人教版七年级下数学三角形知识点归纳典型例题及考点

初一下册数学《三角形》知识点复习总结书本，是甘甜淳厚的美酒，令人沉醉;校园，是清新淡雅的香茶，令人留恋。

那么你们知道关于初一下册数学《三角形》知识点复习总结内容还有哪些呢?下面是小编为大家准备的初一数学《三角形》知识点，欢迎阅读学习。

一、三角函数1.定义：在 rt△abc 中，∠c=rt∠ ，则 sina= ;cosa= ;tga= ;ctga= .2. 特殊角的三角函数值：0°30° 45° 60° 90°sin αcos αtg α /ctg α /3. 互余两角的三角函数关系：sin(90°- α)=cos α ; …4. 三角函数值随角度变化的关系5.查三角函数表二、解直角三角形1. 定义：已知边和角(两个，其中必有一边)→所有未知的边和角。

2. 依据：①边的关系：②角的关系：a+b=90°③边角关系：三角函数的定义。

注意：尽量避免使用中间数据和除法。

三、对实际问题的处理1. 俯、仰角：2.方位角、象限角：3.坡度：4.在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。

一、目标与要求1.认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。

2.经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系。

3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题。

4.三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理。

5.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。

二、重点三角形内角和定理;对三角形有关概念的了解，能用符号语言表示三条形。

三、难点三角形内角和定理的推理的过程;在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形;用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形。

四、知识框架五、知识点、概念总结1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

七年级数学下册第五章三角形知识点总结 考点一、三角形1、三角形的三边关系定理及推论1三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边. 推论：三角形的两边之差小于第三边. 2、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 推论：①直角三角形的两个锐角互余.②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和. ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角.4、三角形的面积三角形的面积=21×底×高 考点二、全等三角形 1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理：1边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可简写成“边角边”或“SAS”2角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等可简写成“角边角”或“ASA”3边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等可简写成“边边边”或“SSS”.4角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等可简写成“角角边”或“AAS”.直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理斜边、直角边定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可简写成“斜边、直角边”或“HL”3、全等变换只改变图形的位置,不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换.全等变换包括一下三种：1平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换.2对称变换：将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换.3旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换.考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质1等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等简称：等边对等角推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.推论2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°.2、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.1三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形.2要会区别三角形中线与中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行.数量关系：可以证明线段的倍分关系.常用结论：任一个三角形都有三条中位线,由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半.结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形.结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分.结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等.解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、直角三角形两直角边a,b 的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+5、摄影定理在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得： AB •CD=AC •BC考点二、锐角三角函数的概念 3~8分 1、如图,在△ABC 中,∠C=90° ①c asin =∠=斜边的对边A A②c bcos =∠=斜边的邻边A A③batan =∠∠=的邻边的对边A A A④abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、一些特殊角的三角函数值3、各锐角三角函数之间的关系1互余关系：sinA=cos90°—A,cosA=sin90°—A,tanA=cot90°—A,cotA=tan90°—A2平方关系：1cos sin 22=+A A 3倒数关系：tanA •tan90°—A=1 4弦切关系：tanA=AAcos sin 三角形相似考点一、比例线段 1、比例的性质 1基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔22更比性质交换比例的内项或外项dbc a =交换内项 ⇒=d c b a acb d =交换外项 abc d =同时交换内项和外项3反比性质交换比的前项、后项：cd a b d c b a =⇒= 4合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒= 5等比性质：ba n f db m ec a n fd b n m fe d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( 3、黄金分割把线段AB 分成两条线段AC,BCAC>BC,并且使AC 是AB 和BC 的比例中项,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AC=215-≈ 考点二、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 考点三、相似三角形 1、相似三角形的概念对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”来表示2、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似.相似三角形的等价关系：1反身性：对于任一△ABC,都有△ABC∽△ABC；2对称性：若△ABC∽△A’B’C’,则△A’B’C’∽△ABC3传递性：若△ABC∽△A’B’C’,并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’,则△ABC∽△A’’B’’C’’.3、三角形相似的判定1三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,可简述为两角对应相等,两三角形相似.④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似,可简述为两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,可简述为三边对应成比例,两三角形相似2直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似4、相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等,对应边成比例2相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比3相似三角形周长的比等于相似比4相似三角形面积的比等于相似比的平方.5、相似多边形1如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比或相似系数2相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等,对应边成比例②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比③相似多边形中的对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比④相似多边形面积的比等于相似比的平方6、位似图形如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时的相似比叫做位似比.性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上,它们到位似中心的距离之比都等于位似比.由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换.利用位似变换可以把一个图形放大或缩小.。

新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形知识点归纳与典型题解析一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2． （2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．考向一 等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为（ ） A ．40°，100° B ．70°，70°C ．60°，80°D ．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°； ②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°． 所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D ．【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o ，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．典例2 如图，在ABC ∆中，AB =AC ，D 是BC 的中点，下列结论不正确的是（ ）A．AD BC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故A选项正确；B．∠B=∠C，故B选项正确；C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；D．AD平分∠BAC，故D选项正确．故选C．【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC 的长为__________．【答案】4【解析】∵DE ⊥BC ，∠B =∠C =60°， ∴∠BDE =30°，∴BD =2BE =2，∵点D 为AB 边的中点，∴AB =2BD =4， ∵∠B =∠C =60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC =AB =4，故答案为：4．【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB =2BD 是解题的关键.3．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 上，以BD 为一边作等边BDE ∆，连接CE ． （1）说明ABD CBE ∆≅∆的理由； （2）若080BEC ∠=，求DBC ∠的度数．考向四 等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A ．∵∠A =∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB =AC ，且∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A =60°，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形D ．∵AB =AC ，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形 【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD 的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六 勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a 2+b 2=c 2时，斜边只能是c ．若b 为斜边，则关系式是a 2+c 2=b 2；若a 为斜边，则关系式是b 2+c 2=a 2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 cm cm ，则这个直角三角形的周长为__________.【答案】【解析】∵直角边长为cm cm ，∴斜边（cm ），∴周长cm ）.故答案为:【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键6．如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =，D 为BC 边上的中点.（1）求BD 、AD 的长度；（2）将ABC ∆折叠，使A 与D 重合，得折痕EF ；求AE 、BE 的长度.1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是 A ．3B ．4C ．7D ．52．如图，ABC △是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB =AC ，顶角∠BAC =120°，跨度BC =10m ，AD 为支柱（即底边BC 的中线），两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE +DF 等于A ．10mB ．5mC ．2.5mD ．9.5m4．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆为顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且60MDN ∠=︒，则AMN ∆的周长为A．2 B．3 C．1.5 D．2.55．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=A．24°B．25°C．30°D．35°6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A ．8个B ．9个C ．10个D ．11个9．如图，Rt △ABC 中，∠B =90〬，AB =9，BC =6，，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段AN 的长等于A ．5B ．6C ．4D ．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C 放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点A 在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC 与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A ．6B ．C ．D ．11．三角形的三边a ，b ，c （b ﹣c ）2=0；则三角形是_____三角形. 12．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13cm ，BC =10cm ，△ABC 的面积=________．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________. 14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD=__________°．17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为__________．18．如图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D 重合.（1）求证：△ACE为等腰三角形；（2）若AB=6，求AE的长.19．如图，一架2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7 m ．（1）求OA 的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．ABC ∆与DCE ∆有公共顶点C （顶点均按逆时针排列），AB AC =，DC DE =，180BAC CDE ∠+∠=︒，//DE BC ，点G 是BE 的中点，连接DG 并延长交直线BC 于点F ，连接,AF AD .（1）如图，当90BAC ∠=︒时， 求证：①BF CD =； ②AFD ∆是等腰直角三角形.（2）当60BAC ∠=︒时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出AFD ∆是何种特殊三角形.21．已知：如图，有人在岸上点C 的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB =10米，CA ⊥AB ，且CA =6米，拉动绳子将船从点B 沿BA 方向行驶到点D 后，绳长CD （1）试判定△ACD 的形状，并说明理由； （2）求船体移动距离BD 的长度．1．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．12．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．4．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD ．若90ACB ∠=︒，AC BC =，AB BD =，则ADC ∠=__________︒．5．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．6．若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为__________．7．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．8．如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．（1）求证：EF BC =；（2）若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）若∠C =42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE =FE ．10．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．求证：（1）DBC ECB △≌△； （2）OB OC =．11．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ． （1）若∠C =36°，求∠BAD 的度数．（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB =FE ．12．在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =； （3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=．1．【答案】4cm 或5cm【解析】当长是4cm 的边是底边时，腰长是12（13–4）=4.5， 三边长为4cm ，4.5cm ，4.5cm ，等腰三角形成立；当长是4cm 的边是腰时，底边长是：13–4–4=5cm ，等腰三角形成立． 故底边长是：4cm 或5cm ．故答案是：4cm 或5cm【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB <5+2，即：3<AB <7，∵AB 为奇数，∴AB =5， ∴△ABC 的周长为5+5+2=12． （2）∵AB =AC =5， ∴△ABC 是等腰三角形． 3．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】（1）由060ABC DBE ∠=∠=，得ABD CBE ∠=∠，由,AB BC BD BE ==， 得ABD CBE ∆≅∆（SAS ）；（2）由ABD CBE ∆≅∆，得060BCE A ∠=∠=，所以00000180180806040CBE BEC BCE ∠=-∠-∠=--=， 所以000060604020DBC CBE ∠=-∠=-=.【名师点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，先证明三角形全等是解决本题的突破口． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5． 5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5．6．【答案】（1）BD =2，AD =2）136AE =，56BE = 【解析】（1）∵在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =， ∴在Rt ABC ∆中，222225316BC AC AB =-=-=， ∴4BC =，又∵D 为BC 边上的中点， ∴122BD DC BC ===， ∴在Rt ABD ∆中，222222133AD AB BD =+=+=，∴AD =（2）ABC ∆折叠后如图所示，EF 为折痕，连接DE ，设AE x =，则DE x =，3BE x =-，在Rt BDE ∆中，222BE BD DE +=，即()22232x x -+=，解得：136x =， ∴136AE =， ∴135366BE =-=． 【名师点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.1．【答案】D【解析】∵两直角边分别为6和8，∴斜边10=， ∴斜边上的中线=12×10=5，故选D ． 【名师点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键． 2．【答案】A 【解析】ABC △是等边三角形，AC AB BC ∴==，又BC BD =，AB BD ∴=，∴20BAD BDA ∠=∠=︒0180CBD BAD BDA ABC ∴∠=-∠-∠-∠0000018020206080=---=，BC BD =，∴11(180)(18080)5022BCD CBD ∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒，故选A ．【名师点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键. 3．【答案】B【解析】∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E ，F ，∴DE =12BD ，DF =12DC ， ∴DE +DF =12BD +12DC =12（BD +DC ）=12B C ．∴DE +DF =12BC =12×10=5m ．故选B ． 【名师点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键. 4．【答案】A【解析】如图所示，延长AC 到E ，使CE =BM ，连接DE ，∵BD =DC ，∠BDC =120°，∴∠CBD =∠BCD =30°， ∵∠ABC =∠ACB =60°，∴∠ABD =∠ACD =∠DCE =90°，在△BMD 和△CED 中，90BD CDDBM DCE BM CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BMD ≌△CED （SAS ），∴∠BDM =∠CDE ，DM =DE ， 又∵∠MDN =60°，∴∠BDM +∠NDC =60°， ∴∠EDC +∠NDC =∠NDE =60°=∠NDM ， 在△MDN 和△EDN 中，DM DEMDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDN ≌△EDN （SAS ）， ∴MN =NE =NC +CE =NC +BM ，所以△AMN 周长=AM +AN +MN =AM +AN +NC +BM =AB +AC =2. 故选A.【名师点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键.5．【答案】C【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=18040702，∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案为C．【名师点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理求解，难度适中．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD=4．故选C．8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH⊥CH，在Rt △ACH 中，∵AH =3，∠AHC =90°，∠ACH =30°，∴AC =2AH =6，在Rt △ABC 中，AB ==D ．11．【答案】等边【解析】三角形的三边a ，b ，c 2()0b c -=，20,()0b c =-=，0,0a b b c ∴-=-=，解得：,a b b c ==，即a b c ==，则该三角形是等边三角形.故答案为：等边.【名师点睛】本题是一道比较好的综合题，考查了算术平方根的非负性、平方数的非负性、等边三角形的定义. 12．【答案】60cm 2．【解析】过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ， ∵AB =AC =13cm ，BC =10cm ， ∴BD =CD =5cm ，AD ⊥BC ，由勾股定理得：AD （cm ）， ∴△ABC 的面积=12×BC ×AD =12×10×12=60（cm 2）．【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及勾股定理，能根据等腰三角形的“三线合一”正确的添加辅助线是关键. 13．【答案】55°或125°【解析】如图，分两种情况进行讨论：如图1，当高在三角形内部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； 如图2，当高在三角形外部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； ∴∠CAB =180°–55°=125°， 故答案为55°或125°．【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键. 14．【答案】10【解析】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10． 15．【答案】24︒【解析】∵ADC ∠是三角形ABD 的外角，AED ∠是三角形DEC 的一个外角，CDE x ∠=︒， ∴ADC BAD B ADE EDC ∠=∠+∠=∠+∠，AED EDC C ∠=∠+∠，B BAD ADE x ∠+∠=∠+︒，AEDC x ∠=∠+︒，∵AB AC =，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD AE =，CDE x ∠=︒，∴B C ∠=∠，20ADE AED C ∠=∠=∠+︒，∴C BAD C x x ∠+∠=∠︒++︒，∵12EDC ∠=︒，∴24BAD ∠=︒，故答案为：24︒．16．【答案】15【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∠ACD =120°， ∵CG =CD ，∴∠CDG =30°，∠FDE =150°， ∵DF =DE ，∴∠E =15°．故答案为：15．17．【答案】【解析】如图，过点A 1作A 1M ⊥BC 于点M ．∵点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上，∠BCD =90°，∴∠A 1CM =45°，即△AMC 是等腰直角三角形，∴设CM =A 1M =x ，则BM =7-x ．又由折叠的性质知AB =A 1B =5，∴在直角△A 1MB 中，由勾股定理得A 1M 2=A 1B 2-BM 2=25-（7-x ）2，∴25-（7-x ）2=x 2，解得x 1=3，x 2=4，∵在等腰Rt △A 1CM 中，CA 1A 1M ，∴CA 1．故答案为：18．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）∵把△ABC 沿CE 折叠后，点B 恰好与斜边AC 的中点D 重合， ∴CD =CB ，∠CDE =∠B =90°，AD =CD ，在△ADE 和△CDE 中，90AD CDADE CDE ED ED =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）， ∴EA=EC ，∴△ACE 为等腰三角形； （2）由折叠的性质知：∠BEC =∠DEC ， ∵△ADE ≌△CDE ，∴∠AED =∠DEC ， ∴∠AED =∠DEC =∠BEC =60°，∴∠BCE =30°，∴12BE CE =， 又∵EA=EC ，∴11223BE AE AB ===，∴AE=4.【名师点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和30°角的直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握上述图形的性质是解题关键. 19．【解析】在直角△ABO 中，已知AB =2.5 m ，BO =0.7 m ，则AO ， ∵AO =AA ′+OA ′，∴OA ′=2 m ，∵在直角△A ′B ′O 中，AB =A ′B ′，且A ′B ′为斜边， ∴OB ′=1.5 m ，∴BB ′=OB ′-OB =1.5 m -0.7 m=0.8 m ． 答：梯足向外移动了0.8 m ．20．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）详见解析；【解析】（1）证明：①∵//DE BC ，∴GBF GED ∠=∠. 又,BG EG FGB DGE =∠=∠， ∴(ASA)GBF GED ∆∆≌，∴BF ED =. 又CD ED =，∴BF CD =；②当90BAC ∠=︒时，45ABC ACB ∠=∠=︒， ∵180BAC CDE ︒∠+∠=，∴90CDE ︒∠=.∵//DE BC ，∴90,45BCD CDE ACD ︒︒∠=∠=∠=，∴ABF ACD ∠=∠；又,AB AC BF CD ==，∴()ABF ACD SAS ∆∆≌， ∴,AF AD BAF CAD =∠=∠， ∴BAF FAC CAD FAC ∠+∠=∠+∠ 即90BAC FAD ∠=∠=︒，∴AFD ∆是等腰直角三角形.（2）所画图形如图1或图②，此时AFD ∆是等边三角形.图1 图2 与（1）同理，可证ABF ACD ∆∆≌， ∴AF =AD ，60BAC FAD ∠=∠=︒， ∴△AFD 是等边三角形.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是正确找到证明三角形全等的条件，利用全等三角形的性质得到边的关系，角的关系.21．【解析】（1）由题意可得：AC =6 m ，DCm ，∠CAD =90°，可得AD（m ）， 故△ACD 是等腰直角三角形．（2）∵AC =6 m ，BC =10 m ，∠CAD =90°， ∴AB（m ）， 则BD =AB -AD =8-6=2（m ）． 答：船体移动距离BD 的长度为2 m ．1．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODBOGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ． 2．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ， ∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 3．【答案】9【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB ACB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ， ∴BD =CE =9，故答案为：9． 4．【答案】105【解析】作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，如图所示，则DE CF =，∵CF AB ⊥，90ACB ∠=︒，AC BC =，∴12CF AF BF AB ===， ∵AB BD =，∴1122DE CF AB BD ===，BAD BDA ∠=∠， ∴30ABD ∠=︒，∴75BAD BDA ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴180ADC BAD ∠+∠=︒，∴105ADC ∠=︒，故答案为：105．5．【答案】6或【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6； ②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴BC == ③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD ==，∴8BD =，∴BC =∴此时底边长为6或【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论． 6．【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒， 故答案为：36︒．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°， 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CBAE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．【解析】（1）∵CAF BAE ∠=∠，∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．（2）∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键． 9．【解析】（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD =∠CAD ，∠ADC =90°，又∠C =42°，∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°． （2）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵EF ∥AC ， ∴∠F =∠CAD ， ∴∠BAD =∠F ，∴AE =FE ．10．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC ．11．【解析】（1）∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠，∵36C ∠=︒， ∴36ABC ∠=︒，∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒． （2）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠， 又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠， ∴EBF FEB ∠=∠， ∴BF EF =．【名师点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．【解析】（1）∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴AD BD DC ==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒， ∵2AB =，∴AD BD DC ===，∵30AMN ∠=︒，∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴30BMD ∠=︒，∴2BM DM =，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得DM =∴AM AD DM =-=（2）∵AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE △和ADF △中，B DAF DB DA BDE ADF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BDE ADF △≌△， ∴BE AF =．（3）如图，过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，∴90AME ∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，∴ME MA =，∵90AME ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴BME AMN ∠=∠，在BME △和AMN △中，E MAN ME MA BME AMN ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BME AMN △≌△，∴BE AN =，∴AB AN AB BE AE +=+==．【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形 的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

第四章三角形三角形三边关系三角形三角形内角和定理角平分线三条重要线段中线高线全等图形的概念全等三角形的性质SSS三角形SAS全等三角形全等三角形的判定ASAAASHL（适用于RtΔ）全等三角形的应用利用全等三角形测距离作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,称为三角形,可以用符号“Δ”表示.2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边,即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。

二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.用字母可表示为a+b〉c，a+c〉b，b+c〉a;a—b<c,a-c<b,b-c 〈a.2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c〉a同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。

3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即a b c a b-<<+.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。

2、三角形按内角的大小可分为三类:(1)锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；(2）直角三角形,即有一个内角是直角的三角形,我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”，其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边.注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。

3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数.4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半.5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角.都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。

图形的初步认识：三角形考点一、三角形1、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

2、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角平等边；等边平等角；大角对大边；大边对大角。

4、三角形的面积三角形的面积 = 1×底×高2考点二、全等三角形1、全等三角形的观点能够完整重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、三角形全等的判断三角形全等的判断定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“ SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“ SSS”）。

（4）角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“ AAS”）。

直角三角形全等的判断：关于特别的直角三角形，判断它们全等时，还有 HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“ HL”）3、全等变换只改变图形的地点，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包含一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行挪动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180°，这类变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转必定的角度到另一个地点，这类变换叫做旋转变换。

考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边平等角）推论 1：等腰三角形顶角均分线均分底边并且垂直于底边。

七下第三章三角形（知识点）一、知识要点：1．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．2．全等形的性质：（1）形状相同．（2）大小相等．3．全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．4．全等三角形的表示：（1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．（2）如图，和全等，记作．通常对应顶点字母写在对应位置上．5．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．（2）全等三角形的周长、面积相等．6．全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换．平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换．7．全等三角形基本图形翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素8．两个三角形全等的条件（1）全等三角形的判定1——边边边公理三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．“边边边”公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）．（2）全等三角形的判定2——边角边公理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．（3）全等三角形的判定3——角边角公理两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简写为“角边角”或“ASA”．（4）全等三角形的判定4——角角边推论两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．简称“角角边”或“AAS”．（5）直角三角形全等的判定——斜边直角边公理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边直角边”或“HL”．判定直角三角形全等的方法：①一般三角形全等的判定方法都适用；②斜边-直角边公理9、判定三角形全等方法的选择：10、一般情况下，证明关于三角形全等的题有以下步骤：（1）读题：明确题中的已知和求证；（2）要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中（3）、分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。

新人教版七年级下册书数学三角形知识复习与三角形有关的线段知识点1三角形的有关概念(1)三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.(2)三角形的特征：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接.(3)三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.知识点2三角形的三边关系(1)三角形任意两边之和大于第三边，(根据：两点之线段最短)(2)三角形任意两边之差小于第三边，说明：这里的“两边”指的是任意的两边，“两边之差”可能是正数，也可能是负数，一般地，取“差”的绝对值，知识点3三角形的角平分线(1)定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.(2)如图所示：AD是∠BAC的角平分线→∠1=∠2=∠BAC.反之，∠1=∠2=∠BAC.(或∠BAC=2∠1=2∠2)→AD是∠BAC的角平分线.(3)画法：三角形的角平分线画法与角的平分线的画法相同，可以用量角器，(4)角平分线是一条线段.(5)三条角平分线相交于一点，这点称为三角形的内心，它到三边的距离相等，知识点4三角形的中线(1)定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.(2)如图所示：AD是边BC上的中线→BD=DC=BC或BC=2BD=2DC反之，BD=DC=BC(或D为BC的中点)，AD是△ABC的一条中线.(3)画法：画三角形中线时只需连接顶点及对边中点即可.(4)图中，.知识点5三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.(2)高线叙述法：AD是△ABC的高，也可叙述如下：①AD是△ABC的BC边上的高.②AD⊥BC，垂足为D.③D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°.(3)三角形高线的画法：如图①、②、③所示.说明：①三角形的高线是一条线段.②锐角三角形的三条高都在三角形内，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条在三角形内部，它们的交点是直角顶点.③三角形的三条高交于一点，这一点叫三角形的垂心.知识点6三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形稳定性.一、选择题1.要组成一个三角形，三条线段的长度可取()A.1，2，3B.4，6，11C.5，6，7D.1.5，2.5，4.52.△ABC中，三边长为6，7，某，则某的取值范围是()A.2<某<12B.1<某<13C.6<某<7D.3.如图所示，△ABC中，∠B=55°，∠C=63°DE∥BA，则∠DEC等于()A.63°B.62°C.55°D.118°4.如图所示，D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，则下列说法中不正确的是()A.DE是△BDC的中线B.BD是△ABC的中线C.AD=DC，BE=ECD.图中∠C的对边是DE5.如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且，则S阴影为()A.2cm2B.1cm2C.cm2D6.设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q 表示等腰直角三角形，则下列四个图中，表示它们之间关系的是()7.如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC 于点E，F为AB上一点，CF⊥AD于点H，下面判断正确的有()①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高.A.1个B.2个C.3个D.0个8.已知一个三角形中，两条边的长为3cm和5cmA.2cmB.4cmC.5cm9.已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形()A.一定有一个内角为45°B.一定有一个内角为60°C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形10.几以下列各组线段为边，能组成三角形的是()A.2cm、2cm、4cmB.2cmC.7cm、6cm、3cmD.11cm11.三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形各角的度数是()A.45°、45°、99°B.30°、60°、90°C.36°、72°、72°D.25°、25°、130°12.如图所示，分别是△ABC的外角，，则∠ACB等于()A.20°B.30°C.40°D.80°13.在△ABC中，∠A=2∠B=75°，则∠C等于()14.若三角形的三边长分别为1，a，8，且a是整数，则a的值是()A.6B.7C.8D.915.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点O，若∠B=40°，则∠DOC等于()A.47°B.40°C.45°D.44°16.如图所示，l1∥l2，∠1=130°，∠2=110°，则∠ACE等于()A.50°B.55°C.60°D.65°17.如图所示，已知∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于()A.120°B.115°C.100°D.105°18.如图所示，工人师傅砌门时；需用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是()A.两点之间线段最短B.矩形的对称性C.矩形的四个角都是直角D.三角形的稳定性19.如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么他怎样最省事()A.带①和②去B.带①和③去C.只带③去D.只带①去20.三角形的两边长分别为2和5，则三角形的周长的取值范围是()A.3<l<7B.9<l<12C.10<l<14D.21.适合∠A=∠B=∠C的△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定22.直角三角形两锐角平分线相交所成角的度数为()23.如图所示，将一副直角三角板的直角顶点重合后叠放在一起，如果∠1=40°，那么∠2=()A.30°B.40°C.60°D.50°二、填空题1.如图所示；图中有个三角形，它们是，∠ACD是的内角.2.已知三个三角形的边长分别是5，3，4;5，5，7和6，6，6，则这三个三角形分别是三角形，三角形和三角形.3.一个三角形的两边长分别是1.5cm和6.5cm，第三条边长为奇数，则这个三角形的周长是4.如图所示，BM是△ABC的中线，已知AB=5cm，BC=3cm，则△ABM与△CBM的周长差是5.在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，则△ABC是三角形，若∠A=∠B=∠C，则△ABC是三角形.6.在等腰三角形中有一个角为40°，则另两个角分别为.7.一个三角形的三个内角之比为1:2:3，则三个内角分别为.8.如图所示，在△ABC中，BD是角平分线，BE是中线，如果AC=10cm，则AE=cm，如果∠ABC=60°，则∠ABD=9.如果a、b、c是三角形的三条边，那么|a-b-b|+|b-a-c|=.10.有四条线段的长分别为5cm，6cm，8cm，13cm11.如图所示，BD=DE=EC，则图中共有个三角形，AD、AE分别是△和△的中线；面积相等的三角形有.12.如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是.13.如图所示，已知AD、AE分别是△ABC的中线、高，且AB=5cm，AC=3cm.则△ABD与△ACD的周长之差为，△ABD与△ACD的面积关系三、解答题1.如图所示，其中共有多少个三角形？分别是什么？2.如图所示中，三角形被遮住的两个内角可能是什么角？3.如图所示，∠BAD=∠CAD，则AD是△ABC的角平分线，对吗？4.已知：正整数a、b、c，a<b<c，且c最大为6，问是否存在以a、b、c为三边长的三角形？若存在，最多可组成几个三角形？若不存在，说明理由.5.下列各组数都表示线段的长度，试判断以这些线段为边是否能组成三角形，(1)a-3，a，3(a>3);(2)a，a+4，a+6(a>0);(3)a，b，a+b(a>0，b>0)(4)a+1，a+1，2a(a6.已知三角形的两边的长分别是2cm和7cm，7.如图所示，点B、C、D、E在同一条直线上，图中共有几个三角形？表示出这些三角形，并写出它们的边和角.8.已知在△ABC中，∠B=70°，∠BAC:∠BCA=3:2，CD⊥AB于点D，求∠ACD的度数.9.如图所示，∠A=60°，∠B=30°，∠C=20°，求∠BOC的度数.10.在△ABC中，已知∠A-∠B=30°，∠C=4∠B，求∠B、∠C的度数.11.如图所示：(1)指出图中共有哪几个三角形？(2)AC是哪些三角形的边？(3)若AB⊥CD，垂足为D，则CD是哪些三角形的高？(4)若E是BC的中点，则AE是哪个三角形的中线？12.如图所示，△ABC中，BD是中线，AB=6cm，BC=5cm，求△ABD的周长与△DBC13.如图所示，P是△ABC内任意一点.证明：(1)AB+AC>PB+PC；(2)∠BPC>∠A.14.如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，且∠ABC+∠ACB=130°，求∠BOC的度数.15.在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是尽力向球门AB冲近，如图所示，你知道这是为什么吗？16.如图所示，四个村庄分别位于A、B、C、D，现在要打口深水井O，使它到四个村庄铺设的水管最节省，那么这一深水井必须位于AC和BD的交点上，为什么？17.如图所示，已知OA=8，P为射线ON上一动点，即P可在射线ON上运动，∠AON=60°.(1)OP为多少时，△AOP为等边三角形？(2)OP为多少时，△AOP为直角三角形？(3)OP满足什么条件时，△AOP为锐角三角形？(4)OP满足什么条件时，△AOP为钝角三角形？8.如图所示，已知在Rt△ABC.中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=(1)△ABC的面积；(2)CD的长.。

第七章三角形【知要点】一．三角形1．关于三角形的概念及其按角的分定：由不在同一直上的三条段首尾次相接所成的形叫做三角形。

2．三角形的分：①三角形按内角的大小分三：角三角形、直角三角形、角三角形。

②三角形按分两：等腰三角形和不等三角形。

2．关于三角形三条的关系（判断三条段能否构成三角形的方法、比段的短）根据公理“ 两点之，段最短”可得：三角形任意两之和大于第三。

三角形任意两之差小于第三。

3．与三角形有关的段：三角形的角平分、中和高．．三角形的角平分：三角形的一个角的平分与相交形成的段；三角形的中：接三角形的一个点与中点的段，三角形任意一条中将三角形分成面相等的两个部分；三角形的高：三角形的一个点做的垂，条垂段叫做三角形的高。

注意：①三角形的角平分、中和高都是段，不是直，也不是射；②任意一个三角形都有三条角平分，三条中和三条高；③任意一个三角形的三条角平分、三条中都在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角；角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。

④一个三角形中，三条中交于一点，三条角平分交于一点，三条高所在的直交于一点。

（三角形的三条高（或三条高所在的直）交与一点，角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角点，角三角形高（所在的直）的交点在三角形的外部。

）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和： 180°引申：①直角三角形的两个角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个角；③一个三角中至少有两个内角是角。

（2）三角形的外角和： 360°（3）三角形外角的性：①三角形的一个外角等于与它不相的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相的内角。

——常用来比角的大小5. 多形的内角与外角（ 1）多形的内角和：（ n-2 ） 180°（ 2）多形的外交和：360°引申：（ 1）从 n 形的一个点出能作（n-3 ）条角；（ 2）多形有n(n3)条角。

（共1页，第 1 页） 第七章 三角形---知识要点汇总(人教版)
★【本章知识框架】
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧；正多边形内角度数公式正多边形定义；多边形外角和定理；
多边形内角和公式；多边形：
；、三角形外角性质定理
三角形内角和定理；
三角形三边关系定理；；三角形的角平分线定义
三角形的中线定义；
三角形的高线定义；三角形中的重要线段：三角形定义；三角形：21 ★【本章知识清单】
1. 三角形的定义：由不在一直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形叫做三角形.
2．三角形的三边关系定理： 三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.
3．三角形的高线定义： 从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.
4．三角形的中线定义： 在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.
5．三角形的角平分线定义： 三角形的一个角的平分线与 这个角的对边相交，这个角 的顶点和交点之间的线段 叫做三角形的角平分线.
6．三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
7．三角形的外角性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
8．三角形的外角性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
9．多边形的内角和公式：n 多边形的内角和等于︒⋅-180)2(n
10．多边形的外角和定理：多边形的外角和等于︒360
11．正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形
12．正多边形的内角度数公式：正多边形的一个内角等于2
180)2(︒⋅-n。

BC三角形知识点归纳、典型练习题及考点分析一、三角形相关概念 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A 、B 、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC ，其中线段AB 、BC 、AC 是三角形的三条边，∠A 、∠B 、∠C 分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．练习题：1、图中共有（ A ：5 B ：6 C ：7 D ：82、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（ ） A ：AE B ：CD C ：BF D ：AF 3、三角形一边上的高（ ）。

A ：必在三角形内部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能 4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。

三角形知识点一、三角形相关概念1．三角形的概念: 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示:通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段: 三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．知识点二、三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可知识点三、三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．知识点四、三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．知识点五、三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3．外角个数过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．六、多边形①多边形的对角线2)3(nn条对角线；②n边形的内角和为（n－2）×180°；③多边形的外角和为360°一、选择题：1.下列可能是n边形内角和的是（）A、300°B、550°C、720°D、960°2.若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，则此多边形是( )A、八边形B、十边形C、十二边形D、十四边形3.多边形每一个内角都等于150°，则此多边形一个顶点发出的对角线有（）A、7条B、8条C、9条D、10条4.小李家装修地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的地砖形状是( )A、正方形B、正六边形C、正八边形D、正十二边形二、填空题：1.一个多边形中，它的内角最多可以有个锐角。

初一数学下册三角形重难点汇总，知识点4大例题解析三角形一．知识框架二．知识概念1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

11.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

12.公式与性质三角形的内角和：三角形的内角和为180°；三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°多边形的外角和：多边形的内角和为360°。

多边形对角线的条数：从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）经典例题一：已知，如图D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，∠A＝46°，∠D＝50°．求∠ACB的度数．经典例题二：已知，如图△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC＝60°，求∠BOC的度数．经典例题三：已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数．经典例题四：已知，如图CE是△A BC的外角∠ACD的平分线，BE 是∠ABC内任一射线，交CE于E．求证：∠EBC＜∠ACE．参考答案：一：94°；二：120°；三：10°；四：∠EBC＜∠DCE，而∠DCE＝∠ACE，∴ ∠EBC＜∠ACE．。

七年级数学下册第七章三角形知识点归纳一、知识梳理：二、专项训练:1．一个三角形的三个内角中 （ ） A 、至少有一个钝角 B 、至少有一个直角 C 、至多有一个锐角 D 、 至少有两个锐角2.下列长度的三条线段,不能组成三角形的是 （ ）A 、a+1,a+2,a+3(a>0)B 、 3a,5a,2a+1(a>0)C 、三条线段之比为1：2：3D 、 5cm ，6cm ，10cm 3．下列说法中错误的是 （ ）A 、一个三角形中至少有一个角不少于60°B 、三角形的中线不可能在三角形的外部C 、直角三角形只有一条高D 、三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分4．图中有三角形的个数为 （ ）A 、 4个B 、 6个C 、 8个D 、 10个5.如图，点P 有△ABC 内，则下列叙述正确的是（ ） A 、︒=︒y x B 、x °>y ° C 、x °<y ° D 、不能确定 6．已知，如图，AB ∥CD ，∠A=700，∠B=400，则∠ACD=（ ） A 、 550B 、700C 、 400D 、 1107．下列图形中具有稳定性有 （ ）A 、 2个B 、 3个C 、 4个D 、 5个8．一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为 （ ）A 、 6B 、 7C 、 8D 、 99.如图所示，已知△ABC 为直角三角形，∠C=90，若烟图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2 等于（ ）A 、90°B 、135°C 、270°D 、315°第（4）题E DCBA（1）（2）（3）（4）（5）（6）第（6）题DCBA第（5）题P y 0x 0CBA⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩定义:由不在______三条线段______所组三角形 成的图形表示方法:_________________________三角形两边之和_____第三边三角形三边关系三角形两边之差_____第三边中线________________三角形的三条重要线段高线________________三角形角平分线____________内角和__三角形的内角和与外角和多边形⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩__________1________外角性质2________外角和____________三角形面积:______________________________三角形具有____性,四边形__________性多边形定义_______________________________多边形n 边形内角和为__________多⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩边形外角和为____从n 边形一个顶点可作出_____条对角线定义:__________________________________能用一图形镶嵌地面的有_________________平面镶嵌能用两种正多边形镶嵌地面的有_____和___________和_______;_______和_____________⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪第（9）题 第（10）题10. 如图所示，在△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，并且CD 、BE 交于，点P ，若∠A=500，则∠BPC 等于（ ）A 、90°B 、130°C 、270°D 、315°11．用正三角形和正方形能够铺满地面，每个顶点周围有______个正三角形和_____个正方形。

新人教版初中数学——三角形及其全等知识点归纳及例题解析一、三角形的基础知识1．三角形的概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2．三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3．三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4．三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．二、全等三角形1．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．考向一三角形的三边关系在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．典例1 小芳有两根长度为6 cm和9 cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为__________的木条．A．2 cm B．3 cmC．12 cm D．15 cm【答案】C【解析】设木条的长度为x cm，则9–6<x<9+6，即3<x<15，故她应该选择长度为12 cm的木条．故选C．1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是A．2 cm，5 cm，8 cm B．3 cm，3 cm，6 cmC．3 cm，4 cm，5 cm D．1 cm，2 cm，3 cm考向二三角形的内角和外角在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．典例2 小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中90E ∠=︒，90C ∠=︒，45°A ∠=，30D ∠=︒，则12∠+∠等于A ．150︒B ．180︒C ．210︒D ．270︒【答案】C【解析】如图，∵1D DOA ∠=∠+∠，2E EPB ∠=∠+∠， ∵DOA COP ∠=∠，EPB CPO ∠=∠， ∴12D E COP CPO ∠+∠=∠+∠+∠+∠ =180D E C ∠+∠︒+-∠ =309018090210︒︒︒︒++-=︒， 故选C ．2．如图，CE 是△ABC 的外角ACD ∠的平分线，若3560，B ACE ∠=︒∠=︒，则A ∠=__________．3．如图，在△ABC 中，∠ACB =68°，若P 为△ABC 内一点，且∠1=∠2，则∠BPC =__________．考向三三角形中的重要线段三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.典例3 在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是A．5 B．7 C．9 D．11【答案】B【解析】∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=12BC=2，DF∥BC，EF=12AB=32，EF∥AB，∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+32）=7，故选B．【名师点睛】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．典例4 在△ABC中，∠BAC=115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为A．50°B．40°C．30°D．25°【答案】A【解析】∵∠BAC=115°，∴∠B+∠C=65°，∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴EA=EB，GA=GC，∴∠EAB=∠B，∠GAC=∠C，∴∠EAG=∠BAC–（∠EAB+∠GAC）=∠BAC–（∠B+∠C）=50°，故选A．4．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于D点，AB=4，BD=5，点P是线段BC上的一动点，则PD 的最小值是__________．考向四全等三角形1．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：（1）已知两边SASHLSSS ⎧⎪⎨⎪⎩找夹角→找直角→找第三边→（2）已知一边、一角AASSASASAAAS⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩一边为角的对边→找另一角→找夹角的另一边→一边为角的邻边找夹角的另一角→找边的对角→（3）已知两角ASAAAS ⎧⎨⎩找夹边→找其中一角的对边→2．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．典例5 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DE，∠A=∠D，BF=EC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A=120°，∠B=20°，求∠DFC的度数．【解析】（1）∵AB∥DE，∴∠B=∠E，∵BF=EC∴BF+FC=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，A DB E BC EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEF．（2）∵∠A=120°，∠B=20°，∴∠ACB=40°，由（1）知△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠DFE，∴∠DFE=40°，∴∠DFC=40°．【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，①三边对应相等的两个三角形全等，简记为“SSS”；②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS”；③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简记为“ASA”；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为“AAS”；⑤斜边及一直角边对应相等的两个三角形全等，根据这几种判定方法解答即可．5．如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列3个结论：①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③点E在∠O的平分线上，其中正确的结论个数是A．0 B．1 C．2 D．36．如图，在△BCE中，AC⊥BE，AB=AC，点A、点F分别在BE、CE上，BF、AC相交于点D，BD=CE．求证：AD=AE．1．下列线段，能组成三角形的是A．2 cm，3 cm，5 cm B．5 cm，6 cm，10 cmC．1 cm，1 cm，3 cm D．3 cm，4 cm，8 cm2．下列图形不具有稳定性的是A．正方形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形3．直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为A．45°B．55°C．65°D．50°4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE=1，则BC=A3B．2 C．3 D3+25．如图所示，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是A．∠A=∠D B．∠E=∠CC．∠A=∠C D．∠1=∠26．如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH=AC，则∠ABC=__________．7．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3=__________度．8．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=8，CF=5，则BD=__________．9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AF⊥BD，F为垂足，过点C作AB的平行线交AF的延长线于点E．求证：（1）∠ABD=∠FAD；（2）AB=2CE．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，F分别在AB，AC上，CF=C B．连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥C D．求∠BDC的度数．11．如图，操场上有两根旗杆CA与BD之间相距12 m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3 m，小强同学行走的速度为0.5 m/s，则：（1）请你求出另一旗杆BD的高度；（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是 A ．2，2，4 B ．5，6，12 C ．5，7，2 D ．6，8，102．三角形的内角和等于 A ．90︒B ．180︒C ．270︒D ．360︒3．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则1∠的度数是A ．95︒B ．100︒C ．105︒D ．110︒4．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°5．如图，在ABC △中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使2ADC B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是A ．B ．C ．D ．6．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于A ．4B ．3C ．2D ．17．如图，DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且85AC BC ==，，则BEC △的周长是A ．12B ．13C ．14D ．158．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，FC AB ∥，若4AB =，3CF =，则BD 的长是A ．0.5B ．1C ．1.5D ．29．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D =90°，AD =4，BC =3．分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为A ．2B ．4C ．3D 1010．一副三角板如图摆放（直角顶点C 重合），边AB 与CE 交于点F ，DE BC ∥，则BFC ∠等于A ．105︒B ．100︒C ．75︒D ．60︒11．如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为F ．若∠ABC =35°，∠C =50°，则∠CDE 的度数为A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°12．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．113．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．14．如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得DE =50 m ，则AB 的长是__________m ．15．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．16．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．17．如图，AB CD ∥，AD 和BC 相交于点O ，OA OD =．求证：OB OC =．18．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE =FE ，FC ∥AB ，求证：ADE CFE △≌△．19．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．△≌△；求证：（1）DBC ECB．（2）OB OC变式拓展1．【答案】C【解析】2cm+5cm<8cm，A不能组成三角形；3cm+3cm=6cm，B不能组成三角形；3cm+4cm＞5cm，C能组成三角形；1cm+2cm=3cm，D不能组成三角形；故选C．2．【答案】85°【解析】∵∠ACE=60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACD=2∠ACE=120°，∵∠ACD=∠A+∠B，∠B=35°，∴∠A=∠ACD-∠B=85°，故答案为：85°．3．【答案】112°【解析】∵∠1+∠PCB=∠ACB=68°，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠PCB=68°，∵∠BPC+∠2+∠PCB=180°，∴∠BPC=180°-68°=112°，故答案为：112°．4．【答案】3【解析】由勾股定理知AD3=，BD平分∠ABC交AC于D点，所以PD=AD最小，PD=3，故答案为：3．5．【答案】D【解析】∵OA=OB，∠A=∠B，∠O=∠O，∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正确；∴OD=CO，∴BD=AC，∴△ACE≌△BDE（AAS），故②正确；∴AE=BE，连接OE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AOE=∠BOE，∴点E在∠O的平分线上，故③正确，故选D．6．【解析】∵AC⊥BE，∴∠BAD=∠CAE=90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，BD CE AB AC=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD=AE．1．【答案】B【解析】A、3+2=5，故选项错误；B、5+6>10，故正确；C、1+1<3，故错误；D、4+3<8，故错误．故选B．2．【答案】A【解析】根据三角形具有稳定性可知，只有选项A不具有稳定性，故选A．3．【答案】B【解析】设两个锐角分别为x、y，由题意得，=90=20x yx y+︒-︒⎧⎨⎩，解得=55=35xy︒︒⎧⎨⎩，所以最大锐角为55°．故选B．4．【答案】C【解析】根据角平分线的性质可得CD=DE=1，根据Rt△ADE可得AD=2DE=2，根据题意可得△ADB为等腰三角形，则DE为AB的中垂线，则BD=AD=2，则BC=CD+BD=1+2=3．故选C．5．【答案】D【解析】根据全等“SAS”判定可知，要证△ABE≌△DBC还需补充条件AB，BE与BC，BD的夹角相等，即∠ABE=∠CBD或者∠1=∠2，故选D．6．【答案】45°【解析】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠HBD+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠HBD=∠CAD，∵在△HBD和△CAD中，HBD CADHDB CDA BH AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△HBD≌△CAD，∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵∠ADB=90°，∴∠ABD=45°，即∠ABC=45°故答案为：45°．7．【答案】135【解析】如图所示：由题意可知△ABC≌△EDC，∴∠3=∠BAC，又∵∠1+∠BAC=90°，∴∠1+∠3=90°，∵DF=DC，∴∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135度，故答案为：135．8．【答案】3【解析】∵AB∥CF，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，又∵DE=FE，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF=5，∵AB=8，∴BD=AB–AD=8–5=3，故答案为：3．9．【解析】(1)∵∠BAC=90°，∴∠FAD＋∠BAF=90°.∵AF⊥BD，∴在Rt△ABF中，∠ABD＋∠BAF=90°，∴∠ABD=∠FAD．(2)∵CE∥AB，∠BAC=90°，∴∠ACE=90°，在△BAD和△ACE中，∵∠ABD=∠CAE，AB=CA，∠BAC=∠ACE=90°，∴△BAD≌△ACE(ASA)，∴AD=CE.∵BD为△ABC中AC边上的中线．∴AC=2AD，∴AC=2CE.又∵AB=AC，∴AB=2CE.10．【解析】（1）∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°–∠ACD=∠FCE，在△BCD和△FCE中，CB=CF，∵BCD=∠FCE，CD=CE，CB=CF，∠BCD=∠FCE，∴△BCD≌△FCE．（2）由（1）可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，∵EF∥CD，∴∠E=180°–∠DCE=90°，∴∠BDC=90°．11．【解析】（1）如图，∵CM和DM的夹角为90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠DBA=90°，∴∠2+∠D=90°，∴∠1=∠D，在△CAM 和△MBD 中，1A B D CM MD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△CAM ≌△MBD （AAS ），∴AM =DB ，AC =MB ， ∵AC =3m ，∴MB =3m ，∵AB =12m ，∴AM =9m ，∴DB =9m ； （2）9÷0.5=18（s ）． 答：小强从M 点到达A 点还需要18秒．1．【答案】D【解析】∵224+=，∴2，2，4不能组成三角形，故选项A 错误， ∵5612+<，∴5，6，12不能组成三角形，故选项B 错误， ∵527+=，∴5，7，2不能组成三角形，故选项C 错误， ∵6810+>，∴6，8，10能组成三角形，故选项D 正确，故选D ． 2．【答案】B【解析】因为三角形的内角和等于180度，故选B ． 3．【答案】C 【解析】如图，直通中考由题意得，2454903060∠=︒∠=︒︒=︒，-，∴3245∠=∠=︒， 由三角形的外角性质可知，134105∠=∠+∠=︒，故选C ． 4．【答案】B【解析】∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠EBM =12∠ABC ， ∵CE 是外角∠ACM 的平分线，∴∠ECM =12∠ACM ， 则∠BEC =∠ECM –∠EBM =12×（∠ACM –∠ABC ）=12∠A =30°，故选B ．5．【答案】B【解析】∵2ADC B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠，∴B BCD ∠=∠，∴DB DC =， ∴点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点，故选B ． 6．【答案】C【解析】如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，∵8AC =，13DC AD =，∴18213CD =⨯=+， ∵90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，∴2DE CD ==，即点D 到AB 的距离为2，故选C ． 7．【答案】B【解析】∵DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∵85AC BC ==，，∴BEC △的周长是：13BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+=．故选B ． 8．【答案】B【解析】∵CF AB ∥，∴A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，在ADE △和FCE △中，A FCEADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE CFE △≌△，∴3AD CF ==，∵4AB =，∴431DB AB AD =-=-=．故选B ． 9．【答案】A【解析】如图，连接FC ，则AF =FC ．∵AD ∥BC ，∴∠FAO =∠BCO ．在△FOA 与△BOC 中，FAO BCO OA OC AOF COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△FOA ≌△BOC （ASA ），∴AF =BC =3，∴FC =AF =3，FD =AD -AF =4-3=1．在△FDC 中，∵∠D =90°，∴CD 2+DF 2=FC 2，∴CD 2+12=32，∴CD 2A ． 10．【答案】A【解析】由题意知45E ∠=︒，30B ∠=︒，∵DE CB ∥，∴45BCF E ∠=∠=︒， 在CFB △中，1801803045BFC B BCF ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒105=︒，故选A ． 11．【答案】C【解析】∵BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，∴∠ABD =∠EBD =12∠ABC =352︒，∠AFB =∠EFB =90°，∴∠BAF =∠BEF =90°-17.5°，∴AB =BE ，∴AF =EF ，∴AD =ED ，∴∠DAF =∠DEF ， ∵∠BAC =180°-∠ABC -∠C =95°，∴∠BED =∠BAD =95°，∴∠CDE =95°-50°=45°，故选C ． 12．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OBAOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO 平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ．13．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 14．【答案】100【解析】∵点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴AB =2DE =2×50=100 m ． 故答案为：100．15．【答案】9 【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ，∴BD =CE =9，故答案为：9．16．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CB AE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．17．【解析】∵AB CD ∥，∴A D ∠=∠，B C ∠=∠，在AOB △和DOC △中，A D B C OA OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOB DOC △≌△，∴OB OC =．18．【解析】∵FC ∥AB ，∴∠A =∠FCE ，∠ADE =∠F ，所以在△ADE 与△CFE 中，A FCE ADE F DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CFE ．19．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △，∴∠DCB =∠EBC ，∴OB =OC ．。

教案△ABC的各边的长。

9、在∆ABC中，A D是BC边上的中线，已知AB=7 AC=5，求∆AB D和∆AC D的周长的差10.在△ABC中AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长。

7.2与三角形有关的角7.2.1三角形的内角三角形的内角和等于180。

7.2.2三角形的外角三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

1.在△ABC中，若∠A=∠B=21∠C，则∠C等于（）A.45°B.60°C.90°D.120°2.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4的度数为（）A100° B.180° C.360° D.无法确定3.如图所示，AB∥CD，AD，BC交于O，∠A=35°，∠BOD=76°，则∠C的度数是（）A.31°B.35°C.41°D.76°4.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4的度数为 .5.一幅三角板，如图所示叠放在一起，则图中a的度数为（）A.75°B.60°C.65°D.55°6．将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下的角的个数是（）第4题图第2题图第3题图第6题图A、3个B、4个C、5个D、3个或4个或5个7.如图所示，已知AB∥CD，∠A=55°，∠C=20°，则∠P= （）8.如图所示，∠A +∠B+∠C+∠D+∠E=（）；9.如图9,∠ABC,∠ACB的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°,则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=________.10.如图10所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.11.如图11所示,在△ABC中,∠A=70°,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,求∠BOC的度数.图9 图10 图1112.如图12所示,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°, 求∠DAC的度数.图1213．如图7-4，BC⊥ED于O，∠A=27°，∠D=20°，则∠B= ，∠ACB= ．第7题图第8题图EODCBADCBAOCBA4321D CBA图7-4 图7-515．如图7-5，由平面上五个点A、B、C、D、E连结而成，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ．16．如图，在三角形ABC中，∠B＝∠C，D是BC上一点，且FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝140°，你能求出∠EDF的度数吗？17. 如图，∠1 = 20°，∠2 = 25°，∠A = 35°，求∠BDC的度数。