1.给定方程组 x = x x= （*） a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解. b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数.解：a) u(0)= = u (t)= = u(t) 又v(0)= = v (t)= = = v(t) 因此u(t),v(t)分别是给定初值问题的解. b) w(0)= u(0)+ u(0)= + = w (t)= u (t)+ v (t) = + = = = w(t) 因此w(t)是给定方程初值问题的解. 2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题： a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2 b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0 c) x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1 解：a）令x ＝x, x = x , 得 即 又x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： x ＝x(1)＝ 其中x＝. b) 令＝x ＝＝＝则得： 且(0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： = x(0)= , 其中x= . c) 令w ＝x，w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为： 且 即w w(0)= 其中w＝ 3. 试用逐步逼近法求方程组 ＝x x＝ 满足初始条件 x(0)= 的第三次近似解.
习题2.5 2．ydy x xdy ydx 2=- 。 解： 2x ，得： ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+2 2 1 4． xy x y dx dy -= 解：两边同除以x ，得 x y x y dx dy - =1 令u x y = 则dx du x u dx dy += 即 dx du x u dx dy +=u u -=1 得到 ()2ln 2 1 1y c u -=， 即2 ln 21?? ? ??-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。 6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydx x d x y x d y y d x -=-2 得到c x y x d +-=??? ? ??2 21
即 c x y x =+2 2 1 另外0=y 也是方程的解。 8. 32 x y x y dx dy += 解：令 u x y = 则： 21u x u dx du x u dx dy +=+= 即2 1u x dx du x = 得到22x dx u du = 故c x u +-=-11 即 21 1x x c y += 另外0=y 也是方程的解。 10． 2 1?? ? ??+=dx dy dx dy x 解：令 p dx dy = 即p p x 2 1+= 而 p dx dy =故两边积分得到 c p p y +-=ln 2 12 因此原方程的解为p p x 21+=，c p p y +-=ln 212 。 12.x y xe dx dy e =?? ? ??+-1 解： y x xe dx dy +=+1
第五章 微分方程 试题库一 1.填空题 (1) 微分方程0),,,()4(='y y y x F 是 阶微分方程. (2)通过点)1,1(处，且在任意一点),(y x P 处的切线斜率为x 的曲线方程为 . (3) 微分方程054=-'-''y y y 的特征方程为 . (4) 微分方程03='-''y y 的通解为 . (5) 微分方程09=-''y y 的通解为 . (6) 微分方程y x x y -=e d d 的通解为 . (7) 微分方程054=-'+''y y y 的通解为 . (8) 微分方程20yy x '+=的通解为 . (9)微分方程560y y y '''-+=的特征方程为 . (10) 微分方程440y y y '''-+=的通解为 . 2．选择题 (1) 微分方程0))(,,,(24='''y y y x F 的通解中含有的相互独立的任意常数的个数是（ ）. A.1； B.2； C.3； D.4. (2) 下列微分方程中是可分离变量的微分方程的是（ ）. A.y xy x y +=d d ； B. y x y xy sin e d d =； C. 2d d y xy x y +=； D. 22d d y x x y +=. (3) 下列微分方程中是一阶线性非齐次微分方程的是（ ）. A. 2d d y xy x y +=； B.x xy y =+''； C.x xy y =+'； D. 02=+'xy y . (4) 微分方程x y e =''的通解为（ ）. A. x y e =； B. C y x +=e ； C. Cx y x +=e ； D. 21e C x C y x ++=.
第二章目录 内容提要及其它 (1) 第二章一阶微分方程的初等解法（初等积分） (2) 第一节变量分离方程与变量变换 (2) 一、变量分离方程 (2) 二、可化为变量分离方程的类型 (6) 1、齐次方程 (6) 2、可化为变量分离方程 (7) 三、应用例题选讲 (10) 第二节线性方程与常数变易法 (11) 第三节恰当方程与积分因子 (15) 一、恰当方程 (15) 二、积分因子 (20) 第四节一阶隐含方程与参数表示 (23) 一、可以解出y（或x）的方程 (24) 二、不显含y（或x）的方程 (25) 本章小结及其它 (27)
内容提要及其它 授课题目 （章、节） 第二章：一阶微分方程的初等解法 教材及主要参考书（注明页数）教材：常微分方程（第三版），王高雄等，高等教育出版社，2006年,p30-74 主要参考书： [1]常微分方程，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005， p1-70 [2]常微分方程教程，丁同仁等编，高等教育出版社，1991，p1-20 [3]偏微分方程数值解法（第2版），陆金甫关治，清华大学出版社，2004， p1-12 [4]常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社，2003，p28-169 [5]微分方程模型与混沌，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，1999， p15-158 [6]差分方程和常微分方程，阮炯编著，复旦大学出版社，2002，p38-124 目的与要求： 掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法．理解变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．掌握四类典型的一阶隐方程的解法． 能熟练求解变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、恰当方程和四类典型的一阶隐方程．领会变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程． 教学内容与时间安排、教学方法、教学手段： 教学内容： 第1节变量分离方程与变量变换； 第2节线性方程与常数变易法； 第3节恰当方程与积分因子； 第4节一阶隐方程与参数表示：可以解出（或 y x）的方程、不显含（或 y x）的方程．时间安排：8学时 教学方法：讲解方法 教学手段：传统教学方法与多媒体教学相结合。 教学重点分析： 熟悉各种类型方程的初等解法，并且能正确而又敏捷地判断方程的类型，从而用初等方法求解。 教学难点分析： 本章的教学难点是判断微分方程的类型，以及方程的转化（即把能转化为用初等方法求解的方程）。
习题3—1 1． 判断下列方程在什么区域上保证初值解存在且唯一. 1）y x y sin ' +=； 2）3 1' - =x y ； 3）y y = ' . 解 1）因为y x y x f sin ),(+=及y y x f y cos ),('=在整个xOy 平面上连续，所以在整个xOy 平面上满足存在唯一性定理的条件，因此在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 2）因为3 1 ),(-=x y x f 除y 轴外，在整个xOy 平面上连续，0),('=y x f y 在在整个xOy 平面上有界， 所以除y 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 3）设y y x f = ),(，则???? ?? ?<-->=??,0,21,0, 21 ),(y y y y y y x f 故在0≠y 的任何有界闭区域上，),(y x f 及 y y x f ??) ,(都连续，所以除x 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 2． 求初值问题 ?????=--=, 0)1(, 22y y x dx dy R ：1,11≤≤+y x . 的解的存在区间.并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. 解 设2 2 ),(y x y x f -=，则4),(max ),(== ∈y x f M R y x ，1,1==b a ，所以 4 1 )41,1min(), min(===M b a h . 显然，方程在R 上满足解的存在唯一性定理，故过点)0,1(-的解的存在区间为：4 1 1≤ +x . 设)(x ?是方程的解，)(2x ?是第二次近似解，则 0)1()(0=-=y x ?，3 1 31)0(0)(3121-=-+=?-x dx x x x ?， 42 11 931863])3131([0)(3471232 2+-+--=--+=?-x x x x dx x x x x ?. 在区间4 1 1≤+x 上，)(2x ?与)(x ?的误差为 322)!12()()(h ML x x +≤-??. 取22) ,(max max ),(),(=-=??=∈∈y y y x f L R y x R y x ，故241)41()!12(24)()(322=+?≤ -x x ??.
一．线性微分方程组的一般理论 1. 线性微分方程组一般形式为： 1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 , ()()()(),n n n n n n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++??'=++++??????'=++++? （） 记： 1112121 22212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ??????=?????? '????????????'??????'===????????????'?????? 非齐次线性方程组表示为： ()() x A t x f t '=+ 齐次线性方程组表示为： ()x A t x '= 2.齐次线性方程组的一般理论 (1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ? 是齐次方程组()x A t x '= 的k 个 解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++?+ 也是齐次方程组的解，这里 12,,,n c c c ?是任意常数 (2)向量函数线性相关性 定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ? ，如果存在不全为零的常数
常微分方程第二版答 案第三章
习题3—1 1． 判断下列方程在什么区域上保证初值解存在且唯一. 1）y x y sin '+=； 2）31 '-=x y ； 3）y y ='. 解 1）因为y x y x f sin ),(+=及y y x f y cos ),('=在整个xOy 平面上连续，所以在整个xOy 平面上满足存在唯一性定理的条件，因此在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 2）因为3 1),(-=x y x f 除y 轴外，在整个xOy 平面上连续，0),('=y x f y 在在整个xOy 平面上有界，所以除y 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 3）设y y x f =),(，则???????<-->=??,0,21,0,21),(y y y y y y x f 故在0≠y 的任何有界闭区域上，),(y x f 及y y x f ??),(都连续，所以除x 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 2． 求初值问题 ?????=--=, 0)1(,22y y x dx dy R ：1,11≤≤+y x . 的解的存在区间.并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. 解 设22),(y x y x f -=，则4),(max ),(==∈y x f M R y x ，1,1==b a ，所以 4 1)41,1min(),min(===M b a h . 显然，方程在R 上满足解的存在唯一性定理，故过点)0,1(-的解的存在区间为：411≤ +x . 设)(x ?是方程的解，)(2x ?是第二次近似解，则 0)1()(0=-=y x ?，3 131)0(0)(3121-=-+=?-x dx x x x ?， 4211931863])3131([0)(3471232 2+-+--=--+=?-x x x x dx x x x x ?. 在区间4 11≤+x 上，)(2x ?与)(x ?的误差为 32 2)!12()()(h ML x x +≤-??.
第五章 常微分方程 §1 常微分方程的基本概念与分离变量法 1. xy dx dy 2＝,并求满足初始条件：0,1x y ==的特解. 2．2(1)0y dx x dy ++=，并求满足初始条件：0,1x y ==的特解. 3．(1)(1)0x ydx y xdy ++-= 4．(ln ln )0x x y dy ydx --= 5． x y dy e dx -= 答案 1．通解2 x y ce =；特解2 x y e = 2．通解1ln 1y c x = ++；另有解0y =；特解11ln 1y x = ++ 3．ln ;0x y xy c y -+== 4．1ln y cy x += 5．y x e e c =+ §2 一阶线性微分方程 1．（1）（ ）是微分方程。 （A ） （B ） （C ） （D ） （2）（ ）不是微分方程。 （A ） （B ） （C ） （D ）
2.求微分方程的通解 ；（2）。 （1） 3.求微分方程的特解 （1）；（2） 4．解下列微分方程 ；（2）； （1） 答案1．(1)B；(2)C 2.(1)y=cx;(2)y4-x4=C。 3.(1)2/x3;(2)。 4．(1)； (2)y=Csinx； §3 二阶常系数线性微分方程 1.求下列微分方程的通解 ；（2）； （1） （3） （5） 2.求微分方程的特解 3.求下列微分方程的通解
（1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 4．求方程2100y y y '''++=满足初始条件0 2x y ==和01x y ='=的特解 5．求方程221y y y x '''+-=+的一个特解 6．求方程22x y y y xe '''+-=的一个特解 7．求方程32(41)x y y y x e '''-+=-的一个特解 答案 1.(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) 。 2. 3.(1) ； (2) ； (3) ； (4) 。
习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.
5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.
第五章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 一、基本概念 微分方程的定义： ①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. 微分方程的阶、解与通解： 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数 )(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方 程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. 初始条件与特解： 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。 例1 课本294页 例1 二、独立的任意常数 线性相关与线性无关： 设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 内的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 内的任一x ，恒有 0)()(2211=+x y k x y k 成立，则称函数)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性相关，否则称为线性无关. 显然，函数)(),(21x y x y 线性相关的充分必要条件是 ) () (21x y x y 在区间),(b a 内恒为常数. 如果 ) () (21x y x y 不恒为常数，则)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性无关.
独立的任意常数： 在表达式)()(2211x y C x y C y += (1C ,2C 为任意常数) 中, 1C ,2C 为独立的任意常数的充分必要条件为)(1x y ,)(2x y 线性无关. 例2 课本297页 例4 第二节 可分离变量的微分方程 一、定义 形如 )()(d d y g x f x y = 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x 的函数，另一个仅是y 的函数，即)(),(y g x f 分别是变量y x ,的已知连续函数. 二、求解方法 可分离变量的微分方程 )()(d d y g x f x y =的求解方法,一般有如下两步: 第一步:分离变量 x x f y y g d )(d )(=， 第二步:两边积分 ??= x x f y y g d )(d )(. 【例1】求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2 的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1 1 12 -=- 两端积分 ? ? -=-dx x dy y y 111 2得 ||ln |1|ln |1|ln 2 1 12C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解
习题2.2 求下列方程的解 1． dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 21 e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -2 1 (x x cos sin +)是原方程的解。 2． dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ? -dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1 e t 5+c) =c e t 3-+5 1 e t 2 是原方程的解。 3． dt ds =-s t cos + 21t 2sin 解：s=e ? -tdt cos (t 2sin 2 1 ?e dt dt ? 3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为： dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.
5． dx dy + 1212 --y x x =0 解：原方程可化为： dx dy =-1212 +-y x x ? =-dx x x e y 2 1 2(c dx e dx x x +? -2 21) ) 2 1(ln 2 + =x e )(1ln 2 ?+- -c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 2 3 4xy x x += 解： dx dy 2 3 4 xy x x += =2 3y x + x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u += 2 u x 2 1u dx du = dx du u =2 c x u +=3 31 c x x u +=-33 （*） 将 x y u =带入 （*）中 得：3 4 3 3cx x y =-是原方程的解.
常微分方程第三章测试卷 班级 姓名 学号 得分 一、 填空题（30分） 1， 则称函数为在R 上关于y 满足利普希兹条件。 2，存在唯一性定理中近似值与真正解在区间h x x ≤-0 内的误差估计 式为 3，由解关于初值的对称性，若方程满足初始条件00)(y x y =的解是唯一的，记为),,(00y x x y ?=,则成立关系式 在解的存 在范围内。 4，若函数),(y x f 以及y f ??都在区域G 内连续，则方程的解),,(00y x x y ?=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内的 。 5，若函数),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部利普希兹条件，则方程的解),,(00y x x y ?=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内 的。 6, 微分方程的奇解是指 二、解答题（50分） 1， 求曲线0sin cos =-+p a y a x 的奇解。这里a 是参数，p 为固定常数。
2， 求2'1y y -=的奇解 ()1≤y 3， 求初值问题22y x dx dy -=及0)1(=-y ；1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。
4， 讨论21 2-=y dx dy 分别过点（ 0，0），（3,2ln -）的解的存在区间。
5， 利用克莱洛方程求p xp y 1+=的奇解，dx dy p = 三、证明题（20分） 假设函数),(y x f 于),(00y x 的邻域内是y 的不增函数，试证方程),(y x f dx dy =满足条件00)(y x y =的解于0x x ≥一侧最多只有一个。
常微分方程第五章测试题 班级__________姓名__________学号________得分__________ 一、 填空（３０分） 1、 在用皮卡逐步逼近法求方程组η=+=')(),()(0t x x f x t A x 的近似解时，若取η?=)(0t ，则=)(t k ?（ ）。 2、 如果)(t A 是n n ?矩阵，)(t f 是n 维列向量，则它们在b t a ≤≤上满足（ ）时，方程组)()(t f x t A x +='满足初始 条件η=)(0t x 的解在b t a ≤≤上存在唯一。 3、 若)(),(),(21t f t a t a 是[b a ,]上的连续函数，)(),(21t x t x 是方程0)()(21=+'+''x t a x t a x 的两个线性无关解，则的通解为 ( )。 4、 若)(t Φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵，则)(t Φ与)(t ψ具有关系（ ）。 5、 若A 是n n ?常数矩阵，则矩阵指数exPA=( )。 6、若A 矩阵具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,21，她们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ=（ ）是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。 7、 若)(t Φ是x t A x )(=' 的基解矩阵，则)()(t f x t A x +='满足的解=)(t ?（ ）。 8、 若)(t Φ是x t A x )(=' 的基解矩阵，则向量函数=)(t ?（ ）是)()(t f x t A x +='的满足初始条件 0)(0=t ?的解；向量函数=)(t ?（ ）是)()(t f x t A x +='的满足初始条件η?=)(0t 的解。
第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解 的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方 程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。 而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显 得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的 条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在 常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理 论的基础。 例如方程
dy dx =过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1 x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。 定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ， 2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件 00()x y ?= （3.3） 其中,min(, ),max (,)x y R b h a M f x y M ∈==,L 称为Lipschitz 常数.
习题 1.给定方程组 x = x x= （*） a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解. b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数. 解：a) u(0)= = u (t)= = u(t) 又 v(0)= = v (t)= = = v(t) 因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解. & b) w(0)= u(0)+ u(0)= + = w (t)= u (t)+ v (t) = + = = = w(t) 因此 w(t)是给定方程初值问题的解. 2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题： a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2 b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0 ; c) x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1 解：a）令 x ＝x, x = x , 得 即 又 x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： x ＝ x(1)＝ 其中 x＝ . b) 令＝x ＝＝＝则得： / 且 (0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： = x(0)= , 其中 x= . c) 令w ＝x， w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为： 且 即 w w(0)= 其中 w＝ 3. 试用逐步逼近法求方程组 】
常微分方程习题答案 2.1 1.xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== , 0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+） 故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：
第五章 常微分方程 微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题.因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及理论. 一、 微分方程的基本概念 本节主要内容 1．微分方程的概念 2．微分方程解的概念 讲解提纲： 1 微分方程的概念 一般地，含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶. 我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程. 例1 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则可建立起函数)(t T 满足的微分方程 )20(--=T k dt dT (1.1) 其中k )0(>k 为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型. 根据题意，)(t T T =还需满足条件 .100|0==t T (1.2) 例 2 设一质量为m 的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度α成正比，即αm F =，若取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是 0=t ，物体下落的距离x 与时间t 的函数关系为)(t x x =，则可建立起函数)(t x 满足的微分 方程
习题3.1 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题： ?????=--=0 )1(22y y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计； 解： 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;
)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题 讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解； 解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续； 而312 3y 在y 0 σ≥上连续 由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又 因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解； 故 方程的解为：y =?????≥00023 x x x 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，
习题3.1 1. 求方程 2dy x y dx =+通过点(0,0)的第三次近似解。 解：()2,f x y x y =+，令00()0x y ?==，则 ()()()0 21000 1,2 x x x x y f x x dx xdx x ??=+== ?? ()()()0 2252010 111,2220x x x x y f x x dx x x dx x x ??????=+=+=+?? ?????? ??? ()()()0 30222525811 ,1111112202201604400x x x x y f x x dx x x x dx x x x x ??=+????=++=++ +?? ?????? ??? 为所求的第三次近似解。 3. 求初值问题 ()22 ,:11,1, 10dy x y R x y dx y ?=-+≤≤???-=? (1) 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计。 解：因为()22,f x y x y =-，1a b ==，()(),max ,4x y R M f x y ∈==，所以 1 m i n ,4 b h a M ??== ???，从而解得存在区间为114x +≤，即5344x -≤≤-。 又因为()22,f x y x y =-在R 上连续，且由22f y y L ??=≤=可得(),f x y 在 R 上关于y 满足Lipschitz 条件，所以Cauchy 问题(1)在53 44 x - ≤≤-有唯一解()y x ?=。 令00()0x y ?==，则 ()()()()0 23 1001 1,13 x x x x y f x x dx x dx x ??-=+== +?? ()()()()0 2 347232011111,1342931863x x x x x x x x y f x x dx x x dx ??-?? ??=+=-+=-+-- ?? ??????? ? ?
\ 习题 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2 dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 & 解：y 2 dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 21+dy=3 1 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 、 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0
解：原方程为： dx dy =-y x y x +- { 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+2 2y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx } arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 ` 2 e x 3-3e 2 y -=c. (lnx-lny)dy-ydx=0