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高考数学专题02 构造等差或者等比数列求解数列的通项公式(第二篇)(解析版)

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备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第二篇数列与不等式

专题02 构造等差或者等比数列求解数列的通项公式 类型 对应典例 构造等差数列求解通项公式 典例1 构造等比数列求解通项公式 典例2 利用构造证明数列为等比等差数列 典例3 利用两个数列的递推关系构造数列求通项公式 典例4 利用构造证明数列为等比数列 典例5 利用构造证明数列为等比数列 典例6 【典例1】【四川省攀枝花市2019-2020学年高三上学期第一次统考】 数列na中，112a，112()()2nnnaanN,数列nb满足*2nnnbanN． （I）求证：数列nb是等差数列，并求数列na的通项公式；

（II）设2lognnnca，求数列22nncc的前n项nT． 【思路点拨】 （I）将1122nnnaa配凑成11221nnnnaa.由此证得数列nb是等差数列.求得nb的表达式，进而求得数列na的通项公式. （II）先求得nc的表达式，然后利用裂项求和法求得nT.

解：（I）由1122nnnaa，即11221nnnnaa． 而2nnnba，∴11nnbb，即11nnbb． 又1121ba，∴数列{}nb是首项和公差均为1的等差数列． 于是1(1)1=2nnnbnna，∴2nnna． （II）∵22loglog2nnnncna，∴22211(2)2nnccnnnn． ∴1111111111111132435112212nTnnnnnn



L

311212nn．

【典例2】【2020届湖南省长沙市第一中学高三月考】 已知数列na的前n项和为nS，且23nnSannN.

(1)设3nnba，证明数列nb为等比数列，并求出通项公式na； (2)求2462naaaaL. 【思路点拨】 （1）由题可得11231nnSan,与条件作差可得123nnaa,则1323nnaa,即可证明数列nb为等比数列,利用等比数列的通项公式求得数列nb的通项公式,进而求得数列na的通项公式；

（2）由（1）可得22323nna,进而利用等比数列的前n项和公式求解即可 解：(1)由23nnSan,得11231nnSan,

两式相减,得123nnaa

,

所以1323nnaa,即12nnbbnN,

当1n时,11123aSa,所以13a,则11

36ba,

所以数列nb是以6为首项,2为公比的等比数列, 所以162nnb,

所以13623321nnnnab

(2)由(1)知22323nna, 则24224623232323nnaaaanLL

14143343414nnnn

 【典例3】【2020届山东省青岛市高三上学期期末数学试题】 设数列na的前n项和为nS,已知1

1a,121nnSS,nN.

(1)证明:1nS为等比数列,求出na的通项公式;

(2)若nnnba,求nb的前n项和nT,并判断是否存在正整数n使得1250nnTn成立?若存在求出所有n值;若不存在说明理由. 【思路点拨】(1)根据等比数列的定义即可证明1nS为等比数列，再根据nS和na的关系

11,1,2nnnSnaSSn







，即可求出na的通项公式；

(2)根据12nnnnnba，可采取错位相减法求出nb的前n项和nT，然后代入1250nnTn得，

2260nn，构造函数()226xfxx(1x)，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在．

解：(1)∵121nnSS∴1121nnSS，*nN

因为111aS，所以可推出10nS．故1121nnSS，即1nS为等比数列． ∵112S，公比为2 ∴12nnS，即21nnS，∵1121nnS，当2n时，112nnnnaSS，11a也满足此式，∴12nna

-

=

；

(2) 因为12nnnnnba，01112222nnnT ∴121122222nnnT，两式相减得:011111122222222nnnnnnT 即1242nnnT，代入1250nnTn，得2260nn． 令()226xfxx(1x)，2ln210xfx在1,x成立， ∴226xfxx，1,x为增函数， 而540ff，所以不存在正整数n使得1250nnTn成立． 【典例4】【广东省佛山市2019-2020学年高三教学质量检测（一)】 已知数列na是等比数列，数列nb满足1212bb，338b，1121nnnnabb

.

（1）求na的通项公式； （2）求nb的前n项和. 【思路点拨】 （1）根据已知条件求出2a，3a即可求出等比数列na的通项公式； （2）由（1）可得11221nnnnbb，即数列2nnb是公差为1的等差数列，求出nb的通项公式，利用错位相减法求出数列的前n项和. 解：（1）由1121nnnnabb，取1n，得22121abb，解得2

4a.

取2n，得33241abb，解得3

8a.

∵na是等比数列，则322aqa，212aaq

.

∴na的通项公式为112nnnaaq.

（2）∵11221nnnnbb，∴数列2nnb是公差为1的等差数列. 12211nnbbnn，则

2nn

nb.

设nb的前n项和为nS，则231232222nnnS，234112322222nnSn

L.

则2311111222222nnnSn



11111222112212nnnnn











.

∴222nnnS.

【典例5】【2020届浙江省杭州市第二中学高三12月月考数学试题】 已知正项数列na满足11a，221142nnnnaaaan

N

.

（1）证明：数列1na是等比数列； （2）证明：2341111123nnaaaaNL.

【思路点拨】 （1）将题干中的等式因式分解后得出111222nnnnnnaaaaaa，由此得出121nnaa，再利用定义证明出数列1na为等比数列；

（2）求出21nna，利用放缩法得出2111232nnna，结合等比数列的求和公式可证明出结论成立. 解： （1）221142nnnnaaaaQ，22

11112422nnnnnnnnaaaaaaaa

.

0naQ，120nnaa，121nnaa，即121nnaa，

则有1122211nnnnaaaa且112a， 数列1na是以2为首项，以2为公比的等比数列；

（2）由（1）得12nna，即21nna，得22111112212232nnnnnna，

2123411111111111121232111322232312nnnnaaaa









LL.

【典例6】【天津市南开区南开中学2019届高三第五次月考】 已知数列na的前n项和为nS，且2nnSan.

（1）证明数列1na是等比数列，并求数列na的通项公式；

（2）记1111nnnnbaaa，求数列nb的前n项和nT.

【思路点拨】 (1)由2nnSan，可得1121nnSan，两式相减，可化为1121nnaa,结合等比数列的定

义,即可得到结论；（2）由⑴1111111112121nnnnnnnnnabaaaaa，利用“裂项法”，即可求得数列

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高二数学等差和等比数列的通项及求和公式

高二数学等差和等比数列的通项及求和公式

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ第2课时 等差、等比数列的通 项及求和公式
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身
• 能力·思维·方法 • 延伸·拓展
•误 解 分 析
1.等差数列前n项和
等比数列前n项和
2.如果某个数列前n项和为Sn，则
3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
除此之外，在房间里摆放桔皮、柠檬皮等物品，也是一种很有效的去味方法，不过它们的见效不会很迅速。 / 作文班加盟
3.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇 数项和之比为32∶ 27，求公差d.
【解题回顾】在等差数列{an}中： (1)项数为2n时，则S偶-S奇＝nd，S奇 / S偶＝an / an+1； (2)项数为2n-1时，则S奇-S偶＝an，S奇/ S偶＝n/(n-1)，S2n-1= (2n-1)an，当{an}为等比数列时其结论可类似推导得出．
(A)3
(B)4
(C)7
(D)8
5.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6 为( B )
(A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q
(D) 2(p+q)
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1.设数列{an}的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式， 并指出此数列是否为等差数列.
新家具如何快速除味 上个星期，家里买了一张欧式大床还有梳妆台等新家具。这几件新家具“入住”之后，开始散发出刺鼻的气味，呆在房间呆长了，就感觉头晕。找到商家询问，但是商家表示，新家具都是这样的情况 了气味自然会散去。新家具真的都有味道吗？新家具味道如何快速去除呢？特意总结了一些实用方法，帮助大家解快速去除新家具气味。
(完整版)数列通项公式常用求法及构造法

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例1 在数列{}n a 中，1a =12，133n n n a a a +=+（n N +∈），求数列{}n a 通项公式.解析：由313n n a n a a ++=得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，=-+n n a a 11131，设b n =n a 1，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知， 数列｛b n ｝是首项b 1=2，公差d=31的等差数列，根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35∴数列通项公式为a n =53+n例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。

解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =1222-n n S S 得，S n -S n-1=1222-n n S S ，变形整理得S n -S n-1= S n S n-1两边除以S n S n-1得，n S 1-11-n S =2，∴｛n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列∴n S 1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121-n (n ≥1) 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321-n =-38422+-n n ，n=1不满足此式， ∴a n ={21138422≥=+--n n n n二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f （n+1）=Af （n ）（其中A 为非零常数）形式，根据等比数列的定义知)(n f 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。

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2024新高考新试卷结构数列的通项公式的9种题型总结题型解密考点一：已知S n =f n ，求a n利用S n =a 1,n =1S n−Sn −1,n ≥2，注意一定要验证当n =1时是否成立【精选例题】1已知S n 为数列a n 的前n 项和，且S n =2n +1-1，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2nB.a n =3,n =12n,n ≥2C.a n =2n -1D.a n =2n +1【答案】B【详解】当n ≥2时，S n -1=2n -1，a n =S n -S n -1=2n +1-1-2n +1=2n ；当n =1时，a 1=S 1=21+1-1=3，不符合a n =2n ，则a n =3,n =12n,n ≥2.故选：B .2定义np 1+p 2+p 3+⋅⋅⋅+p n为n 个正数p 1,p 2,p 3,⋅⋅⋅,p n 的“均倒数”，若已知数列a n 的前n 项的“均倒数”为15n，则a 10等于()A.85B.90C.95D.100【答案】C【详解】因为数列a n 的前n 项的“均倒数”为15n ，所以n a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n =15n⇒a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n =5n 2，于是有a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 10=5×102，a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 9=5×92，两式相减，得a 10=5×(100-81)=95，故选：C3(多选题)定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n -1a nn为数列a n 的“优值”．已知某数列a n 的“优值”H n =2n ，前n 项和为S n ，下列关于数列a n 的描述正确的有()A.数列a n 为等差数列B.数列a n 为递增数列C.S 20222022=20252 D.S 2，S 4，S 6成等差数列【答案】ABC【详解】由已知可得H n =a 1+2a 2+⋯+2n -1a nn=2n ，所以a 1+2a 2+⋯+2n -1a n =n ⋅2n ，①所以n ≥2时，a 1+2a 2+⋯+2n -2a n -1=n -1 ⋅2n -1，②得n ≥2时，2n -1a n =n ⋅2n -n -1 ⋅2n -1=n +1 ⋅2n -1，即n ≥2时，a n =n +1，当n =1时，由①知a 1=2，满足a n =n +1．所以数列a n 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 正确，所以S n =n n +3 2，所以S n n =n +32，故S 20222022=20252，故C 正确．S 2=5，S 4=14，S 6=27，S 2，S 4，S 6不是等差数列，故D 错误，故选：ABC ．4设数列a n 满足a 1+12a 2+122a 3+⋅⋅⋅+12n -1a n =n +1，则a n 的前n 项和()A.2n -1B.2n +1C.2nD.2n +1-1【答案】C【详解】解：当n =1时，a 1=2，当n ≥2时，由a 1+12a 2+122a 3+⋅⋅⋅+12n -2a n -1+12n -1a n =n +1得a 1+12a 2+122a 3+⋅⋅⋅+12n -2a n -1=n ，两式相减得，12n -1a n =1，即a n =2n -1，综上，a n =2,n =12n -1,n ≥2 所以a n 的前n 项和为2+2+4+8+⋯+2n -1=2+21-2n -1 1-2=2n ，故选：C .【跟踪训练】1无穷数列a n 的前n 项和为S n ，满足S n =2n ，则下列结论中正确的有()A.a n 为等比数列B.a n 为递增数列C.a n 中存在三项成等差数列D.a n 中偶数项成等比数列【答案】D【详解】解：无穷数列a n 的前n 项和为S n ，满足S n =2n ∴n ≥2，a n =S n -S n -1=2n -2n -1=2n -1，当n =1时，a 1=S 1=21=2，不符合上式，∴a n =2,n =1,2n -1,n ≥2,所以a n 不是等比数列，故A 错误；又a 1=a 2=2，所以a n 不是递增数列，故B 错误；假设数列a n 中存在三项a r ,a m ,a s 成等差数列，由于a 1=a 2=2，则r ,m ,s ∈N *,2≤r <m <s ，所以得：2a m =a r +a s ⇒2×2m -1=2r -1+2s -1∴2m =2r -1+2s -1，则∴1=2r -m -1+2s -m -1，又s -m -1≥0⇒2s -m -1≥1且2r -m -1>0恒成立，故式子1=2r -m -1+2s -m -1无解，a n 中找不到三项成等差数列，故C 错误；∴a 2n =22n -1(n ∈N *)，∴a 2(n +1)a n =22n +122n -1=4∴a 2n 是等比数列，即a n 中偶数项成等比数列，故D 正确.故选：D ．2对于数列a n ，定义H n =a 1+2a 2+3a 3+⋯+na nn为a n 的“伴生数列”，已知某数列a n 的“伴生数列”为H n =(n +1)2，则a n =；记数列a n -kn 的前n 项和为S n ，若对任意n ∈N *,S n ≤S 6恒成立，则实数k 的取值范围为．【答案】 3n +1；227≤k ≤196.【详解】因为H n =(n +1)2=a 1+2a 2+3a 3+⋯+na nn，所以n ⋅(n +1)2=a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n ①，所以当n =1时，a 1=4，当n ≥2时，(n -1)⋅n 2=a 1+2a 2+3a 3+⋯+(n -1)a n -1②，①-②：3n 2+n =na n ，所以a n =3n +1，综上：a n =3n +1，n ∈N *，令b n =a n -kn =(3-k )n +1，则b n +1-b n =3-k ，可知{b n }为等差数列，又因为对任意n ∈N *，S n ≤S 6恒成立，所以S 6-S 5=b 6≥0，S 7-S 6=b 7≤0，则有b 6=3-k ×6+1=19-6k ≥0，b 7=3-k ×7+1=22-7k ≤0， 解得227≤k ≤196．故答案为：3n +1；227≤k ≤196考点二：叠加法(累加法)求通项若数列a n 满足a n +1−a n =f (n )(n ∈N *)，则称数列a n 为“变差数列”，求变差数列a n 的通项时，利用恒等式a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋅⋅⋅+(a n −a n −1)=a 1+f (1)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (n −1)(n ≥2)求通项公式的方法称为累加法。

高考数学等差数列、等比数列(解析版)题型二：等差数列、等比数列的性质

高考数学等差数列、等比数列(解析版)题型二：等差数列、等比数列的性质

题型二：等差数列、等比数列的性质1．等差数列{}n a ､{}n b 前n 项和分别为n S 与n T ，且223n n S n T n +=+，则61172a b b =+（ ） A ．65B ．76C ．1D ．209【答案】A 【详解】因数列{}n a ､{}n b 都为等差数列，且223n n S n T n +=+， 故设()22n kn S n =+，()3n T kn n =+， 因此66524a S S k =-=，99820b T T k =-=， 由等差中项得，661179222462205a a kb b b k ===+.故选：A.2．已知等差数列{}n a 满足：25815a a a ++=，则37a a +=（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．10【答案】D 【详解】因为2585315a a a a ++==， 所以55a =，所以375210a a a +==， 故选：D3．公差不为零的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ）A ．19B ．18C ．17D ．16【答案】D 【详解】{}n a 为等差数列，31172a a a ∴+=，由23711220a a a -+=得：27740a a -=，解得：70a =或74a =；{}n b 是等比数列，0n b ∴≠，又77b a =，774b a ∴==，268716b b b ∴==.故选：D.4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S =，63S =，则12S 等于（ ） A ．-3 B ．-12C ．-21D ．-30【答案】D 【详解】由等差数列的性质知：36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列， ∴()633962S S S S S -=+-，则9636S +-=-，可得99S =-. 同理：96631292()S S S S S S -=-+-，即12624S +=-，得1230S =-. 故选：D5．已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有481n n S n T n -=+，则3153111572a a a b b b b ++=++（ ）A ．3B ．6C ．327D ．8013【答案】B 【详解】数列{a n }，{b n }均为等差数列，由等差数列下标和的性质得1113153931111111115711111111111139112222(222112)a a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b b b +⋅+++=+==⋅=⋅+++++++⋅+11114118226111S T ⋅-=⋅=⋅=+. 故选：B6．已知正项等比数列{}n a 中，28468a a a a +=，则39122222log log log log a a a a++=（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】B 【详解】由等比数列性质可知，192846a a a a a a ===，而a 2a 8+a 4a 6=8， 所以1928464a a a a a a ====，因为log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 9212921928465log log ()()()a a a a a a a a a a ==，所以log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 9= 92log 29=，故选：B7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，11168313225a a a a a a ++=，则113a a 的最大值是（ ） A ．25 B ．254C ．5D ．25【答案】B 【详解】{}n a 是等比数列，且11168313225a a a a a a ++=，()222668868225a a a a a a ∴++=+=.又0n a >，685a a ∴+=，268113682524a a a a a a +⎛⎫∴=≤=⎪⎝⎭，当且仅当6852a a ==时取等号. 故选：B .8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若35S =，620S =，则9S =（ ） A ．66B ．65C ．64D ．63【答案】B 【详解】解：由题知：31235S a a a =++=，()36345612315S S a a a a a a q -=++=++=，()696789123920S S a a a a a a q S -=++=++=-，所以3S ，63S S -，96S S -成等比数列，即5，15，920S -成等比数列，所以()2915520S =-，解得965S =.故选：B.9．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若1234a a a ++=，4568a a a ++=，则12S = A ．40 B ．60 C ．32 D ．50【答案】B【详解】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ．[提分技巧](1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质,特别是等差数列中若“m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+(,,,m n p q N *∈)”这一性质与求和公式1()2n n n a a S +=的综合应用。