2017年春季新版湘教版八年级数学下学期2.1、多边形课件10

义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE 八年级下
2.1 多边形
三角形的三个外角的和等于多少度？
360°
D
A
C B
多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的 角叫作这个多边形的外角.
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和 叫作这个多边形的外角和．
n边形的外角和是 多少?其中n是大 于3的正整数.
谢谢观赏
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我们，还在路上……
n·180°－（n－2）·180°= 360°
由此得出： 任意多边形的外角和等于360°
例2
一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，它是几边形？
解: 设多边形的边数为n， 则它的内角和等于（n－2）·180° 由题意是 （n－2）·180°= 5× 360°
解得 n=12
因此这个多边形是十二边形．
等边三角形、正方形、正六边形的地砖，足球上呈正五边 形的黑块，这些多边形的边有什么特点?角有什么特点？
在平面内，边都相等，角也都相等的多边形叫作正多边形．
(1)
(2)
(3)
四条边都相等的四边形（即菱形），它的四个角一定相等吗？
不一定相等
图中的三个菱形，它们的边长都相等，但是只有菱形（2）的四个 角相等，其余两个菱形的四个角不相等．
上述例子也表明：虽然四边形的边长不变，但是它的形状改变了， 这叫作四边形的不稳定性．
活动的铁门就是利用了四边形的不稳定性，而在木栅栏上 加钉斜木条构成了三角形，是为了利用三角形的稳定性．
1.一个多边形的每一个外角都等于45°，这个多边形是几边形？它的每 一个内角是多少度？
解:
八边形
因为正多边形所以有
8 2 180

解：∵在四边形 ABCD 中，∠A＝145°，∠D＝75°， ∴∠ABC＋∠BCD＝360°－(145°＋75°)＝140°. ∵∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点 E， ∴∠EBC＋∠ECB＝12∠ABC＋12∠BCD＝70°， ∴∠BEC＝180°－70°＝110°.
能力提升练
②在①的条件下，若延长 BA，CD 交于点 F(如图④)，将原来的 条件“∠A＝145°，∠D＝75°”改为“∠F＝40°”，其他条件不 变，∠BEC 的度数会发生变化吗？ 若不变，请说明理由； 若变化，求出∠BEC 的度数．
线的同一旁，把这样的多边形叫作 凹多边形．求凹多边形的内角和时， 可将其补成凸多边形，然后利用 多边形的内角和公式求解． 例如： 如图①，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的度数．
素养核心练 [分析]我们无法利用公式计算图形中的各角之和，但是通过 连接 BC，可以将图形转化为三角形，并利用三角形的内角 和整体计算各角的度数和． 解：连接 BC，则∠D＋∠E＋∠1＝∠2＋∠FBC＋∠FCB＝ 180°. ∵∠1＝∠2， ∴∠D＋∠E＝∠FBC＋∠FCB.
能力提升练
解：不变．理由如下：∵∠F＝40°， ∴∠FBC＋∠BCF＝180°－40°＝140°. ∵∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点 E， ∴∠EBC＋∠ECB＝12∠ABC＋12∠BCD＝70°， ∴∠BEC＝180°－70°＝110°.
素养核心练 17．阅读理解： (1)把多边形的某一边向两方延长，其他各边不都在延长所得的直
素养核心练
∴∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠D＋∠E＝∠A＋∠ABC＋
∠ACB＝180°.
上述解题过程不含下列数学思想中的( B )
A．数形结合思想 B．从特殊到一般思想

A
B
•
E
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C
方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E， 连接AE,BE,CE,DE， 把四边形分成四个三角形： △ABE,△ADE,△CDE,△CBE. 所以四边形ABCD内角和为： 180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CEDD+∠CEB) =180°×4-360°A =360°.
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
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【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互 补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF， 求证：△DCF为直角三角形．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠CDF+∠EBF=90°， ∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD， ∴∠CDF+∠CFD=90°， 故△DCF为直角三角形． 运用了整体思想
总结归纳 多边形
分割
三角形 转化思想
分割点与多边形的位置关系
顶点
边上 内部 外部
多边形的内角和公式
n边形内角和等于(n-2)×180 °.
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练一练
完成下面的表格： 正多边 形边数 3 4 5 6 8
内角
60 ° 90 ° 108 ° 120 ° 135 °
n
(n 2) 180
n
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例3 一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多 边形的每个内角是多少度？ 解：设这个多边形边数为n，则

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12/12/2021
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(n-2)·180°.
(2)粗心的小明(xiǎo mínɡ)在计算一个多边形的内角和时，误把 一个外角也加进去了，得其和为1 180°.请帮他求出这个多加 的外角度数及多边形的边数.
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【自主解答】(1)∵从n边形的一个顶点可以(kěyǐ)作(n-3)条对角线， 这(n-3)条对角线要和多边形的两边组成三角形， ∴得出所分割成的三角形个数为：n-3+1=n-2. ∵这(n-2)个三角形的内角和都等于180°， ∴n边形的内角和是(n-2)×180°.
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3.多边形的顶点(dǐngdiǎn)：多边形相_邻__(_xi_ā_nɡ__lí_n)两条边的公共 ___端__点____. 4.多边形的对角线：连接多边形________不__相_的邻两个顶 点的线段.
5.多边形的角：多边形______相__邻__两边组成的角叫作多
边形的内角，简称多边形的角.
n
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【题组训练(xùnliàn)】
1.(2019·龙岩期末)(n+1)边形的内角和比n边形的内
角和大
A.180°
( A) B.360°
C.n×180°
D.n×360°
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★2.(2019·北京门头沟区一模)如图，已知△ABC为等
边三角形，若沿图中虚线(xūxiàn)剪去∠B，则∠1+∠2等于
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解：将四边形的各个内角的度数之比为1∶2∶3∶6改为(ɡǎi wéi)1∶2∶3∶4， 设此四边形的四个内角度数为x°，2x°，3x°，4x°， 则x+2x+3x+4x=360，解得：x=36，所以四边形的四个内角度 数分别为36°，72°，108°，144°.