江苏省苏北四市(徐州淮安连云港宿迁)2017届高三数学上学期期末联考试题

专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．（2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b 时取等号．ab （3）a ，b ∈R ，≤()2，当且仅当a ＝b 时取等号．a 2＋b 22a ＋b2上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2(或ab ≤()2)，当且仅当ab a ＋b2a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知且1，，b a ，则的最小值为 .7log 3log 2=+a b b a 112-+b a 【解析】∵且∴，解得1，，b a 7log 3log 2=+a b b a 32log 7log a a b b+=或，∵∴，即．1log 2a b =log 3a b =1，，b a 1log 2a b =2a b =2111111a ab a +=-++--．13≥=练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么y x y x -+22=y x xy y x -+-2)(2=（x －y ）+y x -4≥2y x y x -⋅-4)(=4，当且仅当（x －y ）=yx -4，即x=3+1，y=3－1时等号成立，故y x y x -+22的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数满足,x y，则的最小值为 ．133(02xy x x +=<<313x y +-3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知，且，则0,0,2a b c >>>2a b +=的最小值为 .2ac c c b ab +-+【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则＋4x4x ＋y 的最大值为 ．yx ＋y 解析：由于＋==4x 4x ＋y yx ＋y ))(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++22225484yxy x y xy x ++++=1+=1+≤1+=，22543y xy x xy ++345x y y x ⋅++5423+⋅xy y x 43当且仅当4=，即y=2x 时等号成立．y x xy【典例3】若正数、满足,则的最小值为__________.a b 3ab a b =++a b +解析：由,得,解得,a b R +∈223(),()4()1202a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥(当且仅当且,即时,取等号).6a b +≥a b =3ab a b =++3a b ==变式：1.若,且满足,则的最大值为_________.,a b R +∈22a b a b +=+a b +解析：因为,所以由,,a b R +∈22222()2a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥2()a b +-,解得(当且仅当且,即时,取等号).2()0a b +≤02a b <+≤a b =22a b a b +=+1a b ==2.设，，则的最小值为_______ 40,0>>y x 822=++xy y x y x 2+3.设，，则的最大值为_________R y x ∈,1422=++xy y x y x +210524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数，满a b 足，则的最小值为 195a b+=-ab 【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数满足，则y x ,1=+y x的最小值为 1124+++y x 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数满足，则y x ,111=+yx 的最小值为 .1914-+-y yx x 解析：对于正数x ，y ，由于+=1，则知x>1，y>1，那么x 1y1+=（+）（1+1－－）=（+）（+）≥（14-x x 14-y y 14-x x 14-y y x 1y 114-x x 14-y y x x 1-yy 1-+）2=25，当且仅当·=·时等号成x x x x 114-⋅-y y y y 114-⋅-14-x x y y 1-14-y y x x 1-立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy+的最小值为 ．解析：8181828145922x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫++⎛⎫=+=+⋅=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当82x yy x=时，取等号．故答案为：9．3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数的图像经过点(0)xy a b b =+>，如下图所示，则的最小值为 .(1,3)P 411a b+-解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么+=（a －1+b ）（+）=（4+14-a b 12114-a b 121++1）≥（2+5）=，当且仅当=时等号成立．b a 1-14-a b 21141-⋅-a b b a 29b a 1-14-a b4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有2a =3-b b ，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·ab b a 23+=（2a+3b ）（b 3+a 2）=b a 6+ab6+13≥2a b b a 66⋅+13=25，当且仅当b a 6=ab6，即a=b 时等号成立．5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，＋＝.若x ＋2y 的最小值为64，则ax 2by 12a b ＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用).6.已知正实数满足，则的最大值为．,a b ()()12122a b b b a a +=++ab 答案：2【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知，，则的14ab =,(0,1)a b ∈1211ab+--最小值为 ．解析：由得 ，14ab =14a b=2221211424122711411451451a b b b b b b b b b bb +---+--=+==+---+--+-令 则当且仅当71b t -=227149*********5142718427b t b bt t t t-+=+=-≥+-+--+-+- 等号成立．t =练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是 ．解析：由x 2＋2xy －1＝0可得y=，那么x 2＋y 2=x 2＋=x 2+－≥2212x x -222(1)4x x -54214x 12－，当且仅当x 2=，即x 4=时等号成立． 121254214x 152．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为．解析：∵正实数x ，y 满足xy+2x+y=4，∴（0＜x ＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数满足，则,x y (1)(1)16x y -+=的最小值为．x y +解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y=1116++=y x ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为()8116121116=+⋅+≥+++y y y y 8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若，且，则使得取2,0>>b a 3=+b a 214-+b a 得最小值的实数=。

< ϕ < ) 的图象关于直线 x = 对称，则 ϕ 的值是上 a ， b ， c ，已知 tan A 满足 a cos B - b cos A = 3 （得图象过点 ⎛ π 1 ⎫, ⎪ ，则 ϕ 的最小值是江苏省 高三数学一轮复习典型题专题训练三角函数一、填空题1、（2018 江苏高考）已知函数 y = sin(2 x + ϕ)(-▲ ．π π π2 2 32、（2017 江苏高考）若 tan （α﹣ π 1）= ．则 tan α=4 63、（2016 江苏高考）定义在区间[0,3π]的函数 y =sin2x 的图象与 y =cos x 的图象的交点个数是 ▲4、（南京市 2018 高三 9 月学情调研）若函数 f (x )＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜π)的部分图象如图所示，则 f (－π)的值为▲ ．π 5π5 、（前黄高级中学、姜堰中学等五校 2018 高三上第一次学情监测）已知 α ∈ ( ,) ，且3 6π 3cos(α - ) = ，则 sin α 的值是▲．3 56、（苏锡常镇 2018 高三 3 月教学情况调研（一））设三角形 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 3c - b= tan B b，则 cos A = ．7、（苏锡常镇 2018 高三 5 月调研（二模））已知函数 f ( x ) = sin(π x + ϕ)(0 < x < 2π ) 在 x = 2 时取 得最大值，则 ϕ =8、（苏锡常镇 2018 高三 5 月调研（二模））设△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ，b ，c 且tan A c ，则 =．5 tan B9、（苏州市 2018 高三上期初调研）将函数 y = sin (2x + ϕ )(0 < ϕ < π ) )的图象沿 x 轴向左平移 π8个单位，得到函数 y = f (x ) 的图象，若函数 y = f (x ) 的图象过原点，则 ϕ 的值是．10、 无锡市 2018 高三上期中考试）将函数 y = sin 2 x 的图象向右平移 ϕ (ϕ > 0) 个单位长度，若所⎝ 3 2 ⎭.（θ ⎡ π π ⎤ ，16、 镇江市 2018 届高三第一次模拟（期末）考试）函数 y = cos x - x tan x 的定义域为 ⎢-4 4 ⎥⎦， cos(α + β ) = - ．π 111、（徐州市 2018 高三上期中考试）函数 f ( x ) = 2sin( x + ) 的周期为▲3 412、（扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市 2018 高三第三次调研）在△ ABC 中，若 sin A :sin B :sin C = 4:5:6 ，则 cosC 的值为 ▲13、 镇江市 2018 届高三第一次模拟（期末）考试）函数 y = 3sin(2x + π4) 图像两对称轴的距离为14 、（ 无 锡 市 2018 高 三 上 期 中 考 试 ） 已 知 sin 2 x + 2sin x cos x - 3cos 2 x = 0 ， 则cos2 x =.15 、（镇江市 2018 届高三第一次模拟（期末）考试）已知锐角 θ 满足 tan θ＝ 6 cos，则s in θ + c os θs in θ - c os θ=（ , ⎣其值域为二、解答题1、（2018 江苏高考）已知 α , β 为锐角， tan α = 4 355（1）求 cos2 α 的值；（2）求 tan(α - β ) 的值．2、（2018 江苏高考）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN （P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求 A, B 均在线段 MN 上， C, D 均在圆弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 θ ．（1）用 θ 分别表示矩形 ABCD 和 △CDP 的面积，并确定 sin θ 的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 ∶3 ．求当 θ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．，C = . cos B ＝ ．（1）若 c ＝2a ，求 的值；（2）若 C －B ＝ ，求 sin A 的值．点 O ，始边为 x 轴的正半轴，终边与单位圆 O 的交点分别为 P ，Q ．已知点 P 的横坐标为 ，点 Q 的纵坐标为 ．3、（2016 江苏高考）在 △ABC 中，AC =6， cos B = （1）求 AB 的长； 4 π 5 4（2）求 cos( A - π 6)的值.4、（南京市 2018 高三 9 月学情调研）在△ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，4 5sin Bsin Cπ45、（南京市 2018 高三第三次（5 月）模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，锐角 α，β 的顶点为坐标原2 773 314（1）求 cos2α 的值；（2）求 2α－ β 的值.（ 3 时，求 ∠OPQ 的大小；（sin A = , tan (A - B ) = ，角 C 为钝角， b = 5.6、（前黄高级中学、姜堰中学等五校 2018 高三上第一次学情监测）已知 ∆ABC 的内角 A, B, C 所对 的边分别为 a, b , c ，已知 asinB + 3b cosA = 3c .（1）求角 B 的大小；（2）若 ∆ABC 的面积为 7 3 4, b = 43, a > c ，求 a, c .7、 苏锡常镇 2018 高三 3 月教学情况调研（一））如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径 AB 为 6 ，O 是圆心，且 O C ⊥ AB .在 OC 上有一座观赏亭 Q ，其中 ∠AQC =π赏亭 P ，记 ∠POB = θ (0 < θ <2 ) .2π 3.计划在 BC 上再建一座观（1）当 θ =π（2）当 ∠OPQ 越大，游客在观赏亭 P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭 P 处的观赏效果最佳时，角 θ 的正弦值.8、 苏锡常镇 2018 高三 5 月调研（二模） 在ABC 中，内角 A ， B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，设△ ABC 的面积为 S ，且 4S =3( a 2 + c 2 - b 2 ) .（1）求 ∠B 的大小；（2）设向量 m = (sin 2 A,3cos A) ， n = (3, -2cos A) ，求 m ⋅ n 的取值范围．9、（无锡市 2018 高三上期中考试） 在三角形 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 3 1 53（1）求 sin B 的值； （2）求边 c 的长.10、（无锡市 2018 高三上期中考试）在一块杂草地上有一条小路 AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形 ABC 内种植花卉.已知 AB 长为 1 千米，设角 C = θ , AC 边长为 BC 边长的 a (a > 1)倍，三角形 ABC 的面积为 S （千米 2）.（1）试用 θ 和 a 表示 S ；（2）若恰好当θ=60时，S取得最大值，求a的值.11、（徐州市2018高三上期中考试）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+2c=2b cosA．（1）求角B的大小；（2）若b=23，a+c=4，求△ABC的面积．12、（扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市2018高三第三次调研）如图是函数πf(x)=A sin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0，ϕ≤)在一个周期内的图象．已知2点P(-6，0)，Q(-2，-3)是图象上的最低点，R是图象上的最高点．（1）求函数f(x)的解析式；（2）记∠RPO=α，∠Q PO=β(α，β均为锐角)，求tan(2α+β)的值．13、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）在∆ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, b,c，若b cos A+a cos B=-2c cos C.（1）求C的大小；（2）若b=2a,且∆ABC的面积为23，求c.14、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）在∆ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知2cos A(b cos C+c cos B)=a．（1）求角A的值；（2）若cos B=35，求sin(B-C)的值．2，求函数f(x)的值域；411、612、13、14、0或15、3＋228516、[2－，1]1、解：（1）因为tanα=4，tanα=，所以sinα=cosα．15、（苏州市2017届高三上学期期中调研）已知函数f(x)=2sin(x+π（1）若0≤x≤π3)⋅c os x．（2）设∆ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A为锐角且f(A)=32，b=2，c=3，求cos(A-B)的值．16、（盐城市2017届高三上学期期中）设函数f(x)=A s in(ωx+ϕ)（A,ω,ϕ为常数，且A>0,ω>0,0<ϕ<π）的部分图象如图所示.（1）求A,ω,ϕ的值；3π（2）设θ为锐角，且f(θ)=-3，求f(θ-)的值.56参考答案一、填空题π4+331、-2、1.43、74、－15、6106、1π3ππ7、8、49、10、3241π42π24二、解答题sinα43cosα3因为sin2α+cos2α=1，所以cos2α=9 25，又因为cos(α+β)=-5，所以sin(α+β)=1-cos2(α+β)=，，所以tan2α==-，因此，tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-．，θ∈（0，）．(θ(θ当θ∈（θ0，π(θ因此，cos2α=2cos2α-1=-7．25（2）因为α,β为锐角，所以α+β∈(0,π)．2555因此tan(α+β)=-2．因为tanα=42tanα2431-tan2α7tan2α-tan(α+β)21+tan2αtan(α+β)112、解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为1×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．2过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ=1π46当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cos△θ）平方米，CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[1，1）．4（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ，设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2π2）．），则f′)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-(2sin2θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1)．令f′)=0，得θ=π6，6）时，f′)>0，所以f（θ）为增函数；当 θ∈（ π ， ）时， f ′θ )<0 ，所以 f （θ）为减函数，在△ABC 中，因为 cos B ＝ ，所以 ＝ ． ………………………2 分( )2＋c 2－b 2 因为 c ＝2a ，所以 ＝ ，即 2＝ ， 2 所以 ＝ ．……………………………4 分sin C c所以 ＝ ．……………………………6 分因为 cos B ＝ ，B ∈(0，π)，所以 sin B ＝ 1－cos 2B ＝ ．………………………2 分π( 6 2因此，当 θ= π 6 时，f （θ）取到最大值．答：当 θ= π 6 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大3、4、解：（1）解法 14a 2＋c 2－b 2 4 5 2ac 5c 2 4 b 2 9 c 5 c 20 2c ×b 3 5c 10sin B b又由正弦定理得 ＝ ，sin B 3 5sin C 10解法 24 35 5因为 c ＝2a ，由正弦定理得 sin C ＝2sin A ，所以 sin C ＝2sin(B ＋C )＝ cos C ＋ sin C ，又因为 sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得 sin C ＝2 5 所以 ＝ ．………………………6 分 （2）因为 cos B ＝ ，所以 cos2B ＝2cos 2B －1＝ ．…………………………8 分又 0＜B ＜π，所以 sin B ＝ 1－cos 2B ＝ ，所以 sin2B ＝2sin B cos B ＝2× × ＝ ．…………………………10 分因为 C －B ＝ ，即 C ＝B ＋ ，所以 A ＝π－(B ＋C )＝ －2B ，所以 sin A ＝sin( －2B )＝sin cos2B －cos sin2B………………………………12 分× －(－ )×． …………………………………14 分（6 85 5即－sin C ＝2cos C ．………………………4 分5，sin B 3 5sin C 104 75 25353 4 245 5 25π π 3π4 4 43π43π 3π4 4＝ 27 2 24 2 25 2 25＝31 2502 75、解： 1）因为点 P 的横坐标为 7 ，P 在单位圆上，α 为锐角，2 7所以 cos α＝ 7 ，………………………2 分1 所以cos2α＝2cos 2α－1＝7．……………………………4 分3 3 3 3（2）因为点 Q 的纵坐标为 14 ，所以 sin β＝ 14 ．………………………6 分13又因为 β 为锐角，所以 cos β＝14．……………………………8 分2 7 21因为 cos α＝ 7 ，且 α 为锐角，所以 sin α＝ 7 ，4 3 因此 sin2α＝2sin αcos α＝ 7 ，………………………10 分所以 sin(2α－β) ＝4 3 13 1 3 3 37 ×14－7× 14 ＝ 2 ． …………………12 分因为 α 为锐角，所以 0＜2α＜π．π又 cos2α＞0，所以 0＜2α＜2，π π π 又 β 为锐角，所以－2＜2α－β＜2，所以 2α－β＝3．…………………14 分ac=，即ac=7，(43)=(a+c)-2ac-ac，2（2-θ=由正弦定理得OQπ，所以2-θ=由正弦定理得OQ=6、【解】（1）由已知asinB+3b cosA=3sinC,结合正弦定理得sinAsinB+3sinBcosA=3sinC，所以sinAsinB+3sinBcosA=3sin(A+B)=3(sinAcosB+sinBcosA)，即sinAsinB=3sinAcosB，即tanB=3，因为B∈(0,π)，所以B=π3.………………7分（2）由S∆ABC =1πacsinB,B=，得2337344又b2=(a+c)2-2ac-2accosB，得2所以{ac=7a=7，又a>c,∴{.………………14分a+c=8c=17、解：1）设∠OPQ=α，由题，Rt∆OAQ中，OA=3，∠AQO=π-∠AQC=π-2ππ=，33所以OQ=3，在∆OPQ中，OP=3，∠POQ=ππ2-π3=π6，OP=，sin∠OPQ sin∠OQP即3sinα=3π5π3sinα=sin(π-α-)=sin(-α)，sin(π-α-)666则3sinα=sin 5π5π13cosα-cos sinα=cosα+6622sinα，所以3sinα=cosα，3π因为α为锐角，所以cosα≠0，所以tanα=，得α=；36（2）设∠OPQ=α，在∆OPQ中，OP=3，∠POQ=ππ2-π3=π6，OP33=，即，sin∠OPQ sin∠OQP sinαπsin(π-α-(-θ))2ππ所以3sinα=sin(π-α-(-θ))=sin(-(α-θ))=cos(α-θ)=cosαcosθ+sinαsinθ，22从而(3-sinθ)sinα=cosαcosθ，其中3-sinθ≠0，cosα≠0，记 f (θ ) = cos θ 2所以 tan α =cos θ 3 - sin θ ，1 - 3 sin θ π ， f '(θ ) = ，θ ∈ (0, ) ； 3 - sin θ( 3 - sin θ )2 2令 f '(θ ) = 0 ， sin θ = 3 3π 3 ，存在唯一θ ∈ (0, ) 使得 sin θ = ， 0 0 3 当 θ ∈ (0,θ ) 时 f '(θ ) > 0 ， f (θ ) 单调增，当θ ∈ (θ , 0 0 所以当 θ = θ 时， f (θ ) 最大，即 tan ∠OPQ 最大， 0π2 ) 时 f '(θ ) < 0 ， f (θ ) 单调减，又 ∠OPQ 为锐角，从而 ∠OPQ 最大，此时 sin θ = 3 3.答：观赏效果达到最佳时，θ 的正弦值为8、3 3.9、10、ac sin B=2⨯4⨯11、（1）因为a+2c=2b cosA，由正弦定理，得sinA+2sin C=2sinBcosA．···························································2分因为C=π-(A+B)，所以sinA+2sin(A+B)=2sinBcosA．即sinA+2sin AcosB+2cos Asin B=2sinBcosA，所以sinA⋅(1+2cosB)=0．····························································································4分1因为sinA≠0，所以cosB=-．················································································6分2又因为0<B<π，所以B=2π3．···················································································································7分（2）由余弦定理a2+c2-2ac cos B=b2及b=23得，a2+c2+ac=12，即(a+c)2-ac=12．··································································································10分又因为a+c=4，所以ac=4，···············································································································12分所以S 113△ABC =22=3．·································································14分12、sin A sin B sin C所以 cos C ＝－ ，(6 分) 所以 ab sin C ＝2 3.(8 分) 13、解析：(1) 由正弦定理 a 所以 C ＝2π .(7 分)b c ＝ ＝ ， 且 b cos A ＋a cos B ＝－2c cos C 得(2 分)sin B cos A ＋sin A cos B ＝－2sin C cos C ，所以 sin (B ＋A)＝－2sin C cos C.(3 分)因为 A ，B ，C 为三角形的内角，所以 B ＋A ＝π －C ，所以 sin C ＝－2sin C cos C.(4 分)因为 C ∈(0，π )，所以 sin C>0.(5 分)1 23(2) 因为△ABC 的面积为 2 3， 1 2由(1)知 C ＝2π ，所以 sin C ＝ ，所以 ab ＝8.(9 分) 所以 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×⎝－2⎭＝28，(13 分) 由 0 ≤ x ≤ 得， ≤ 2x + ≤ ， - ≤ sin(2 x + ) ≤1 ， ．．．．．．．．．4 分 ，即函数 f ( x ) 的值域为 [0,1 + ∴ 0 ≤ sin(2 x + ) + ≤1 + ] ． ．．．．．6 分 3 3 2因为 b ＝2a ，所以 a ＝2，b ＝4，(11 分)⎛ 1⎫所以 c ＝2 7.(14 分)14、（1）由正弦定理可知， 2cos A(sin B cos C + sin C cos B) = sin A ， ………………2 分即 2cos Asin A = sin A ，因为 A ∈ (0, π) ，所以 sin A ≠ 0 ，所以 2cos A = 1 ，即 cos A = 1 2， ………………………………………………4 分 又 A ∈ (0, π) ，所以 A = π 3． ……………………………………………………6 分 （2）因为 cos B = 3 4 ， B ∈ (0, π) ，所以 sin B = 1 - cos 2 B = ，…………………8 分 5 5 24 7 所以 sin 2B = 2sin B cos B = ， cos2 B = 1 - 2sin 2 B = - ， ……………10 分 25 25 2π 2π 所以 sin(B - C) = sin[B - ( - B)] = sin(2B - ) 3 3 2π 2π = sin 2B cos - cos2 B s in 3 324 1 7 3 =- ⨯ - (- ) ⨯ 25 2 25 2………………………………12 分 = 7 3 - 24 50．…………………………………………………14 分 15、解：（1） f ( x ) = (sin x + 3 cos x)cos x = sin x cos x + 3 cos 2 x 1 3 3 π 3 = sin 2 x + cos2 x + = sin(2 x + ) + 2 2 2 3 2． ．．．．．．．．．2 分 π π π 4π 2 3 3 33 π 2 3π 3 3 3 3 2 2 2π 3 3 π （2）由 f ( A ) = sin(2 A + ) + = 得 sin(2 A + ) = 0 ， 3 2 2 3π π π 4π π π 又由 0 < A < ，∴ < 2 A + < ，∴ 2 A + = π ， A = ． ．．．．．．．．8 分 2 3 3 3 3 3在 ∆ABC 中，由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A =7 ，得 a = 7 ． ．．．．．．．10 分 由正弦定理 a b = sin A sin B，得 sin B = b s in A 21 = a 7 ， ．．．．．．12 分 2 7 ∵ b < a ，∴ B < A ，∴ cos B = ， 71 2 7 3 21 5 7 ∴ cos( A - B) = cos A c os B + sin Asin B = ⨯ + ⨯ = 2 7 2 7 14． ．．．．15 分= 2 ， ……………4分⎪ = π ，∴ω = 由 f = - 3 ，得 2 ⎪ ⎝ 12 ⎭ ⎝ 12 ⎭ θ ∈ (0, ) ，∴ 2θ + ∈ , ⎪ ，又 sin(2θ + ) < 0 ，所以 2θ + ∈ π , ⎪ ， ∴ f (θ - ) = 3 sin 2θ = 3 sin ⎢(2θ + ) - = 3 ⎢sin(2θ + )cos - cos(2θ + )sin = 3  - ⨯ + ⨯ 10 . ……………14分 2 ⎪⎭ 5 2 5 π ⎛ π 4π ⎫ 3 ⎝ 3 3 ⎭ ⎦⎦16、解：（1）由图像，得 A = 3 , ……………2分最小正周期 T = 4 ⎛ 7π π ⎫ 2π + 3 ⎝ 12 6 ⎭ T ∴ f ( x ) = 3 sin(2 x + ϕ ) ， ⎛ 7π ⎫ ⎛ 7π ⎫ ⎪ π + ϕ = - + 2k π ， k ∈ Z ， 2 5π π ∴ϕ = - + 2k π ， k ∈ Z ， 0 < ϕ < π ，∴ϕ = . ……………7分 3 3π 3 π 3 （2）由 f (θ ) = 3 sin(2θ + ) = - 3 ，得 sin(2θ + ) = - ， 3 5 3 5π π π ⎛ 4π ⎫ 2 3 3 ⎝ 3 ⎭π π 4 ∴ c os(2θ + ) = - 1 - sin 2(2θ + ) = - ， ……………10分 3 3 5π ⎡ π π ⎤ 6 ⎣3 3 ⎥ ⎡ π π π π ⎤ ⎣ 3 3 3 3 ⎥⎛ 3 1 4 3 ⎫ 12 - 3 3 = ⎝。

连云港市2017届高三年级模拟考试数学Ⅰ第Ⅰ卷（共70分）一、填空题(每题5分,满分70分,江答案填在答题纸上)1.已知集合}211{，，-=A ,}7,210{，，=B ,则集合B A 中元素的个数为 ．2.设a ,R b ∈，bi a ii+=-+11(i 为虚数单位)，则b 的值为 ． 3.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线13422=-y x 的离心率是 ． 4.现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是 ．5.如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为 ．6.已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 ．7.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤,2,3,1y x x x y 则x y 的取值范围是 ．8.若函数)2sin(2)(ϕ+=x x f )20(πϕ<<的图象过点)3,0(，则函数)(x f 在],0[π上的单调减区间是 ．9.在公比为q 且各项均为正数的等比数列}{n a 中，n S 为}{n a 的前n 项和.若211qa =，且225+=S S ，则q 的值为 ．10.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，已知31==AA AB ，点P 在棱1CC 上，则三棱锥1ABA P -的体积为 ．11.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数x y a log 31=，x y a log 22=和)1(log 3>=a x y a 的图象上，则实数a 的值为 ．12.已知对于任意的),5()1,(+∞-∞∈ x ，都有0)2(22>+--a x a x ，则实数a 的取值范围是 ．13.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：3)()2(22=-++m y x .若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且GO AB 2=，则实数m 的取值范围是 ． 14.已知ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且3π=C ，2=c ，当AB AC ∙取得最大值时，ab的值为 ．第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在ABC ∆中，已知点D 在边AB 上，DB AD 3=，54cos =A ，135cos =∠ACB ，13=BC .（1）求B cos 的值； （2）求CD 的长.16.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱PC 上（异于点P ，C ），平面ABE 与棱PD 交于点F . （1）求证：EF AB //；（2）若平面⊥PAD 平面ABCD ，求证：EF AE ⊥.17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：13422=+y x 的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方）.（1）若FP QF 2=，求直线l 的方程；（2）设直线AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在常数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.18. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点），与左右两边相交（F ，G 为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m ，且21≥AD AB ，设θ=∠EOF ，透光区域的面积为S . （1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边AB 的长度.19. 已知两个无穷数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，11=a ，42=S ，对任意的*∈N n ，都有n n n n a S S S ++=++2123.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若}{n b 为等差数列，对任意的*∈N n ，都有n n T S >.证明：n n b a >；（3）若}{n b 为等比数列，11a b =，22a b =，求满足)(22*∈=++N k a S b T a k nn nn 的n 值.20. 已知函数)0(ln )(>+=m x x xmx f ，2ln )(-=x x g . （1）当1=m 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）设函数2)()()(--=x xg x f x h ，0>x .若函数))((x h h y =的最小值是223，求m 的值；（3）若函数)(x f ，)(x g 的定义域都是],1[e ，对于函数)(x f 的图象上的任意一点A ，在函数)(x g 的图象上都存在一点B ，使得OB OA ⊥，其中e 是自然对数的底数，O 为坐标原点，求m 的取值范围.21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的弦AB ，MN 交于点C ，且A 为弧MN 的中点，点D 在弧BM 上，若ADB ACN ∠=∠3，求ADB ∠的度数.B.选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d a A 23，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4821A ，求矩阵A 的特征值.C.选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知点)2,2(πA ，点B 在直线l ：)20(0sin cos πθθρθρ≤≤=+上，当线段AB 最短时，求点B 的极坐标.D.选修4-5：不等式选讲已知a ，b ，c 为正实数，且222333c b a c b a =++，求证：333≥++c b a .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，点)0,1(F ，直线1-=x 与动直线n y =的交点为M ，线段MF 的中垂线与动直线n y =的交点为P . （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过动点M 作曲线E 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：AMB ∠的大小为定值.23.选修4-5：不等式选讲已知集合},...,2,1{n U =)2,(≥∈*n N n ，对于集合U 的两个非空子集A ，B ，若∅=B A ，则称),(B A 为集合U 的一组“互斥子集”.记集合U 的所有“互斥子集”的组数为)(n f （视),(B A 与),(A B 为同一组“互斥子集”）. （1）写出)2(f ，)3(f ，)4(f 的值； （2）求)(n f .苏北三市2017届高三第三次质量检测参考答案与评分标准试一、填空题1.52. 13.27 4. 615.66. 526 (或5.2)7. ]32,31[-(或3231≤≤-x y )8. )127,12(ππ(或]127,12[ππ) 9.215- 10. 34911. 2 12. ]5,1((或51≤<a )13. ]2,2[-(或22≤≤-m ) 14. 32+二、解答题15.解:(1)在ABC ∆中, 54cos =A , ),0(π∈A ， 所以=-=A A 2cos 1sin 53)54(12=-. 同理可得, 1312sin =∠ACB . 所以=∠+-=)](cos[cos ACB A B π)cos(ACB A ∠+-ACB A ACB A ∠-∠=cos cos sin sin 6416135********=⨯-⨯=. (2)在ABC ∆中,由正弦定理得, BBC AB sin =2013125313sin =⨯=∠ACB .又DB AD 3=,所以541==AB BD . 在BCD ∆中,由余弦定理得, B BC BD BC BD CD cos 222∙-+=6416135213522⨯⨯⨯-+=29=. 16. 解:(1) 因为ABCD 是矩形，所以CD AB //． 又因为⊄AB 平面PDC ，⊂CD 平面PDC ， 所以//AB 平面PDC ．又因为⊂AB 平面ABEF ，平面 ABEF 平面EF PDC =， 所以EF AB //．（2）因为ABCD 是矩形，所以AD AB ⊥．又因为平面⊥PAD 平面ABCD ，平面 PAD 平面AD ABCD =，⊂AB 平面ABCD ，所以⊥AB 平面PAD ．又⊂AF 平面PAD ，所以AF AB ⊥． 又由（1）知EF AB //，所以EF AF ⊥．17. 解:(1) 因为42=a ，32=b ，所以122=-=b a c ，所以F 的坐标为（1,0），设),(11y x P ，),(22y x Q ，直线l 的方程为1+=my x ， 代入椭圆方程，得096)34(22=-++my y m ，则22134163m m m y +++-=，22234163m m m y ++--=．若PF QF 2=，则0341632341632222=+++-⨯+++--m m m m m m ， 解得552=m ，故直线l 的方程为0525=--y x ． （2）由（1）知，221346m m y y +-=+，221349m y y +-=， 所以)(2334921221y y m m y my +=+-=，所以22112122y x x y k k --+=)3()1(1221+-=my y my y 313)(23)(23221121=++-+=y y y y y y ，故存在常数31=λ，使得2131k k =． 18. 解:(1) 过点O 作FG OH ⊥于点H ，则θ=∠=∠EOF OFH ， 所以θθsin sin ==OF OH ，θθcos cos ==OF FH ．所以OEF OFH S S S 扇形44+=∆)21(4cos sin 2θθθ⨯+=θθ22sin +=，因为21≥AD AB ，所以21sin ≥θ，所以定义域为)2,6[ππ．（2）矩形窗面的面积为θθsin 4sin 22=⨯=∙=AB AD S 矩形． 则透光区域与矩形窗面的面积比值为θθθθθθθsin 22cos sin 42cos sin 2+=+． 设θθθθsin 22cos )(+=f ，26πθπ<≤． 则θθθθθθ2sin 2cos sin sin 21)(-+='f θθθθθ23sin 2sin cos sin --= θθθθθ22sin 2cos cos sin -= θθθθ2sin 2)2sin 21(cos -=， 因为26πθπ<≤，所以212sin 21≤θ，所以02sin 21<-θθ，故0)(<'θf ， 所以函数)(θf 在)2,6[ππ上单调减． 所以当6πθ=时，)(θf 有最大值436+π，此时)(1sin 2m AB ==θ 答：（1）S 关于θ的函数关系式为θθ22sin +=S ，定义域为)2,6[ππ；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，AB 的长度为1m ． 19. 解:(1) 由n n n n a S S S ++=++2123，得n n n n n a S S S S +-=-+++121)(2， 即n n n a a a +=++212，所以n n n n a a a a -=-+++112． 由11=a ，41=S ，可知32=a ．所以数列}{n a 是以1为首项，2为公差的等差数列． 故}{n a 的通项公式为12-=n a n ．（2）证法一：设数列}{n b 的公差为d ，则d n n nb T n 2)1(1-+=， 由（1）知，2n S n =．因为n n T S >，所以d n n nb n 2)1(12-+>，即02)2(1>-+-b d n d 恒成立， 所以⎩⎨⎧>-≥-,02,021b d d 即⎩⎨⎧<≤,2,21d b d 又由11T S >，得11<b ， 所以d n b n b a n n )1(121----=-11)2(b d n d --+-=11)2(b d d --+-≥011>-=b ．所以n n b a >，得证．证法二：设}{n b 的公差为d ，假设存在自然数20≥n ，使得00n n b a >， 则≤⨯-+2)1(01n a d n b )1(01-+，即)2)(1(011--≤-d n b a ， 因为11b a >，所以2>d ． 所以212)1(n d n n nb S T n n --+=-n db n d )2()12(12-+-=， 因为012>-d，所以存在*∈N N n 0，当0n N n >时，0>-n n S T 恒成立． 这与“对任意的*∈N n ，都有T S n >”矛盾！所以n n b a >，得证．（3）由（1）知，2n S n =．因为}{n b 为等比数列，且11=b ，32=b ，所以}{n b 是以1为首项，3为公比的等比数列． 所以13-=n n b ，213-=n n T ．则2123131222n n S b T a n n n n n n +-+-=++-2123223n n n n +-+=-212232263n n n n ++--=-， 因为*∈N n ，所以02262>+-n n ，所以322<++nn nn S b T a ．而12-=k a k ，所以122=++nn nn S b T a ，即01321=-+--n n n （*）．当2,1=n 时，（*）式成立； 当2≥n 时，设13)(21-+-=-n n n f n ，则n n n f n f n ++-=-+2)1(3)()1(0)3(2)13(121>-=-+----n n n n n ，所以...)(...)3()2(0<<<<=n f f f ． 故满足条件的n 的值为1和2． 20. 解:(1) 当1=m 时，x x x x f ln 1)(+=，1ln 1)(2++='x xx f ． 因为)(x f '在),0(+∞上单调增，且0)1(='f ，所以当1>x 时，0)(>'x f ；当10<<x 时，0)(<'x f ． 所以函数)(x f 的单调增区间是),1(+∞．（2）22)(-+=x xmx h ，则22222)(x m x x m x h -=-='，令0)(='x h 得2m x =， 当20m x <<时，0)(<'x h ，函数)(x h 在)2,0(m上单调减； 当2m x >时，0)(>'x h ，函数)(x h 在),2(+∞m上单调增． 所以222)2()]([min -==m mh x h ． ①当2)12(2m m ≥-，即94≥m 时， 函数))((x h h y =的最小值)12(2[2)222(-=-m m m h 223]1)12(2=--+m ，即092617=+-m m ，解得1=m 或179=m （舍），所以1=m ； ②当2)12(20m m <-<，即9441<<m 时， 函数))((x h h y =的最小值223)12(2)2(=-=m m h ，解得54=m （舍）． 综上所述，m 的值为1．（3）由题意知，x x m k OA ln 2+=，xx k OB 2ln -=． 考虑函数x x y 2ln -=，因为2ln 3x xy -='在],1[e 上恒成立，所以函数x x y 2ln -=在],1[e 上单调增，故]1,2[ek OB --∈． 所以],21[e k OA ∈，即e x x m ≤+≤ln 212在],1[e 上恒成立，即)ln (ln 2222x e x m x x x -≤≤-在],1[e 上恒成立． 设x x x x p ln 2)(22-=，则0ln 2)(≤-='x x p 在],1[e 上恒成立， 所以)(x p 在],1[e 上单调减，所以21)1(=≥p m ． 设)ln ()(2x e x x q -=，则≥--=')ln 212()(x e x x q 0ln 212(>--e e x 在],1[e 上恒成立， 所以)(x q 在],1[e 上单调增，所以e q m =≤)1(． 综上所述，m 的取值范围为],21[e ．21.解：A ．连结AN ，DN ．因为A 为弧MN 的中点，所以ADN ANM ∠=∠． 而NDB NAB ∠=∠，所以NDB ADN NAB ANM ∠+∠=∠+∠， 即ADB BCN ∠=∠． 又因为ADB ACN ∠=∠3，所以︒=∠+∠=∠+∠1803ADB ADB BCN ACN ， 故︒=∠45ADB ． B ．因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212321d a A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=48226d a ，所以⎩⎨⎧=+=+42286d a 解得⎩⎨⎧==14d a 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1232A ． 所以矩阵A 的特征多项式为1232)(---=λλλf 436)1)(2(2--=---=λλλλ， 令0)(=λf ，解得矩阵A 的特征值为11-=λ，42=λ． C ．以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系， 则点)2,2(πA 的直角坐标为)2,0(，直线l 的直角坐标方程为0=+y x ．AB 最短时，点B 为直线02=+-y x 与直线l 的交点， 解⎩⎨⎧=+=+-002y x y x 得⎩⎨⎧=-=11y x 所以点B 的直角坐标为（-1,1）．所以点B 的极坐标为)43,2(π．D ．因为33332223333c b a c b a c b a ≥=++，所以3≥abc ， 所以33333≥≥++abc c b a ， 当且仅当33===c b a 时，取“”．22. 解:(1) 因为直线n y =与1-=x 垂直，所以MP 为点P 到直线1-=x 的距离． 连结PF ，因为P 为线段MF 的中垂线与直线n y =的交点，所以PF MP =． 所以点P 的轨迹是抛物线． 焦点为)0,0(P ，准线为1-=x ． 所以曲线E 的方程为x y 42=．（2）由题意，过点),1(n M -的切线斜率存在，设切线方程为)1(+=-x k n y ， 联立⎩⎨⎧=++=,4,2x y n k kx y 得04442=++-n k y ky ， 所以0)44(4161=+-=∆n k k ，即012=-+kn k （*），因为0422>+=∆n ，所以方程（*）存在两个不等实根，设为1k ，2k ， 因为121-=∙k k ，所以︒=∠90AMB ，为定值．23. 解:(1) 1)2(=f ，6)3(=f ，25)4(=f ．（2）解法一：设集合A 中有k 个元素，1,...,3,2,1-=n k ． 则与集合A 互斥的非空子集有12--k n 个．于是)12(21)(11-=--=∑k n n k k n C n f ]2[211111∑∑-=--=-=n k kn k n n k k n C C ．因为=--=∑kn n k k nC211∑-=---10222n k n n n n k n k n C C C 12312)12(--=--+=n n n n ， nn n n k k n n k knC C C C--=∑∑-=-=011122-=n ， 所以---=)123[(21)(n n n f )123(21)]22(1+-=-+n n n ． 解法二：任意一个元素只能在集合A ，B ，)(B A C C U =之一中， 则这n 个元素在集合A ，B ，C 中，共有n3种； 其中A 为空集的种数为n 2，B 为空集的种数为n2， 所以A ，B 均为非空子集的种数为1223+⨯-n n， 又),(B A 与),(A B 为同一组“互斥子集”， 所以)123(21)(1+-=+n nn f ．。

2017-2018学年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州四市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，1．己知集合 A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，则 A∪B中元素的个数为．2．设复数z满足i（z﹣4）=3+2i（i是虚数单位），则z的虚部为．3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为．4．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为．5．如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的值为．6．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为．7．若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（0）+f（2）= ．8．在等差数列{a n}中，已知a2+a8=11，则3a3+a11的值为．9．若实数x，y满足x+y﹣4≥0，则z=x2+y2+6x﹣2y+10的最小值为．10．已知椭圆+=1（a＞b＞0），点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 AB2与直线 B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为．11．将函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为．12．已知a，b均为正数，且直线ax+by﹣6=0与直线2x+（b﹣3）y+5=0互相平行，则2a+3b 的最小值是．13．已知函数f（x）=，则不等式f（f（x））≤3的解集为．14．在△ABC中，己知AC=3，∠A=45°，点D满足=2，且AD=，则BC的长为．二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题14分，18～20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知向量=（1，2sinθ），=（sin（θ+），1），θ∈R．（1）若⊥，求tanθ的值；（2）若∥，且θ∈（0，），求θ的值．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC．（1）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA：（2）若过点A作直线l上平面ABC，求证：l∥平面PBC．17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，4），B（9，0），C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC=BD（1）若AC=4，求直线CD的方程；（2）证明：△OCD的外接圆恒过定点．18．如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4km．，地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）．设点P到边AD的距离为t（单位：km），△BEF的面积为S（单位：km2）．（1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2？并说明理由．19．在数列 {a n}中，已知 a1=a2=1，a n+a n+2=λ+2a n+1，n∈N*，λ为常数．（1）证明：a1，a4，a5成等差数列；（2）设 c n=，求数列的前n项和 S n；（3）当λ≠0时，数列 {a n﹣1}中是否存在三项 a s+1﹣1，a t+1﹣1，a p+1﹣1成等比数列，且s，t，p也成等比数列？若存在，求出s，t，p的值；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2≥．四、附加题部分本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）.本卷满分为40分，考试时间为30分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回..【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-1：几何证明选讲21．如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E．求证：BE平分∠ABC选修4-2：矩阵与变换22．已知 a，b∈R，矩阵所对应的变换 T A将直线 x﹣y﹣1=0变换为自身，求a，b 的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．己知直线 l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为．（a＞0．θ为参数），点P是圆C上的任意一点，若点P到直线l的距离的最大值为，求a的值．选修4-5：不等式选讲24．若 a＞0，b＞0，且+=，求a3+b3的最小值．八、【必做题】第22题、第23题.每题10分.共计20分.请在答题卡指定区毕内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．（1）求某同学至少选修1门自然科学课程的概率；（2）已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是，自然科学课程的概率都是，且各门课程通过与否相互独立．用ξ表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为 x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．2015年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州四市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，1．己知集合 A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，则 A∪B中元素的个数为 6 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算求出 A∪B即可．解答：解：∵A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，∴A∪B={0，1，2，3，4，5}，共有6个元素，故答案为：6；点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．设复数z满足i（z﹣4）=3+2i（i是虚数单位），则z的虚部为﹣3 ．考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：∵i（z﹣4）=3+2i（i是虚数单位），∴z=+4=+4=6﹣3i，其虚部为﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为．考点：极差、方差与标准差；茎叶图．专题：概率与统计．分析：由茎叶图数据分别求出甲乙两组的方差，比较大小．解答：解：由已知可得甲的平均成绩为=92，方差为[（92﹣88）2+（92﹣92）2+（96﹣92）2]=；乙的平均成绩为=92，方差为[（92﹣90）2+（92﹣91）2+（95﹣92）2]=，所以方差较小的那组同学成绩的方差为．故答案为：点评：本题考查了茎叶图的数据统计中，求平均数以及方差，关键是熟记公式．4．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为．考点：互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：先利用排列组织知识求出甲、乙两人都不被录用的概率，再用间接法求出甲、乙两人中至少有1人被录用的概率．解答：解：某单位从4名应聘者甲、乙、丙、丁中招聘2人，∵这4名应聘者被录用的机会均等，∴甲、乙两人都不被录用的概率为==，∴甲、乙两人中至少有1人被录用的概率P=1﹣=；故答案为：点评：本题考查古典概型及其计算公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的值为7 ．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：利用循环结构，直到条件不满足退出，即可得到结论．解答：解：执行一次循环，y=3，x=2，不满足|y﹣x|≥4，故继续执行循环；执行第二次循环，y=7，x=3，满足|y﹣x|≥4，退出循环故输出的y值为7，故答案为：7点评：本题考查循环结构，考查学生的计算能力，属于基础题．6．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：根据圆角轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，则不难得到本题的答案．解答：解：∵圆锥的轴截面是正三角形ABC，边长等于2∴圆锥的高AO=×2=，底面半径r=×2=1因此，该圆锥的体积V=πr2•AO=π×12×=故答案为：；点评：本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的体积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等知识，属于基础题．7．若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（0）+f（2）= ﹣2 ．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：运用奇函数的定义，已知解析式，可得f（0）=0，f（2）=﹣2，即可得到结论．解答：解：f（x）为R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即有f（0）=0，f（﹣2）=﹣f（2），当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），f（﹣2）=log2（2+2）=2，则f（0）+f（2）=0﹣2=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．8．在等差数列{a n}中，已知a2+a8=11，则3a3+a11的值为22 ．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：运用等差数列的通项公式，化简已知可得，a1+4d=，再由通项公式化简3a3+a11，代入即可得到所求值．解答：解：设等差数列的公差为d，a2+a8=11，则a1+d+a1+7d=11，即有a1+4d=，3a3+a11=3（a1+2d）+a1+10d=4（a1+4d）=4×=22．故答案为：22．点评：本题考查等差数列的通项公式，考查运算能力，属于基础题．9．若实数x，y满足x+y﹣4≥0，则z=x2+y2+6x﹣2y+10的最小值为18 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：利用配方得到z的几何意义，作出不等式对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．解答：解：z=x2+y2+6x﹣2y+10=（x+3）2+（y﹣1）2，则z的几何意义为区域内的点到点D（﹣3，1）的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当BD垂直直线x+y﹣4=0时，此时BD的距离最小，最小值为点D到直线x+y﹣4=0的距离d==，则z=（）2=18，故答案为：18点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．10．已知椭圆+=1（a＞b＞0），点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 AB2与直线 B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作简图，结合图象可得CD==（a+），从而解得．解答：解：作简图如下，则=，=；即CD==（a+），即=1+；即（）2﹣﹣2=0；即（﹣2）（+1）=0；故=2；故离心率e=；故答案为：．点评：本题考查了椭圆的应用，属于基础题．11．将函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为 2 ．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由三角函数的图象平移得到平移后的两个函数的解析式，再由两函数的对称轴重合得到ωx+=ωx﹣或ωx+=ωx﹣+kπ，k∈Z．由此求得最小正数ω的值．解答：解：把函数y=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：y=2sin[ω（x+）﹣]=2sin（ωx+），向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：y=2sin[ω（x﹣）﹣]=2sin（ωx﹣）．∵所得的两个图象对称轴重合，∴ωx+=ωx﹣①，或ωx+=ωx﹣+kπ，k∈Z ②．解①得ω=0，不合题意；解②得ω=2k，k∈Z．∴ω的最小值为2．故答案为：2．点评：本题主要考查三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，考查了三角函数的对称性，是中档题．12．已知a，b均为正数，且直线ax+by﹣6=0与直线2x+（b﹣3）y+5=0互相平行，则2a+3b 的最小值是25 ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由两直线平行的条件得到，由2a+3b=（2a+3b）（）展开后利用基本不等式求得最值．解答：解：∵直线ax+by﹣6=0与直线2x+（b﹣3）y+5=0互相平行，∴a（b﹣3）﹣2b=0且5a+12≠0，∴3a+2b=ab，即，又a，b均为正数，则2a+3b=（2a+3b）（）=4+9+．当且仅当a=b=5时上式等号成立．故答案为：25．点评：本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．13．已知函数f（x）=，则不等式f（f（x））≤3的解集为（﹣∞，] ．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：函数f（x）=，是一个分段函数，故可以将不等式f（f（x））≤3分类讨论，分x≥0，﹣2＜x＜0，x≤﹣2三种情况，分别进行讨论，综合讨论结果，即可得到答案．解答：解：当x≥0时，f（f（x））=f（﹣x2）=（﹣x2）2﹣2x2≤3，即（x2﹣3）（x2+1）≤0，解得0≤x≤，当﹣2＜x＜0时，f（f（x））=f（x2+2x）=（x2+2x）2+2（x2+2x）≤3，即（x2+2x﹣1）（x2+2x+3）≤0，解得﹣2＜x＜0，当x≤﹣2时，f（f（x））=f（x2+2x）=﹣（x2+2x）2≤3，解得x≤﹣2，综上所述不等式的解集为（﹣∞，]故答案为：（﹣∞，]点评：本题考查的知识点是分段函数的解析式，及不等式的解法，其中根据分段函数分段处理的原则，需要进行分类讨论，是解答本题的关键．14．在△ABC中，己知AC=3，∠A=45°，点D满足=2，且AD=，则BC的长为 3 ．考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：以A为坐标原点，点C在x轴上建立平面直角坐标系，如图所示，C（3，0），设B（t，t），根据=2，得出D点的坐标，利用AD的长，求出t的值，确定出B的坐标，即得BC的长．解答：解：根据题意，以A为坐标原点，点C在x轴上建立平面直角坐标系，如图所示；则C（3，0），∵∠A=45°，∴设B（t，t），其中t＞0，D（x，y）；根据=2，得（x﹣3，y）=2（t﹣x，t﹣y），即，解得x=，y=，∴D（，）；又∵AD=，∴+=13，解得t=3或t=﹣（舍去）；∴B（3，3），即BC=3．故答案为：3．点评：此题考查了向量数乘得运算及其几何意义，根据题意做出适当的图形是解本题的关键．二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题14分，18～20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知向量=（1，2sinθ），=（sin（θ+），1），θ∈R．（1）若⊥，求tanθ的值；（2）若∥，且θ∈（0，），求θ的值．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量的垂直和平行的性质得到θ的三角函数式，然后化简解答．解答：解；（1）若⊥，则=sin（θ+）+2sinθ=0，所以5sinθ+cosθ=0，所以tanθ=﹣；（2）若∥，且θ∈（0，），则2sinθsin（θ+）=1，整理得sin2θ+sinθcosθ=1，所以，所以，即sin（2θ﹣）=，θ∈（0，），2θ﹣∈（﹣，），所以2θ﹣=，所以θ=．点评：本题考查了向量的垂直和平行的性质以及运用三角函数公式化简三角函数并求值．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC．（1）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA：（2）若过点A作直线l上平面ABC，求证：l∥平面PBC．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知得AB⊥平面PBC，从而CP⊥AB，又CP⊥PB，从而CP⊥平面PAB，由此得到CP⊥PA．（2）在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D，由已知得PD⊥平面ABC，从而l∥PD，由此能证明l∥平面PBC．解答：（1）证明：因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC．因为CP⊂平面PBC，所以CP⊥AB．又因为CP⊥PB，且PB∩AB=B，AB，PB⊂平面PAB，所以CP⊥平面PAB，又因为PA⊂平面PAB，所以CP⊥PA．（2）证明：在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D．因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC=BC，PD⊂平面PBC，所以PD⊥平面ABC．又l⊥平面ABC，所以l∥PD．又l⊄平面PBC，PD⊂平面PBC，所以l∥平面PBC．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，4），B（9，0），C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC=BD（1）若AC=4，求直线CD的方程；（2）证明：△OCD的外接圆恒过定点．考点：圆的一般方程；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：（1）根据条件确定C，D的坐标，根据直线的两点式方程即可求直线CD的方程；（2）根据AC=BD，根据待定系数法表示出C，D的坐标，利用圆的一般式方程，即可得到结论．解答：解：（1）若AC=4，则BD=4，∵B（9，0），∴D（5，0），∵A（﹣3，4），∴|OA|=，则|OC|=1，直线OA的方程为y=x，设C（3a，﹣4a），﹣1＜a＜0，则|OC|==5|a|=﹣5a=1，解得a=，则C（，），则CD的方程为，整理得x+7y﹣5=0，即直线CD的方程为x+7y﹣5=0；（2）证明：△OCD的外接圆恒过定点．设C（3a，﹣4a），﹣1＜a＜0，则|AC|===5|a+1|=5（a+1），则|BD|=|AC|=5（a+1），则D（4﹣5a，0），设△OCD的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵O（0，0），C（3a，﹣4a），﹣1＜a＜0，D（4﹣5a，0），∴圆的方程满足，即，则，解得E=10a﹣3，F=0，D=5a﹣4，则圆的一般方程为x2+y2+（5a﹣4）x+（10a﹣3）y=0，即x2+y2﹣4x﹣3y+5a（x+2y）=0，由，解得或，即：△OCD的外接圆恒过定点（0，0）和（2，﹣1）．点评：本题主要考查直线方程的求解，以及圆的一般式方程的应用，利用待定系数法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．18．如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4km．，地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）．设点P到边AD的距离为t（单位：km），△BEF的面积为S（单位：km2）．（1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2？并说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法．专题：导数的综合应用．分析：（1）如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C点坐标为（2，4）．设边缘线AC所在抛物线的方程为y=ax2，把（2，4）代入，可得抛物线的方程为y=x2．由于y'=2x，可得过P（t，t2）的切线EF方程为y=2tx﹣t2．可得E，F点的坐标，，即可得出定义域．（2），利用导数在定义域内研究其单调性极值与最值即可得出．解答：解：（1）如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C 点坐标为（2，4）．设边缘线AC所在抛物线的方程为y=ax2，把（2，4）代入，得4=a×22，解得a=1，∴抛物线的方程为y=x2．∵y'=2x，∴过P（t，t2）的切线EF方程为y=2tx﹣t2．令y=0，得；令x=2，得F（2，4t﹣t2），∴，∴，定义域为（0，2]．（2），由S'（t）＞0，得，∴S（t）在上是增函数，在上是减函数，∴S在（0，2]上有最大值．又∵，∴不存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值切线的方程、抛物线方程，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．在数列 {a n}中，已知 a1=a2=1，a n+a n+2=λ+2a n+1，n∈N*，λ为常数．（1）证明：a1，a4，a5成等差数列；（2）设 c n=，求数列的前n项和 S n；（3）当λ≠0时，数列 {a n﹣1}中是否存在三项 a s+1﹣1，a t+1﹣1，a p+1﹣1成等比数列，且s，t，p也成等比数列？若存在，求出s，t，p的值；若不存在，说明理由．考点：数列的求和；等比数列的性质；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用递推式可得a4，a5，再利用等差数列的定义即可证明；（2）由a n+a n+2=λ+2a n+1，得a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+λ，令b n=a n+1﹣a n，利用等差数列的通项公式可得b n=a n+1﹣a n=（n﹣1）λ，即可得出．利用等比数列的前n 项和公式即可得出．（3）由（2）知a n+1﹣a n=（n﹣1）λ，用累加法可求得，当n=1时也适合，假设存在三项a s+1﹣1，a t+1﹣1，a p+1﹣1成等比数列，且s，t，p也成等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：（1）证明：∵a n+a n+2=λ+2a n+1，a1=a2=1，∴a3=2a2﹣a1+λ=λ+1，同理，a4=2a3﹣a2+λ=3λ+1，a5=2a4﹣a3+λ=6λ+1，又∵a4﹣a1=3λ，a5﹣a4=3λ，∴a4﹣a1=a5﹣a4，故a1，a4，a5成等差数列．（2）由a n+a n+2=λ+2a n+1，得a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+λ，令b n=a n+1﹣a n，则b n+1﹣b n=λ，b1=a2﹣a1=0，∴{b n}是以0为首项，公差为λ的等差数列，∴b n=b1+（n﹣1）λ=（n﹣1）λ，即a n+1﹣a n=（n﹣1）λ，∴a n+2﹣a n=2（a n+1﹣a n）+λ=（2n﹣1）λ，∴．当λ=0时，S n=n，当．（3）由（2）知a n+1﹣a n=（n﹣1）λ，用累加法可求得，当n=1时也适合，∴，假设存在三项a s+1﹣1，a t+1﹣1，a p+1﹣1成等比数列，且s，t，p也成等比数列，则，即，∵s，t，p成等比数列，∴t2=sp，∴（t﹣1）2=（s﹣1）（p﹣1），化简得s+p=2t，联立 t2=sp，得s=t=p．这与题设矛盾．故不存在三项a s+1﹣1，a t+1﹣1，a p+1﹣1成等比数列，且s，t，p也成等比数列．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”，考查了反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2≥．考点：函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）利用f（1）=0，确定a的值，求导函数，从而可确定函数的单调性；（2）构造函数F（x）=f（x）﹣ax+1，利用导数研究其最值，将恒成立问题进行转化，（3）将代数式f（x1）+f（x2）+x1x2放缩，构造关于x1+x2的一元二次不等式，解不等式即可．解答：解：（1）∵f（x）=lnx﹣ax2+x，f（1）=0，∴a=2，且x＞0．∴f（x）=lnx﹣x2+x，∴=，当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）的单调递减，∴函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（2）令F（x）=f（x）﹣ax+1=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，则F′（x）=﹣ax+1﹣a=﹣=﹣a，当a≤0时，在（0，+∞）上，函数F（x）单调递增，且F（1）=2﹣＞0，不符合题意，当a＞0时，函数F（x）在x=时取最大值，F（）=ln+，令h（a）=ln+=，则根据基本函数性质可知，在a＞0时，h（a）单调递减，又∵h（1）=＞0，h（2）=＜0，∴符合题意的整数a的最小值为2．（3）∵a=﹣2，∴f（x）=lnx+x2+x，∴f（x1）+f（x2）+x1x2=lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x1x2+x2=（x1+x2）2+x1+x2+lnx1x2﹣x1x2令g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max=g（1）=﹣1，∴f（x1）+f（x2）+x1x2≤（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1，即（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1≥0，又∵x1，x2是正实数，∴x1+x2≥．点评：本题考查了函数性质的综合应用，属于难题．四、附加题部分本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）.本卷满分为40分，考试时间为30分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回..【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-1：几何证明选讲21．如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E．求证：BE平分∠ABC考点：弦切角．专题：选作题；立体几何．分析：要想得到BE平分∠ABC，即证∠ABE=∠DBE，由已知中AB=AC、CD=AC，结合圆周角定理，我们不难找出一系列角与角相等关系，由此不难得到结论．解答：证明：因为CD=AC，所以∠D=∠CAD．…（2分）因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB．…（4分）因为∠EBC=∠CAD，所以∠EBC=∠D．…（6分）因为∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠EBC，…（8分）所以∠ABE=∠EBC，即BE平分∠ABC．…（10分）点评：要证明一条射线平分一个角，关键是要根据图形分析，是哪两个角是相等的，然后根据已知条件，分析图形中角与角之间的关系，并找出他们与要证明相等的两个角之间的关系，然后进行转化，得到答案．选修4-2：矩阵与变换22．已知 a，b∈R，矩阵所对应的变换 T A将直线 x﹣y﹣1=0变换为自身，求a，b 的值．考点：几种特殊的矩阵变换．专题：矩阵和变换．分析：本题可以利用矩阵变换得到变换前后点的坐标关系，再代入到直线方程x﹣y﹣1=0中，得到关于a、b的等式，解方程组求出a，b的值，得到本题结论．解答：解：设直线x﹣y﹣1=0上任意一点P（x，y）在变换T A的作用下变成点P'（x'，y'），∵，∴，∵P'（x'，y'）在直线x﹣y﹣1=0上，∴x'﹣y'﹣1=0，即（﹣1﹣b）x+（a﹣3）y﹣1=0，又∵P（x，y）在直线x﹣y﹣1=0上，∴x﹣y﹣1=0．∴，∴a=2，b=﹣2．点评：本题考查了矩阵变换与曲线方程的关系，本题难度不大，属于基础题．选修4-4：坐标系与参数方程23．己知直线 l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为．（a＞0．θ为参数），点P是圆C上的任意一点，若点P到直线l的距离的最大值为，求a的值．考点：参数方程化成普通方程；直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：本题可以通过消参法得到直线和圆的普通方程，再利用点到直线的距离公式求出点P 到直线l的距离，由于点P到直线l的距离的最大值为，故可得到本应的等式，从而求出a的值，得到本题结论．解答：解：∵直线l的参数方程为，消去参数t，得直线l的普通方程为y=2x+1．又∵圆C的参数方程为（a＞0，θ为参数），∴圆C的普通方程为x2+y2=a2．∵圆C的圆心到直线l的距离，故依题意，得，解得a=1．点评：本题考查了参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．若 a＞0，b＞0，且+=，求a3+b3的最小值．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析： a＞0，b＞0，利用基本不等式可得=+≥，ab≥2．对a3+b3利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵a＞0，b＞0，∴=+≥，∴ab≥2．当且仅当时取等号．∴a3+b3≥，∴a3+b3的最小值为．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．八、【必做题】第22题、第23题.每题10分.共计20分.请在答题卡指定区毕内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．（1）求某同学至少选修1门自然科学课程的概率；（2）已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是，自然科学课程的概率都是，且各门课程通过与否相互独立．用ξ表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A，由对立事件概率计算公式能求出该同学至少选修1门自然科学课程的概率．（2）随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的概率分布列和数学期望．解答：解：（1）记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A，则，…（2分）所以该同学至少选修1门自然科学课程的概率为．…（3分）（2）随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，3．…（4分）因为，，，，…（8分）所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P所以．…（10分）点评：本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，考查数据处理能力．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为 x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线的准线方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）求出函数y=﹣的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点A，进而直线OA的方程，设出直线BC的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出N的坐标，代入所求式子化简即可得到定值2．解答：解：（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为y2=x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0=﹣•（﹣x0）．联立，解得A（16，﹣4），所以直线OA的方程为．设直线BC方程为y=kx﹣2，由，得k2x2﹣（4k+1）x+4=0，所以．由，得．。

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2016-2017学年江苏省苏州市高三(上)期末数学试卷一、填空题（共14小题,每小题5分，满分70分）1．若集合A=｛x｜x＞1｝，B={x｜x＜3｝,则A∩B= ．2．复数z=，其中i是虚数单位，则复数z的虚部是．3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的离心率为．4．用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本,其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是人．5．一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为．6．阅读程序框图,如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是．7．已知实数x，y满足，则z=2x﹣y的最大值是．8．设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，若a2=7，S7=﹣7,则a7的值为．9．在平面直角坐标系xOy中，已知过点M（1，1）的直线l与圆（x+1）2+（y﹣2）2=5相切，且与直线ax+y﹣1=0垂直，则实数a= ．10．在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为．11．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为．12．若2tanα=3tan,则tan（α﹣）= ．13．已知函数f（x)=若关于x的方程｜f（x）｜﹣ax﹣5=0恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a的取值集合为．14．已知A，B，C是半径为l的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O内一点（含圆周）,则的取值范围为．二、解答题（共6小题，满分90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数f（x)=sin2x﹣cos2x．（1）求f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合．（2）设△ABC的内角A,B，C所对的边分别为a，b,c，且c=，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．16．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．求证：（Ⅰ）直线MF∥平面ABCD；（Ⅱ）平面AFC1⊥平面ACC1A1．17．已知椭圆C：=1（a＞b＞0)的离心率为，并且过点P（2，﹣1）（1）求椭圆C的方程；（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行,过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x1，y1)，B（x2,y2），若直线PQ平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．18．某湿地公园内有一条河,现打算建一座桥（如图1)将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图2）如下，其中，点A，E为x轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD是桥的主体，C为桥顶，并且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y=（x∈［﹣2，2]），曲线段AB，DE均为开口向上的抛物线段，且A，E分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔接处(B，D）的切线的斜率相等．（1)曲线段AB在图纸上对应函数的解析式,并写出定义域；（2）车辆从A经B到C爬坡，定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：M=（该点P与桥顶间的水平距离）×(设计图纸上该点P处的切线的斜率）其中M P的单位:米．若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘;②蓄电池动力；③内燃机动力，它们的爬坡能力分别为0。

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知全集{1,0,1,2}U =-，集合{1,2}A =-，则U A =ð ． 【答案】{0,1} 【解析】试题分析：因为全集{1,0,1,2}U =-，所以U A =ð{0,1} 考点：集合补集 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.已知复数z 满足(1i)2z -=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ． 【答案】1考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi3.函数1πcos()26y x =+的最小正周期为 ． 【答案】4π 【解析】试题分析：2412T ππ== 考点：三角函数周期【方法点睛】已知函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min maxmin,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ. 4.右图是一个算法的流程图，则输出x 的值为 ．【答案】23 【解析】考点：循环结构流程图学科网【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5.某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查 活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取 人． 【答案】8（第4题）试题分析：在足球兴趣小组中应抽取40248120⨯= 考点：分层抽样6.若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为 ． 【答案】35【解析】考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7.设实数x ，y 满足0,1,21,x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥ 则32x y +的最大值为 ．【答案】3 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中1111(,),(,),(1,0)2233A B C ，则直线32x y z +=过点C 时取最大值3 考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且23a =，416S =， 则9S 的值为 ． 【答案】81考点：等差数列求和9.将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是 ． 【答案】16π3【解析】试题分析：形成的几何体为两个相同的锥体，体积是2116π22233π⨯⨯⨯⨯= 考点：三棱锥体积学科网【方法点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，1B ，2B 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若21B F AB ⊥，则椭圆C 的离心率是 ．【解析】试题分析：由题意得222211,01b bb ac a c ac e e e e c a-⨯=-⇒=⇒-=⇒-=<<⇒=考点：椭圆离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用（第10题）椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 11.若tan 2tan βα=，且2cos sin 3αβ=，则sin()αβ-的值为 ． 【答案】13- 【解析】试题分析：1tan 2tan sin cos 2sin cos sin cos 3βαβααβαβ=⇒=⇒=，所以sin()αβ-1sin cos sin cos 3αββα=-=-考点：两角差正弦公式12.已知正数a ，b 满足195a b+，则ab 的最小值为 ． 【答案】36 【解析】考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13.已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =，6CD =，则M A M B ⋅的取值范围是 ．【答案】[9,0]- 【解析】试题分析：22216MA MB MO AO MO ⋅=-=-，而222[,][7,16]O CD MO d r -∈=，所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-考点：向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 14.已知函数2()|4||2|f x x a x =-+-，[3,3]x ∈-．若()f x 的最大值是0，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(,5]-∞- 【解析】考点：二次函数最值二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）在ABC △中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan 2B =，tan 3C =． （1）求角A 的大小； （2）若3c =，求b 的长．【答案】（1）π4A =（2）b =【解析】试题分析：（1）由三角形内角关系及诱导公式、两角和正切公式得tan tan[π()]tan()A B C B C =-+=-+tan tan 1tan tan B C B C +=--231123+=-=-⨯，再由三角形内角范围得π4A =（2）已知两角一边，求另一边，应用正弦定理得sin sin c Bb C=，所以先根据同角三角函数关系求对应角正弦值：sin B =，sin C =b =试题解析：（1）因为tan 2B =，tan 3C =，πA B C ++=，所以tan tan[π()]tan()A B C B C =-+=-+…………………………………2分tan tan 1tan tan B CB C +=--231123+=-=-⨯，………………………………4分 又(0,π)A ∈，所以π4A =．……………………………………………………6分考点：正弦定理，两角和正切公式，同角三角函数关系【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 16.（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，点F 在棱1CC 上，且1EF C D ⊥．求证：（1）直线1A E ∥平面1ADC ； （2）直线EF ⊥平面1ADC ．【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】ABCD EA 1B 1C 1 F（第16题）试题解析：（1）连结ED ，因为D ，E 分别为BC ，11B C 的中点， 所以1B E BD ∥且1B E BD =，所以四边形1B BDE 是平行四边形，…………………2分 所以1BB DE ∥且1BB DE =，又11BB AA ∥且11BB AA =， 所以1AA DE ∥且1AA DE =，所以四边形1AA ED 是平行四边形，…………………4分 所以1A E AD ∥，又因为11A E ADC ⊄平面，1AD ADC ⊂平面，所以直线1A E ∥平面1ADC ．…………………………………………………7分 （2）在正三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ， 又AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥，又ABC △是正三角形，且D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥，……………9分 又1,BB BC ⊂平面11B BCC ，1BB BC B =，所以AD ⊥平面11B BCC ，ABCD EA 1B 1C 1 F（第16题）又EF ⊂平面11B BCC ，所以AD EF ⊥，……………………………………11分 又1EF C D ⊥，1,C D AD ⊂平面1ADC ，1C DAD D =，所以直线EF ⊥平面1ADC ．…………………………………………………14分 考点：线面平行判定定理，线面垂直判定与性质定理【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．【答案】（1）0x y -=或40x y --=．（2）2． 【解析】也为圆，所以根据两圆位置关系可得点P 的个数（2）假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=， ………………………………10分因为|22|22-+，……………………………………12分所以圆22(2)4x y -+=与圆22(1)4x y +-=相交，所以点P 的个数为2．…………………………………………………………14分学科网 考点：直线与圆位置关系，圆与圆位置关系【思路点睛】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 18.（本小题满分16分）某城市有一直角梯形绿地ABCD ，其中90ABC BAD ∠=∠=︒，2AD DC ==km ，1BC =km ．现过边界CD 上的点E 处铺设一条直的灌溉水管EF ，将绿地分成面积相等的两部分． （1）如图①，若E 为CD 的中点，F 在边界AB 上，求灌溉水管EF 的长度； （2）如图②，若F 在边界AD 上，求灌溉水管EF 的最短长度．【答案】（1（2【解析】试题解析：（1）因为2AD DC ==，1BC =，90ABC BAD ∠=∠=︒，所以AB =2分 取AB 中点G ，则四边形BCEF 的面积为12EFG ABCD BCEG S S S =+梯形梯△形，即112)22⨯+1313)2222GF =++⨯，解得GF =6分（第18题图②）（第18题图②）所以EF =(km)．故灌溉水管EF 的长度为3km ．……………………8分考点：余弦定理，基本不等式求最值学科网 19.（本小题满分16分）在数列{}n a 中，已知113a =，111233n n n a a ++=-，*n ∈N ，设n S 为{}n a 的前n 项和． （1）求证：数列{3}n n a 是等差数列； （2）求n S ；（3）是否存在正整数p ，q ，r ()p q r <<，使,,p q r S S S 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）详见解析（2）3n n nS =（3）p ，q ，r 的值为1，2，3． 【解析】试题解析：（1）证明：因为111233n n n a a ++=-，所以11332n n n n a a ++-=-，…………………2分 又因为113a =，所以113=1a ⋅， 所以{3}n n a 是首项为1，公差为2-的等差数列． …………………………4分 （2）由（1）知31(1)(2)32n n a n n =+-⋅-=-，所以1(32)()3n n a n =-，………6分所以12311111()(1)()(3)()(32)()3333n n S n =⋅+-⋅+-⋅++-⋅…，所以23+1111111()(1)()(52)()+(32)()33333n n n S n n =⋅+-⋅+⋅⋅⋅+-⋅-⋅ ，两式相减得2312111112[()()()](32)()333333n n n S n +=-++⋯+--⋅1111()11132[](23)()139313n n n -+-=-⨯+-⋅-112()3n n +=⋅， 所以3n n nS =．…………………………………………………………………10分 （3）假设存在正整数p ，q ，r ()p q r <<，使,,p q r S S S 成等差数列，则2q p r S S S =+，即2333q p r q p r =+． 由于当2n ≥时，()132()03n n a n =-<，所以数列{}n S 单调递减．又p q <，所以1p q -≤且q 至少为2，所以1133p q p q --≥， ………………12分1123333q q q q q q ----=．①当3q ≥时，112333p q q p q q --≥≥，又03r r>，所以2333pr q p r q+>，等式不成立．…………………………………………14分 ②当2q =时，1p =，所以41933r r=+，所以139r r =，所以3r =({}n S 单调递减，解唯一确定)．综上可知，p ，q ，r 的值为1，2，3． ………………………………16分考点：等差数列定义，错位相减法求和，不定方程正整数解学科网 【方法点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn ”与“qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn －qSn ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 20.（本小题满分16分）设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求证：1()0f a≤；（3）若函数()f x 有且只有1个零点，求a 的值． 【答案】（1）10x y +-=（2）详见解析（3）1． 【解析】试题解析：（1）当2a =时，2()ln 22f x x x x =-+，则1'()42f x x x=-+，……………2分 所以'(1)1f =-，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=．…………4分 （2）因为111()ln1f a a a=-+，设函数()ln 1g x x x =-+，则11'()1xg x x x-=-=， …………………………………………………6分 令'()0g x =，得1x =，列表如下：所以()g x 的极大值为(1)0g =． 所以111()ln10f a a a=-+≤．………………………………………………8分当01x =时，()(1)0f x f =≤，()f x 有且只有1个零点，1=，解得1a =．…………………………………………12分下证，当01x ≠时，()f x 的零点不唯一．若01x >，则0()(1)0f x f >=1>，即01a <<，则11a >．考点：导数几何意义，利用导数证明不等式，利用导数研究函数零点 【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．附加题[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题．．．．．．．区域内作答．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.A [选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅．【答案】详见解析 【解析】试题分析：证明线段关系，一般利用三角形相似、圆中相交弦定理进行论证：先证,,,A D E F 四点共圆，得BD BE BA BF ⋅=⋅，再根据Rt ABC △∽Rt AEF △，得AB AF AE AC ⋅=⋅，因此(第21－A 题)BE BD AE AC BA BF AB AF ⋅-⋅=⋅-⋅()AB BF AF =⋅-2AB =．考点：四点共圆，三角形相似、相交弦定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．21.B [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）求椭圆22:194x yC +=在矩阵103102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下所得的曲线的方程． 【答案】221x y +=【解析】(第21－A 题)考点：矩阵运算21.C [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为πsin()33ρθ+=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程．60y +-= 【解析】试题分析：根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，将极坐标方程1sin cos 32ρθθ+=化为直角坐标方程60y +-=试题解析：由πsin()33ρθ+=得1sin cos 32ρθθ+=，…………………………………5分 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线C 60y +-=．…………………………………10分 考点：极坐标方程化为直角坐标方程21.D [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设0c >，|1|3cx -<，|1|3cy -<，求证：|23|x y c +-<． 【答案】详见解析 【解析】考点：利用绝对值三角不等式证明不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒， 4AD AP ==，2AB BC ==，M 为PC 的中点．（1）求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；（2）点N 在线段AD 上，且AN λ=，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．【答案】（12）1． 【解析】==所以异面直线AP ，BM 5分 （2）因为AN λ=，所以(0,,0)N λ(04)λ≤≤，则(1,1,2)MN λ=---，(0,2,0)BC =，(2,0,4)PB =-，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,BC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,240.y x z =⎧⎨-=⎩ 令2x =，解得0y =，1z =， 所以(2,0,1)=m 是平面PBC 的一个法向量．……………………………7分因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以||4|cos ,|5||||MN MN MN ⋅〈〉===m m m ， 解得[]10,4λ=∈，所以λ的值为1．……………………………………………………………10分考点：利用空间向量求空间角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.23.（本小题满分10分） 设*n ∈N ，()372n n f n =+-．（1）求(1)f ，(2)f ，(3)f 的值；（2）证明：对任意正整数n ，()f n 是8的倍数．【答案】（1）(1)8f =，(2)56f =，(3)368f =．（2）详见解析【解析】（2）①当1n =时，(1)8f =是8的倍数，命题成立．…………………………4分②假设当n k =时命题成立，即()372k k f k =+-是8的倍数，考点：数学归纳法。

连云港、徐州、宿迁2017届数学三模(含参考答案)S 数学Ⅰ试卷 第2页 （共38页）宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,nx x x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11n ii x x n ==∑.棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 是高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,1,2}A =-，{0,1,2,7}B =，则集合AB中注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。

本S 数学Ⅰ试卷 第3页 （共38页）元素的个数为 ▲ ．2．设a b ∈R ，，1ii 1i a b +=+-（i 为虚数单位），则b 的值为 ▲ ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22143y -=的离心率是 ▲ ．4．现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是 ▲ ．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．6．已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 ▲ ． 7．已知实数x ，y 满足1,3,2,y x x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≤≤≥ 则yx 的取值范围是▲ ．8．若函数π()2sin(2)(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点3)， 开结N k ←输出k k ←k 2－Y （第5题）S 数学Ⅰ试卷 第4页 （共38页）则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是 ▲ ． 9．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}na 中，nS 为{}na 的前n 项和．若121a q=，且522S S =+，则q 的值为 ▲ ．10．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知13AB AA ==，点P 在棱1CC 上，则三棱锥1P ABA -的体积为 ▲ ．ABC PA BC (第10题)y xOA DB C11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数13logay x =，22logay x=和3log ay x=(1a>)的图象上，则实数a的值为▲ ．12．已知对于任意的(,1)(5,)x∈-∞+∞，都有22(2)0x a x a--+>，则实数a的取值范围是▲ ．13．在平面直角坐标系xOy中，圆22:(2)()3C x y m++-=．若圆C存在以G为中点的弦AB，且2AB GO=，则实数m的取值范围是▲ ．14．已知ABC△三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且π3C=，2c=．当AC AB⋅取得最大值时，ba的值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．S 数学Ⅰ试卷第5页（共38页）S 数学Ⅰ试卷 第6页 （共38页）15．（本小题满分14分）如图，在ABC △中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =． （1）求cos B 的值； （2）求CD 的长．AB CD(第15题)16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB EF∥；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF EF⊥．A B CD EFP(第16题)S 数学Ⅰ试卷第7页（共38页）S 数学Ⅰ试卷 第8页 （共38页）17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22143x y C :+=的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．（1）若2QF FP =，求直线l 的方程；（2）设直线AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ．是否存在常数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．ABP QO F x yS 数学Ⅰ试卷 第9页 （共38页）18．（本小题满分16分）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，且12AB AD ≥．设EOF θ∠=，透光区域的面积为S ． （1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域； （2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值 越大越好．当该比值最大时，求边AB的长度．A B C D F E O(第18题) GθS 数学Ⅰ试卷 第10页 （共38页）19．（本小题满分16分）已知两个无穷数列{}na 和{}nb 的前n 项和分别为n S ，n T ，11a =，24S =，对任意的*n N ∈，都有1232n n n nS S S a ++=++．（1）求数列{}na 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，对任意的*n N ∈，都有nnS T >．证明：nna b >；（3）若{}nb 为等比数列，11b a =，22ba =，求满足*2()2n n kn na Ta k bSN +=∈+的n 值．20．（本小题满分16分）已知函数()ln (0)m f x x x m x=+>，()ln 2g x x =-． （1）当1m =时，求函数()f x 的单调增区间； （2）设函数()()()2h x f x xg x =-0x >．若函数(())y h h x =32求m的值；（3）若函数()f x，()g x的定义域都是[1,e]，对于函数()f x的图象上的任意一点A，在函数()g x的图象上都存在一点B，使得，其中e是自然对数的底数，O为OA OB坐标原点．求m的取值范围．宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）。

苏北四市2018届高三一模数学试卷2.圆锥的侧面积公式：12S cl =，其中c 是圆锥底面的周长，l 是母线长． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B = ▲ ．2．已知复数2iz +=（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ． 3．函数y 的定义域为 ▲ ．4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为 ▲ ．5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ．（第5题） （第17题） 012While 62End While Pr int a b I I a a b b a b I I b ←←← ←+ ←+ ←+ …（第4题）8．已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是 ▲ 3cm ．9．若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为 ▲ ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线:C xy =P到直线:0l x +=的距离的最小值为 ▲ ．11．已知等差数列{}n a 满足13579+10a a a a a +++=，228236a a -=，则11a 的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ▲ ．13．已知函数2211()(1)1x x f x x x ⎧-+ ⎪=⎨- > ⎪⎩，≤，，，函数()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为 ▲ ．14．如图，在ABC △中，已知32120AB AC BAC = = ∠=︒，，，D 为边BC 的中点．若CE AD ⊥，垂足为E ，则EB ·EC 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 5A =,1tan()3B A -=. ⑴求tan B 的值；⑵若13c =，求ABC △的面积.16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=，1=AB AA ，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点.求证：⑴//MN 平面11ABB A ；⑵1AN A B ⊥.B （第14题） ADC E （第16题）1A 1B NM1C CBA17．(本小题满分14分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2．已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO=θ，π02θ<<，圆锥的侧面积为S cm 2．⑴求S 关于θ的函数关系式；⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点. ⑴求椭圆的标准方程；⑵若AF FC =，求BFFD的值；⑶设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k求出m 的值；若不存在，请说明理由.图1 图2 （第17题）19．(本小题满分16分)已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a =++ =-∈R ，． ⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；⑵若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n …，n *∈N ，λ，μ∈R .⑴若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求λ，μ的值； ⑶若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅A C D E F(第21－A 题)O .B ．[选修：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵1001⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，若矩阵=M BA ，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．C ．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:12x t l y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系．D ．[选修：不等式选讲]（本小题满分10分）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115a b c d a b c d +++++++…．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，12AA =，E ，F ，G 分别是1AA ，AC 和11A C 的中点．以{,,}FA FB FG 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -．⑴求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值；⑵求二面角1F BC C --的余弦值．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线2:4C y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ．⑴求曲线E 的方程；⑵若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．{1,0,1}- 2．1 3．(0,1] 4．13 5．750 6．2 7．598．54 9．4 1011．11 12．1] 13．[2,2]- 14．277-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）在ABC △中，由3cos 5A =，得A为锐角，所以4sin 5A =， 所以sin 4tan cos 3A A A ==，………………………………………………………………2分 所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A-+=-+=--⋅. ………………………………4分1433314133+==-⨯ …………………………………………………………6分 （2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以sin B B =， ………………………………………………8分由sin sin()sin cos cos sin 50C A B A B A B =+=+=，…………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C ==，………………………12分 所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. …………………………14分16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结1,.PM PB因为,M P 分别是,AB AC 的中点，所以//,PM BC 且1.2PM BC =在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =， 又因为N 是11B C 的中点，所以1//,PM B N 且1PM B N =. …………………………………………2分 所以四边形1PMNB 是平行四边形，所以1//MN PB ， ………………………………………………………………4分 而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，所以//MN 平面11ABB A . ……………………………………………………6分 （2）证明：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ， 又因为1BB ⊂面11ABB A ，所以面11ABB A ⊥面111A B C ， …………………8分 又因为90ABC ∠=，所以1111B C B A ⊥， 面11ABB A 面11111=A B C B A ，11111B C A B C ⊂平面，所以11B C ⊥面11ABB A ， ………………………10分 又因为1A B ⊂面11ABB A ， 所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥，连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ， 所以11AB A B ⊥， 又因为111=NB AB B ，且1AB ，1NB ⊂面1AB N ，所以1A B ⊥面1AB N ，……………………………………………………………………12分 而AN ⊂面1AB N ，所以1A B AN ⊥.……………………………………………………………………………14分 17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==， …………………………………………………………2分在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，…………………………………………………………4分所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅2400sin cos θθ=π，(0)2πθ<<……………………6分（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-…………8分设3(),(01)f x x x x =-<< 则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：x当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '< 所以()f x在区间3上单调递增，在区间(3上单调递减，所以()f x在x =时取得极大值，也是最大值；所以当sin 3θ=时，侧面积S 取得最大值，…………………………11分此时等腰三角形的腰长20cos AB θ====（第16题）1A 1B NM1C CB AP答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB．…………14分 18．（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……………2分解之得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆方程为：22143x y += ……………………………4分（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2A ，所以3(1,)2 B --，此时直线BF 方程为3430x y --=， ……………………………………………6分由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分故1(1)713317BF FD --==-．…………………………………………………………………10分（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 2220000(156)815240x x y x x ---+=， 因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，…………………12分又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--， 同理，D 点坐标为0085(52x x ++，3)52y x +， ……………………………………………14分 所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =． ………………………………………………………16分19．（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，所以1(21)(1)()21x x h x x x x -+'=+-=………………………………………………2分 所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增，所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值；…………………4分 （2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==- ……………………………………6分 所以12122ax x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得： 222221ln 20(*)424a a x a x x -++--= ………………………………………………8分 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++= 不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '> 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，……………10分 代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立， 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, ……………12分又当2a x e+=时222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++--2211()04a a e+=-≥ ……………………………………14分 因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．又由12y x x =-得：2120y x'=--<所以12(0,1)y x x=-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞， 所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．…………………………………………………16分 20．（1）证明：若=0,4 =λμ，则当14n n S a -=(2n ≥),所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-， 即1122(2)n n n n a a a a +--=-，所以12n n b b -=， ……………………………………………………………2分 又由12a =，1214a a a +=，得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠，所以12n n bb -=，故数列{}n b 是等比数列．……………………………………………………………4分 （2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠ ），当2n =时，2212S a a =+λμ，即12212a a a a +=+λμ，得12q q +=+λμ， ① 当3n =时，3323S a a =+λμ，即123323a a a a a ++=+λμ，得 2213q q q q ++=+λμ， ② 当4n =时，4434S a a =+λμ，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得 233214+q q q q q ++=+λμ， ③ ②-①⨯q ，得21q =λ ，③-②⨯q ，得31q =λ ， 解得1,1 q ==λ．代入①式，得0=μ．…………………………………………………………………8分 此时n n S na =(2n ≥)，所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列， 故10 ==，λμ． ……………………………………………………………………10分 （3）证明：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ， 又32+=λμ，解得112==，λμ．…………………………………………………12分 由12a =，23a =，12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----= 所以21(1)20n n n na n a a ++---=相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-， ……………………………………14分 因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………16分数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准21．A ．证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ， 所以AB AC AE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． …………10分B ．因为411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………5分 所以13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………10分 C .把直线方程12:12x t l y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=． ……………………………3分 将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22220x x y y ++-=，即22(1)(1)2x y ++-=． ………………………………………………………………6分圆心C 到直线l的距离d = 所以直线l 与圆C 相切.…………………………………………………………………10分D ．证明：因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2≥ 2()1a b c d =+++=， …………………………………………5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=， 所以2222111115a b c d a b c d +++≥++++．…………………………………………10分 22．（1）因为11,2AB AA ==，则111(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(,0,1)222F A C B E -， 所以(1,0,0)=-AC，1(,22=BE ， ………………………………………2分 记直线AC 和BE 所成角为α，则11cos |cos ,||4α-⨯=<>==AC BE ，所以直线AC 和BE． ………………………………………4分 （2）设平面1BFC 的法向量为111(,,)x y z =m ， 因为(0,FB =，11(,0,2)2FC =-， 则1111301202FB y FC x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩m m ，取14x =得：(4,0,1)=m ……………………………6分 设平面1BCC 的一个法向量为222(,,)x y z =n ， 因为1(2CB =，1(0,0,2)CC =， 则221210220CB x y CC z ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩n n ，取2x =1,0)=-n ………………………8分cos ,∴<=m n 根据图形可知二面角1F BC C --为锐二面角，所以二面角1F BC C -- ……………………………………10分 23．（1）因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为(1,0)，设(,)M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为n，点P 2(,2)n n ，则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即22(1)(1)0n x y n ---=，………………………2分n =，又,0m n ≠， 所以22211m n n --=+，即210n m -+=， 所以E 的方程为2=1y x -(0)y ≠ ………………………………………………4分（2）设2(1,)+Q t t ， 1(0,)A y ，2(0,)B y ， 由（1）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0>t ， 由'y ，所以121AQ t y k t -==+，221BQ t y k t -==-+ 所以1122=-t y t，3223=+y t t ， ……………………………………………………6分 所以33151|23|2(0)2222t AB t t t t t t t =+-+=++>．……………………………………8分令351()222f t t t t=++，0t >， 则42222511251()6222t t f t t t t +-'=+-=，由()0f t '>得t >，由()0f t '<得0t <<，所以()f t 在区间单调递减，在)+∞单调递增，所以当t 时，()f t 取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值此时21s t =+=．……………………………………………………………10分。

江苏省苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三数学第三次模拟考试试题（含解析）参考公式：样本数据的方差，其中.棱锥的体积，其中是棱锥的底面积，是高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合，，则集合中元素的个数为____．【答案】【解析】由于，所以集合中元素的个数为5.【点睛】根据集合的交、并、补定义：，，，求出，可得集合中元素的个数.2. 设，（为虚数单位），则的值为____．【答案】1【解析】由于，有，得.3. 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率是____．【答案】【解析】4. 现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是____．【答案】【解析】把这三张卡片排序有“中”“国”“梦”，“中”“梦”“国”，“国”“中”“梦”；“国”“梦”“中”“梦”“中”“国”；“梦”“国”“中”；共计6种，能组成“中国梦” 的只有1种，概率为.【点睛】本题为古典概型，三个字排列可采用列举法，把所有情况按顺序一、一列举出来，写出基本事件种数，再找出符合要求的基本事件种数，再利用概率公式，求出概率值.5. 如图是一个算法的流程图，则输出的的值为____．【答案】【解析】试题分析：由得，再由题意知.考点：算法流程图的识读和理解．6. 已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是____．【答案】(或)【解析】7. 已知实数，满足则的取值范围是____．【答案】(或)【解析】本题为线性规划，画出一元二次不等式组所表示的可行域，目标函数为斜率型目标函数，表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，得出最优解为，则的取值范围是【点睛】线性规划问题为高考热点问题，线性规划考查方法有两种，一为直接考查，目标函数有截距型、斜率型、距离型（两点间距离和点到直线距离）等，二为线性规划的逆向思维型，给出最优解或最优解的个数反求参数的范围或参数的值.8. 若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是____．【答案】(或)【解析】函数的图象过点，则，，，.,,,有于在为减函数，所以，解得.9. 在公比为且各项均为正数的等比数列中，为的前项和．若，且，则的值为____．【答案】【解析】 , ,,.10. 如图，在正三棱柱中，已知，点在棱上，则三棱锥的体积为____．【答案】【解析】由已知，由于平面，所以【点睛】求三棱锥的体积要注意利用体积转化，以方便计算.体积转化方法有平行转化法、比例转化法、对称转化法.用上述方法交换顶点的位置，此外还经常利用底面的关系交换底面，利用图形特点灵活转化，达到看图清楚，计算简单的目的.11. 如图，已知正方形的边长为，平行于轴，顶点，和分别在函数，和()的图象上，则实数的值为____．【答案】【解析】由于顶点，和分别在函数，和()的图象上，设，由于平行于轴，则，有，解得，又，则.【点睛】由于正方形三个顶点在对数函数图像上，且平行于轴，则轴，因此可以巧设出三点的坐标，利用两点纵坐标相等，横坐标之差的绝对值为边长2，以及两点横坐标相等，纵坐标之差的绝对值为边长2，解答出本题.12. 已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是____．【答案】(或)【解析】利用一元二次方程根的分布去解决，设，当时，即时，对恒成立；当时，，不合题意；当时，符合题意；当时，，即，即：综上所述：实数的取值范围是.【点睛】有关一元二次方程的根的分布问题，要结合一元二次方程和二次函数的图象去作，要求函数值在某区间为正，需要分别对判别式大于零、等于零和小于零进行分类研究，注意控制判别式、对称轴及特殊点的函数值的大小，列不等式组解题.13. 在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是____．【答案】(或)【解析】由于圆存在以为中点的弦，且，所以,如图，过点作圆的两条切线，切点分别为，圆上要存在满足题意的点，只需，即，连接，，由于，，，解得.【点睛】已知圆的圆心在直线上，半径为，若圆存在以为中点的弦，且，说明，就是说圆上存在两点，使得.过点作圆的两条切线，切点分别为，圆上要存在满足题意的点，只需，即，则只需，列出不等式解出的范围.14. 已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，．当取得最大值时，的值为____．【答案】【解析】设的外接圆半径为，则 .,,.,，则当，即：时，取得最大值为，此时中，.【点睛】已知三角形的一边及其所对的角，可以求出三角形外接圆的半径，利于应用正弦定理“边化角”“角化边”，也利于应用余弦定理. 具备这样的条件时要灵活选择解题路线，本题采用先“边化角”后减元的策略，化为关于角的三角函数式，根据角的范围研究三角函数的最值，从角的角度去求最值，由于答案更加准确，所以成为一种通法，被更多的人采用.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15. 如图，在中，已知点在边上，，，，．（1）求的值；（2）求的长．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：根据平方关系由求出，利用求出，根据三角形内角和关系利用和角公式求出，利用正弦定理求出，根据，计算，最后利用余弦定理求出.试题解析：（1）在中，，，所以．同理可得，．所以．（2）在中，由正弦定理得，．又，所以．在中，由余弦定理得，．【点睛】凑角求值是高考常见题型，凑角求知要“先备料”后代入求值，第二步利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，要灵活使用正、余弦定理，有时还要用到面积公式，注意边角互化.16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上(异于点，)，平面与棱交于点．（1）求证：；（2）若平面平面，求证：．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：利用线面平行的判定定理由，说明平面，再由线面平行的性质定理，说明线线平行；由面面垂直的性质定理，平面内一条直线垂直交线，说明线面垂直，利用线面垂直的判定定理说明线面垂直.（1）因为是矩形，所以．又因为平面，平面，所以平面．又因为平面，平面平面，所以．（2）因为是矩形，所以．又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由（1）知，所以．【点睛】证明垂直问题时，从线线垂直入手，进而达到线面垂直，最终证明面面垂直，而面面垂直的性质定理显得更加重要，使用面面垂直的性质定理时，一定要抓住交线，面面垂直性质定理的使用非常重要，要引起重视.17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点(点在轴上方)．（1）若，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，．是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：设直线的方程，联立方程组，利用向量关系找出两交点的纵坐标关系，解方程求出直线方程；利用第一步的根与系数关系，借助已知的斜率关系求出的值.试题解析：（1）因为，，所以，所以的坐标为，设，，直线的方程为，代入椭圆方程，得，则，．若，则，解得，故直线的方程为．（2）由（1）知，，，所以，所以，故存在常数，使得．【点睛】求直线方程首先要设出方程，根据题目所提供的坐标关系，求出直线方程中的待定系数，得出直线方程；第二步存在性问题解题思路是首先假设存在，利用所求的，，结合已知条件，得出坐标关系，再把，代入求出符合题意，则存在，否则不存在.18. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(为上切点)，与左右两边相交(，为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，且．设，透光区域的面积为．（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边的长度．【答案】（1）（2）【解析】试题分析: 根据题意表示出所需的线段长度，再分别求三角形和扇形面积，从而表示出总面积，再根据题意要求求出函数的定义域；根据题意表示出“透光比”函数，借助求导，研究函数单调性求出最大值.试题解析:（1）过点作于点，则，所以，．所以，因为，所以，所以定义域为．（2）矩形窗面的面积为．则透光区域与矩形窗面的面积比值为．…10分设，．则，因为，所以，所以，故，所以函数在上单调减．所以当时，有最大值，此时(m)．答：（1）关于的函数关系式为，定义域为；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1m．【点睛】应用问题在高考试题中很常见，也是学生学习的弱点，建立函数模型是关键，本题根据题目所给的条件列出面积关于自变量的函数关系，注意函数的定义域；求函数最值问题方法很多，求导是一种通法.19. 已知两个无穷数列和的前项和分别为，，，，对任意的，都有．（1）求数列的通项公式；（2）若为等差数列，对任意的，都有．证明：；（3）若为等比数列，，，求满足的值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：利用题目提供的方面的关系，借助转化为的关系，证明出满足等差数列定义，利用等差数列通项公式求出，进而得出，成等差数列，写出，根据恒成立，得出和公差的要求，比较的大小可采用比较法；是以为首项，为公比的等比数列，求出和，根据题意求出的值.试题解析：（1）由，得，即，所以．由，，可知．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．故的通项公式为．（2）证法一：设数列的公差为，则，由（1）知，．因为，所以，即恒成立，所以即又由，得，所以．所以，得证．证法二：设的公差为，假设存在自然数，使得，则，即，因为，所以．所以，因为，所以存在，当时，恒成立．这与“对任意的，都有”矛盾！所以，得证．（3）由（1）知，．因为为等比数列，且，，所以是以为首项，为公比的等比数列．所以，．则，因为，所以，所以．而，所以，即（*）．当，时，（*）式成立；当时，设，则，所以．故满足条件的的值为和．【点睛】等差数列和等比数列是高考的重点，要掌握等差数列和等比数列的通项公式与前项和公式，另外注意利用这个公式，从到，从到转化.20. 已知函数，．（1）当时，求函数的单调增区间；（2）设函数，．若函数的最小值是，求的值；（3）若函数，的定义域都是，对于函数的图象上的任意一点，在函数的图象上都存在一点，使得，其中是自然对数的底数，为坐标原点．求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：求函数的单调区间可利用求导完成，求函数的最值可通过求导研究函数的单调性求出极值，并与区间端点函数值比较得出最值；解决问题，先求出斜率的取值范围，根据垂直关系得出斜率的取值范围，转化为恒成立问题，借助恒成立思想解题.试题解析：（1）当时，，．因为在上单调增，且，所以当时，；当时，．所以函数的单调增区间是．（2），则，令得，当时，，函数在上单调减；当时，，函数在上单调增．所以．①当，即时，函数的最小值，即，解得或（舍），所以；②当，即时，函数的最小值，解得（舍）．综上所述，的值为．（3）由题意知，，．考虑函数，因为在上恒成立，所以函数在上单调增，故．所以，即在上恒成立，即在上恒成立．设，则在上恒成立，所以在上单调减，所以．设，则在上恒成立，所以在上单调增，所以．综上所述，的取值范围为．【点睛】求函数的单调区间、极值和最值是高考常见基础题，求函数的单调区间可利用求导完成，求函数的最值可通过求导研究函数的单调性求出极值，并与区间端点函数值比较得出最值；恒成立为题为高考热点，已经连续命题许多年，必须重视.本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.如图，圆的弦，交于点，且为弧的中点，点在弧上．若，求的度数．【答案】45°【解析】试题分析：同弧或等弧所对的圆周角相等，利用等量代换，借助角与角的关系求出所求的角 .试题解析：连结，．因为为弧的中点，所以．而，所以，即．又因为，所以，故．【点睛】平面几何选讲部分要注意与圆有关的定理，特别是涉及到角的关系的定理，寻求角的相等，边与边的关系，大多利用全等三角形或相似三角形解题.22.已知矩阵，若，求矩阵的特征值．【答案】矩阵的特征值为，．【解析】试题分析: 根据矩阵运算解出，写出矩阵的特征多项式，计算后令，求出特征值.试题解析：因为，所以解得所以．所以矩阵的特征多项式为，令，解得矩阵的特征值为，．【点睛】矩阵为选修内容，根据矩阵运算解出，写出矩阵的特征多项式，计算后令，求出特征值.23.在极坐标系中，已知点，点在直线上．当线段最短时，求点的极坐标．【答案】点的极坐标为．【解析】试题分析：利用极坐标与直角坐标互化公式，把化为直角坐标，再把的方程化为直角坐标方程，要使最短，过点作直线的垂线，垂足为，写出垂线方程，解方程组求出交点坐标，再化为极坐标.试题解析：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为．最短时，点为直线与直线的交点，解得所以点的直角坐标为．所以点的极坐标为．【点睛】极坐标为选修内容，掌握极坐标与直角坐标互化公式，掌握点和方程的互化，结合解析几何知识解题.24. 已知，，为正实数，且．求证：．【答案】详见解析【解析】试题分析：根据实施等转不等，得出，再根据三个正数的算术平均数不小于几何平均数，证明出结论.试题解析：因为，所以，所以，当且仅当时，取“”．【点睛】不等式选讲为选修内容，注意利用均值不等式、柯西不等式、排序不等式进行证明，另外注意选用证明方法，如综合法、分析法、反证法，与正整数有关的命题有时还采用数学归纳法.【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25. 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．【答案】（1）曲线的方程为．（2）详见解析试题解析：（1）因为直线与垂直，所以为点到直线的距离．连结，因为为线段的中垂线与直线的交点，所以．所以点的轨迹是抛物线．焦点为，准线为．所以曲线的方程为．（2）由题意，过点的切线斜率存在，设切线方程为，联立得，所以，即（*），因为，所以方程（*）存在两个不等实根，设为，因为，所以，为定值．【点睛】求动点轨迹方程是常见考题，常用方法有直接法、坐标相关法，定义法、交轨法、参数法等，定点、定值问题常出现在考题的第二步，一般采用设而不求的解题思想.26. 已知集合，对于集合的两个非空子集，，若，则称为集合的一组“互斥子集”．记集合的所有“互斥子集”的组数为(视与为同一组“互斥子集”)．（1）写出，，的值；（2）求．【答案】（1），，．（2）．【解析】试题分析：分别对三种情况研究集合的非空子集，并找出交集为空集的子集对数，得出，任意一个元素只能在集合，，之一中，则这个元素在集合，，中，共有种；减去为空集的种数和为空集的种数加1，又与为同一组“互斥子集”，得出.试题解析：（1），，．（2）解法一：设集合中有k个元素，．则与集合互斥的非空子集有个．于是．因为，，所以．解法二：任意一个元素只能在集合，，之一中，则这个元素在集合，，中，共有种；其中为空集的种数为，为空集的种数为，所以，均为非空子集的种数为，又与为同一组“互斥子集”，所以．【点睛】本题为自定义信息题，这是近几年一些省市高考压轴题，首先要读懂新定义的概念的含义，从简单的情况入手去研究，如本题先从入手，，其非空子集有三个，满足的有一对，则，继续探讨，推广到.。

专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b2)2)，当且仅当a＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 .【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴32log 7log a a b b +=，解得1log 2a b =或log 3a b =，∵1＞＞b a ∴1log 2a b =，即2a b =．2111111a ab a +=-++--13≥=． 练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且，则的最小值为 ．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么==（x －y ）+≥2=4，当且仅当（x －y ）=，即x=+1，y=－1时等号成立，故的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ．3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab +-+的最小值为 . 【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为 ．解析：由于4x 4x ＋y ＋y x ＋y =))(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++=22225484y xy x yxy x ++++ =1+22543y xy x xy ++=1+345x y y x ⋅++≤1+5423+⋅xy y x =43，当且仅当4y x =xy，即y=2x 时等号成立． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 解析：由,a b R +∈,得223(),()4()1202a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥,解得6a b +≥(当且仅当a b =且3ab a b =++,即3a b ==时,取等号).变式：1.若,a b R +∈,且满足22a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.解析：因为,a b R +∈,所以由22222()2a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥,2()a b +-2()0a b +≤,解得02a b <+≤(当且仅当a b =且22a b a b +=+,即1a b ==时,取等号).2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 43.设R y x ∈,，1422=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________10524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数a ，b 满足195a b+=，则ab 的最小值为 【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数y x ,满足111=+yx ，则1914-+-y yx x 的最小值为 . 解析：对于正数x ，y ，由于x 1+y 1=1，则知x>1，y>1，那么14-x x +14-y y =（14-x x +14-y y ）（1+1－x 1－y 1）=（14-x x +14-y y ）（xx 1-+y y 1-）≥（x x x x 114-⋅-+yy y y 114-⋅-）2=25，当且仅当14-x x ·y y 1-=14-y y ·xx 1-时等号成立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数满足，则的最小值为 ．解析：，当且仅当时，取等号．故答案为：9．3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数(0)xy a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么14-a +b 1=21（a －1+b ）（14-a +b 1）=21（4+b a 1-+14-a b +1）≥21（2141-⋅-a b b a +5）=29，当且仅当b a 1-=14-a b 时等号成立． 4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线 与直线 互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有=，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·=（2a+3b ）（+）=++13≥2+13=25，当且仅当=，即a=b 时等号成立．5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，a x ＋2b y ＝12.若x ＋2y 的最小值为64，则a b＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用).6.已知正实数,a b 满足()()12122a b b b a a +=++，则ab 的最大值为 ．答案：【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ．解析：由14ab =得14a b = ，2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+- 令71b t -=则22714949111418451427183427b t b b t t t t-+=+=-≥+-+--+-+-当且仅当2t =即214等号成立．练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是 ．解析：由x 2＋2xy －1＝0可得y=212x x -，那么x 2＋y 2= x 2＋222(1)4x x -=54x 2+214x －12≥21212，当且仅当54x 2=214x ，即x 4=15时等号成立．2．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为 ． 解析：∵正实数x ，y 满足xy+2x+y=4，∴（0＜x ＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ．解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴1116++=y x ，∴x+y=()8116121116=+⋅+≥+++y y y y ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得214-+b a 取得最小值的实数a = 。

江苏省苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三数学上学期期末联考试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1、已知集合{}{}2,0,2,3A B =-=-，则AB = ．2、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ．3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个 分数的方差为 ．4、根据如图所示的伪代码，则输出S 的值为 ．5、从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率 为 ．6、若抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则实数a 的值为 ．7、已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为 ． 8、若函数()sin()(0)6f x x πωπω=->的最小正周期为15，则1()3f 的值为 ． 3 4 4 2 4 6 5 2 8 0S ←1I ←While 5I ≤1I I ←+S S I ←+End WhliePrint S9、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若223323,23S a S a =+=+，则公比q 的值为 ．10、已知函数()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()23xf x =-，则不等式()5f x -≤ 的解集为 ．11、若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ． 12、已知非零向量,a b 满足a b a b ==+，则a 与2a b -夹角的余弦值为 ．13、已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点，3AB =P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，则PA PB +的取值范围为 ．14、已知函数32sin ,1()925,1x x f x x x x a x <⎧=⎨-++⎩≥，若函数()f x 的图象与直线y x =有三 个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）15、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2cos (cos cos )A b C c B a +=． （1）求角A 的值； （2）若3cos 5B =，求sin()BC -的值．16、如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA EB ⊥，点,M N 分别是,AE CD 的中点．求证：（1）直线MN ∥平面EBC ；（2）直线EA ⊥平面EBC ．17、如图，已知,A B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖中小岛的B 处，点C 在A 的正西方向1km 处，3tan ,44BAN BCN π∠=∠=．现计划铺设一条电缆联通,A B 两镇，有 两种铺设方案：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地 下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km 、 4万元∕km ．（1）求,A B 两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？18、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为62． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N ．（ⅰ）当直线的PA 斜率为12时，求FMN ∆的外接圆的方程； （ⅱ）设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求APQ ∆的面积的最大值．19、已知函数2(),()ln ,2R x f x ax g x x ax a e=-=-∈． （1）解关于()R x x ∈的不等式()0f x ≤； （2）证明：()()f x g x ≥；（3）是否存在常数,a b ，使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立？若存在，求 出,a b 的值；若不存在，请说明理由．20、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,(1)(1)6()n n n a a a a S n +=++=+，*∈N n ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对于N n *∀∈ ，都有(31)n S n n +≤成立，求实数a 取值范围；（3）当2a =时，将数列{}n a 中的部分项按原来的顺序构成数列{}n b ，且12b a =，证明： 存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n b ．苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试数学II(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.【选修4-1:几何证明选讲】（本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，D 为弧BC 的中点，E 为BC 的中点， 求证：AB ·BC=2AD ·BD ． B ．【选修4-2:矩阵与变换】（本小题满分10分） 已知矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a =，求实数a ，b 的值.C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线 l ：2ρsin （θ一4π）=m （m ∈R ），圆C 的参数方程为（t 为参数）．当圆心C 到直线l 的距离为2时，求m 的值。