传动轴多目标可靠性优化设计_陈志华
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煤矿机械
CoalMineMachineryVol.35No.11
Nov.2014第35卷第11期
2014年11月
doi:10.13436/j.mkjx.201411012
0引言在机械设计过程中会遇到各种随机性因素，为保证产品的可靠性，应对重要的部件进行可靠性分析，在处理其中的各种随机变量时，通常假设其遵循某一种概率分布，当未明确分布情况时，通常假定其为正态分布，这样将得到较为保守的结果。在分析过程中为保证设计合理，通常需考虑多项的设计指标，并根据必要性分配权重，使结果达到最优，这就构成了多目标可靠性优化问题。1可靠性设计的数学模型传统设计是以计算安全系数n为主要内容，以计算安全系数时用到的应力、强度等参数均取单值为前提，可靠性设计考虑了载荷、零部件的尺寸及材料性能等参数的多值性。具有多个设计参数，能够保证在一定可靠度的条件下达到设计的最优化，使得设计方案更加合理。可靠性分析设计的理论基础基于应力－强度干涉模型，认为强度大于应力时就不会发生失效，模型中应力和强度都假设是随机变量，记为s和r，定义可靠度R=P（r＞s）=P（r-s＞0）假定应力、强度随机变量都服从正态分布N（μs，σs）、N（μr，σr），其分布密度分别为f（s）=12π姨σsexp［-（s-μs）22σs2］，g（r）=12π姨σrexp［-（r-μr）22σr2］式中μs、μr———应力与强度的均值；σs、σr———应力与强度的标准差。按概率论知，2个服从正态分布的独立随机变量之差y=r-s，亦服从正态分布N（μy，σy），相关系数ρ=0，分布密度f（y）=12π姨σyexp［-（y-μy）22σy2
］
μy＝μr-μs、σy=σs2+σr2
姨
产品要可靠，需满足
y=r-s≥0
R=P（y≥0）=P（y-μyσy≥-μyσy）＝P（y-μyσy≤μyσy）=
准（μyσy）＝准（μr-μsσs2+σr2姨）
得出μr-μs
σs2+σr2
姨
=准-1（R）（1）
由式（1）可得，将应力分布参数（μ
s，σs），
强度分
布参数N（μ
r，σr）
和可靠度
R三者联系
起来构成方
程，从而完成可靠性设计。
2优化设计模型2.1设计实例在小型轨道车传动轴设计中，结构形式如图
1
所示。已知：轴材料选用40Cr钢，弹性模量E=2×
105MPa，G=80GPa，许用转角[φ]=0.5°/m
，
传递转矩
T=1500Nm，偏差ΔT=0.04T，要求可靠度R0=0.9999，
确定传动轴在满足不失效概率0.9999时的优化设
计方案。
图1小型轨道车传动轴的示意图
传动轴多目标可靠性优化设计陈志华，刘世峰，董朝盼
（中国核电工程有限公司河北分公司，石家庄050019
）
摘要：以小型轨道车传动轴的优化设计为目标，采用常规优化设计结合可靠性理论的方法
，
建立多目标优化数学模型。引入权系数表示各目标在优化问题中的重要程度，应用MATLAB优化
工具箱进行运算，得出优化结果。结果表明多目标可靠性优化设计的可行性和实用性
。
关键词：传动轴；可靠性；多目标优化；MATLAB
中图分类号：TH122文献标志码：A文章编号：1003－0794（2014）11－0026－03
MultiObjectiveOptimizationDesignofReliabilityofTransmissionShaft
CHENZhi-hua，LIUShi-feng，DONGChao-pan(HebeiBranchofChinaNuclearPowerEngineeringLimitedCompany，Shijiazhuang050019，China)
Abstract：Combinedthetraditionaloptimizationwiththereliabilitytheory，themulti-object
optimizationmathematicalmodelisestablishedtooptimizethedesignofthetransmissionshaftusedinthesmall-railcar.Usingweightedcoefficientstoshowthepriorityofeachobjectivefunction,andthenutilizingMATLABoptimumboxtocalculatetotheoptimumresult.Theresultshowsthatthemethodisfeasibleandeffective.Keywords：transmissionshaft；reliability；multi-objectiveoptimization；MATLAB
传动轴L为定值
Dd
小型轨道车
26第35卷第11期Vol.35No.11传动轴多目标可靠性优化设计———陈志华
，等
2.2设计变量的选择
为使优化结果准确有效，应选取对设计目标有显著影响且能直接控制的独立参数作为设计变量。
现选取轴的外径D，内径d（d=0，则为实心轴）作为设计变量，其取值范围为≥0的实数
，构成随机变量组
X=［D，d］T=［x1，x1］T，X∈En（2）
2.3目标函数的确定
分析传动轴外径D、内径d与可靠度R
0之间的
关系，同时给出在质量函数f（X）最小的情况下，满足可靠度要求条件下的设计尺寸值，从而完成可靠性优化设计。
针对轴的质量优化目标等同于优化轴的断面面积，建立目标函数
f1（X）=f（x1，x2）＝π4（D2-d2）=π4（x12-x22）（3）
同时考虑材料的利用，优化轴外径
D
，
同时考虑
量纲统一，建立目标函数f2（X）=f（x1，x2）＝D2=x12（4）
2.4约束条件（1）
扭转强度可靠性条件
考虑可靠性设计，假设轴的设计要求可靠度为R0，
则可靠性约束为
g1（X）=R0-R（x）=R0-P（τs-τ≥0）=准-1（R0）－τs-τστs2＋στ2姨≤0
（5）求解新的分布函数，在均值处展开
Taylor
（泰勒）
级数，略去高次项，得
式中准－1
（x）———
标准正态累积分布函数的反函数
；
T———传递的转矩，Nm；
σT———转矩的标准差，Nm；
W———抗扭截面模量，mm3
；
σw———抗扭截面模量的标准差，mm3
；
τs———材料的屈服极限值，MPa；
στs———屈服极限的标准差，MPa；
σD、σd———传动轴的外、内径标准差，mm。
（2）
扭转刚度的可靠性条件
g2（X）=R0-R（x）=R0-P（［φ］-φ≤0）=准-1（R0）-［φ］-φσ［φ］2＋σφ2姨≤0
（6）Ip=π32（D4-d4），Ip＝π32（D4-d4），σ=（坠Ip坠D）2σD2+（坠Ip坠d）2σd2
姨
φ=180TπGIp，φ＝57.3TGIp，σφ＝（坠φ坠T）2σT2+（坠φ坠G）2σG2+（坠φ坠Ip）2σ2
姨
式中[φ]———许用扭转角，（°/m），取[φ]=1.0°/m
；
G———剪切模量，GPa；
σG———剪切模量的标准差，取σG≈0.03G
；
Ip———截面极惯性矩，mm4
；
σ———截面惯性矩的标准差，mm4
。
（3）
制造工艺条件
考虑制造工艺条件，内外径尺寸应有一定差值，同时考虑非负性，即g3（X）=d+k-D=x2+k-x1≤0（取k＝2.5mm）（7）
g4（X）=-x1≤0（8）
g5（X）=-x2≤0（9）
（4）
已知数据条件
R0=0.9999查正态分布表得知：准－1（R0）=3.72；
查
手册知40Cr钢σ
s~N＝（785，39.25）MPa
，
取变差系数
Cσs=0.05，τs=0.5σs，τs~N＝（392.5，19.625）MPa；
传递转
矩σ
T=ΔT/3=20Nm
；
传动轴采用车削加工
，内外径的
标准差根据制造公差的“3σ原则”统计数据取σ
D=
0.005D，σd=0.005d。
3基于MATLAB的计算（1）
数学模型
根据上述已知数据，结合式（5）~式（9
），
建立传
动轴的约束优化数学模型：
目标函数minF（X）=｛f
1（X），f2（X）｝T，X∈R2
设计变量X＝［x
1，x2］T＝［D，d］T
s.t.gj（X）≤0，（j=1，2，3，…，5）
（2）
目标函数处理
针对多目标优化设计的求解方法，一类是直接求出Pareto最优解
（非劣解），然后从中选择较好的
解；另一类是经过线性加权和法、目标函数法、平方加权法、分层序列法等适当处理后转为单目标优化问题进行求解。
目前对于多目标问题，加权目标函数法较为实用，应用平方和加权法转化评价函数：
f（X）=2i=1Σωi［fi（X）-fi*］ΣΣ2，2i=1Σωi=1式中ω
i———权数；
fi*
———
函数的理想值
。
（3）
优化算法
针对上述非线性约束优化问题的求解方法，之前较多采用惩罚函数法将复杂的问题转化为无约束优化问题间接求解，目前主要采用库恩－塔克
（KT条件）方法，基于KT条件利用Matlab软件优化工具箱的序列二次规划算法（SQP法，即Sequential
QuadraticProgrammingalgorithm）
求解约束优化问题
。
SQP的主要思路是形成基于拉格朗日函数二次近似的二次规划子问题，将目标函数和约束条件联系起来：
W=π16（D4-d4D），W＝π16（D4-d4D），σW＝（坠W坠D）2σD2+（坠W坠d）2σd2
姨
τ=TW，τ=TW，στ＝（坠τ坠T）2σT2+（坠τ坠W）2σw2姨=1W2
T2σw2+W2σT2
姨
Ip
Ip
Ip
1/227
