第九章解析几何9.2点与直线、直线与直线的位置关系(1)

§两条直线的位置关系最新考纲.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．．两条直线的位置关系()两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线，，若其斜率分别为，，则有∥⇔＝.(ⅱ)当直线，不重合且斜率都不存在时，∥.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线，的斜率存在，设为，，则有⊥⇔·＝－.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为时，⊥.()两条直线的交点直线：＋＋＝，：＋＋＝，则与的交点坐标就是方程组的解．．几种距离()两点(，)，(，)之间的距离＝.()点(，)到直线：＋＋＝的距离＝.()两条平行线＋＋＝与＋＋＝(其中≠)间的距离＝.概念方法微思考．若两条直线与垂直，则它们的斜率有什么关系？提示当两条直线与的斜率都存在时，12l l k k ＝－；当两条直线中一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在时，与也垂直． ．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示()将方程化为最简的一般形式．()利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中，的系数分别对应相等．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()当直线和斜率都存在时，一定有＝⇒∥.(×)()已知直线：＋＋＝，：＋＋＝(，，，，，为常数)，若直线⊥，则＋＝.(√)()点(，)到直线＝＋的距离为.(×)()直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)()若点，关于直线：＝＋(≠)对称，则直线的斜率等于－，且线段的中点在直线上．(√) 题组二教材改编．已知点()(>)到直线：－＋＝的距离为，则等于()．－－＋答案解析由题意得＝.解得＝－＋或＝－－.∵>，∴＝－＋.．已知(－，)，()，且直线垂直于直线＋＋＝，则＝.。

2020年高三理科数学一轮讲义案第九章9.2《两直线的位置关系》最新考纲1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知 识 梳 理1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解. 3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d (3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d [微点提醒]1.两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0). 2.两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( ) 解析 (1)两直线l 1，l 2有可能重合.(2)如果l 1⊥l 2，若l 1的斜率k 1＝0，则l 2的斜率不存在. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(必修2P114A10改编)两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( ) A.235B.2310C.7D.72解析 由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0可化为6x ＋8y －24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72. 答案 D3.(必修2P89练习2改编)已知P (－2，m )，Q (m ，4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 解析 由题意知 m －4－2－m ＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.答案 14.(2019·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A.2B.－3C.2或－3D.－2或－3解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.答案 C5.(2018·昆明诊断)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A.1 B.2 C. 2D.2 2解析 圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y ＝x ＋3得x －y ＋3＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.答案 C6.(2019·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A.6x －4y －3＝0 B.3x －2y －3＝0 C.2x ＋3y －2＝0D.2x ＋3y －1＝0解析 因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.答案 A考点一 两直线的平行与垂直【例1】 (1)(2019·河北五校联考)直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 解析 (1)由l 1∥l 2得－m (m －1)＝1×(－2)，得m ＝2或m ＝－1，经验证，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，舍去，所以“m ＝2”是“l 1∥l 2”的充要条件.(2)由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点.当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0分别平行时，m ＝23或－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23.答案 (1)C (2)D规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件. 2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 【训练1】 (一题多解)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)当l 1∥l 2时，求a 的值； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值.解 (1)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－（a ＋1），解得a ＝－1.综上可知，a ＝－1.法二 由l 1∥l 2知⎩⎨⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，即⎩⎨⎧a （a －1）－1×2＝0，a （a 2－1）－1×6≠0⇒⎩⎨⎧a 2－a －2＝0，a （a 2－1）≠6⇒a ＝－1. (2)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合； 当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23.法二 ∵l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23. 考点二 两直线的交点与距离问题【例2】 (1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________.(2)(2019·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________. (3)(2019·厦门模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________.解析 (1)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1，2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10， 所以a 的取值范围是[0，10].(3)依题意知，63＝a －2≠c －1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（－2）2＝21313，解得c ＝2或－6.答案 (1)5x ＋3y －1＝0 (2)[0，10] (3)2或－6 规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. 2.利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为相等.【训练2】 (1)(2019·贵阳监测)已知曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过点A (m ，n )，则点A 到直线x ＋y －3＝0的距离为________.(2)(一题多解)直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为________. 解析 (1)由题意，可知曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过点(0，1)，所以A (0，1)，点A (0，1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|0＋1－3|2＝ 2.(2)法一 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13. ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意.法二 当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0. 当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1，4). ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 答案 (1)2 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 考点三 对称问题多维探究角度1 对称问题的求解【例3－1】 若点(a ，b )关于直线y ＝2x 的对称点在x 轴上，则a ，b 满足的条件为( ) A.4a ＋3b ＝0 B.3a ＋4b ＝0 C.2a ＋3b ＝0D.3a ＋2b ＝0解析 设点(a ，b )关于直线y ＝2x 的对称点为(t ，0)，则有⎩⎨⎧b －0a －t×2＝－1，b ＋02＝2×a ＋t 2，解得4a ＋3b ＝0.答案 A角度2 对称问题的应用【例3－2】 (一题多解)光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程.解 法一 由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2.∴反射点M 的坐标为(－1，2).又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)， 由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，又Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.由⎩⎨⎧y 0x 0＋5＝－23，32（x 0－5）－y 0＋7＝0，得⎩⎨⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.法二 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x ＝－23，又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x 02－（y ＋y 0）＋7＝0.可得P 点的横、纵坐标分别为 x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813， 代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.规律方法 1.解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，且直线l 与直线MN 垂直.2.如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.3.若直线l 1，l 2关于直线l 对称，则有如下性质：(1)若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；(2)若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上.【训练3】 已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________.解析 A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线所在直线.点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上.设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎨⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0，3).同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1). 所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0. 答案 2x －y ＋3＝0[思维升华]1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1，l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题. [易错防范]1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.2.在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数分别化为相同的形式.数学抽象——活用直线系方程1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.直线系方程的常见类型(1)过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )； (3)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2). 类型1 相交直线系方程【例1】 (一题多解)已知两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ，求过点P 且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.解 法一 解l 1与l 2组成的方程组得到交点P (0，2)，因为k 3＝34，所以直线l 的斜率k ＝－43，方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二 设所求l 的直线为：4x ＋3y ＋c ＝0，由法一可知：P (0，2)，将其代入方程，得c ＝－6，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.法三 设所求直线l 的方程为：x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0，因为直线l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0. 类型2 平行直线系方程【例2】 求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程.解 设所求直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠5)，由题意知，2×1＋3×(－4)＋c ＝0，所以c ＝10，故所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.【例3】 已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，l 1能和x 轴、y 轴围成面积为8的三角形，请求出直线l 1的方程.解 设直线l 1的方程为：x －3y ＋c ＝0(c ≠6)，则令y ＝0，得x ＝－c ；令x ＝0，得y ＝c3，依照题意有：12×|－c |×⎪⎪⎪⎪c 3＝8，c ＝±4 3.所以l 1的方程是：x －3y ±43＝0. 【例4】 (一题多解)已知直线方程3x －4y ＋7＝0，求与之平行而且在x 轴、y 轴上的截距和是1的直线l 的方程.解 法一 设存在直线l ：x a ＋y b ＝1，则a ＋b ＝1和－b a ＝34组成的方程组的解为a ＝4，b ＝－3. 故l 的方程为：x 4－y3＝1，即3x －4y －12＝0.法二 根据平行直线系方程的内容可设直线l 为：3x －4y ＋c ＝0(c ≠7)，则直线l 在两坐标轴上截距分别对应的是－c 3，c 4，由－c 3＋c4＝1，知c ＝－12.故直线l 的方程为：3x －4y －12＝0. 类型3 垂直直线系方程【例5】 求经过A (2，1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程.解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋c ＝0，又直线过点A (2，1)， 所以有2－2×1＋c ＝0，解得c ＝0， 即所求直线方程为x －2y ＝0. 类型4 直线系方程的应用【例6】 已知三角形三边所在的直线方程分别为：2x －y ＋4＝0，x ＋y －7＝0，2x －7y －14＝0，求边2x －7y －14＝0上的高所在的直线方程.解 设所求高所在的直线方程为2x －y ＋4＋λ(x ＋y －7)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－1)y ＋(4－7λ)＝0，可得(2＋λ)×2＋(λ－1)×(－7)＝0，解得λ＝115， 所以所求高所在的直线方程为7x ＋2y －19＝0.【例7】 求过直线2x ＋7y －4＝0与7x －21y －1＝0的交点，且和A (－3，1)，B (5，7)等距离的直线方程.解 设所求直线方程为2x ＋7y －4＋λ(7x －21y －1)＝0，即(2＋7λ)x ＋(7－21λ)y ＋(－4－λ)＝0，由点A (－3，1)，B (5，7)到所求直线等距离，可得 |（2＋7λ）×（－3）＋（7－21λ）×1－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2＝|（2＋7λ）×5＋（7－21λ）×7－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2，整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝2935或λ＝13， 所以所求的直线方程为21x －28y －13＝0或x ＝1.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直D.不能确定解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1. 答案 C2.已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A.2B.－2C.12D.－12解析 因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a2＝－1，解得a ＝－2.答案 B3.(一题多解)过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( ) A.19x －9y ＝0 B.9x ＋19y ＝0 C.19x －3y ＝0D.3x ＋19y ＝0 解析 法一由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎨⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为：y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.法二 设直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，即(1＋2λ)x －(3－λ)y ＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－45，故所求直线方程为3x ＋19y ＝0.答案 D4.从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A.x ＋2y －4＝0B.2x ＋y －1＝0C.x ＋6y －16＝0D.6x ＋y －8＝0解析 由直线与向量a ＝(8，4)平行知，过点(2，3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x－2)，其与y 轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y 轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A 正确.答案 A5.(2019·运城二模)在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( ) A.102 B.10 C.5 D.10解析 由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴MP ⊥MQ ，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10.答案 D6.(2019·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A.7B.172C.14D.17解析 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172.答案 B7.已知坐标原点关于直线l 1：x －y ＋1＝0的对称点为A ，设直线l 2经过点A ，则当点B (2，－1)到直线l 2的距离最大时，直线l 2的方程为( )A.2x ＋3y ＋5＝0B.3x －2y ＋5＝0C.3x ＋2y ＋5＝0D.2x －3y ＋5＝0 解析 设A (x 0，y 0)，依题意可得⎩⎨⎧x 02－y 02＋1＝0，y 0x 0＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝1，即A (－1，1).设点B (2，－1)到直线l 2的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 2垂直于直线AB ，又－1k AB＝32，∴直线l 2的方程为y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0 .答案 B8.一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A. 2 B.2 C.3 D.4解析 点(0，0)关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点为(－1，1)，则最短路程为（－1－1）2＋（1－1）2＝2.答案 B二、填空题9.(2018·郑州模拟)如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则a ＝________.解析 ∵直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，即直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y －(a －7)＝0平行，∴a 3＝2a －1≠3a －（a －7），解得a ＝3. 答案 310.(2019·安徽四校联考)已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.解析 设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －（－3）＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案 6x －y －6＝011.(一题多解)(2018·南昌模拟)已知点A (1，0)，B (3，0)，若直线y ＝kx ＋1上存在一点P ，满足P A ⊥PB ，则k 的取值范围是________.解析 法一 设P (x 0，kx 0＋1)，依题意可得k P A ·k PB ＝－1，即kx 0＋1x 0－1×kx 0＋1x 0－3＝－1，即(k 2＋1)x 20＋(2k －4)x 0＋4＝0，则Δ＝(2k －4)2－16(k 2＋1)≥0，化简得3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－43，0. 法二 若直线y ＝kx ＋1上存在点P ，满足P A ⊥PB ，则直线y ＝kx ＋1与以AB 为直径的圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，故|2k ＋1|1＋k 2≤1，即3k 2＋4k ≤0，故－43≤k ≤0，k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－43，0. 答案 ⎣⎡⎦⎤－43，0 三、解答题 12.已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2).(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎨⎧2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2).(2)证明 过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0， ∴M 与Q 不可能重合，即|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立.能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018·丹东二模)已知直线l 1：2x －y ＋3＝0，直线l 2：4x －2y －1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，若点M 同时满足下列条件：(1)点M 是第一象限的点；(2)点M 到l 1的距离是到l 2的距离的12； (3)点M 到l 1的距离与到l 3的距离之比是2∶ 5.则点M 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫13，2B.⎝⎛⎭⎫13，3718C.⎝⎛⎭⎫19，2D.⎝⎛⎭⎫19，3718 解析 设点M (x 0，y 0)，若点M 满足(2)，则|2x 0－y 0＋3|5＝12×|4x 0－2y 0－1|16＋4，故2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0，若点M (x 0，y 0)满足(3)，由点到直线的距离公式，得|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，故x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0，由于点M (x 0，y 0)在第一象限，故3x 0＋2＝0不符合题意，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12不符合题意；联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718，即点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫19，3718. 答案 D14.(2019·岳阳模拟)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为( )A.92B.94C.1D.9解析 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，设点Q (4，0)到直线l 的距离为d ，当d ＝|PQ |时取最大值，所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝⎛⎭⎫12a ＋2c ＝12·⎝⎛⎭⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12(52＋2c 2a ·2a c )＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号. 答案 B15.若△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，则直线BC 的方程为________.解析 由AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0可以知道k AC ＝－2，又A (5，1)，AC 边所在直线方程为2x ＋y －11＝0，联立直线AC 与直线CM 方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，所以顶点C 的坐标为C (4，3). 设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12， 由M 在直线2x －y －5＝0上，得2x 0－y 0－1＝0，B 在直线x －2y －5＝0上，得x 0－2y 0－5＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－3，所以顶点B 的坐标为(－1，－3).于是直线BC 的方程为6x －5y －9＝0.答案 6x －5y －9＝016.在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点(2，3)对称，则直线l 的方程是________________.解析 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝⎛⎭⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2，3)的对称点为⎝⎛⎭⎫4－m ，6－b －3m 4， ∴6－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.答案 6x －8y ＋1＝0。

§9.2 直线和直线的位置关系预备知识∙平面中直线平行关系的传递性∙平面中两条直线的位置关系重点∙异面直线的概念及其判定∙异面直线所成的角难点∙异面直线的判定∙异面直线所成的角学习要求∙了解直线的位置关系，空间平行直线关系的传递性∙会求异面直线所成的角点是立体几何中最基本的元素，由点构成的集合中，线当然又是比较简单的一种，其中直线又是线中最简单的．在这一节将要学习的，就是有关空间直线方面的知识．1. 两条空间直线的位置关系平面上两条直线的位置关系只有两种：相交或平行．在空间中的两条直线是否也是如此呢？你可以观察一下教室四周，把天花板、地面与墙的交线及墙面与墙面的交线视为直线的一段，你可以找到彼此平行的直线，也可以找到相交的直线，但还能发现有一些直线，例如天花板上南北走向的交线，与地面上东西走向的交线，它们既不平行，但也不相交．把教室简化成一个长方体ABCD -A 'B 'C 'D '，把长方体的棱视为直线的一段，那么从图9-22上你可以发现更多这种位置关系的直线，例如BC 与 AA '、AD 与D 'C '，还有对角线B 'D '与AC 等等． 这些直线对的公共特征是它们不可能同在一个平面 内．这样，空间中的直线位置关系又多了一个：既不相交、又不平行．我们把两条既不相交、又不平行的直线，称为异面直线，也可以说，把两条不可能同在一平面上的直线称为异面直线．因此，空间中两条直线位置关系(除了重合)有三种： (1)平行直线——没有公共点 (2)相交直线——只有一个公共点(3)异面直线——既不相交也不平行(不可能在同一个平面上) 在画异面直线时，要像图9-23那样，把两条直线 明显地画在不同的平面内，这样就容易体现出 “异面” 的特点． 课内练习11. 找出日常生活中异面直线的几个例子．2. 画出图9-22中各面上的对角线，找出不少于5对异面直线来．3. 两条直线分别在两个平面内，它们是否一定异面直线？4. 能否把没有公共点的两条直线称为平行线？2. 空间的平行直线如何判定空间两条直线平行？在平面几何中有不少判定方法，到了空间情况，有些可以继续成立，有些则不再成立了．例如在平面上垂直于同一条直线的两条直线必定平行，在空间情况就未必．在 教室里就可以找到具体例子：天花板上东西走向、 地面上南北走向的墙角线，都垂直于墙面交线，但 它们并不平行，从图上来看，图9-24上长方体的棱 AB ,AD 、对角线AC 所在的直线，都垂直于棱AA 'l 1 图9-23l αA B CD图9-22A 'B 'C 'D ' (必定同在一个平面上)AB CD图9-24A 'B 'C 'D '所在的直线，但它们却是不平行的(有交点A )．平面几何中的平行传递性法则——平行于同一条直线的两条直线互相平行，在空间情况仍然是正确的．例如图9-24中，因为ABB 'A ',BCC 'B '都是矩形，AA '||BB ', CC '||BB '，所以CC '||AA '．此外从空间的特点出发，在后文中还将介绍一些具有空间特点的平行线判定方法，是平面几何中所没有的．例 1 已知E ,F ,G ,H 分别是空间任意四边形ABCD 四条边AB ,BC ,CD ,DA 的中点，求证四边形EFGH 是平行四边形(见图9-25)． 证明： 连结AC ,BD ．因为E ,F 分别是∆ABC 的AB ,BC 边上的中点，所以 AC EF 21=； 同理 AC HG 21=， 得 HG EF =， 即 EF //HG ．所以四边形EFGH 是平行四边形 ▌ 课内练习21. 把一张长方形的纸对折两次然后打开，观察折痕是否平行，为什么？2. 画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线， 使它们成为平行直线．3. 如图，在长方体中，AE =A 1E 1, AF =A 1F 1，求证： EF E 1F 1．3. 异面直线所成的角在平面几何中讲到角，总是有一个顶点，然后从这个顶点引两条作为始边、终边的半直线．空间异面直线是不相交的，怎么形成角呢？其实并不奇怪，在生活中即使两条直线不相交，我们也会谈到它们之间的角的．例如把图9-24中的长方体看作教室，你会接受这么一种说法：墙边线AA '与墙角线BC 是垂直的，但是这两条直线却是异面直线．你的认可来自于下面的做法：平移BC 使与AD 重合，而AD 与AA '是垂直的．异面直线之间的夹角，正是这样来定义的．如图9-26(1)，设l ,m 是两条异 面直线，在空间任取一点P ，过P 作l '||l ,m '||m ，l ',m '在同一个平面上，把 l ',m '所成的(不大于90︒)角，称为异 面直线l ,m 所成的角(或l ,m 的夹角)， 采用平面情况的记法，记作l ^m ．为了简便起见，点P 常取在两异面直线中的一条上．例如取在直线l 上，然后经过点P 作直线m '||m (见图9-26(2))，那么m ', l 所成的角就是异面直线图9-25= ||A EFF 1A 1 E 1第3题图 图9-26(1)∙m ' l 'Pl,m所成的角．如果两条异面直线l,m所成的角是直角，那么我们就说两条直线互相垂直，记作l⊥m它们所成的角为0︒角．例2图9-27表示一个正方体．(1)哪些棱所在直线与AB'所在的直线是异面直线？(2)求直线AB'和CC'的夹角的度数；(3)哪些棱所在直线与直线AA'垂直？解(1)与直线AB'成异面直线的有直线BC,A'D',CC',DD',DC和D'C'▌(2)由BB'||CC'，可知∠BB'A'=AB'^CC'，而ABB'A'是正方形，所以∠BB'A'=45︒，所以AB'^CC'=45︒▌(3)直线AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'都与直线AA'垂直▌例3图9-28中ABCD- A'B'C'D'为一正方体，试证明对角线DB'和对角线A'C'垂直．证明因为BD'=+BB'，CA''^BB=CA''^AA=90︒，CA'^=CA'^BD''=90︒(正方形A'B'C'D'的对角线互相垂直)，所以CA'⋅BD'=CA'⋅(+BB')；=CA''⋅DB+CA''⋅BB=0，所以CA'^BD'=90︒，即DB'⊥A'C'▌课内练习31. 在下列各图中，分别以O为顶点，画出异面直线l,m所成的角．2. 设l,m,n为三条空间直线，其中l||m, l⊥n，则m,n的关系如何？3. 设l,m,n为三条空间直线，且l ^ m = n ^m=45︒，能否得出l|| n的结论？你能举出反例吗？4. 证明图9-28的正方体ABCD- A'B'C'D'中，对角线D'B和对角线A'C'互相垂直．下面举一个你不容易一眼就看得出的例子．例4已知在图9-29所示的空间四边形OABC中，OB为其一条对角线，OB=OC,∠AOB=∠AOC，求证OA⊥BC．证明记θ=∠AOB=∠AOC，图9-27A BCDA'B'C'D'图9-28A BCDA'B'C'D'第1题图图9-26(2)OA ⋅BC =OA ⋅(OB OC -) =⋅OC -⋅OB=||||⋅⋅cos θ-||||⋅⋅=OA (OC -OB )cos θ， 因为 OB =OC , 所以 ⋅=0， 所以 OA ⊥BC ▌ 课内练习41.已知在空间四边形OABC ，AC 为其一条对角线，若BC =AC ,OB =OA ， 求证OC ⊥AB (见图9-29)．4* 异面直线的距离在平面几何里有平行直线之间的距离，异面直线之间的距离是指什么呢？你还是可以先观察一下教室四周，把教室抽象 成图9-30那样的长方体，墙面交线和墙脚线相当于 棱，问你墙面交线AA '到墙脚线BC 的距离是多少？ 你会毫不犹豫地回答是墙脚线AB 的长度．AA ',BC 所在的直线是异面直线，AB 所在直线有什么特点呢？ 原来和它们都垂直相交．因此在生活实际中，我们是 以同时与两条异面直线垂直相交的直线，在交点间线段的长度来衡量异面直线之间的距离的．和两条异面直线都垂直相交的直线，称为两条异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，也就 是以交点为端点的线段，称为这两条异面直线的 公垂线段；公垂线段的长度，称为两条异面直线 的距离．如图9-31，异面直线l , m 的公垂线是AB 所在的直线，公垂线段是AB ，它的长度就是l , m 之间的距离．你也可以从图上看到，画一些辅助平面或辅助直线，有助于直观地表示公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长，是连结两条异面直线上任意两点的线段中最短的一条．在一定条件下，两条异面直线之间的距离的是可以有计算公式的． 例5 已知异面直线l , l 1的公垂线段 为AB ，AC =s , BD =t , CD =h ，且l ^l 1=θ， 求l , l 1间的距离d (见图9-32)． 解 据题意，即求AB 长． 因为 BD AB CA CD ++=，所以 ||2=(++)⋅(++)A BCDA 'B 'C 'D ' 图9-30m α图9-31lAB图9-29图9-32=|CA |2+||2+||2+2⋅+2⋅+2⋅；因为 ⊥⊥ ,，l ^l 1=^=θ, ^=π-θ所以 ||2=|CA |2+|AB |2+|BD |2-2|CA |⋅|BD |cos θ即 h 2=s 2+d 2+t 2-2st cos θ，d 2=h 2-s 2-t 2+2st cos θ． 所以θcos 2222st t s h d +--= ▌ 课内练习51. 设例3中正方体的边长为a ，求对角线DB '和对 角线A 'C '所在的异面直线的距离．(提示：右图 是图9-26的重画，A 'C '和DB '所在的异面直线 的公垂线段是图上的O 'P ，其中O '为正方形的 上顶面A 'B 'C 'D '的中心)课外习题 A 组1. 在一块长方体木块A 1C 1面上有一点P ，过点P 画两 条直线，分别和棱BC ,CD 平行，说明应该怎样画．2. 判断题：(1)过空间直线l 外一点，能且仅能作一条直线于l 垂直 ( )(2)若m,n 为异面直线，n,l 也是异面直线，则m,l 也是异面直线 ( ) 3. 空间四边形ABCD 中，E ,F ,G ,H 分别是边AB ,BCCD ,DA 的中点，(1)若AC =BD ，求证四边形EFGH 是菱形； (2)若AC ⊥BD ，求证四边形EFGH 是矩形． 4. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ,Q 分别是A 1B 1, B 1C 1的中点，画出并求(1)PQ 和C 1C 所成的角；(2)PQ 和BD 所成的角； (3)BP 和CQ 所成的角．5*. ABCD 为一空间四边形，BD 为对角线．已知 AD ⊥CD , BD ⊥CD , BD ⊥AD ，(1)P 为BD 上任意一点，证明AP ⊥CD ；(2)若∠APD =30︒, AD =4，求AP 与CD 之间的距离．B 组 1. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ,F 分 别是BB 1,D 1B 1的中点，求证EF ⊥DA 1．第1题图 A 'ABC D ·PB 1C 1A D 1(第1题图) A 1A 第4题图 CA BDP ∙第5题图A BC DEFA 1B 1C 1D 12. 已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点．(1)求证：AC⊥BD；(2)若AC=2, BD=4，求EG2+HF2的值．3. 已知空间四边形ABCD各边的长相等，AC 且BD为其两条对角线，AC=BD=AB，E,F 分别是BC,AD的中点，(1)证明A C⊥BD；(2)AE和CF所成角的余弦值．ABDCEF(第3题图)。

考点1
考点2
考点3
考点4
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考点1
考点2
考点3
考点4
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思考解含参数直线方程的有关问题时如何分类讨论?
解题心得1 .当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的
斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,还要考虑到斜率不存在
的特殊情况,同时还要注意x ,y的系数不能同时为零这一隐含条件. 2 .在判断两条直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数
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即x+ 3 y-5 = 0 . 当l过AB 的中点时,AB 的中点为(-1,4). 所以直线l的方程为x=- 1 . 故所求直线l的方程为x+ 3 y-5 = 0 或x=- 1 .
随堂巩固
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相交 方程组有 唯 一 解 ; 平行 方程组 无 解 ; 重合 方程组有 无 数 个 解 .
知识梳理
考点自诊
3 .三种距离公式
随堂巩固
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知识梳理
考点自诊
随堂巩固
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1 .与直线Ax+By+C= 0(A 2+B 2≠0)垂直或平行的直线方程可设为: (1)垂直:Bx-Ay+m= 0; (2)平行:Ax+By+n= 0 . 2 .与对称问题相关的两个结论: (1)点P(x 0,y0)关于点A (a,b )的对称点为P'(2a-x 0,2b-y 0). (2)设点P(x 0,y0)关于直线y=kx+b 的对称点为P'(x',y'),则有