2020届湖北省黄冈中学高三下学期适应性考试数学(理)试题(解析版)
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2020届湖北省黄冈中学高三下学期适应性考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2430A x x x =-+<，{}2321x B x -=<，则A B =（ ）A ．33,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】分别求解二次不等式与指数不等式，然后两集合进行交集运算即可. 【详解】2430x x -+<即()()130x x --<，解得13x <<，则()1,3A =，233212302x x x -<⇒-<⇒<，所以3,2B ⎛⎫=-∞ ⎪⎝⎭，所以31,2A B ⎛⎫⋂= ⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及一元二次不等式、指数不等式，属于基础题. 2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =-，则12z z =（ ） A ．5- B ．5C ．4i +D ．4i -【答案】A【解析】根据复数的几何意义求出2z ，然后根据复数的乘法即可求得结果． 【详解】解：12z i =-对应的点的坐标为(2,1)-，复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，(2,1)∴关于虚轴对称的点的坐标为(2,1)--，则对应的复数，22z i =--，则()2212(2)(2)2145z z i i i =---=--=--=-，故选：A ． 【点睛】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础． 3．如果数列{}n a 的前n 项和21()n n S a n N +=-∈，则5a =( ) A ．8 B ．16C ．32D ．64【答案】B【解析】根据题意得到()21n n S a n N +=-∈，1121n n S a --=-（n 2≥），两式做差得到12n n a a -=，可得到数列的通项，进而得到结果. 【详解】数列{}n a 的前n 项和()21n n S a n N +=-∈，1121n n S a --=-（n 2≥）,两式做差得到12n n a a -=（n 2≥），由此可得到数列是等比数列，令n=1代入得到1121S a =-=1a ，解得1a =1，故得到数列通项为12n n a ，令n=5得到516.a =故答案为B. 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用. 4．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.5．某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【解析】根据题意知甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，据此推断得到答案. 【详解】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.6．陀螺是中国民间较早的体育活动工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是 一 个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．403πB ．523πC ．443πD ．20π【答案】B【解析】由三视图知该几何体的结构，然后由圆锥和圆柱的体积公式计算出体积． 【详解】由三视图知该几何体是上部为圆锥，中部为圆柱，下部为圆锥的组合体.其中，上部圆锥的底面半径为2，高为2；中部圆柱的底面半径为2，高为1；下部的圆锥的底面半径为4，高为2，所以该陀螺模型的体积为2221152222142333ππππ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=. 故选：B.【点睛】本题考查三视图，考查由三视图求组合体的体积，解题关键是由三视图确定组合体的结构．7．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则0127a a a a +++⋅⋅⋅+的值是（ ） A ．1- B ．2-C ．126D ．130-【答案】C【解析】根据赋值法可求出01278a a a a a +++⋅⋅⋅++，再求出8a 即可求解. 【详解】令1x =，得01282a a a a -=+++⋅⋅⋅+.又()77872128a C =-=-，所以11272a a a a ++⋅⋅⋅+=-128126+=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，赋值法求系数和，考查了运算能力，属于中档题.8．已知0.20.2a =，0.30.2b =，2log 0.3c =，0.3log 0.2d =，则执行如图所示的程序框图，输出的x 值等于（ ）A ．aB ．bC ．cD ．d【答案】D【解析】先根据程序框图得其输出的是a ，b ，c ，d 中最大的值，再比较指对数幂的大小即可得答案. 【详解】解：执行程序框图得，输出的x 的值是a ，b ，c ，d 中的最大值. 由于01a <<，01b <<，2log 10c <=，0.3log 0.31d >=， 所以a ，b ，c ，d 中d 最大. 故选：D. 【点睛】本题考查条件结构的程序框图，指对数幂的大小比较，是中档题.9．已知平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =.E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点.若54DE BF ⋅=-，则向量AB 与向量AD 的夹角为（ ） A ．3π B ．23π C ．6π D ．56π 【答案】A【解析】记AB a =，AD b =，AB 与AD 的夹角为θ，将DE 、BF 用a 、b 表示，利用平面向量数量积计算出cos θ的值，结合角θ的取值范围可求得角θ的值. 【详解】记AB a=，AD b=，则12DE DC CE a b=+=-，12BF BC CF b a=+=-.()221115522244DE BF a b b a a b a b⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-++⋅=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1551411cos2442a ba b a ba bθ⋅-++⋅=-⇒⋅=⇒==⋅，0θπ≤≤，因此，3πθ=.故选：A.【点睛】本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的夹角，考查计算能力，属于中等题. 10．已知函数()2log,02sin,2104x xf xx xπ⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤⎪⎪⎝⎭⎩，若存在实数1x，2x，3x，4x，满足()()()123f x f x f x==()4f x=，其中1234x x x x<<<，则1234x x x x的取值的范围是（）A．()40,64B．()40,48C．()20,32D．()20,36【答案】C【解析】作出()f x的函数图象，求出1x，2x，3x，4x的范围，根据对数函数的性质得出121=x x，利用三角函数的对称性得出3412x x+=，代入式子化简得出关于3x的二次函数，根据3x的范围和二次函数的性质求出值域即可．【详解】解：函数()f x的图象如图所示.设()()()()1234f x f x f x f x t ====，则01t <<.()10,1x ∈，()22122121,2log log 1x x x x x ∈⇒-=⇒=.点()3,x t ，()4,x t ，关于直线6x =对称，所以4312x x =-.而()32,4x ∈，所以()()()2343331236620,32x x x x x =-=--∈，故()12343420,32x x x x x x =∈， 故选：C. 【点睛】本题考查分段函数的图象，对数函数、三角函数的性质的应用，二次函数的性质，属于中档题．11．函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在Y 轴上，下列说法：①函数()f x 的最小正周期是2π；②函数()f x 的图象关于点5,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称；③点M 的坐标是()0,3，其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】①根据函数()f x 的图象以及圆C 的对称性，转化求解函数的周期，可判定①错误；②由函数图象关于点,03C π⎛⎫⎪⎝⎭对称，求得函数的对称中心，可判定②错误； ③求出函数的解析式，求得点M 的坐标，可判定③正确. 【详解】①中，根据函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象以及圆C 的对称性， 可得M ，N 两点关于圆心(),0C c 对称，所以3c π=，于是262T c ππ=+=，所以2ππω=，解得2ω=，函数的周期为T π=，所以①错误； ②中，由函数图象关于点,03C π⎛⎫⎪⎝⎭对称，及周期T π=知， 函数图象的对称中心为,032k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()k Z ∈， 而5323k πππ+=不存在k Z ∈的解，所以②错误； ③中，由2ω=及6x π=-的相位为0，得033ππϕϕ-+=⇒=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0f =(M ，所以③正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中解答熟记三角函数的对称性和函数的周期性的判定是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点A 关于平面BDC 1对称点为M ，则M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离为（ ）A ．32B ．54C ．43D ．53【答案】D【解析】以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDC 1的法向量n =（1，-1，1），从而平面BDC 1的方程为x-y+z=0，进而过点A （1，0，0）且垂直于平面BDC 1的直线方程为（x-1）=-y=z ，推导出过点A （1，0，0）且垂直于平面BDC 1的直线方程与平面BDC 1的交点为211333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-，得到点A 关于平面BDC 1对称点M 122333⎛⎫⎪⎝⎭，，-，由此能求出M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离． 【详解】以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，D （0，0，0），B （1，1，0），C 1（0，1，1），A （1，0，0），A 1（1，0，1）， DB =（1，1，0），1DC =（0，1，1）， 设平面BDC 1的法向量n =（x ，y ，z ），则100n DB x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x=1，得n =（1，-1，1），∴平面BDC 1的方程为x-y+z=0，过点A （1，0，0）且垂直于平面BDC 1的直线方程为： （x-1）=-y=z ，令（x-1）=-y=z=t ，得x=t+1，y=-t ，z=t ，代入平面方程x-y+z=0，得t+1+t+t=0，解得t=13- ，∴过点A （1，0，0）且垂直于平面BDC 1的直线方程与平面BDC 1的交点为211333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-∴点A 关于平面BDC 1对称点M 122333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-，1225333A M ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，-，平面A 1B 1C 1D 1的法向量m =（0，0，1），∴M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离为d=15=3m A M m⋅ 故选D ． 【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，考查平面方程、中点坐标公式、点到平面的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题13．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，O 是坐标原点.点A 在抛物线C 上，且AO AF =，则线段AF 的长是______.【答案】32【解析】首先根据题意AO AF =，结合抛物线方程，求得12A x =，设点A 在x 轴上方，求得12A ⎛ ⎝，之后应用两点间距离公式求得结果. 【详解】不妨设点A 在x 轴上方，则由1OF =知，12A x =，所以A y =12A ⎛ ⎝，于是AF =32OA ==. 故答案为：32. 【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有抛物线上的点的坐标的求解，两点间距离公式，属于基础题目. 14．已知函数()sin xxf x e =，则曲线()y f x =在()0,0处的切线方程为______. 【答案】y x =【解析】根据导数的除法运算求出函数的导数、()0f '、()0f ，即可写出切线方程. 【详解】因为()cos sin xx xf x e-'=，()01f '=，()00f =， 所以切线方程为y x =.故答案为：y x = 【点睛】本题考查导数的除法运算、曲线在某点处的切线，属于基础题.15．已知双曲线C 的中心在原点，()2,0F -是一个焦点，过F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的中点为()3,1N --，则C 的方程是______.【答案】2213x y -=【解析】先利用点F ，N 的坐标求出直线AB 的斜率，再利用点差法得到a 2=3b 2，结合a 2+b 2=4求出a ，b 的值，从而得到双曲线C 的方程. 【详解】由F ，N 的坐标得1lk .设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则224a b +=.设()11,A x y ，()22,B x y ， 则126x x +=-，122y y +=-，12121l y y k x x -==-.由2211221x y a b -=，2222221x y a b -=得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=， 即22260lk a b-+=， ∴223a b .于是23a =，21b =，所以C 的方程为2213x y -=.故答案为：2213x y -=【点睛】本题主要考查了双曲线方程，以及双曲线与直线的位置关系，考查了点差法的应用，属于中档题.16．在ABC 中，若111tan tan tan A B C+=，则cos C 的最小值为______. 【答案】23【解析】根据题设条件整理得2sin sin sin cos C A B C =，由正弦定理，得到2cos c ab C =，结合余弦定理，化简得()22212c a b =+，进而得到22222cos 23a b c a b C ab ab+-+==，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 因为111tan tan tan A B C +=，所以cos cos cos sin sin sin A B C A B C+=，整理得sin cos cos sin cos sin sin sin A B A B CA B C +=，即()sin cos sin sin sin A B C A B C+=， 即sin cos sin sin sin C C A B C=，即2sin sin sin cos C A B C =，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得2cos c ab C =， 又由余弦定理得()2221cos 2ab C a b c =+-，所以22222a b c c +-=，即()22212c a b =+，再由2222222cos 2333a b c a b ab C ab ab ab +-+==≥=，当且仅当a b =时等号成立，所以cos C 的最小值为23. 故答案为：23. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，以及基本不等式的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.三、解答题17．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，分别用甲、乙两种方法培育该品种花苗.为比较两种培育方法的效果，选取了40棵花苗，随机分成两组，每组20棵.第一组花苗用甲方法培育，第二组用乙方法培育.培育完成后，对每棵花苗进行综合评分，绘制了如图所示的茎叶图：（1）分别求两种方法培育的花苗综合评分的中位数.你认为哪一种方法培育的花苗综合评分更高？并说明理由.（2）综合评分超过80的花苗称为优质花苗，填写下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为优质花苗与培育方法有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）85.5，73.5，甲种方法培育的花苗综合评分更高，理由见解析；（2）列联表见解析，有把握.【解析】（1）根据茎叶图，其第20和21两个数的平均数为中位数，由中位数大小估计评分的高低即可；（2）由茎叶图中数据可填写列联表，计算2K 后可得结论． 【详解】（1）第一组花苗综合评分的中位数为85.528586=+； 第二组花苗综合评分的中位数为737473.52+=， （从中位数、平均数、分布等某一角度说明即可），甲种中位数大，甲种方法培育的花苗综合评分更高. （2）列联表如表所示.乙培育法 5 15 20 合计 202040由于()2240151555107.87920202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 所以有99.5%的把握认为优质花苗与培育方法有关. 【点睛】本题考查茎叶图，，考查列联表，独立性检验，根据公式计算出2K 即可得出结论．本题考查了学生的数据处理能力，运算求解能力．属于中档题．18．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC 是等边三角形，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点，1PA =，2AB =.（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（2）在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC 所成角的正弦值为15？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，G 点是线段PB 的中点.【解析】（1）证明平面P AC ⊥平面ABC ，推出BE ⊥AC ，然后证明BE ⊥平面P AC ，得到平面BEF ⊥平面P AC ；（2）以E 为坐标原点，分别以EB ，EC ，EF 方向为x ，y ，z 轴正方向建立坐标系，求出平面PBC 的法向量，求出)()31,1,AG AB BG λλλ→→→=+=--+，利用空间向量的数量积推出结果即可. 【详解】（1）∵PA ⊥平面ABC ，PA ⊂平面PAC ， ∴平面PAC ⊥平面ABC .∵AB BC=，E为AC的中点，∴BE AC⊥.又平面PAC平面ABC AC=，BE⊂平面ABC，∴BE⊥平面PAC.又BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC.（2）∵PA⊥平面ABC，∴PA AC⊥.又点E，F分别为AC，PC的中点，所以//EF PA，从而EF AC⊥.又由于BE⊥平面PAC，∴BE AC⊥，BE EF⊥，所以EB，EC，EF两两互相垂直.以E为坐标原点，分别以EB，EC，EF方向为x，y，z轴正方向建立如图坐标系. 由于()0,1,0A-，()0,1,1P-，)3,0,0B，()0,1,0C，于是()3,1,1BP→=--，()3,1,0BC→=-.设平面PBC的法向量(),,n x y z→=，则30,30,x y zx y⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩取1x=，则3,23y z==，于是(3,23n→=.)3,1,0AB→=，设()3,,BG BPλλλλ→→==--，[]0,1λ∈，则))31,1,AG AB BGλλλ→→→=+=--+.由2152315124584AG nAG nλλλ→→→→⋅=⇒=⇒=⋅-+⋅或1110λ=（舍去）.故存在满足条件的G点，G 点是线段PB 的中点. 【点睛】本题主要考查直线与平面以及平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.19．如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点31,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，其的左、右顶点分别是A ，B ，下、上顶点分别是C ，D ，P 是椭圆上第一象限内的一点，直线PA ，PB 的斜率1k ，2k 满足1214k k ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线PO 交椭圆于另一点Q ，求四边形APCQ 面积的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）(2,22. 【解析】（1）由1214k k ⋅=-可得2214b a -=-，再把已知点的坐标代入后列出关于,a b 的方程组求解可得椭圆标准方程；（2）设直线PQ 的方程为()0y kx k =>，求出点A ，C 到直线PQ 的距离12,d d 在，再由直线与椭圆相交的弦长公式求得弦长PQ ，表示出四边形面积为k 的函数，由函数性质可得取值范围． 【详解】（1）设()00,P x y ，则20001222000y y y k k x a x a x a=⋅=+--. 又()22222020002221b a x x y y a b a -+=⇒=，所以212214b k k a ==-.①又由椭圆C过点⎛ ⎝⎭得221314ab +=，② 由①②得2a =，1b =，故椭圆方程为2214x y +=.（2）()2,0A -，()0,1C -，设直线PQ 的方程为()0y kx k =>，则点A ，C 到直线P ，Q的距离分别为1d =，2d =.又由22,14y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得P ⎛⎫，所以2PQ OP ==. 四边形APQC 的面积()1221212k S PQ d d +=+===. 由[)144,k k+∈+∞得(S ∈.故四边形APCQ 面积的取值范围是(2,. 【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交的面积问题．解题时列出关于,a b 的方程组是求方程的关键．直线与椭圆相交问题可设出直线方程为(0)y kx k =>，把面积用k 表示，然后由函数性质得出取值范围．20．今年上半年“新冠肺炎”全球大爆发.在某个时间点，某城市从有人发病到发现人传人时，已有发病人数00.3a =（千人），从此时起，每周新增发病人数t a （单位：千人）与时间t （单位：周）之间近似地满足()()01*N t t a et λ-=∈，且当2t =时，22a=（千人）.为阻止病毒蔓延，该城市第3周后果断采取了封城的隔离措施，再经过2周后隔离措施产生了效果，新增发病人数()()09*612,N t t a et t λ--=≤≤∈.（1）求该城市第5，6，7周新增发病人数；（2）该城市从发现人传人时，就不断加大科技投入，第t 周治愈人数t b （单位：千人）与时间t （单位：周）存在关系()()03*19,N t t b et t λ-=≤≤∈，为了保障每一位“新冠肺炎”病人能及时入院治疗，该城市前9周（不考虑死亡人数的前提下）至少需准备多少张床位？（注：出院人数不少于新增发病人数时，总床位不再增加） 【答案】（1）16千人，8千人，4千人；（2）23.55千张床位. 【解析】（1）由02e λ=，直接计算可得567,,a a a ；（2）1t t t c a b -=-，确定0t c >的正负，得25t ≤≤时，0t c >，60c <，7890,0,0c c c <<<，计算()0126125a a a a b b b +++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+可得．【详解】 （1）022a eλ==，当15t ≤≤时，()0112t t t a e λ--==； 当69t ≤≤时，()0992tt t a eλ--==.∴45216==a ，3628a ==，2724a ==.故第5，6，7周新增发病人数分别为16千人，8千人，4千人. （2）()()033*219,N t t t b e t t λ--==≤≤∈.记1t t t c a b -=-，则当25t ≤≤时，141220t t t t t c a b ---=-=->， 当69t ≤≤时，94122t t t t t c a b ---=-=-，所以60c >，70c <，80c <，90c <. 至少需准备的床位数为()0126125a a a a b b b +++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()()0142120.3222822223.55--=+++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+=.故该城市前9周至少需准备23.55千张床位. 【点睛】本题考查函数的应用，已知函数模型，直接利用已知函数模型进行计算，属于基础题． 21．已知函数()()ln 1ln f x ax x a x =-+，()f x 的导数为()f x '. （1）当1a >-时，讨论()f x '的单调性； （2）设0a >，方程()3f x x e=-有两个不同的零点()1212,x x x x <，求证121x e x e+>+.【答案】（1）当10a -<<时，()f x '在10,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；当0a ≥时， ()f x '在()0,∞+上单调递增； （2）证明见解析.【解析】（1）先求导得()()1ln 1a f x a x x+'=+-，再分10a -<<和0a ≥讨论即可得()f x '的单调性；（2）令函数()()3g x f x x e=+-，则()()1g x f x ''=+，结合（1）得在()0,∞+上()g x '单调递增，()10g '=，进而得在()0,1上()g x 单调递减，在()1,+∞上()g x 单调递增，再结合10g e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()10g <，()0g e >得11x e >，2x e <，故121x e x e+>+. 【详解】解：（1）()()()1ln 1,0,a f x a x x x+'=+-∈+∞， ()()2211ax a a a f x x x x+++''=+=. 若10a -<<，令()0f x ''>解得10a x a +<<-，即()f x '在10,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增；令()0f x ''<解得1a x a +>-时，即()f x '在1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 若0a ≥，易得当0x >时，()0f x ''>，即()f x '在()0,∞+单调递增.故当10a -<<时，()f x '在10,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；当0a ≥时， ()f x '在()0,∞+上单调递增. （2）令()()3g x f x x e=+-，则()()1g x f x ''=+. 由（1）知在()0,∞+上()g x '单调递增.又()()1110g f ''=+=，所以在()0,1上，()0g x '<，()g x 单调递减；在()1,+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增.又()113121110a g a a e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-=-+-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3110g e=-<，()()()331110g e ae a e a e e e e ⎛⎫=-++-=-+--> ⎪⎝⎭，所以11x e >，2x e <，故121x e x e+>+. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性（含参）和零点，考查运算求解能力，是中档题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l20y +-=，曲线1C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，倍得曲线2C .（1）求直线l 的斜率和曲线2C 的普通方程；（2）设点()0,2P ，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值. 【答案】（1）2213y x +=；（2）【解析】（1）由直线l 方程可直接得直线l 的斜率，曲线1C 的参数方程先利用坐标变换以后可得曲线2C 参数方程，消参后可得2C 普通方程（2）写出直线l 的参数方程的标准形式，利用t 的几何意义即可求出11PA PB+的值. 【详解】（1）直线l的斜率为k =曲线2C的参数方程为cos ,,x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩化为直角坐标方程为2213y x +=.（2）直线l的参数方程为1,22x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.将l 的参数方程代入2213y x +=，并整理得2320t ++=. 设点A 对应的参数为1t ，点B 对应的参数为2t，则12t t +=，1223t t =，所以10t <，20t <，故1212121111t t PA PB t t t t ++=--=-=【点睛】 本题主要考查了参数方程与普通方程互化，以及直线参数方程标准形式中t 的几何意义，属于中档题.23．设a ，b ，0c >，且1ab bc ca ++=，求证：（1）3a b c++； （23(c a ++ 【答案】(1) 证明见解析 (2) 证明见解析【解析】（1）运用分析法证明．要证3a b c ++，结合条件，两边平方，可得2221a b c++，运用重要不等式，累加即可得证．（2）问题转化为证明1，根据基本不等式的性质证明即可．【详解】 证明：（1）运用分析法证明．要证3a b c ++，即证2()3a b c ++，由a ，b ，c 均为正实数，且1ab bc ca ++=，即有2222()3a b c ab bc ca +++++，即为2221a b c ++，① 由222a b ab +，222b c bc +，222a c ac +，相加可得2221a b c zb bc ca ++++=，则①成立．综上可得，原不等式成立．（2）+， 而由（1）3a b c ++，∴3(a+，a b+即1，即：ab bc ac ++，而2ab ac ac +，2ab bc +，2bc ac +，1ab bc ac ∴++=成立，（当且仅当3a b c ===． 【点睛】 本题考查了基本不等式的证明，考查转化思想，属于中档题．。
