高中数学-打印版
精心校对完整版 课后训练
1．已知a，b，c∈R＋，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )．
A．大于零 B．大于或等于零
C．小于零 D．小于或等于零
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边依次为a，b，c则aAbBcCabc＋＋＋＋__________π3.(填“≥”或“≤”)
3．已知a，b，c都是正数，则abcbccaab＋＋＋＋＋________.
4．设x，y，z∈R＋，求证：2222220zxxyyzxyyzzx－－－＋＋＋＋＋.
5．设a，b，c为某三角形三边长，求证：a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.
6．设a，b，c是正实数，求证：3()abcabcabcabc＋＋.
7．设a，b，c都是正实数，用排序不等式证明：2222abcabcbccaab＋＋＋＋＋＋＋.
8．设a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn为任意两组实数，如果a1≤a2≤…≤an，且b1≤b2≤…≤bn，
求证：
11221212nnnnabababaaabbbnnn＋＋＋＋＋＋＋＋＋当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，等号成立．
设a，b，c∈R＋，求证：222222222222abbccaabcabccabbccaab＋＋＋＋＋＋＋＋＋.
参考答案
1. 答案：B
解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，
根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.
又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，
所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.
所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，
即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.
2. 答案：≥
解析：不妨设a≥b≥c，则有A≥B≥C.由排序不等式可得
第三讲 柯西不等式与排序不等式
3.3 排序不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则a1a1′＋a2a2′＋a3a3′的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：a1≥a2≥a3＞0，则1a3≥1a2≥1a1＞0，
由乱序和不小于反序和知，
所以a1a1′＋a2a2′＋a3a3′≥a1a1＋a2a2＋a3a3＝3，
所以a1a1′＋a2a2′＋a3a3′的最小值为3，故选A.
答案：A
2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )
A．420 元 B．400 元 C．450 元 D．570 元
解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．
答案：A
3．设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N的大小关系是( )
A．M≥N B．M＝N
C．M＜N D．M＞N
解析：不妨设a≥b≥c＞0，
则a4≥b4≥c4，
运用排序不等式有：
a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥ac4＋ba4＋cb4，
又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，
所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，
即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N.
答案：A
4．已知a，b，c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则ab＋bc＋ca的最大值是( )
A．1 B．2
C．3 D.33
解析：设a≥b≥c≥0，所以a ≥b ≥ c.
由排序不等式可得ab＋bc＋ca≤aa＋bb＋cc. 而(aa＋bb＋cc)2≤(aa)2＋(bb)2＋(cc)2](1＋1＋1)＝9，即aa＋bb＋cc≤3.
1 3.3 排序不等式
课堂探究
1．对排序不等式的证明的正确理解
剖析：在排序不等式的证明中，用到了“探究——猜想——检验——证明”的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题，又使用了“一一搭配”这样的描述，这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解．
对于出现的“逐步调整比较法”，则要引起注意，研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时，这种方法对理解相关问题时是比较简单易懂的．
2．排序不等式的思想
剖析：在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序不等式的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序不等式，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．
题型一 构造数组利用排序不等式证明
【例1】设a，b，c都是正数，求证：bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.
分析：不等式的左边，可以分为数组ab，ac，bc和1c，1b，1a，排出顺序后，可利用排序不等式证明．
证明：由题意不妨设a≥b≥c＞0，
由不等式的单调性，知ab≥ac≥bc，1c≥1b≥1a.
由排序不等式，知
ab×1c＋ac×1b＋bc×1a
≥ab×1b＋ac×1a＋bc×1c，
即所证不等式bca＋cab＋abc≥a＋b＋c成立．
反思 要利用排序不等式解答相关问题，必须构造出相应的数组，并且要排列出大小顺序，因此比较出数组中的数之间的大小关系是解答问题的关键和基础.
题型二 需要对不等式中所给字母的大小顺序作出假设的情况
【例2】设a，b，c为正数，求证： 2 a2＋b22c＋b2＋c22a＋c2＋a22b≤a3bc＋b3ca＋c3ab.
分析：解答本题时不妨先设定0＜a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明．
2017年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式课时提升作业（含解析）新人教A版选修4-5
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2017年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式课时提升作业（含解析）新人教A版选修4-5
- 2 - 排序不等式
课时提升作业
一、选择题(每小题4分，共12分）
1.若0〈a1〈a2，0〈b1〈b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是 ( )
A。a1b1+a2b2 B。a1a2+b1b2
C.a1b2+a2b1 D.
【解析】选A.因为0
2.（2016·商丘高二检测）设a1，a2,…，an都是正数，b1,b2,…,bn是a1，a2，…，an的任一排列，则a1+a2+…+an的最小值为 ( ）
A。1 B。n
C.n2 D。无法确定
【解析】选B。因为a1,a2,…,an都是正数,不妨设a1≤a2≤…≤an,则≤≤…≤。
由题意及排序不等式知,反序和最小,所以a1+a2+…+an≥a1·+a2·+…+an·=n,
