018_2019学年度九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.7根与系

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21.2.7根与系数的关系 学校：___________姓名：___________班级：___________ 一．选择题（共 12小题） 1．一元二次方程 x2﹣2x=0 的两根分别为 x1和 x2，则 x1x2为（ ） A．﹣2 B．1 C．2 D．0 2．若 α，β 是一元二次方程 3x2+2x﹣9=0 的两根，则 + 的值是（ ） A． B．﹣ C．﹣ D． 3．已知 α，β 是一元二次方程 x2+x﹣2=0 的两个实数根，则 α+β﹣αβ 的值是（ ） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 4．若关于 x的一元二次方程 x2﹣2x+m=0有一个解为 x=﹣1，则另一个解为（ ） A．1 B．﹣3 C．3 D．4 5．已知一元二次方程 2x2+2x﹣1=0 的两个根为 x1，x2，且 x1＜x2，下列结论正确的是（ ） A．x1+x2=1 B．x1•x2=﹣1 C．|x1|＜|x2| D．x12+x1= 6．已知 x1，x2是关于 x的方程 x2+bx﹣3=0 的两根，且满足 x1+x2﹣3x1x2=5，那么 b的值为 （ ） A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3 7．若 α、β 是一元二次方程 x2﹣5x﹣2=0 的两个实数根，则 α+β 的值为（ ） A．﹣5 B．5 C．﹣2 D． 8．关于 x的方程 x2+mx+n=0的两根为﹣2 和 3，则 m+n的值为（ ） A．1 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣6 9．若关于 x的一元二次方程的两个根为 x1=1，x2=2，则这个方程可能是（ ） A．x2+3x﹣2=0 B．x2+3x+2=0 C．x2﹣3x+2=0 D．x2﹣2x+3=0 10．关于 x的方程 x2+（k2﹣4）x+k+1=0的两个根互为相反数，则 k值是（ ） A．﹣1 B．±2 C．2 D．﹣2 11．如果关于 x的一元二次方程 x2+3x﹣7=0 的两根分别为 α，β，则 α2+4α+β=（ ） A．4 B．10 C．﹣4 D．﹣10 12．已知方程 x2﹣x﹣2=0 的两个实数根为 x1、x2，则代数式 x1+x2+x1x2的值为（ ） A．﹣3 B．1 C．3 D．﹣1

1 二．填空题（共 5 小题） 13．一元二次方程 x2﹣4x+2=0的两根为 x1，x2．则 x12﹣4x1+2x1x2的值为 ． 14．设 x1、x2是一元二次方程 x2﹣mx﹣6=0 的两个根，且 x1+x2=1，则 x1= ，x2= ． 15．已知关于 x方程 x2﹣3x+a=0有一个根为 1，则方程的另一个根为 ． 16．关于 x的一元二次方程 x2﹣2kx+k2﹣k=0 的两个实数根分别是 x1、x2，且 x12+x22=4，则 x12﹣x1x2+x22的值是 ． 17．已知 x1，x2是方程 2x2﹣3x﹣1=0 的两根，则 x12+x22= ．

三．解答题（共 3 小题） 18．已知关于 x的一元二次方程 x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两实数根为 x1，x2，且 x12+x22=10，求 m的值．

19．已知关于 x的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m2﹣2=0． （1）若该方程有两个实数根，求 m的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为 x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求 m的值．

220．已知 x1、x2是关于 x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根． （1）求 a的取值范围； （2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数 a的整数值．

3参考答案与试题解析 一．选择题（共 12 小题） 1． 解：∵一元二次方程 x2﹣2x=0 的两根分别为 x1和 x2， ∴x1x2=0． 故选：D．

2． 解：∵α、β 是一元二次方程 3x2+2x﹣9=0 的两根， ∴α+β=﹣ ，αβ=﹣3，

∴ + = = = =﹣ ． 故选：C．

3． 解：∵α，β 是方程 x2+x﹣2=0 的两个实数根， ∴α+β=﹣1，αβ=﹣2， ∴α+β﹣αβ=﹣1+2=1， 故选：B．

4． 解：设方程的另一个解为 x1， 根据题意得：﹣1+x1=2， 解得：x1=3． 故选：C．

5． 4解：根据题意得 x1+x2=﹣ =﹣1，x1x2=﹣ ，所以 A、B选项错误； ∵x1+x2＜0，x1x2＜0， ∴x1、x2异号，且负数的绝对值大，所以 C选项错误； ∵x1为一元二次方程 2x2+2x﹣1=0 的根， ∴2x12+2x1﹣1=0， ∴x12+x1= ，所以 D选项正确． 故选：D．

6． 解：∵x1，x2是关于 x的方程 x2+bx﹣3=0 的两根， ∴x1+x2=﹣b， x1x2=﹣3， 则 x1+x2﹣3x1x2=5， ﹣b﹣3×（﹣3）=5， 解得：b=4． 故选：A．

7． 解：∵α、β 是一元二次方程 x2﹣5x﹣2=0 的两个实数根， ∴α+β=5． 故选：B．

8． 解：∵关于 x的方程 x2+mx+n=0的两根为﹣2 和 3， ∴﹣2+3=﹣m，﹣2×3=n， ∴m=﹣1，n=﹣6， ∴m+n=﹣1﹣6=﹣7． 故选：B．

59． 解：∵x1=1，x2=2， ∴x1+x2=3，x1x2=2， ∴以 x1，x2为根的一元二次方程可为 x2﹣3x+2=0． 故选：C．

10． 解：设 x1，x2是关于 x的一元二次方程 x2+（k2﹣4）x+k+1=0的两个实数根，且两个实数根 互为相反数，则 x1+x2= =﹣（k2﹣4）=0，即 k=±2， 当 k=2时，方程无解，故舍去． 故选：D．

11． 解：∵关于 x的一元二次方程 x2+3x﹣7=0 的两根分别为 α、β， ∴α2+3α=7，α+β=﹣3， ∴α2+4α+β=（α2+3α）+（α+β）=7﹣3=4． 故选：A．

12． 解：∵方程 x2﹣x﹣2=0 的两个实数根为 x1、x2， ∴x1+x2=1，x1x2=﹣2， ∴x1+x2+x1x2=1﹣2=﹣1． 故选：D．

二．填空题（共 5 小题） 13． 解：∵一元二次方程 x2﹣4x+2=0的两根为 x1、x2， ∴x12﹣4x1=﹣2，x1x2=2，

6∴x12﹣4x1+2x1x2=﹣2+2×2=2． 故答案为：2．

14． 解：∵x1、x2是一元二次方程 x2﹣mx﹣6=0 的两个根，且 x1+x2=1， ∴m=1， ∴原方程为 x2﹣x﹣6=0，即（x+2）（x﹣3）=0， 解得：x1=﹣2，x2=3． 故答案为：﹣2；3．

15． 解：设方程的另一个根为 m， 根据题意得：1+m=3， 解得：m=2． 故答案为：2．

16． 解：∵x2﹣2kx+k2﹣k=0 的两个实数根分别是 x1、x2， ∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k， ∵x12+x22=4， ∴ =4， （2k）2﹣2（k2﹣k）=4， 2k2+2k﹣4=0， k2+k﹣2=0， k=﹣2 或 1， ∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0， k≥0， ∴k=1， ∴x1•x2=k2﹣k=0，

7∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4． 故答案为：4．

17． 解：∵x1、x2是方程 2x2﹣3x﹣1=0 的两根， ∴x1+x2= ．x1x2=﹣ ， ∴x12+x22= ， 故答案为：

三．解答题（共 3 小题） 18． 解：（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m） =4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m， ∴ + =（x1+x2）2﹣2x1x2=10， ∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10， ∴m2﹣2m﹣3=0， ∴m=﹣1 或 m=3

19． 解：（1）根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0， 解得 m≥﹣ ， 所以 m的最小整数值为﹣2； （2）根据题意得 x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2， ∵（x1﹣x2）2+m2=21， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21， ∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，

8整理得 m2+4m﹣12=0，解得 m1=2，m2=﹣6， ∵m≥﹣ ， ∴m的值为 2．

20． 解：（1）∵原方程有两实数根，

∴ ， ∴a≥0且 a≠6． （2）∵x1、x2是关于 x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ， ∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1= ﹣ +1=﹣ ． ∵（x1+1）（x2+1）是负整数， ∴﹣ 是负整数，即 是正整数． ∵a是整数， ∴a﹣6 的值为 1、2、3或 6， ∴a的值为 7、8、9或 12．

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新人教版九年级上册数学知识点归纳

新人教版九年级上册数学知识点归纳

新人教版九年级上册数学知识点归纳第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。

且未如a≠0）21.21直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。

这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。

1.转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）2.系数化1：将二次项系数化为13.4.5.6.7.3公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△时，把各项系数a,b,c的值代入求就可得到方程的根。

得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

21.3实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二22.10)。

其(-b/2a，(b2-4ac)/4a)；顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)或y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（h，k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax２的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]；向，的平方的图像，x 1.对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）顶点2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，4ac-b2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b2-4ac=0时，P在x轴上。

人教版九年级数学上册第21章第2节《公式法》课件

人教版九年级数学上册第21章第2节《公式法》课件

△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，
方程有两个不相等的实数根，
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( B ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数 D.没有实数根
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
2. 关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k的取值范围是 （ B ）
探究新知
21.2 解一元二次方程/
（3）4x2+1=-3x
（4）x²-2mx+4（m-1）=0
解：移项，得4x2+3x+1=0， 解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）
a＝4，b＝3 ，c＝1
∵ △= b2-4ac
=9-4×4×1=-7＜0 ∴该方程没有实数根
∵ △= b2-4ac
=（-2m）²-4×1×4（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16 =（2m-4）2≥0
2a
二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根
公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
当 b-4ac ＜0 时，方程有实数 根吗？
探究新知
21.2 解一元二次方程/
素养考点 1 公式法解方程
例1 用公式法解方程：
（1）x2-4x-7=0；
解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.
例2 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）x2 2 6x 6 0
（2）x2+4x=2
解：a＝﹣1，b＝ 2 6，c＝﹣6 解： 移项，得 x2+4x-2=0
《解一元二次方程》第二课时 教案

《解一元二次方程》第二课时 教案

人教版数学九年级上第二课时教学设计课题21.2.2解一元二次方程单元 第二十一章学科 数学 年级 九年级上学习 目标情感态度和价值观目标培养学生的独立思考的习惯和与大家的合作交流意识。

能力目标 经历观察、推导 、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式，培养学生的合情推理与归纳总结的能力。

知识目标1.能够用配方法推导出一元二次方程的求根公式。

2.能熟练使用求根公式解一元二次方程。

重点 正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解一元二次方程。

难点 正确地推导出一元二次方程的求根公式，理解 b 2-4ac 对一元二次方程根的影响。

学法引导探索归纳法、合作交流法教法 启发引导，问题驱动，讲练结合。

教学过程教学环节 教师活动 学生活动 设计意图导入新课一、复习引入1、你还记得配方法解一元二次方程的基本步骤吗？2、用配方法解下列方程：导语：我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法解一般形式的一元二次方程()002≠=++a c bx ax ？学生回顾配方法的解题思路，通过复习上节课内容引入本节课新知。

通过温故知新，引导学生从数字系数解题到一般形式的字母系数解题上来。

讲授新课二、探究新知 活动1、交流讨论：学生观察下面两个方程思考它们有何异同？①6x 2-7x+1=0 ②()002≠=++a c bx ax活动2、对比解题：按配方法一般步骤同时对两个方程求解： 1.移项得到6x 2-7x=-1，c bx ax -=+22.二次项系数化为1得到ac x a b x x x -=+-=-22,61673.配方得到 x 2-76x+（712）2=-16+（712）2 x 2+b a x+（2b a ）2=-c a+（2b a ）24.写成（x+m ）2=n 形式得到（x-712）2=25144，（x+2b a ）2=2244b ac a -5.直接开平方得到x-712=±512，注意：（x+2b a）2=2244b ac a -是否可以直接开平方？活动 3.对（x+2b a）2=2244b ac a -观察，分析，在0≠a 时对2244b ac a -的值与0的关系进行讨论活动3、观察分析：因为a≠0,所以4a 2>0，式子b 2-4ac 的值有以下三种情况：学生观察思考并讨论，尝试回答。

人教版九年级数学上册作业课件 第二十一章 一元二次方程 解一元二次方程 公式法

人教版九年级数学上册作业课件 第二十一章 一元二次方程 解一元二次方程 公式法


14．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋a－1＝0有实数根． (1)求a的取值范围； (2)当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．
解：(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋a－1＝0 有实数根，
∴Δ＝(－3)2－4(a－1)＝－4a＋13≥0，解得 a≤143 ，
即 a 的取值范围是 a≤143
12．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根， 则a满足的条件是___a_≥_－__5__．
13．定义：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0是“凤凰”方程， 且有两个相等的实数根，则mn＝___－_. 2
2．一般地，式子_b_2_－__4_a_c_叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，
通常用希腊字母“Δ”表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有两__个__不__等__的__实__数__根；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__两__个__相__等__的__实__数__根__； Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____无__实__数__根___．
练习2：若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不等的实数根， 则实数m的取值范围是m__＞__－. 4
1．(2020·安徽)下列方程中，有两个相等实数根的是( A ) A．x2＋1＝2x B．x2＋1＝0 C．x2－2x＝3 D．x2－2x＝0 2．下列关于x的方程ax2－bx＝0(a，b是不为0的常数)的根的情况 判断正确的是( B ) A．无实数根 B．有两个不等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．有且只有一个实数根
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第二十一章 一元二次方程