苏北四市2011届高三年级第二次调研考试数学

揭阳市2011年高中毕业班第二次高考模拟考数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题将答案代号填在答题卡的选择题答案栏中，不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =,其中S 表示底面积，h 表示高． 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|11,}M x x x Z =-≤≤∈,{0,1,2}N =，则MN 为A. {1}B. {0,1,2}C. {|01}x x ≤≤D. {0,1} 2．已知sin x ＝13，则cos()2x π+的值为A.13 B.－13C. 3D.－33．已知复数z 满足(1i)2z -=，则||z 为A ．1i +B ．1i -CD ．2 4．已知奇函数()f x 在R 上单调递增，且1(21)()0.2f x f -+< 则x 的取值范围为 A.1(,)4-∞ B.1(,)4+∞ C.3(,)4-∞ D.3(,)4+∞ 5．已知命题p ：x R ∃∈，5cos 4x =；命题q ：2,10x R x x ∀∈-+>.则下列结论正确的是 A ．命题p q ∧是真命题 B ．命题p q ∧⌝是真命题 C ．命题p q ⌝∧是真命题 D ．命题p q ⌝∨⌝是假命题111ABC A B C -图1主视图224C 1B 1A 1CB A6．如图1，三棱柱 的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱 1AA ⊥底面ABC ，其主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为A ．16B ．23C ．43D ．837．已知a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面,下列命题中正确的是 A. //a b ，//b α，则//a α B. a ，b α⊂，//a β，//b β，则//αβ C. a α⊥，//b α，则a b ⊥D.当a α⊂，且b α⊄时，若b ∥α，则a ∥b8．在Rt ABC ∆中，0C=90∠，AC=3，则AB AC ⋅= A ．9- B ．9 C ．16- D ．16 9．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市 居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n 位居民的月均用 水量分别为1,,n x x (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若2n =，且1x ，2x 分别为1，2，则输出的结果s 为．A.1B.32 C. 14D.12 10．已知平面区域2{(,)|}4y x y y x≥⎧⎪Ω=⎨≤-⎪⎩，直线2y x =+和曲线24y x =-围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，则点A 落在区域M 内的概率()P M 为. A ．24ππ- B ．24ππ+ C ．22ππ+ D ．22ππ- 二．填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．函数1()ln(2)f x x =- 的定义域为 .12．双曲线29x －216y =1的离心率e = ；焦点到渐近线的距离为 .高一级高二级高三级DECB ADCBAP13．某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如右表示，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法（按年级分层）在全校学生中抽取64人，则应在高三级中抽取的学生人数为 .（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题, 两题全答的，只计前一题的得分）14．（几何证明选做题）如图3，BD ⊥AE ，90C ，AB ＝4, BC ＝2,AD ＝3,则DE ＝ ；CE ＝ . 图315．(坐标系与参数方程选做题) 设M 、N 分别是曲线2sin 0ρθ+=和2s ()42in πρθ+=上的动点，则M 与N 的最小距离是 .三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题满分12分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，△ABC 的面积S 满足3cos 2S bc A =. （1）求角A 的值； （2）若3a =B 的大小为,x 用x 表示c ，并求c 的最大值．17.(本小题满分12分)已知集合{2,0,2},{1,1}A B =-=-，设M ={(,)x y |x ∈A ,y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(,)x y .（1）求以(,)x y 为坐标的点落在圆221x y +=上的概率；（2）求以(,)x y 为坐标的点位于区域D ：20,20,1x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥内（含边界）的概率.18．（本小题满分14分）已知如图4，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为矩形，且PA=AD=1,AB=2,120PAB ∠=,90PBC ∠=.女生 385 ab 男生375360c(1)求证：平面PAD ⊥平面PAB ；(2)求三棱锥D －PAC 的体积． 图419. （本小题满分14分）已知数列{}n a 是首项11a =的等差数列，其前ｎ项和为n S ，数列{}n b 是首项12b =的等比数列，且2216b S =,134b b b =． (1) 求n a 和n b ；(2) 令11c =，221k k c a -=，212k k k c a kb +=+（⋅⋅⋅=,3,2,1k ），求数列{}n c 的前12+n 项和12+n T ．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知向量(,2),(,2)a x y b kx y =-=+（k R ∈），a b ⊥，动点(,)M x y 的轨迹为T ．（1）求轨迹T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；（2）当12k =时，已知点(0,B -，是否存在直线l ：y x m =+，使点B 关于直线l 的对称点落在轨迹T 上?若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.21．（本小题满分14分）已知：函数2()21f x ax x =-+. (1)试讨论函数()f x 的单调性； (2)若113a ≤≤，且()f x 在[1,3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-，求()g a 的表达式；（3）在(2)的条件下，求证：1()2g a ≥.揭阳市2011年高中毕业班第二次高考模拟考数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一．选择题：DBCAC DCBCD解析：5．因命题p 假，命题q 真，所以答案选C. 6．该三棱柱的侧视图是长为4，宽为 D.7．注意A 选项是易错项，由//,//a b b α也可能a α⊂，正确答案应选C. 8. ()2AB AC AC+CB AC AC 9⋅=⋅==，或AB AC |AB ||AC |cos A ⋅=⋅|||AB ||AC ||AB |AC =⋅2||9AC ==．选B ． 9.第一次运行121,1,0s s s ===，第二次运行212123,125s s =+==+=2111(53)224s =-⨯=，故选C.10.结合右图易得2()2P M ππ-=，故选D.二．填空题：11. {|23x x <<或3}x >(或{|2,3}x x x >≠)；12.53、4； 13. 16；14.5、；1 .解析：12．因3,45a b c ==⇒=，所以53e =，焦点(5,0)到渐近线43y x =的距离为4545d ⨯== 13．依题意得0.192000380a =⨯=， 2000(385375380360)500b c +=-+++=，故应在高三级中抽取的学生人数为64500162000⨯=. 14.依题意得△ADB∽△ACB AD ABAD AE AC AB AC AE⇒=⇒⋅=⋅()AD AD DE AC AB ⇒+=⋅64953DE ⨯-⇒==,DB ==由DB AD DB ACEC EC AC AD⋅=⇒==15.将方程2sin 0ρθ+=和s ()4in πρθ+=化为普通方程得2220x y y ++=1x y+=结合图形易得M 与N 1.三．解答题：16.解：（1）在ABC ∆中，由cos S A =1sin 2bc A = 得tan A =-------------------------------------------------------------------------------3分∵0A π<< ∴3Aπ=-------------------------------------------5分（2）由3aA π==及正弦定理得2sin sin 2a cA C===，------------7分 ∴2sin c C =-------------------------------------------------------8分∵A B C π++= ∴23C A B x ππ=--=- ∴22sin()3c x π=----------------------------------------------------10分 ∵3A π= ∴203x π<<∴当6x π=时，c 取得最大值，c 的最大值为2.----------------------------12分17．解：（1）集合M 的所有元素有(-2, -1)，(-2, 1)，(0, -1)，(0, 1)，(2, -1)，(2, 1)共6个-------3分记“以(,)x y 为坐标的点落在圆221x y +=上”为事件A ，则基本事件总数为6. 因落在圆221x y +=上的点有(0, -1)，(0, 1)2个，即A 包含的基本事件数为２，------------4分所以21()63P A == --------------------------------------------------------------6分（2）记“以(x ，y )为坐标的点位于区域D 内”为事件B. 则基本事件总数为由右图知位于区域D 内（含边界）的点有：(-2, -1)，(2, -1)，DCBAP (0, -1)，(0, 1)共４个，即B 包含的基本事件数为4，---------------10分 故42()63P B ==.-----------------------------------------12分 18. (1)证明：∵ABCD 为矩形∴AD AB ⊥且//AD BC ----------------------------------2分 ∵BC PB ⊥ ∴DA PB ⊥-------------------------------3分 又AB PB B =∴DA ⊥平面PAB ---------------------------------------------5分 又∵DA ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面PAB -----------------------------------------7分(2) ∵D PAC P DAC V V --=又ADC ABC S S ∆∆=∴D PAC P DAC V V --==P ABC C PAB V V --=-----------------------------------9分 由（1）知DA ⊥平面PAB ，且//AD BC ∴BC ⊥平面PAB --------------11分 ∴111sin 332C PAB PAB V S BC PA AB PAB BC -∆=⋅=⋅⋅⋅∠⋅11216=⨯⨯=．-----14分19.解：(1)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则1(1),n a n d =+- 12n n b q -=.由134b b b =得4132b q b b ===，-------------------------------------2分 由222(2)16b S q d =+=， 解得2d =.------------------------------4分∴21n a n =-，2nn b =.----------------------------------------------6分(2)()211121342()2n T c a a b a a b +=++++++⋅ +⋅⋅⋅212()n n n a a nb -+++＝2121(2)n n S b b nb ++++⋅⋅⋅+---------------------------------------9分令122n A b b nb =+++，则22222n A n =+⋅++⋅2312222(1)22n n A n n +=+⋅++-+⋅212222n n A n +-=+++-⋅，∴11222n n A n ++=⋅-+----------------11分又2222(1)42n n n a S n +==，---------------------------------------------12分 ∴2112114222n n n T n n +++=++⋅-+2134(1)2n n n +=++-.--------------------14分20．解：（1）∵a b ⊥∴(,,0a b x y kx y ⋅=-+=得2220kx y +-= 即222kx y +=------------------------------------2分 当0k =时，方程表示两条与x 轴平行的直线；----------------------------3分 当1k =为半径的圆；-----------------------4分 当0k >且1k ≠时，方程表示椭圆；-----------------------------------------5分 当0k <时，方程表示焦点在ｙ轴上的双曲线.---------------------------------6分(2) 当12k =时， 动点M 的轨迹T的方程为22142x y +=-----------------------------------7分设满足条件的直线l 存在，点B 关于直线l 的对称点为00'(,)B x y，则由轴对称的性质可得：00001,22y y x m x +=-=+，解得：00,x m y m ==，----------------------------------------------------------------------10分∵点00'(,)B x y 在椭圆上，∴22()142m m +=，整理得2320m +-=解得3m =或m =-----------------------------------------------------------------------------12分∴直线l的方程为3y x =+或y x =-分经检验3y x =+和y x =- ∴满足条件的直线l存在，其方程为y x =+或y x =------------------------------14分21.解：（1）当0a =时，函数()21f x x =-+在(,)-∞+∞上为减函数；-----------------1分当0a >时，抛物线2()21f x ax x =-+开口向上，对称轴为1x a= ∴函数()f x 在1(,]a -∞上为减函数，在1[,)a+∞上为增函数-----------------------2分当0a <，抛物线2()21f x ax x =-+开口向下，对称轴为1x a= ∴函数()f x 在1(,]a -∞上为增函数，在1[,)a+∞上为减函数.-----------------------3分 （2）∵211()()1f x a x a a=-+-由113a ≤≤得113a ≤≤ ∴11()()1N a f a a ==-.-----------------------5分 当112a ≤<，即112a <≤时，()M a (3)95f a ==-,故1()96g a a a=+-；-----------7分当123a ≤≤，即1132a ≤≤时，()M a (1)1f a ==-，故1()2g a a a=+-.-------------9分∴1112,[,];32()1196,(,1].2a a a g a a a a ⎧+-∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩-------------------------------------------------10分（3）∵当11[,]32a ∈时，21'()1g a a =-0<，∴函数()g a 在11[,]32上为减函数；---------11分当1(,1]2a ∈时，21'()90g a a =->，∴函数()g a 在1(,1]2上为增函数，-------------12分 ∴当12a =时，()g a 取最小值，min 11()()22g a g ==, 故1()g a .-------------------------------------------------------------------142分。

江苏省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第8部分:立体几何 一、填空题：7. (江苏省苏州市2011年1月高三调研)设,αβ为两个不重合的平面，,m n 为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,m n m n αα⊥⊥⊄则n ∥α；②若,,,,m n n m αβαβα⊥⋂=⊂⊥则n β⊥； ③若,m n ⊥m ∥α，n ∥β，则αβ⊥；④若,,n m αβα⊂⊂与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直. 其中，所有真命题的序号是 ▲ .7. ①②【解析】③错误，,αβ相交或平行；④错误，n 与m 可以垂直，不妨令n αβ=，则在β内存在.m n ⊥11. (江苏省苏州市2011年1月高三调研)某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm ，满盘时直径120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约是 ▲ m （π取3.14，精确到1m ）.11. 100【解析】()120401204023200020.1mm πππ-⨯+⨯⨯=，所以3200032100.mm m m ππ=≈11. (江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试)已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面.下列命题：①若,,||,||,l m l m ααββ⊂⊂则||αβ； ②若,||,,l l m αβαβ⊂=则||l m ；③若||,||,l αβα则||l β； ④若,||,||,l m l ααβ⊥则m β⊥. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）.11．②④【解析】①：只有当l 与m 相交时，才可证明//αβ；③：l 可能在平面β内11．(江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试)如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均等于1，且1160A AB A AC ∠=∠=，则该三棱柱的体积是 ▲ ．ABCA1B1C111．【解析】12. (江苏省苏北四市2011届高三第一次调研)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥； ②若m//α，m β⊥，则αβ⊥； ③若αβ⊥，αγ⊥，则βγ⊥； ④若m αγ=，n βγ=，m//n ，则//αβ．上面命题中，真命题的序号是 ▲ （写出所有真命题的序号）．12．【解析】本题运用排除法，逐一将假命题排除可得正确答案。

苏北四市2010届高三第二次调研考试数学I注意事项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题(第1题。

第l4题)、解答题(第15题～第20题)两部分。

本卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸的规定位置。

3．请在答题纸上按照题号顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

5．请保持答题纸卷面清洁，不要折叠、破损。

参考公式：(1)样本数据x1，x2，…，x n的方差s2=n121)(xxnii-∑=，其中x=n1∑=niix1(2)锥体的体积公式V=31Sh，其中S为锥体底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相．．．．应位置．．．上．1．已知集合A={0，2，α² }，B={1，α}，若A∪B={0，1，2,4}，则实数α的值为▲ ．2．已知复数z=(2-i)i(i是虚数单位)，则|z|= ▲ ．3．已知向量α=(6，2)，b=(一3，k)，若α∥b，则实数k等于▲ ．4．一个算法的流程图如图所示，则输出的S的值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题．第15题～第17题每题4分，第18题～第20题每题16分，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文宇说明，证明过程或演算步骤。

15．(本小题满分14分)16．(本小题满分14分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱BC的中点，求证：(1)AD⊥C1D；(2)A1B∥平面ADC1．17．(本小题满分14分)徐州市2009—2010学年度高三第二次调研考试数学Ⅱ(附加题)注意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为解答题(第21题～第23题)。

南通市2011届高三第二次调研测试参考答案及评分建议数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 曲线32y x x =-在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ． 2． 若15ii 3ia b +=+-（a b ∈，R ，i 为虚数单位），则ab = ▲ ． 3．命题“若实数a 满足2a ≤，则24a <”的否命题是 ▲ 命题（填“真”、“假”之一）．4． 把一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．5． 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．6．设{}(20)(01)M m m ==+∈R ，，，a a 和{}(11)(11)N n n ==+-∈R ，，，b b 都是元素为向量的集合，则M ∩N = ▲ ．7． 在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的a = ▲ ．8．设等差数列{}n a 的公差为正数，若1231231580a a a a a a ++==，，则111213a a a ++= ▲ ．9．设αβ，是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： ▲ （用代号表示）．10．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，当[]35x ∈，时，()24f x x =--．下列四个不等关系：()()s i n c o s 6π6πf f <；(sin1)(cos1)f f >；()()cos sin 332π2πf f <；(cos2)(sin 2)f f >．其中正确的个数是 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，设点()11P x y ，、()22Q x y ，，定义：1212()d P Q x x y y =-+-，． 已知点()10B ，，点M 为直线220x y -+=上的动点，则使()d B M ，取最小值时点M 的坐标是▲ ．13．若实数x ，y ，z ，t 满足110000x y z t ≤≤≤≤≤，则x z y t +的最小值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λμ，，使得OC =OA OB λμ+，则()223λμ+-的取值范围是 ▲ ．【填空题答案】1. x －y －2=02. 825-3. 真4. 26275. 26.(){}20， 7. 12 8. 1059. ①③④⇒②（或②③④⇒①） 10. 1 11. 21- 12. ()312， 13. 150 14. ()2+∞，二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO的中点，4AB BC AC ===，22PA PC ==．求证： （1）PA ⊥平面EBO ； （2）FG ∥平面EBO ．【证明】由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形，ABC ∆为等边三角形． …………………2分PABCOEFG(第15题)（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥， 因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ． …………………5分因为PA ⊂平面PAC ，所以BO PA ⊥，在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，所以OE PA ⊥， 又BO OE O =，所以PA ⊥平面EBO ；…………………8分 （2）连AF 交BE 于Q ，连QO ．因为E 、F 、O 分别为边PA 、PB 、PC 的中点，所以2AO OG =，且Q 是△PAB 的重心，…………………10分于是2AQAO QF OG==，所以FG //QO . …………………12分 因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO ． …………………14分【注】第（2）小题亦可通过取PE 中点H ，利用平面FGH //平面EBO 证得.16．（本小题满分14分）已知函数()()2cos 3cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()31f θ=+，求θ的值； （2）在△ABC 中，AB =1，()31f C =+，且△ABC 的面积为32，求sin A +sin B 的值．【解】（1）2()23cos 2sin cos 222x x xf x =-=3(1cos )sin x x +-=()π2cos 36x ++． (3)分由()π2cos 3316x ++=+，得()π1co s 62x +=， ………………5分 于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． ………………7分（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =． ………………9分PABCOE FGQO A 1A 2B 1B 2xy (第17题)因为△ABC 的面积为32，所以31πsin 226ab =，于是23ab =. ①在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ② 由①②可得23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，或32.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 于是23a b +=+． ………………12分由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()31s i 22A B a b +=+=+． ………………14分 17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称． （1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程． 【解】（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，所以2213b a b =+，于是228a b =，即228()a a c =-，所以椭圆E 的离心率22147.84c e a=== …………4分 （2）由144e =可设()40a k k =>，14c k =，则2b k =， 于是11A B 的方程为：2240x y k -+=， 故2OA 的中点()20k ,到11A B 的距离d =2423k kk +=， …………………………6分 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =， 所以直线11A B 与圆C 相切． …………………………8分 （3）由圆C 的面积为π知圆半径为1，从而12k =， …………………………10分设2OA 的中点()10,关于直线11A B ：2220x y -+=的对称点为()m n , ， 则21,141222022n m m n ⎧⋅=-⎪-⎨+⎪-⋅+=⎩． …………………………12分解得42133m n ==, ．所以，圆C 的方程为()()22421133x y -+=-．…………………14分18．（本小题满分16分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．【解】（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ，（第17题甲） DAC B QPNMR S MN PQ T（第17题乙）θTQPNMSRMN PQBCAD甲乙S △RST =RT SH ⋅21． ……………………2分 由题意，△RST 在月牙形公园里， RT与圆Q只能相切或相离； ……………………4分RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， 则有RT ≤4，SH ≤2，当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S △RST =1422⨯⨯=4（km 2）． (6)分（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BPA =θ，则有()11π22sin 222sin(π2)4(sin sin cos )0222ABCD S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=+<<四边形θθθθθθ．……………………8分令θθθcos sin sin +=y ，则)sin (sin cos cos cos θθθθθ-++='y 1cos cos 22-+=θθ． ………………… 11分若0='y ，1πcos 23θθ==，，又()π03θ∈，时，0>'y ，()ππ32θ∈，时，0<'y ， …………………14分函数θθθcos sin sin +=y 在π3θ=处取到极大值也是最大值，故π3θ=时，场地面积取得最大值为33（km 2）． …………………16分19． （本小题满分16分）设定义在区间[x 1， x 2]上的函数y =f (x )的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量OA =()()11x f x ，，()()22OB x f x =，，OM =(x ，y )，当实数λ满足x =λ x 1+(1－λ) x 2时，记向量ON =λOA +(1－λ)OB ．定义“函数y =f (x )在区间[x 1，x 2]上可在标准k 下线性近似”是指“MN ≤k 恒成立”，其中k 是一个确定的正数．（1）设函数 f (x )=x 2在区间[0，1]上可在标准k 下线性近似，求k 的取值范围；（2）求证：函数()ln g x x =在区间1e e ()m m m +⎡⎤∈⎣⎦R ，上可在标准k=18下线性近似．（参考数据：e=2.718，ln(e －1)=0.541） 【解】（1）由ON =λOA +(1－λ)OB 得到BN =λBA ， 所以B，N，A三点共线， ……………………2分又由x =λ x 1+(1－λ) x 2与向量ON =λOA +(1－λ)OB ，得N 与M 的横坐标相同． ……………4分对于 [0，1]上的函数y=x 2，A (0，0)，B (1，1)， 则有()221124MN x x x =-=--+，故104MN ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，； 所以k 的取值范围是)14⎡+∞⎢⎣，． ……………………6分（2）对于1e e m m +⎡⎤⎣⎦，上的函数ln y x =，A (e m m ，)，B (1e 1m m ++，)， ……………………8分则直线AB 的方程11(e )eem m my m x +-=--， ……………………10分令11()ln (e )eem m mh x x m x +=----，其中()1e e m m x m +⎡⎤∈∈⎣⎦R ，， 于是111()e em m h x x +'=--， ……………………13分列表如下： x e m (e m ，e m +1－e m )e m +1－e m(e m +1－e m ，e m +1)e m +1 ()h'x + 0 － ()h x增1(e e )m m h +-减则MN =()h x ，且在1e e m m x +=-处取得最大值， 又()1e 2(e e )ln e 1e 1m m h +--=--≈-0.12318<，从而命题成立． ……………………16分 20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足2*12()n a a a n n +++=∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意给定的*k ∈N ，是否存在*p r ∈N ，（k p r <<）使111k p ra a a ，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组）；若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为123,,n n n a a a ． 【解】（1）当1n =时，11a =； 当*2n n ∈N ≥，时，2121(1)n a a a n -+++=-，所以22(1)21n a n n n =--=-；综上所述，*21()n a n n =-∈N ． ……………………3分（2）当1k =时，若存在p ，r 使111k p r a a a ，，成等差数列，则1213221r p k pa a a p -=-=-，因为2p ≥，所以0r a <，与数列{}n a 为正数相矛盾，因此，当1k =时不存在； …………5分当2k ≥时，设k p r a x a y a z ===，，，则112x z y+=，所以2xyz x y=-， ……………………7分令21y x =-，得(21)z xy x x ==-，此时21k a x k ==-，212(21)1p a y x k ==-=--，所以21p k =-，2(21)(43)2(452)1r a z k k k k ==--=-+-， 所以2452r k k =-+；综上所述，当1k =时，不存在p ，r ；当2k ≥时，存在221,452p k r k k =-=-+满足题设.……………………10分（3）作如下构造：12322(23)(23)(25)(25)n n n a k a k k a k =+=++=+，，，其中*k ∈N ， 它们依次为数列{}n a 中的第2265k k ++项，第2288k k ++项，第221013k k ++项， ……12分显然它们成等比数列，且123n n n a a a <<，123n n n a a a +>，所以它们能组成三角形．由*k ∈N 的任意性，这样的三角形有无穷多个． ……………………14分下面用反证法证明其中任意两个三角形111A B C 和222A B C 不相似： 若三角形111A B C 和222A B C 相似，且12k k ≠，则11222212(23)(25)(23)(25)(23)(23)k k k k k k ++++=++， 整理得121225252323k k k k ++=++，所以12k k =，这与条件12k k ≠相矛盾， 因此，任意两个三角形不相似．故命题成立． ……………………16分 【注】1．第（2）小题当a k 不是质数时，p ，r 的解不唯一；2. 第（3）小题构造的依据如下：不妨设123n n n <<，且123n n n a a a ，，符合题意，则公比q >1，因123n n n a a a <<，又123n n n a a a +>，则21q q +>，所以5112q +<<，因为三项均为整数，所以q 为5112⎛⎫+ ⎪⎝⎭，内的既约分数且1n a 含平方数因子，经验证，仅含21或23时不合，所以12*(23)()n a k p k p =+∈N ，；3．第（3）小题的构造形式不唯一．数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中．．．．．两题．．作答．．，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点， 过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100°， ∠BPC =40°，求∠MPB 的大小．【解】因为MA 为圆O 的切线，所以2MA MB MC =⋅． 又M 为PA 的中点，所以2MP MB MC =⋅． 因为B M ∠=∠，所以B M∆∆∽． ………………5分 于是MPB MCP ∠=∠． 在△MCP中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=︒，得∠MPB =20°． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵A ．【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α， 即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，……………………5分 同理可得321328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得232， ，， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程（第21—A 题）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πcos 224ρθ-=．点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值． 【解】()πcos 224ρθ-=化简为cos sin 4ρθρθ+=，则直线l的直角坐标方程为4x y +=． …………………4分设点P 的坐标为()2cos sin ，αα，得P 到直线l 的距离2cos sin 42d αα+-=，即()5sin 42d αϕ+-=，其中12cos ,sin 55ϕϕ==． …………………8分当()sin 1αϕ+=-时，m a x 10222d =+． ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值． 【解】因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1， 所以，()()()()()2111323232111323232a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分即1111323232≥a b c +++++， 当且仅当323232a b c +=+=+，即13a b c ===时，原式取最小值1． (10)分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .ABDO（第22题）EB 1A 1CC 1D 1（1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值； （2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值.【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -． 则A (1，0，0)，()11022O ，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)， E ()111442，，， 于是()111442DE =，，，()1011CD =-，，. 由cos 1DE CD 〈〉，＝11||||DE CD DE CD ⋅⋅＝36. 所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为36. ……………………5分 （2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，， 取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . (7)分由D 1E ＝λEO ，则E 12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，，DE =12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，.又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0. 得 2222002(1)2(1)1y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，， 取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) . 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2． ……………………10分23．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ； （2）求恰好得到n *()n ∈N 分的概率．【解】（1）所抛5次得分ξ的概率为P (ξ＝i )= ()5551C2i - (i =5，6，7，8，9，10)，其分布列如下：E ξ=()5105551C2i i i -=⋅∑= 152(分) . ……………………5分 （2）令p n 表示恰好得到n 分的概率. 不出现n 分的唯一情况是得到n －1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n 分”的概率是1－p n ，“恰好得到n －1分”的概率是p n －1， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－p n =12p n －1， ……………………7分 即p n －23=－12()123n p --. 于是{}23n p -是以p 1－23=12－23=－16为首项，以－12为公比的等比数列.所以p n －23=－16()112n --，即p n ＝()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. 答：恰好得到n 分的概率是()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. …………………10分ξ5 6 7 8 9 10 P132532516516532132。