测试卷16 概率-2021年高考数学一轮复习创优测评卷(新高考专用)(原卷版)

『高考复习·精推资源』『题型归纳·高效训练』2021年高考数学一轮复习立体几何创优测评卷(新高考专用)一、单选题（共60分，每题5分）1．在平面几何中，有“若的周长，面积为，则内切圆半径”，类比上述结论，在立体ABC ∆c S 2Sr c =几何中，有“若四面体的表面积为，体积为，则其内切球的半径（ ）ABCD S V r =A ． B ． C ． D ．3V S 2V S 2V S 3V S2．在立体几何中，以下命题中假命题的个数为（ ）①若直线，平面，则.//a b b ⊂α//a α②若平面平面，平面平面，，则.α⊥γβ⊥γl αβ= l γ⊥③有3个角是直角的四边形是矩形.④若平面平面，平面，平面，且，则.α⊥βa ⊂αb ⊂βa b ⊥r ra β⊥A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于1111ABCD A B C D -,E F 111,B BB C G 1CC AG 平面的截面的面积为（ ）1A EFA ．B ．C ．D198894．如图（1）（2）（3）（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可知这四个几何体依次分别为（ ）A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱锥、圆锥、圆台5．已知正方体的棱长为1，平面过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该α正方体在平面内的正投影面积是（ ）αABCD6．α，β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是( )A ．平面α内有两条直线a ，b 都与平面β平行，那么α∥βB ．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC ．若直线a 与平面α和平面β都平行，那么α∥βD ．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β7．在三棱锥中，已知，，点，分别为棱，的中P ABC -PA AB AC ==BAC PAC ∠=∠D E BC PC 点，则下列结论正确的是( )A ．直线直线B ．直线直线DE ⊥AD DE ⊥PA C ．直线直线D ．直线直线DE ⊥ABDE ⊥AC8．已知平面平面，交于直线，且直线，直线，则下列命题错误的是（ ）α⊥βl a α⊂b β⊂A ．若，则或//a b //a l //b lB ．若，则且a b ⊥r ra l ⊥b l⊥C ．若直线都不平行直线，则直线必不平行直线,a b l a b D ．若直线都不垂直直线，则直线必不垂直直线,a b l a b 9．以下四个命题中，正确的是（ ）A ．若,则三点共线1123OP OA OB=+ ,,P A B B ．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底{},,a b c{},,a b b c c a+++ C ．()a b c a b c⋅=⋅⋅ D ．为直角三角形的充要条件是ABC ∆·0AB AC =10．如图，设是正方形所在平面外一点，且平面，则平面与平面、平P ABCDPA ⊥ABCD PAB PBC 面所在平面的位置关系是（）PAD A ．平面与平面平面都垂直PAB PBC 、PAD B ．它们两两垂直C ．平面与平面垂直，与平面不垂直PAB PBC PAD D ．平面与平面、平面都不垂直PAB PBC PAD 11．在平面中，与正方形的每条边所成角都相等的直线与.将此结论类ABCD AB 比到空间中，得到的结论为:在空间中，与正方体的每条棱所成角都相等的直线与1111ABCD A B C D -所成角的余弦值为（ ）AB ABCD12．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离．平面两两互相垂直，点，点到的距离都是，点是上的动点，满足γβα，，α∈A A γβ,3P α到的距离是点到点距离的倍，则点的轨迹上的点到的距离的最小值为（ ）P βP A 2P γAB ．．3-6-3-二、填空题（共20分，每题5分）13．如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正A B ,,M N Q 方体中，直线与平面平行的是________.AB MNQ ①②③④．14．图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则两球半径之和为________.15．正方体的棱长为1，在正方体内随机取点，则使四棱锥的体积小于1111ABCDA B C D M M ABCD -的概率为__．1616．已知空间向量，，（其中、），如果存在实数，使得()21,3,0a x x =+()1,,3b y y =- x y R ∈λ成立，则_____________.a b λ=x y +=三、解答题17．（10分）如图，是由两个全等的菱形和组成的空间图形，ABCDFE ABEF CDFE ，∠BAF ＝∠ECD ＝60°.2AB =（1）求证：；BD DC ⊥（2）如果二面角B －EF －D 的平面角为60°，求直线与平面所成角的正弦值.BD BCE 18．（12分）如图，在正方体中，点，分别在棱，上，且满足1111ABCD A B C D -E F 1CC AB ，.12CE EC =2AF FB =（1）证明：平面平面；ADE ⊥11A D F（2）若，求平面截正方体所得截面的面积.3AB =11A C F1111ABCD A B C D -19．（12分）如图，在正方体中，是的中心，分别是线段ABCD A B C D ''''-O A BD '∆,E F上的动点，且，．,A C C D '''A E A C λ'''= ()()1C F C D R λλ''=-∈（Ⅰ）若直线平面，求实数的值；OE BC D 'λ（Ⅱ）若，正方体的棱长为2，求平面和平面所成二面角的余弦12λ=ABCD A B C D ''''-BEF A BD '值．20．（12分）已知空间向量1(sin ,1,cos ),(1,2cos ,1),,(0,52a b a b παααα=-=⋅=∈（1）求及的值；sin 2αsin ,cos αα（2）设函数的最小正周期及取得最大值时x 的值。

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单元训练金卷▪高三▪数学卷〔A 〕第十六单元 立体几何综合考前须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试完毕后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．如图，O A B '''△是水平放置的OAB △的直观图，那么OAB △的面积为〔 〕A ．6B ．32C ．12D ．622．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的全面积和侧面积的比是〔 〕 A ．()12π:2π+B ．()14π:4π+C ．()12π:π+D ．()14π:2π+3．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔 〕A ．180B ．200C ．220D ．2404．两直线m 、n 和平面α，假设m α⊥，n α∥，那么直线m 、n 的关系一定成立的是〔 〕 A ．m 与n 是异面直线 B ．m n ⊥ C ．m 与n 是相交直线D ．m n ∥5．某球的体积大小等于其外表积大小，那么此球的半径是〔 〕A ．3B ．3C ．4D ．56．如果一个几何体的三视图如下图，正视图与侧视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，〔单位长度：cm 〕，那么此几何体的体积是〔 〕A ．323cmB ．343cmC ．33cm 8D ．343cm 37．直线1l 、2l ，平面α，21l l ∥，1l α∥，那么2l 与平面α的关系是〔 〕． A ．1l α∥B ．2l α⊂C ．2l α∥或2l α⊂D ．2l 与α相交8．假设长方体的一个顶点上三条棱长分别为3，4，5．那么长方体外接球的外表积为〔 〕 A ．40πB ．35πC ．50πD ．60π9．在正四面体ABCD 中，E 为AB 的中点，那么CE 与BD 所成角的余弦值为〔 〕 A ．36B ．16C ．33 D ．1310．直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出以下命题： ①l m αβ⊥⇒∥；②l m αβ⇒⊥∥； ③l m αβ⊥⇒∥； ④l m αβ⇒⊥∥；其中正确命题的序号是〔 〕 A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．②④11．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，那么该球的体积为〔 〕 A ．4π3B ．2π3C ．3π2D ．π612．一个几何体的三视图如以下图所示，那么该几何体的外表积为〔 〕A ．1023+B ．103+C ．123+D ．1123+此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号二、填空题〔本大题有4小题，每题5分，共20分．请把答案填在题中横线上〕 13．底面边长和侧棱长均为2的正四棱锥的体积为__________．14．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为3，顶点都在同一个球面上，那么该球的外表积为〔 〕 A ．2πB ．4π3C ．21πD ．23π15．m 、n 是两条不重合的直线α，β，γ是三个两两不重合的平面给出以下四个命题： 〔1〕假设m α⊥，m β⊥，那么αβ∥ 〔2〕假设αγ⊥，βγ⊥，那么αβ∥ 〔3〕假设m α⊂，n β⊂，m n ∥，那么αβ∥ 〔4〕假设m β∥，βγ∥，那么m γ∥其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)16．〔2021新课标全国Ⅰ，文16〕三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．假设平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，那么球O 的外表积为________．三、解答题〔本大题有6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕 17．〔10分〕如图是一个以111A B C 为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，11112A B B C ＝＝，11190A B C ∠︒＝，14AA ＝，13BB ＝，12CC ＝，求：〔1〕该几何体的体积； 〔2〕截面ABC 的面积．18．〔12分〕如图，四边形ABCD 是正方形，PD M A ∥，PD MA ≠，PM ⊥平面CDM ． 〔1〕求证：平面ABCD ⊥平面AMPD ；〔2〕判断直线BC ，PM 的位置关系，并说明理由．.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

2021年高考数学一轮复习圆锥曲线创优测评卷（新高考专用）一、单选题（共60分，每题5分）1.如图，圆锥形容器的高为,h 圆锥内水面的高为1,h 且11,3h h =若将圆锥倒置，水面高为2,h 则2h 等于（ ）A.23hB.1927h C.36hD.319h 2.圆锥的高h 和底面半径r 之比:2:1h r =，且圆锥的体积18V π=，则圆锥的表面积为（ ） A.185πB.9(125)π+C.95πD.9(15)π+3.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是（ ） A.两个圆锥拼接而成的组合体 B.一个圆台C.一个圆锥D.一个大圆锥中挖去一个同底的小圆锥4.已知圆锥的底面半径为1，高为3，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上下两部分，在原来圆锥的表面上任取一点A ，则点A 在圆锥上半部分的概率为（ ） A.16B.23C.12D.155.如图：AB 是圆锥底面圆的直径，PA ，PB 是圆锥的两种母线，'P 为底面圆的中心，过PB 的中点D 作平行于PA 的平面α，使得平面α与底面圆的交线长为4，沿圆锥侧面连接A 点和D 点，当曲线段AD 长度的最小值为32PA 时，则该圆锥的外接球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上）的半径为（ ）A.42B.32C.92D.926.若圆锥1SO ，2SO 的顶点和底面圆周都在半径为4的同一个球的球面上，两个圆锥的母线长分别为4，42，则这两个圆锥公共部分的体积为（ ）A.8π3B.8πC.56π3D.56163π+ 7.已知圆锥曲线1C ：221(0)mx ny n m +=>>与2C ：221(0,0)px qy p q -=>>的公共焦点为1F ，2F .点M 为1C ，2C 的一个公共点，且满足1290F MF ∠=︒，若圆锥曲线1C 的离心率为34，则2C 的离心率为（ ）A.92B.32C.32D.548.下列判断正确的是（ ）A.两圆锥曲线的离心率分别为12,e e ，则“121e e <”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条件.B.已知()00,M x y 为圆222x y R +=内异于圆心的一点，则直线200x x y y R +=与该圆相交.C.设m 是实数，若方程22112x ym m+=--表示双曲线，则2m >.D.命题2,2x x R x ∀∈≥的否定是0200,2x x R x ∃∈<.9.若圆锥曲线（且）的一个焦点与抛物线的焦点重合，则实数（ ）A.9B.7C.1D.-110.过圆222x y r +=上一定点(),o o P x y 的圆的切线方程为20o x x y y r +=.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l .则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ）A.20?x y +-=B.30x y --=C.2330x y +-=D.3100x y --=11.设有心圆锥曲线()2210x y m n m n+=>>上一点P 与两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直.则12Rt PF F △的面积是（ ）. A.nB.mC.2nD.不确定12.下列说法正确的是（ ）A.椭圆2222x y a b +=1上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为22b a -B.过双曲线2222x y a b -=1焦点的弦中最短弦长为22b aC.抛物线y 2＝2px 上两点A （x 1，y 1）.B （x 2，y 2），则弦AB 经过抛物线焦点的充要条件为x 1x 224p=D.若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切二、填空题（共20分，每题5分）13.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为_________cm14.已知圆锥的母线长为4cm ，圆锥的底面半径为1cm ，一只蚂蚁从圆锥的底面A 点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A ，则蚂蚁爬行的最短路程长为________cm15.已知m 是3与12的等比中项，则圆锥曲线2212x ym +=的离心率是__________.16.斜率为2的直线与圆锥曲线交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，若弦长25AB =12y y -=______.三、解答题17.（10分）如图，AO 为圆锥的高，B 、C 为圆锥底面圆周上两个点，6OAB π∠=，2BOC π∠=，4AB =，D 是AB 的中点.（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18.（10分）已知圆锥曲线C ：为参数和定点，，是此圆锥曲线的左、右焦点．Ⅰ以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程；Ⅱ经过点且与直线垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求的值．19.（12分）如图，曲线T 由曲线()22122:10,0x y C a b y a b +=>>≤和曲线()22222:10,0,0x y C a b y a b-=>>>组成，其中点12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点.（Ⅰ）若()()231,0,3,0F F -，求曲线T 的方程；（Ⅱ）如图，作直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线于点,A B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐进线上；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线T ,若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点,C D ，求1CDF ∆与2CDF ∆面积之和的最大值.20.（12分）已知圆锥曲线1C ：221(0)mx ny n m +=>>与2C ：221(0,0)px qy p q -=>>的公共焦点为1F ，2F .点M 为1C ，2C 的一个公共点，且满足1290F MF ∠=︒，若圆锥曲线1C 的离心率为34，求2C 的离心率.21.（12分）已知圆锥曲线2:6x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点(6A ，12F F 、是此圆锥曲线的左、右焦点.（Ⅰ）以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线2AF 的极坐标方程； （Ⅱ）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M N 、两点，求11MF NF -的值.22.（14分）（1）设椭圆22 122:1x yCa b+=与双曲线2229:918yC x-=有相同的焦点1F、2F，M是椭圆1C与双曲线2C的公共点，且△12MF F的周长为6，求椭圆1C的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”；（2）如图，已知“盾圆D”的方程为240312(4)34x xyx x≤≤⎧=⎨--<≤⎩，设“盾圆D”上的任意一点M到(1,0)F的距离为1d，M到直线:3l x的距离为2d，求证：12d d+为定值；（3）由抛物线弧21:4E y x=（23x≤≤）与第（1）小题椭圆弧2:E22222:1x yEa b+=（23x a≤≤）所合成的封闭曲线为“盾圆E”，设过点(1,0)F的直线与“盾圆E”交于A、B两点，1FA r=，2FB r=，且AFxα∠=（0απ≤≤），试用cosα表示1r，并求12rr的取值范围.。

第七单元 统计与概率A 卷 基础过关检查一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+2. 【2020全国高三课时练习（理）】等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 9的公差为1，若以上述数据x 1，x 2，x 3，…，x 9为样本，则此样本的方差为（ ） A ．203B ．103C ．60D ．303.【2020山东青岛高三其他】如图是一个22⨯列联表，则表中a 、b 处的值分别为（ ）1y 2y总计1xb21e2x c25 33A ．96，94B ．60，52C ．52，54D ．50，524. 【2020山东青岛高三其他】中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ） A ．50种B ．60种C ．80种D ．90种5.【2020山东文登高三期末】二项式2()nx x-的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ） A ．160-B ．80-C ．80D ．1606. 【2020年高考山东】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%7. 【2020嘉祥县第一中学高三其他】 “仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相邻的概率为（ ） A ．110B ．15C ．310D ．258.【2019山东省实验中学高三一模（理）】已知三个村庄A ，B ，C 构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米．为了方便市民生活，现在△ABC 内任取一点M 建一大型生活超市，则M 到A ，B ，C 的距离都不小于2千米的概率为 A ．25B ．35C ．115π-D ．15π 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9. 【2020烟台市教育科学研究院高三其他】某校计划在课外活动中新増攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男女生人数相同，并绘制如下等高条形图，则（ ）参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.05 0.010k3.841 6.635A ．参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多B ．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多C ．若参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关D ．无论参与调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关10. 【2020肥城市教学研究中心高三其他】某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门进行学习. 现有甲、乙、丙三人，若同学甲必选物理，则下列结论正确的是（ ） A ．甲的不同的选法种数为10B ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件C ．乙同学在选物理的条件下选化学的概率是15D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是1411. 【2020新泰市第二中学高三其他】下列说法正确的是（ ）A ．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6：5：5：4，则应从一年级中抽取90名学生B ．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率为12C ．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得x =3，y =3．5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是y =0.4x +2.3D ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件12. 【2020年高考山东】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni ii H X p p ==-∑.A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【2020年高考江苏】已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是 ． 14.【2020山东省桓台第一中学】已知样本122018,,,x x x ⋯的平均数与方差分别是1和4，若(1,2,,2018)i i y ax b i =+=⋯ ，且样本122018,,,y y y ⋯的平均数与方差也分别是1和4，则b a =________________.15. 【2020山东威海高三二模】()()52x y x y +-的展开式中24x y 的系数为________． 16. 【2020年高考天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.18．【2020年高考全国III卷理数】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：K219．【2020山东高三其他】某企业进行深化改革，使企业的年利润不断增长．该企业记录了从2014年到2019年的年利润y（单位：百万）的相关数据，如下：年利润/y 百万 3 58111314（1）根据表中数据，以年份代号t 为横坐标，年利润y 为纵坐标建立平面直角坐标系，根据所给数据作出散点图；（2）利用最小二乘法求出y 关于t 的线性回归方程（保留2位小数）；（3）用ˆi y表示用正确的线性回归方程得到的与年份代号t 对应的年利润的估计值，i y 为与年份代号t 对应的年利润数据，当ˆ0i i yy -<时，将年利润数据i y 称为一个“超预期数据”，现从这6个年利润数据中任取2个，记X 为“超预期数据”的个数，求X 的分布列与数学期望．附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211ˆnniii ii i nniii i xxy y x y nx ybxxxnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 20．【2020重庆高三月考】某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：空气质量指数(]0,50(]50,100(]100,150(]150,200(]200,300300以上空气质量等级一级（优）二级（良）三级（轻度污染）四级（中度污染）五级（重度污染）六级（严重污染）（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）.①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X，求X 的分布列和数学期望；②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.21.【2020山东济宁高三二模】在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下22⨯列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时 4 19（1）请完成上面22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.（下面的临界值表供参考）（参考公式22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++其中n a b c d=+++）22. 【2020山东高三其他】据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50％的高速年均增长.针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值志为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k，并分成以下5组：[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，其统计结果及产品等级划分如下表所示：试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）：（1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k近似地服从正态分布()2N,μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本的标准差s ，并已求得10.03s ≈.记X 表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k 在区间(50.54,80.63]之外的包装胶带个数，求P(X 1)=及X 的数学期望；（精确到0.001）（2）已知每个包装胶带的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所示：((1,4))t ∈假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5000万元（含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由. 参考数据：若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.68.27P Z μσμσ-<≤+=，(22)P Z μσμσ-<≤+0.9545=，(33)0.9973P Z μσμσ-<≤+=，290.81860.0030≈，ln13 2.6≈.。