2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

（1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰则()f x '的零点个数（ ）()A 0()B 1 ()C 2()D 3（2）函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度等于（ ） ()A i()B -i ()C j()D -j（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A 440y y y y ''''''+--=.()B 440y y y y ''''''+++=.()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛.()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为（ ）()A 0.()B 1. ()C 2.()D 3.（7）设随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）设随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）微分方程0xy y '+=满足条件()11y =的解是y = . （10）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .（11）已知幂级数()02nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数()03nn n a x ∞=-∑的收敛域为.（12）设曲面∑是z =的上侧，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰ .（13）设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，12120,2A A αααα==+，则A 的非零特征值为 .（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦. (16)（本题满分10分） 计算曲线积分()2sin 221Lxdx xydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从点()0,0到点(),0π的一段.(17)（本题满分10分）已知曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求曲线C 距离XOY 面最远的点和最近的点.(18)（本题满分10分）设()f x 是连续函数，（1）利用定义证明函数()()0xF x f t dt =⎰可导，且()()F x f x '=；（2）当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数()22()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰也是以2为周期的周期函数.(19)（本题满分10分）()21(0)f x x x π=-≤≤，用余弦级数展开，并求()1211n n n-∞=-∑的和.(20)（本题满分11分）T T A ααββ=+，T α为α的转置，T β为β的转置.（1）证()2r A ≤；（2）若,αβ线性相关，则()2r A <. （21）（本题满分11分）设矩阵2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，()1,0,,0B =，（1）求证()1n A n a =+（2）a 为何值，方程组有唯一解，求1x （3）a 为何值，方程组有无穷多解，求通解（22）（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+ （1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（2）求Z 的概率密度．（23）（本题满分11分）设12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ11ni i X X n ==∑，2211()1n ii S X X n ==--∑，221T X S n =- （1）证 T 是2μ的无偏估计量.（2）当0,1μσ==时 ，求DT .2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题 (1)【答案】B【详解】2()[ln(2)]2f x x x '=+⋅，(0)0f '=，即0x =是()f x '的一个零点又2224()2ln(2)02x f x x x''=++>+，从而()f x '单调增加（(,)x ∈-∞+∞） 所以()f x '只有一个零点. (2)【答案】A【详解】因为2211x y f x y '=+，2221y x y f x y -'=+，所以(0,1)1x f '=，(0,1)0y f '=所以 (0,1)10f =⋅+⋅=grad i j i (3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= (4)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限(5)【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． (6)【答案】B【详解】图示的二次曲面为双叶双曲面，其方程为2222221x y z a b c '''--=，即二次型的标准型为222222x y z f a b c'''=--，而标准型的系数即为A 的特征值.(7)【答案】A【详解】()(){}{}()()()()()2max ,Z Z Z Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==(8)【答案】D【详解】 用排除法. 设Y aX b =+，由1XY ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得0,1,EX EY ==所以 ()()E Y E aX b aEX b =+=+01,a b ⨯+= 所以1b =. 排除()B . 故选择()D 二、填空题 (9) 【答案】1x 【详解】由dy y dx x -=，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1x C y=+，又(1)1y =，所以1y x =. (10) 【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y x dx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+(11)【答案】(1,5]【详解】幂级数(2)nn n a x ∞=+∑的收敛区间以2x =-为中心，因为该级数在0x =处收敛，在4x =-处发散，所以其收敛半径为2，收敛域为(4,0]-，即222x -<+≤时级数收敛，亦即nn n a t∞=∑的收敛半径为2，收敛域为(2,2]-. 则(3)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为2，由232x -<-≤得15x <≤，即幂级数(3)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5] (12)【答案】4π【详解】加221:0(4)z x y ∑=+≤的下侧，记∑与1∑所围空间区域为Ω，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++⎰⎰ 1122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2222222441()0()2x y x y ydxdydz x dxdy x y dxdy Ω+≤+≤=--=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22300142d r dr πθπ==⎰⎰(13)【答案】1【详解】1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+=⎪⎝⎭记12(,)P αα=，0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AP PB =因为12,αα线性无关，所以P 可逆. 从而1B P AP -=，即A 与B 相似. 由2||(1)001E B λλλλλ--==-=-，得0λ=及1λ=为B 的特征值.又相似矩阵有相同的特征值，故A 的非零特征值为1. (14)【答案】12e【详解】由22()DX EX EX =-，得22()EX DX EX =+，又因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1DX EX ==，所以2112EX =+=，所以 {}21111222P X e e --===！三、解答题(15) 【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x →→--=22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦(16) 【详解】 方法一：（直接取x 为参数将对坐标的曲线积分化成定积分计算）2222220000sin 22(1)[sin 22(1)sin cos ]sin 21cos 2cos 2sin 2sin 222222Lxdx x ydyx x x x dx xxdxx x x x xdx x xdx ππππππππ+-=+-⋅==-+=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰方法二：（添加x 轴上的直线段用格林公式化成二重积分计算）取1L 为x 轴上从点(,0)π到点(0,0)的一段，D 是由L 与1L 围成的区域112220sin 2000022000sin 22(1)sin 22(1)sin 22(1)14sin 24cos 22sin 21(1cos 2)sin 2sin 22222LL L L xDxdx x ydyxdx x ydy xdx x ydyxydxdy xdx dx xydy x x xdx x x x x dx x xdx πππππππππ++-=+--+-=--=--=-=--=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三：（将其拆成2sin 222LLxdx ydy xydy -+⎰⎰，前者与路径无关，选择沿x 轴上的直线段积分，后者化成定积分计算）2212sin 22(1)sin 222LLLxdx x ydy xdx ydy x ydy I I +-=-+=+⎰⎰⎰对于1I ，因为0P Qy x∂∂==∂∂，故曲线积分与路径无关，取(0,0)到(,0)π的直线段积分10sin 20I xdx π==⎰2222202200022122sin cos sin 2cos 221111cos 22cos 2sin 222221111sin 2cos 22222LI x ydy x x xdx x xdx x d x x x x xdx xd xx x x ππππππππππ====-=-+=-+⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以，原式212π=-(17) 【详解】点(,,)x y z 到xOy 面的距离为||z ，故求C 上距离xOy 面的最远点和最近点的坐标，等价于求函数2H z =在条件22220x y z +-=与35x y z ++=下的最大值点和最小值点.令 2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ=++-+++-所以 22220(1)20(2)2430(3)20(4)35(5)xy zL x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-+=⎨⎪+-=⎪++=⎪⎩ 由(1)(2)得x y =，代入(4)(5)有 220235x z x z ⎧-=⎨+=⎩，解得555x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 或111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩(18)【详解】(I) 对任意的x ，由于f 是连续函数，所以0000()()()()limlim x xxx x f t dt f t dtF x x F x xx+→→-+-=⎰⎰0()()limlimlim ()x x xx x x f t dt f xf xxξξ+→→→===⎰ ，其中ξ介于x 与x x +之间 由于0lim ()()x f f x ξ→=，可知函数()F x 在x 处可导，且()()F x f x '=.(II)方法一：要证明()G x 以2为周期，即要证明对任意的x ，都有(2)()G x G x +=，()(2)()H x G x G x =+-，则()()()()()()()()22222()2(2)22(2)2()0x x H x f t dt x f t dt f t dt x f t dtf x f t dt f x f t dt +'''=-+--=+--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为 ()()()22(0)(2)(0)2200H G G f t dt f t dt =-=--=⎰⎰所以 ()0H x =，即(2)()G x G x +=方法二：由于f 是以2为周期的连续函数，所以对任意的x ，有()()()()222(2)()2(2)2x x G x G x f t dt x f t dt f t dt x f t dt ++-=-+-+⎰⎰⎰⎰()()()()2222002x xf t dt f t dt f t dt f t dt +⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰()()()()000222[2]0x x xf t dt f u du f t f t dt ⎡⎤=-++=+-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 即()G x 是以2为周期的周期函数.(19)【详解】 由于 220022(1)23a xdx πππ=-=-⎰21224(1)cos (1)1,2,n n a x nxdx n n ππ+=-=- =⎰所以 210211(1)()cos 14cos 023n n n n a f x a nx nx x n ππ+∞∞==-=+=-+ ≤≤∑∑令0x =，有 2121(1)(0)143n n f n π+∞=-=-+ ∑ 又(0)1f =，所以 1221(1)12n n n π+∞=- =∑ (20)【详解】(I) ()()()()()()2T T T T r A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤(II) 由于,αβ线性相关，不妨设k αβ=. 于是()2()()(1)()12T T T r A r r k r ααβββββ=+=+≤≤<(21)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122aa a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a a n a a n ar ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++ 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)n n D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)n A n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a aa aD na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为 ()()10000100,T Tk k +为任意常数．(22)【详解】 (I) 1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y dy P X =≤≤==+≤===≤===⎰ (II) (){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-={1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-= []1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤- []1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++- 所以 []1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它(23) 【详解】(I) 因为2(,)X N μσ，所以2(,)X N n σμ，从而2,E X DX n σμ= =． 因为 221()()E T E X S n =-221()E X E S n=- 221()()DX E X E S n =+-222211n nσμσμ=+-= 所以，T 是2μ的无偏估计(II)方法一：22()()D T ET ET =-，()0E T =，22()1E S σ==所以2()D T ET =442222()S E X X S n n =-⋅+ 4224221()()()()E X E X E S E S n n=-+ 因为(0,1)X N ，所以1(0,)X N n， 有10,E X D X n ==，()221E X DX E X n =+=所以2242222()()()()()E X D X E X D D X E X⎡⎤=+=++⎣⎦ 2221()D D X n ⎡⎤=+⎣⎦2221132n n n ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭ ()2422222()1ES E S DS ES DS ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦因为2222(1)(1)(1)n S W n S n χσ-==--，所以2(1)DW n =-，又因为22(1)DW n DS =-，所以22(1)DS n =-,所以4211(1)1n ES n n +=+=-- 所以 2223211111n ET n n n n n +=-⋅⋅+⋅-2(1)n n =-. 方法二：当0,1μσ==时221()()D T D X S n=- (注意X 和2S 独立) 222222221111(1)(1)DX DS D D n S n n n n ⎡⎤=+=+⋅-⎣⎦- 222111222(1)(1)(1)n n n n n n =⋅+⋅⋅-=--。

x y2
f12)
1 y2
f2
1 y
(xf21
x y2
f
22
)
1 x2
g
y x3
g
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f1
1 y2
f2 ' xyf11
x y3
f22
1 x2
g
y x3
g .
„„5 分
五、(本题满分 6 分)
计算曲线积分 I
L
xdy ydx 4x2 y2
,其中
L
是以点(1,0)为中心,R
三、(本题满分 5 分)
1
求
lim(
x0
2
ex
4
sin x
x) .
1 ex
1
4
3
解：因
lim
x0
(
2
ex
4
sin x
2e
) lim (
x
x0
x e
4
x
sin x) 1 x
，
1 ex
e x 1
1
1
2 ex
lim (
x0
4
sin x) x
2 ex
lim (
x0
4
sin x) 2 1 1， x
(5) 设二维随机变量 X ,Y 服从二维正态分布,则随机变量 X Y 与 X Y 不相关
的充分必要条件为
(B)
(A) E(X)=E(Y)
(B) E X 2 E X 2 E Y 2 E Y 2
(C) E X 2 E Y 2
(D) E X 2 E X 2 E Y 2 E Y 2
为半径的圆周(R>1).取逆时

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中 ，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上()(A)(B) 2 (C) -2(D)-0 11⑺设a 0 , .a1 ,必31 ,必4 1 ,其中G,C 2,C 3,C 4为任意常数， 则下列向量组c 1C 2C 3C 4线性相关的为()(A)a , a , a(B)a , a , 04(C)a , a , a(D)(%2, a, 0C42(1)曲线y 罕芒的渐近线条数x 21(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3⑵设函数 f (x) (e x 1)(e 2x 2)L (e nx n)，n 1(A) ( 1) (n 1)!(B)(1)n (n ⑶ 设 a n 0 (n 1,2,3L ), S na 2 a 3(A)充分必要条件 (B)(C) 必要非充分条件(D)k 2(4) 设 l ko e x sinxdx,(k 1,2,3),则有(A) I 1 I 2 I 3 (B) I 3 I 2 I 1 (C)()其中n 为正整数，则f (0)()1)!(C)( 1)n 1 n! (D) ( 1)n n!L a n ，则数列 S n 有界是数列a n 收敛的()充分非必要条件 非充分也非必要()I 2 I 3 I 1(D)I 2 I 1 I 3⑸ 设函数f (x, y )为可微函数，且对任意的x, y 都有一乂 x0,30,则使不等式f (N, yjf (X 2, y ?)成立的一个充分条件是(A)人 X 2,% y 2 (B) 论 X 2,%y 2 (C)人 X 2,% y 2 (D) 人 X 2,%y 2(6)设区域D 由曲线y sin x, x2,y1 围成，则(x 5y 1)dxdyD1 0 0(8) 设 A 为 3 阶矩 阵，P 为3 阶 可逆矩阵，且P 1 A P 0 1 0.右Pa , a2, a0 0 2Qa a ,%2,a 3则 Q 1AQ( )1 0 01 0 0 20 02 0 0(A)0 2 0 (B)0 1 0 (C)0 1 0(D)0 2 00 0 10 0 20 0 20 0 1*BA.三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上•解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤• (15)(本题满分102 2x yx,y xe 2 的极值. 12分)二、填空题: 9-14小题，每小题 (9)设 yy(x)是由方程x 24分,共24分.请将答案写在答题纸 指定位置 dx 2e y 所确定的隐函数，则(10) limn_1 22 n 2n 2(11)In x，其中函数z 2 z可微，则X ： y -(12) 微分方程 ydx3y 2 dy0满足条件y X11的解为y(13) 曲线y0上曲率为辽的点的坐标是2(14) 设A 为3阶矩阵, A =3，A 为A 伴随矩阵，若交换 A 的第1行与第2行得矩阵B ，则已知函数f 1 x sin x(I) 求a 的值; (II) 若 x (16)(本题满分 0时， 10分)ka 与x 是同阶无穷小，求常数k 的值.求函数f (17)(本题满分过(0,1)点作曲线L:y Inx 的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,(II) 求正交变换x Qy 将f 化为标准形2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分。

考研加油年-考研数学二历年真题wｏｒｄ版————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:１-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （１)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)3(２) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '=( )(Ａ） 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C ） 1(1)!n n -- （D)(1)!n n -(3） 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( ）（A) 充分必要条件 （B) 充分非必要条件（C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4） 设20sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(Ａ) 123I I I << (B) 321I I I << (Ｃ） 231I I I << (D) 213I I I << (５) 设函数(,f x y ）为可微函数,且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y ∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是 ） (Ａ) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d D x y x y -=⎰⎰ （ ) （A) π (Ｂ) ２ (C) -2 (D) -π (7） 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ，4411c -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 （ ) (Ａ)123,,ααα (Ｂ) 124,,ααα (C)134,,ααα （D)234,,ααα(８） 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵,且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -=（ ）(Ａ） 100020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ） 200010002⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题４分,共２4分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 设()y y x =是由方程21y x y e -+=所确定的隐函数，则202x d ydx == ．(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2zzx y x y ∂∂+=∂∂ .(12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y ==的解为y = ．(１3） 曲线()20y x x x =+<上曲率为22的点的坐标是 . (１4) 设A 为3阶矩阵，=3A ,*A 为A 伴随矩阵,若交换A 的第1行与第２行得矩阵B ,则*BA = . 三、解答题：1５-23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (１5)(本题满分 1０ 分) 已知函数()11sin x f x x x +=-,记()0lim x a f x →=， (I ）求a 的值; （II ）若0x →时，()f x a -与k x 是同阶无穷小，求常数k 的值. （16)(本题满分 １0 分) 求函数()222,x y f x y xe +-=的极值. (17）(本题满分１2分) 过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ，又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. (1８)(本题满分 １0 分) 计算二重积分d D xy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成. (１9)(本题满分１0分) 已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式; (II) 求曲线220()()d x y f x f t t =-⎰的拐点. (20)(本题满分10分) 证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<． (２1）（本题满分１0 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数,在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限． (2２)（本题满分11 分)设100010001001a a A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪-⎪= ⎪⎪⎝⎭（I ） 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时,方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(2３)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，(I) 求实数a 的值；（II ） 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-８小题,每小题4分,共3２分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.已知当0x →时，函数是等价无穷小，则与k cx x x x f 3sin sin 3)(-=Ａ ｋ=1,c=4 Ｂ ｋ=ａ， c=-４ Ｃ k=3,c=4 Ｄ ｋ=3,c=－4 2.=-==→3320)(2)(,0)0(0)(lim x x f x f x f x x f x 则处可导，且在已知 Ａ )0(2f '- B )0(f '- C )0(f ' D ０ 3.函数)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f 的驻点个数为 A 0 B 1 C ２ Ｄ 3 4.微分方程的特解形式为)0(2>+=-'-λλλλx x e e y y A )(x x e e a λλ-+ B )(x x e e ax λλ-+ C )(x x be ae x λλ-+ D )(2x x be ae x λλ-+ 5设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（０，0）处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0(>''>f f Ｂ 0)0(,1)0(<''>f f C 0)0(,1)0(>''<f f Ｄ 0)0(,1)0(<''<f f 6.设⎰⎰⎰===444000cos ln ,cot ln ,sin ln πππxdx K xdx J xdx I 的大小关系是、、则K J I Ａ I<J ＜K Ｂ Ｉ<Ｋ<J C J<I<K D K ＜J<I 7．设Ａ为３阶矩阵，将Ａ的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换Ｂ的第二行与第一行得单位矩阵。