一元二次方程
一、一元二次方程
1、一元二次方程
含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项
系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
二、降次----解一元二次方程
1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次)
2、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接
开平方法适用于解形如x 2=b 或b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a
x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
3、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a
看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法解一元二次方程的步骤是：①移项、②配方(写成平方形式)、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断2个根是不是实数根。
4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。
一元二次方程
)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： 当ac b 42->0时，方程有两个实数根。
当ac b 42-=0时，方程有两个相等实数根。
当ac b 42-＜0时，方程没有实数根。
5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解叫因式分解法。这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
三、一元二次方程根的判别式
根的判别式：一元二次方程
)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆
四、一元二次方程根与系数的关系
如果方程
)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，由求根公式 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 可算出
a b x x -=+21，a c x x =21。 练习
一、选择题。（每小题5分，共30分）
1、方程2x －9＝0的解是 （ ）
A 、x =3
B 、 x = -2
C 、x =4.5
D 、 3x =±
2、方程24x x =的解是（ ）
Ａ、4x = B 、2x = C 、4x =或0x =
D 、0x = 3、下列方程中，有两个不等实数根的是（ ）
A 、238x x =-
B 、2510x x +=-
C 、271470x x -+=
D 、2753x x x -=-+
4、用换元法解方程2221x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，若设2y x x =+，则原方程可化为（ ） A 、210y y -+=
B 、210y y ++=
C 、210y y +-=
D 、210y y --=
5、设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）
A 、2006
B 、2007
C 、2008
D 、2009
6、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，
预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面
所列方程正确的是（ ）
A 、23000(1)5000x +=
B 、230005000x =
C 、23000(1)5000x +=％
D 、23000(1)3000(1)5000x x +++=
二、填空题。（每小题5分，共30分）
7、方程02=-x x 的解是 。
8、若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______。
9、关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，则m 的取值范围是 ．
10、若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为____________。
11、设一元二次方程2730x x -+=的两个实数根分别为1x 和2x ，则12x x +=
，12x x = 。
12、由于甲型H1N1流感的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每
斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的
百分率为x ，则根据题意可列方程为 ____________。
三、解答下列各题。（每小题8分，共40分）
13、解方程 (x-3)2=(x-3)
14、解方程 2x 2-4x+1=0
15、五个连续偶数中，第一个和第五个两个数的乘积是308，求这五个数。
16、若关于x 的一元二次方程x 2-(m+1)x+m+4=0两实根的平方和为2，求m 的值。
17、党的十六大提出全面建设小康社会，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番，在21世纪的头二十年（2001—2020年），要实现这一目标，以十年为单位计算，求每个十年的国民生产总值的平均增长率是多少？
