2-1质点和质点系的动量定理 动量守恒定律

质点系的动量定理和动量守恒定律
动量定理和动量守恒定律是力学学科中最重要的定律，其定义了显式或隐式的实体响应，有助于我们对物体性质，如形状及运动特性的深入理解。

在物理学中，力学在研究质点系统中被广泛应用，而动量定理与动量守恒定律可以被认为是这一课程的基本元素。

动量定理是从第一定律出发，它引申出了物体的动量保持不变的现象，是物体的运动规律的基本思想。

物体的动量（动量）是指物体的质量和其在空间的运动量的乘积。

具体而言，动量定理指的是物体的外力（外力）与其总变化率的乘积（变化数）之和等于0。

此外，动量守恒定律要求一个物体动量的变化率等于该物体所受的外力之和。

物体运动过程中，动量守恒定律比动量定理更容易证明。

动量定理和动量守恒定律在物理学研究中起着重要作用，并且在研究质点系统中被广泛应用。

它们不仅有助于研究物体的运动特性，而且能够为有关力学问题提供有用的信息，使得我们能够更深入地理解物体的性质。

它们的应用可以追溯到古代物理学家如亚里士多德，而今天也是物理学中研究质点系统不可或缺的重要元素。

③
在碰撞、打击、 在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的 过程中， 过程中，由于系统内部相互作用力远大于合 外力，往往可忽略外力， 外力，往往可忽略外力，系统动量守恒近似 成立。 成立。 定律中的速度应是对同一惯性系的速度， 定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动 量和应是同一时刻的动量之和。 量和应是同一时刻的动量之和。
dp ′= = − ρ ′v′2 − ρ v 2 F dt
F 为墙壁给予水柱的作用力
若水流碰到墙壁不再弹回 则 若水流完全反射 因而
v′ = 0
F = ρv
2
′v′2 = ρ v 2 ρ
F = 2ρ v
2
实际的情况介于这两个极 端情况之间。 端情况之间。工业上的水力采 煤技术就是基于这个原理。 煤技术就是基于这个原理。
讨论 ①
应用动量守恒定律要注意以下几点： 应用动量守恒定律要注意以下几点： 要注意以下几点
r r d ∑ pi = ∑ Fi dt
将上式写成分量式，其中 方向的分量式为： 将上式写成分量式，其中x 方向的分量式为： r r d ∑ pix = ∑ Fix dt r 若： ∑ Fix = 0 则有： 则有：
r F1
r f12
m1
r f 21
r F2
m2
对质点1 对质点 对质点2 对质点
∫
t
t0
r r r r ( F1 + f12 )dt = m1v1 − m1v10
∫
t
t0
r r r r ( F2 + f 21 )dt = m2 v 2 − m2 v 20
由牛顿第三定律，内力等大小、反方向） 两式相加 （由牛顿第三定律，内力等大小、反方向）

Fji i
tt 0 F id t＝ p p 0 d P im iv im iv 0 i
j Fij
因为作用时间相同，有：
t
(
t0
F i)d t m ivi m iv0 i
把作用力区分为外力和内力，则： FiFi外Fi内
t
(
t0
F i外 F i内 )d tm iv im iv i0
由于由于内力总是成对出现的，质点系内部作用力
和反作用力有相同的作用时间，作用力冲量与反作
用力冲量之和为零，则有
t
(
t0
F i 外 ) d tm iv im iv 0 iP iP 0 i
令 P m iv i P i 为系统的动量的矢量和，则
t
I ( t0
F i外 )dtPP 0 P
------矢量形式
例题3 煤粉从漏斗中以dm/dt的流速竖直卸落在沿平 直轨道行驶的列车中，列车空载时质量为M0，初速为 v0，求在加载过程中某一时刻t 的速度和加速度。（忽 略摩擦力）如果要使列车速度保持v0，应用多大的力 牵引列车？
I
a/b
(a-bt)dt
a2
/2b
0
由动量定理 Imv00 m a2 2bv0
一维运动用标量表示
二 质点系的动量定理
方法：先对每一个质点应用动量定理，然后求和.
对质点系中第 i 个质点应用动量定理，有：
tt0F idt＝ p p 0dP im ivim iv0i
Fj Fi
将上式对所有质点求和，得：
O 相当于 40kg 重物所受重力! □
t 0.019s
例题2 一颗子弹在枪筒内受合力为F = a – bt ，运行到枪 口刚好 F = 0 ，由枪口射出时速率为 v0 。 求：子弹在枪筒内运行的时间；子弹所受的 冲量；子弹的质量。 （a、b为常数、SI单位质）

第三章 动量守恒和能量守恒定律§1-1质点和质点系的动量定理一、质点的动量定理 1、动量质点的质量m 与其速度v的乘积称为质点的动量，记为P。

（3-1）说明：⑴P是矢量，方向与v相同⑵P是瞬时量 ⑶P 是相对量⑷坐标和动量是描述物体状态的参量2、冲量牛顿第二定律原始形式)(v m dtd F =由此有)(v m d dt F= 积分：122121p p P d dt F p p t t -==⎰⎰（3-2）定义：⎰21t t dt F称为在21t t -时间内力F对质点的冲量。

记为（3-3）说明：⑴I是矢量⑵I是过程量 ⑶I是力对时间的积累效应 ⑷I的分量式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰212121t t z z t t y y t t x x dtF I dt F I dt F I∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-⎰⎰⎰212121)()()(121212t t z z t t y y t t x x dtF t t F dt F t t F dt F t t F （3-4）∴分量式（3—4）可写成⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=)()()(121212t t F I t t F I t t F I z zy y x x （3-5）x F 、y F 、zF 是在21t t -时间内x F 、y F 、z F 平均值。

3、质点的动量定理由上知12p p I -=（3-6）结论：质点所受合力的冲量=质点动量的增量，称此为质点的动量定理。

说明：⑴I 与12p p-同方向⑵分量式⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=z 1z 2zy 1y 2y x 1x 2x pp I p p I p p I （3-7）⑶过程量可用状态量表示，使问题得到简化 ⑷成立条件：惯性系⑸动量原理对碰撞问题很有用二、质点系的动量定理概念：系统：指一组质点内力：系统内质点间作用力外力：系统外物体对系统内质点作用力设系统含n 个质点，第i 个质点的质量和速度分别为i m 、i v，对于第i 个质点受合内力为内i F ，受合外力为外i F，由牛顿第二定律有dtv m d F F i i i i )(=+内外对上式求和，有∑∑∑∑======+n1i i i n1i i i n1i i n1i i )v m (dtd dt)v m (d F F 内外因为内力是一对一对的作用力与反作用力组成，故0=合内力F， 有Pdtd F =合外力 （3-8）结论：系统受的合外力等于系统动量的变化，这就是质点系的动量定理。