七年级下-三角形
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七年级下－三角形 1 一、理论知识 1．三角形定义： 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成得图形叫做三角形。 ⑴
⑵
外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 注意：定义中是一边与另一边的延长线，而非两个延长线。
2．三角形性质
3．三角形全等证明 ⑴全等定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
边界边 内部边 边
角
两边之和大于第三边 两边之差小于第三边
中线：三角形一边中点与此边对应角顶点的连线。 角平分线：角平分线在三角形内的部分。 高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，垂足和顶点之间的连线叫三角形的高线。
三角形 三角形 不等边三角形
等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形(底边和腰相等) 直角三角形 斜三角形 钝角三角形
锐角三角形
三角形三个内角和等于180º
直角三角形的两个锐角和为90º(互余) 三角形的一个外角＝不相邻的两个内角和 三角形的一个外角>任何一个与它不相邻的内角
三角形三个外角和等于360º 七年级下－三角形
2 ⑵判定定理：
二、典型题型 1．角度之间关系 ⑴求具体角度数 例题1-(1)-1:如图，直线AB∥CD，∠A=70º, ∠C=40º，则 ∠E等于( A) A.30º B. 40º C. 60º D. 70º 解：由平行，内错角相等，知∠AFC=∠A=70º 外角和定理知∠E＝∠AFC－∠A=30º 思路：平行性质+外角和定理。关键是要分清外角定义
例题1-(1)-2:在△ABC中，∠C=70º，沿图中虚线截去∠C， 则∠1＋∠2＝（B ） A. 360º B. 250º C. 180º D. 140º 解：∠1＝∠C＋∠4 ∠2＝∠C＋∠3 ∴∠1＋∠2＝∠C＋∠4＋∠C＋∠3＝∠C＋（∠4＋∠C＋∠3） ＝70º＋180º＝250º 思路：外角和定理。
例题1-(1)-3:在△ABC中，∠B=47º，三角形的外角∠DAC和∠ACF 的平分线交于点E，则∠AEC= º 解：与例题1-(1)-2类似。 ∠DAC+∠FCA=47º＋180º＝227º ∴∠AEC=180º-227º/2=66.5º
全等判定 三边(SSS)：三边分别对应相等，则三角形全等。 (SAS)：两边及其夹角分别对应相等，则三角形全等。 两夹 (ASA)：两角及其夹边分别对应相等，则三角形全等。
一对边(AAS)：两个角及其中一个角的对边分别对应相等，则三角形全等。 HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
例题1-(1)-1图 例题1-(1)-2图 例题1-(1)-3图 七年级下－三角形
3 例题1-(1)-4:如图，△OAD≌△OBC，且∠O=70º，∠C=25º 则∠AEB= 解：∠AEB=∠D+∠DBE=∠D+∠C+∠O=70º+2×25º=120º
思路：全等＋外角和定理。
例题1-(1)-5:如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点 F，交DE于点G，∠ACB=105º，∠CAD=10º，∠D=25º,求 ∠EAC, ∠DFB, ∠DGB的度数。 解：∵△ABC≌△ADE，∴三个角对应相等， ∴∠EAD=180º-105º-25º=50º,∴∠EAC=∠EAD+∠CAD=60º ∠DFB=∠FAB+∠B==50º+10º+25º=85º ∠DGB=180º-∠D-∠DFG=180º-25º-(180º-85º)= 60º
思路：全等＋外角和定理＋三角形三个角和为180º ⑵证明AkB 例题1-(2)-1:如图所示,在ΔABC中,∠C>∠B,AD⊥BC于点D,
AE平分∠BAC。 试判断∠EAD与1()2CB 的关系，并说明理由。
解：∠EAD＝1()2CB 理由如下： ∠EAD＝90º-∠AED 1111(180)902222AEDBBAEBBACBBCBC
∴11190(90)()222EADBCCB 思路说明：关键在于利用外角和定理和角平分线性质将已知与所求之间关系建立起来。
例题1-(2)-2:如图，已知OA=OC，OB=OD，∠1＝∠2，求证∠B=∠D 证明：由SAS证明全等，则∠B=∠D
例题1-(2)-1图
例题1-(1)-4图 例题1-(1)-5图
例题1-(2)-2图 七年级下－三角形
4 2．线段之间关系 ⑴求具体线段长度 例题2-(1)-1:已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能为( C) A.5 B.6 C.11 D.16 思路：两边和，两边差与第三边关系。
例题2-(1)-2:一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是（C ） A.13 B.17 C.22 D.17或22 思路：对等腰三角形要注意分类。但对此题，若底边为9，那么两腰都为4，构不成三角形。所以必然是底边为4，两腰为9，所以三角形周长为4+9×2=22
例题2-(1)-3:如图，已知AD,AE分别是△ABC的高和中线， AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,∠CAB=90º，试求： (1)AD的长； (2)△ABE的面积； (3)△ACE和△ABE的周长差。 解：(1)三角形面积公式求AD长 (2)E是BC中点，所以BE=5cm，AD已知，则可求出面积。 (3)周长差实际是AC与AB的差，因为其它部分线段均相等。
例题2-(1)-4:如图，△ABC≌△DEF，BE=4,AE=1，则DE的长 是（A ） A.5 B.4 C.3 D.2 解：由全等可知DE=BE＝5
例题2-(1)-5:如图，△ACF与△DBE全等，∠E=∠F，若 AD=11,BC=7,线段AB的长为 解：∵△ACF≌△DBE，∴AC=BD，∴AB+BC=CD+BC
∴AB=CD ∴11()4222ABADBC
例题2-(1)-6:把等腰直角三角形的三角板按如图所示的方式立在桌面 上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点分别距离桌面5cm和3cm， 则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离即DE的 长为（ C） A.4cm B.6cm C.8cm D.求不出来
思路：三角形全等
例题2-(1)-3图 例题2-(1)-4图 例题2-(1)-5图
例题2-(1)-6图 七年级下－三角形
5 ⑵证明12LkL 例题2-(2)-1:如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE， 试问BE与CD能相等吗？请说明理由。 解：能相等。理由如下 ∵AB⊥AC，AD⊥AE ∴∠BAC=∠DAE=90º ∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE, 即∠BAE=∠CAD
在△BAE和△CAD中ABACBAECADAEAD ∴△BAE≌△CAD(SAS) ∴BE=CD 思路：全等证明线段相等
例题2-(2)-2:如图，已知AB=AD，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D 试说明：BC=DE 解：∵∠BAD=∠CAE ∴∠BAD＋∠DAC=∠CAE+∠DAC 即∠BAC=∠DAE
在△BAC和△DAE中，BACDAEABADBD∴△BAC≌△DAE(ASA) ∴BC=DE 例题2-(2)-3:如图，AB=AC，点D,E分别在AC,AB上，AG⊥BD , AF⊥CE，垂足分别为G、F，且AG=AF，求证：AD=AE
证明：∵AG⊥BD, AF⊥CE ∴∠AGB=∠AFC=90º 在Rt△AGB和Rt△AFC中，ABACAGAF
∴Rt△AGB≌Rt△AFC ∴∠B=∠C 在△ABD和△ACE中，BADCAEABACBC∴△ABD≌△ACE (ASA) ∴AD=AE (L1=L2+L3)截长补短法 例题2-(2)-4：如图，AC=BC，∠ACB=90º，AD平分∠CAB， 求证：AB=AC+CD 证明一：截长。如例题2-(2)-4解图。在AB上截AF=AC 则证明△ACD≌△AFD(SAS)，得出DC=DF， ∠AFD= ∠ACD=90º 由等腰直角三角形ABC得∠B= 45º 又∠AFD =90º 所以 ∠FDB=∠B= 45º 所以FB=DF=DC 所以AB=AC+CD
例题2-(2)-1图 例题2-(2)-2图 例题2-(2)-3图
例题2-(2)-4图 七年级下－三角形
6 证明二：延长AC至点E，使CE=CD 与证明一相同，由∠ACD =90º 且CE=CD，所以 ∠E=∠B=45º 可由三角形全等证明△AED≌△ABD(AAS) 所以AE=AB 所以AB=AC+CD
例题2-(2)-5：如图所示，在△ABC中，AB=AC，EF交AB于E，交AC 的延长线于点F，交BC于点D，且BE=CF。求证DE=DF 证明一：过点E作EG∥AC，所以∠F＝∠DEG，∠ACB=∠EGB 因为AB=AC，所以∠ACB=∠B 所以 ∠B=∠EGB 所以EG=BE=CF
所以在△EGD和△FCD中DEGFEDGFDCEGFC (AAS)
所以△EGD≌△FCD 所以DE=DF 证明二：过点F作FH∥AB，证明过程与证明一类似。 例题2-(2)-6：在△ABC中，∠B =60º，角平分线 AE、CF分别交BC、AB于E，F两点，AE，CF 相交于点O，求证AC=AF+CE 证明：如图，在AC上截AD=AF
由AFADFAODAOAOAO，证明△AFO≌△ADO ∴∠AOF＝∠AOD 又因为00011()(18060)6022OACOCAAC 所以∠AOC＝120º 所以∠AOF＝∠AOD＝∠COD＝∠COE＝60º
由ECODCODOCEOCOCOC，证明△CEO≌△CDO 所以CD=CE 所以AC=AF+CE
例题2-(2)-4解图 例题2-(2)-5图 例题2-(2)-5解图 例题2-(2)-6图 例题2-(2)-6解图
