基于运动轨迹误差最小化的平面四杆机构参数优化研究
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第１期２０１９年１月组合机床与自动化加工技术
ＭｏｄｕｌａｒＭａｃｈｉｎｅＴｏｏｌ＆ＡｕｔｏｍａｔｉｃＭａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇＴｅｃｈｎｉｑｕｅ
Ｎｏ.１
Ｊａｎ.２０１９
文章编号:１００１－２２６５(２０１９)０１－００７５－０４ ＤＯＩ:１０.１３４６２/ｊ.ｃｎｋｉ.ｍｍｔａｍｔ.２０１９.０１.０２１
收稿日期:２０１７－０６－２８ꎻ修回日期:２０１７－０７－２８ ∗基金项目:湖北省教育厅科研计划项目(Ｂ２０１６４３６)
作者简介:杨帆(１９７６—)ꎬ男ꎬ武汉人ꎬ武汉科技大学城市学院讲师ꎬ硕士ꎬ研究方向为机械设计理论及机械系统动力学ꎬ(Ｅ－ｍａｉｌ)１９７０ｙａｎｇｆａｎ＠ｓｉｎａ.ｃｏｍꎮ
基于运动轨迹误差最小化的平面四杆机构参数优化研究∗
杨 帆ꎬ周丽红(武汉科技大学城市学院ꎬ武汉 ４３００８３)
摘要:针对平面四杆机构理论运动轨迹与实际运动轨迹存在误差较大问题ꎬ引用了改进粒子群算法对四杆机构几何参数进行优化ꎮ建立四杆机构平面坐标系ꎬ推导四杆机构横向和纵向运动轨迹点的方程式ꎮ确定四杆机构的设计变量ꎬ构造运动轨迹点的优化误差函数ꎬ并且对运动条件进行约束ꎮ采用改进粒子群算法优化四杆机构几何参数ꎬ将优化结果输入到Ｍａｔｌａｂ软件中进行运动轨迹误差仿真ꎬ并且与优化前仿真结果进行比较和分析ꎮ仿真曲线显示ꎬ优化前ꎬ四杆机构运动轨迹产生的横向和纵向误差最大值分别为１.０×１０－３ｍ和０.９×１０－３ｍꎻ优化后ꎬ四杆机构运动轨迹产生的
横向和纵向误差最大值分别为０.７×１０－３ｍ和０.５×１０－３ｍꎬ优化后的横向和纵向最大相对误差分
别降低了３０.０％和４４.４％ꎮ采用粒子群算法优化平面四杆机构几何参数ꎬ四杆机构运动轨迹更加精确ꎮ关键词:四杆机构ꎻ运动轨迹ꎻ改进粒子群算法ꎻ误差仿真中图分类号:ＴＨ１６１ꎻＴＧ６５９ 文献标识码:Ａ
ＲｅｓｅａｒｃｈｏｎＰａｒａｍｅｔｅｒＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｏｆＰｌａｎａｒＦｏｕｒ￣ｂａｒＭｅｃｈａｎｉｓｍＢａｓｅｄｏｎｔｈｅＭｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎｏｆＭｏｔｉｏｎＴｒａｊｅｃｔｏｒｙＥｒｒｏｒＹＡＮＧＦａｎꎬＺＨＯＵＬｉ￣ｈｏｎｇ(ＣｉｔｙＣｏｌｌｅｇｅꎬＷｕｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙꎬＷｕｈａｎ４３００８３ꎬＣｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ａｉｍｉｎｇａｔｔｈｅｅｒｒｏｒｏｆｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｔｒａｊｅｃｔｏｒｙａｎｄｔｈｅａｃｔｕａｌｍｏｔｉｏｎｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｏｆｔｈｅｐｌａｎｅｆｏｕｒ￣ｂａｒｍｅｃｈａｎｉｓｍꎬｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｄｐａｒｔｉｃｌｅｓｗａｒｍａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｕｓｅｄｔｏｏｐｔｉｍｉｚｅｔｈｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆｔｈｅｆｏｕｒ￣ｂａｒｍｅｃｈａｎｉｓｍ.Ｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｈｏｒｉｚｏｎｔａｌａｎｄｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌｔｒａｊｅｃｔｏｒｉｅｓｏｆｔｈｅｆｏｕｒ￣ｂａｒｍｅｃｈａｎｉｓｍｉｓｄｅｒｉｖｅｄｆｒｏｍｔｈｅｆｏｕｒｐｏｌｅｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍ.Ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｔｈｅｄｅｓｉｇｎｖａｒｉａｂｌｅｏｆｔｈｅｆｏｕｒ￣ｂａｒｍｅｃｈａｎｉｓｍꎬｃｏｎｓｔｒｕｃｔｔｈｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｅｒｒｏｒｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｐｏｉｎｔꎬａｎｄｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｈｅｍｏｖｉｎｇｃｏｎ￣ｄｉｔｉｏｎｓ.Ｗｉｔｈｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｄｐａｒｔｉｃｌｅｓｗａｒｍａｌｇｏｒｉｔｈｍｔｏｏｐｔｉｍｉｚｅｔｈｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆｆｏｕｒｂａｒｌｉｎｋ￣ａｇｅꎬｔｈｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｉｎｔｏｔｈｅｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｅｒｒｏｒｏｆｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｉｎＭａｔｌａｂｓｏｆｔｗａｒｅꎬａｎｄｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｂｅｆｏｒｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓａｎｄａｎａｌｙｓｉｓ.Ｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｃｕｒｖｅｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅｈｏｒｉｚｏｎｔａｌａｎｄｌｏｎ￣ｇｉｔｕｄｉｎａｌｅｒｒｏｒｓｏｆｔｈｅｆｏｕｒ￣ｂａｒｍｅｃｈａｎｉｓｍｍｏｖｅｍｅｎｔａｒｅ１.０×１０－３ｍａｎｄ０.９×１０－３ｍｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙｂｅｆｏｒｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ.Ａｆｔｅｒｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎꎬｔｈｅｈｏｒｉｚｏｎｔａｌａｎｄｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌｅｒｒｏｒｓｏｆｔｈｅｆｏｕｒ￣ｂａｒｍｅｃｈａｎｉｓｍｗｅｒｅ０７×１０－３ｍａｎｄ０.５×１０－３ｍｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙꎬａｎｄｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｒｅｌａｔｉｖｅｅｒｒｏｒｓｏｆｔｈｅｌａｔｅｒａｌａｎｄｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ
ｅｒｒｏｒｓｗｅｒｅｒｅｄｕｃｅｄｂｙ３０.０％ａｎｄ４４.４％ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ.Ｔｈｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆｐｌａｎｅｆｏｕｒ￣ｂａｒｍｅｃｈａｎｉｓｍａｒｅｏｐｔｉｍｉｚｅｄｂｙｐａｒｔｉｃｌｅｓｗａｒｍｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎꎬａｎｄｔｈｅｍｏｔｉｏｎｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｏｆｔｈｅｆｏｕｒ￣ｂａｒｍｅｃｈａ￣ｎｉｓｍｉｓｍｏｒｅａｃｃｕｒａｔｅ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｆｏｕｒ￣ｂａｒｍｅｃｈａｎｉｓｍꎻｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｏｆｍｏｔｉｏｎꎻｉｍｐｒｏｖｅｄｐａｒｔｉｃｌｅｓｗａｒｍｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎꎻｅｒｒｏｒｓｉｍｕ￣ｌａｔｉｏｎ
０ 引言连杆机构是机构学的主要研究对象ꎬ可以实现多种多样的运动ꎬ满足不同运动轨迹和位置的要求[１]ꎮ
连杆机构的杆与杆之间通常采用低副连接ꎬ适合于高
速重载[２]ꎮ连杆机构中最典型的是四杆机构ꎬ四杆机构因结构简单、容易加工和运动可靠等优点ꎬ广泛应用于化工、农业、海洋及航空领域ꎮ但是ꎬ四杆机构运动规律也变得越来越复杂ꎬ运动轨迹产生的误差也随之增大ꎮ因此ꎬ如何降低四杆机构运动轨迹误差ꎬ是当前研究四杆机构急需解决的问题之一ꎮ当前ꎬ研究人员采用多种方法对四杆机构运动轨迹精度展开了研究ꎮ例如:文献[３]采用误差函数法研究了四杆机构运动轨迹的位置精度ꎮ针对四杆机构提出了修正距离误差函数ꎬ通过Ｍａｔｌａｂ软件对轨迹误差进行了仿真ꎬ提高了运动轨迹精度ꎬ但是研究的等价因数不够全面ꎬ不具有代表性ꎮ文献[４]采用遗传算法研究了四杆机构运动轨迹所产生的误差ꎬ并且对运动轨迹误差进行了仿真ꎬ提高了运动轨迹精度ꎬ但是遗传算法搜索过程中ꎬ容易陷入局部最优解ꎮ文献[５]采用ＶＣ＋＋研究了平面四杆机构运动轨迹的定位精度ꎬ通过复杂的数学模型和编程语言ꎬ实现了人机交互功能ꎬ操作简单可靠ꎬ提高了四杆机构运动轨迹精度ꎬ但是数学建模比较困难ꎬ还要学习复杂的编程语言程序ꎮ针对以上问题ꎬ本文采用改进粒子群算法研究四杆机构运动轨迹误差ꎬ不仅搜索最优解的速度快ꎬ而且运动精度高ꎮ创建平面四杆机构简图模型ꎬ根据数学几何关系式ꎬ推导运动轨迹点的平面坐标关系式ꎮ确定优化的设计变量参数ꎬ构造优化的误差函数ꎬ并且添加几何约束条件ꎮ采用改进粒子群算法优化四杆机构设计变量ꎬ优化后的四杆机构运动轨迹误差采用Ｍａｔ￣ｌａｂ软件进行仿真ꎬ并且ꎬ与优化前的四杆机构运动轨
迹误差形成对比ꎬ为深入研究四杆机构运动轨迹误差提供了理论依据ꎮ１ 四杆机构平面方程式
四杆机构在平面坐标系中简图及连杆参数如图１所示ꎮ
图１ 四杆机构运动简图在图１中ꎬ(ｘ０
ꎬ
ｙ０
)表示四杆机构机
架端点Ｏ２在平面坐标系中的位置ꎬφ１表示机架旋转的角度ꎬφ２表示输入杆运动的
角度ꎬＧ表示运动轨迹点ꎬｓ１表示机架的长度ꎬｓ２表示输入杆的长度ꎬｓ３表示连接杆的长度ꎬｓ４表示输出杆的长度ꎬｓＧＸ和ｓＧＹ表示运动轨迹点Ｇ的横向与纵向的长度ꎬφ３表示连接杆ｓ３运动的角度ꎮ根据图１可以写出机构各杆所构成的矢量封闭方程式[６]如下所示:ｓ２＋ｓ３－ｓ４－ｓ１＝０(１)
上式采用复数表示如下所示[６]:
ｓ２ｅｉφ２＋ｓ３ｅｉφ３－ｓ４ｅｉφ４－ｓ１ｅｉφ１＝０(２)假设φ１
＝０ꎬ方程式(２)的实部和虚部变换后如下
所示:ｓ２ｃｏｓφ２＋ｓ３ｃｏｓφ３－ｓ４ｃｏｓφ４－ｓ１＝０
ｓ２ｓｉｎφ２＋ｓ３ｓｉｎφ３－ｓ４ｓｉｎφ４＝０{
(３)
公式(３)变换后可以得到:Ｋ１ｃｏｓφ４－Ｋ２ｃｏｓφ２＋Ｋ３＝ｃｏｓφ２－φ４()Ｋ１ｃｏｓφ３＋Ｋ４ｃｏｓφ２＋Ｋ５＝ｃｏｓφ２－φ３(){(４)式中ꎬＫ１＝ｓ１/ｓ２ꎬＫ２＝ｓ１/ｓ４ꎬＫ３＝(ｓ２２－ｓ２３＋ｓ４２＋ｓ２１)/２ｓ２ｓ４ꎬＫ４＝ｓ１/ｓ３ꎬＫ５＝(ｓ４２－ｓ１２－ｓ２２－ｓ３２)/２ｓ２ｓ３ꎮ求解方程式(４)得φ３、φ４如下所示:φ４＝２ｔａｎ－１－Ｂ±Ｂ２－４ＡＣ２Ａ()φ３＝２ｔａｎ－１－Ｅ±Ｅ２－４ＤＦ２Ｄ()ìîíïïïï(５)式中ꎬＡ＝ｃｏｓφ２－Ｋ１－Ｋ２ｃｏｓφ２＋Ｋ３ꎬＢ＝Ｅ＝－２ｓｉｎφ２ꎬＣ＝Ｋ１－(Ｋ２＋１)ｃｏｓφ２＋Ｋ３ꎬＤ＝ｃｏｓφ２－Ｋ１＋Ｋ４ｃｏｓφ２＋Ｋ５ꎬＦ＝Ｋ１＋Ｋ５＋(Ｋ４－１)ｃｏｓφ２ꎮ因此ꎬ运动轨迹点Ｇ在Ｏ￣ＸＹ坐标系中横坐标和纵坐标方程式分别为:ＧＸ＝ＧＸｓｃｏｓφ０－ＧＹｓｓｉｎφ０＋ｘ０ＧＹ＝ＧＸｓｓｉｎφ０＋ＧＹｓｃｏｓφ０＋ｙ０{(６)式中ꎬＧＸｓ＝ｓ２ｃｏｓφ２＋ｓＧＸｃｏｓφ３－ｓＧＹｓｉｎφ３ꎬＧＹｓ＝ｓ２ｓｉｎφ２＋ｓＧＸｓｉｎφ３－ｓＧＹｃｏｓφ３ꎮ２ 误差函数２.１ 参数变量四杆机构在运动过程中ꎬＧ点的运动轨迹主要受以下参数的影响ꎬ分别为ｓ１、ｓ２、ｓ３、ｓ４、ｓＧＸ、ｓＧＹ、ｘ０、ｙ０、φ１和φ２ꎮ因此ꎬ设计变量选择以上１０个参数进行优化ꎬ如下所示:Ｘ＝[ｓ１ꎬｓ２ꎬｓ３ꎬｓ４ꎬｓＧＸꎬｓＧＹꎬｘ０ꎬｙ０ꎬφ１ꎬφｎ２](７)式中ꎬφ２ｎ表示φ２的ｎ等份位置角度ꎮ２.２ 误差函数及约束条件误差函数主要由两个部分构成ꎬ第一部分指的是主要误差函数ꎬ第二部分指的是在约束条件下的惩罚函数项ꎮ采用欧几里得距离的平方和[７]求解第一部分运动轨迹误差ꎬ在Ｏ￣ＸＹ坐标系中ꎬ理论轨迹点Ｇｉｄ可以分解为两个方向ꎬ如下所示:Ｇｉｄ＝[ＧｉＸｄꎻＧｉＹｄ]Ｔ(８)在没有限定的时间内ꎬ四杆机构不同的输入角度φ２ｉ对应于不同的运动轨迹点Ｇｉꎬ实际运动轨迹点Ｇｉ通过输入角φ２ｉ构成的集合如下所示:Ｇｉ＝[ＧｉＸꎻＧｉＹ]Ｔ＝[ＧＸφｉ２()ꎻＧＹφｉ２()]Ｔ(９)因此ꎬ四杆机构运动轨迹点Ｇ的第一部分误差函数[７]如下所示:ｆ＝∑Ｎｉ＝１[ＧｉＸｄ－ＧｉＸ()２＋ＧｉＹｄ－ＧｉＹ()２](１０)式中ꎬＮ表示运动轨迹点的数量ꎮ四杆机构在运动过程中ꎬ必然会受到一些附加条件的约束ꎬ通过设置这些约束条件ꎬ从而推导出第二部分的误差函数ꎮ约束条件主要包括以下几个部分:(１)根据格拉晓夫准则[８]ꎬ四杆机构存在曲柄的条件是至少有一个连杆能够做整周旋转运动ꎬ各个连
