等差、等比数列的公式与方法

等差等比数列的通项及求和公式等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值保持恒定的数列。

等差数列的通项公式和求和公式非常重要，在数学中得到广泛的应用。

1.通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)*d其中，aₙ表示数列的第n项。

2.求和公式：设等差数列的首项为a₁，末项为aₙ，共有n项，公差为d，则等差数列的前n项和的求和公式为：Sn=(a₁+aₙ)*n/2其中，Sn表示数列的前n项和。

等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值保持恒定的数列。

等比数列的通项公式和求和公式也具有重要的应用。

1.通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为：aₙ=a₁*q^(n-1)其中，aₙ表示数列的第n项。

2.求和公式：设等比数列的首项为a₁，共有n项，公比为q，则等比数列的前n项和的求和公式为：Sn=a₁*(1-q^n)/(1-q)当q=1时，数列为等差数列，求和公式退化为等差数列的求和公式。

三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1.数学应用：等差数列和等比数列的通项公式和求和公式在数学中有重要的应用，如解方程、求极限、推导函数的表达式等。

2.物理应用：在物理学中，很多现象和规律都可以用等差数列和等比数列来描述，如自由落体运动、等速直线运动等。

3.经济应用：在经济学中，很多经济指标的增长变化都可以用等差数列和等比数列来表达，如GDP增长、利润增长、市场份额等。

4.工程应用：在工程学中，等差数列和等比数列的应用也非常广泛，如计算机网络的数据传输速率、通信系统的信号强度衰减等。

总之，等差数列和等比数列的通项公式和求和公式是数学中的重要概念和工具，深入理解和熟练应用这些公式对于解决实际问题具有重要意义。

等差数列与等比数列的证明方法等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式，它们在数学和实际问题中都有重要的应用。

下面我们来介绍等差数列和等比数列的证明方法。

等差数列是指数列中每两个相邻的数之间的差值都相等的数列。

等差数列的通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。

1. 通过公式法证明等差数列：假设有数列{an}，首项为a1，公差为d，我们可以使用数列的通项公式An = a1 + (n-1)d。

通过将通项公式代入证明，我们可以得到每一项与前一项之间的差值都为d，从而证明这是一个等差数列。

2. 通过递推法证明等差数列：假设有数列{an}，如果我们知道数列的首项a1和公差d，我们可以通过递推关系式an = an-1 + d来证明这是一个等差数列。

我们可以通过验证递推关系式对于所有项都成立，从而证明这是一个等差数列。

3.通过数列的性质证明等差数列：等差数列有很多重要的性质，例如，等差数列的中项等于首项与末项的平均数，等差数列的前n项和等于n倍首项与末项和的平均数。

如果我们通过对这些性质进行验证，可以得出结论这是一个等差数列。

等比数列是指数列中每两个相邻的数之间的比值都相等的数列。

等比数列的通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。

1. 通过公式法证明等比数列：假设有数列{an}，首项为a1，公比为r，我们可以使用数列的通项公式An = a1 * r^(n-1)。

通过将通项公式代入证明，我们可以得到每一项与前一项之间的比值都为r，从而证明这是一个等比数列。

2. 通过递推法证明等比数列：假设有数列{an}，如果我们知道数列的首项a1和公比r，我们可以通过递推关系式an = an-1 * r来证明这是一个等比数列。

我们可以通过验证递推关系式对于所有项都成立，从而证明这是一个等比数列。

3.通过数列的性质证明等比数列：等比数列有很多重要的性质，例如，等比数列的任意两项的比值都相等，等比数列的前n项和等于首项与末项和的乘积与公比的差的商。

一、等差数列等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

等差数列的一般形式为：a_n = a_1 + (n 1)d其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。

等差数列的前n项和公式为：S_n = n/2 (a_1 + a_n)或者S_n = n/2 (2a_1 + (n 1)d)二、等比数列等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。

等比数列的一般形式为：a_n = a_1 q^(n 1)其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。

等比数列的前n项和公式为：S_n = a_1 (1 q^n) / (1 q) （当q ≠ 1时）或者S_n = n a_1 （当q = 1时）一、等差数列等差数列是一种常见的数列，其中每一项与前一项之间的差是恒定的。

这个恒定的差值被称为公差，通常用字母d表示。

等差数列的一般形式可以表示为：a_n = a_1 + (n 1)d其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。

S_n = n/2 (a_1 + a_n)或者S_n = n/2 (2a_1 + (n 1)d)这个公式可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和。

二、等比数列等比数列是另一种常见的数列，其中每一项与前一项之间的比是恒定的。

这个恒定的比值被称为公比，通常用字母q表示。

等比数列的一般形式可以表示为：a_n = a_1 q^(n 1)其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。

S_n = a_1 (1 q^n) / (1 q) （当q ≠ 1时）或者S_n = n a_1 （当q = 1时）这个公式可以帮助我们快速计算等比数列的前n项和。

三、应用场景等差数列和等比数列在数学和现实生活中的应用非常广泛。

例如，在金融领域，等差数列可以用来计算定期存款的利息，而等比数列可以用来计算复利的增长。

等差数列与等比数列基础知识1．数列的概念定义1. 按照某一法则，给定了第1个数，第2个数，………，对于正整数有一个确定的数，于是得到一列有次序的数我们称它为数列，用符号表示。

数列中的每项称为数列的项，第项称为数列的一般项，又称为数列的通项。

定义2.当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则称这个数列为无限数列。

定义3.对于一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即，这样的数列称为递增数列；如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即，这样的数列称为递减数列。

定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数，即，其中是某一个正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。

定义5.如果在数列中，项数与具有如下的函数关系：，则称这个关系为数列的通项公式。

2．等差数列定义6.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示。

等差数列具有以下几种性质：（1）等差数列的通项公式：或；（2）等差数列的前项和公式：或；（3）公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数；（4）公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数；（5）设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；（6）设，是等差数列，则（是常数）也是等差数列；（7）设，是等差数列，且，则也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；（8）若，则；特别地，当时，；（9）设，，，则有；（10）对于项数为的等差数列，记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和，则，；（11）对于项数为的等差数列，有，；（12）是等差数列的前项和，则；（13）其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.3．等比数列定义7.一般地，如果有一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用字母表示（），即。

等差、等比数列的公式1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+=3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11kn k n n q a q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a qq a a S nn n 当q=1时.1na S n =2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2b a A +=2°.设a ,G ,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±=③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=nk n n k nn k kk kaa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk n n k nn k kk kaa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2nq的等比数列.⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2nd S S =-奇偶练习 1．三个数,,1,,1,1,122成等比数列又成等差数列n m nm的值为则nm n m ++22 （ ）A ．－1或3B ．－3或1C ．1或3D ．－3或－1 2．在等比数列1020144117,5,6,}{a a a a a a a n 则中=+=⋅=（ ）A ．2332或B ．2332--或 C ．515--或 D ．2131-或3．等比数列===302010,10,20,}{M MM M n a n n 则若项乘积记为前（ ）A ．1000B ．40C ．425D ．814．已知等差数列5，8，11，…与3，7，11，…都有100项，则它们相同项的个数 （ ） A ．25 B ．26 C ．33 D ．345．已知一个等差数列的前5项的和是120，最后5项的和是180，又所有项的和为360，则此数列的项数为 （ ） A ．12项 B ．13项 C ．14项 D ．15项 6．若两个等差数列)(27417,}{},{+∈++=N n n n B A B A n b a nn n n n n 且满足和项和分别为的前则的值是1111b a（ ）A ．47 B ．23 C ．34 D ．71781．B 2．A 3．D 4．A 5．A 6．C求通项方法（一）一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。

如何求解等差数列和等比数列等差数列和等比数列是数学中常见且重要的数列。

在解题过程中，我们需要掌握一些基本的求解方法和公式。

本文将详细介绍如何求解等差数列和等比数列的方法和步骤。

一、等差数列的求解方法等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。

1. 求解等差数列的前n项和要求解等差数列的前n项和，可以使用等差数列求和公式。

等差数列的前n项和公式为：Sn = (n/2) * (a₁ + aₙ)其中，Sn表示前n项和，n表示项数，a₁表示首项，aₙ表示第n项。

2. 求解等差数列的第n项要求解等差数列的第n项，可以使用等差数列通项公式。

等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1) * d其中，aₙ表示第n项，n表示项数，a₁表示首项，d表示公差。

二、等比数列的求解方法等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。

设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ。

1. 求解等比数列的前n项和要求解等比数列的前n项和，可以使用等比数列求和公式。

等比数列的前n项和公式为：Sn = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)其中，Sn表示前n项和，a₁表示首项，q表示公比。

2. 求解等比数列的第n项要求解等比数列的第n项，可以使用等比数列通项公式。

等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，aₙ表示第n项，a₁表示首项，q表示公比。

通过上述的求解方法和公式，我们可以轻松求解等差数列和等比数列的问题。

在实际应用中，我们可以根据题目给出的条件，确定问题所涉及的数列类型，并选择恰当的求解方法进行计算。

总结：等差数列和等比数列是数学中常见的数列类型，求解它们的方法和步骤相对简单。

对于等差数列，我们可以使用求和公式和通项公式来求解前n项和和第n项；对于等比数列，我们可以使用求和公式和通项公式来求解前n项和和第n项。

掌握了这些基本方法和公式，我们就可以有效地解决等差数列和等比数列的问题。

数列的等差数列与等比数列的计算数列是数学中常见的概念，它是由一串数按照一定规律排列而成的序列。

其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。

本文将会介绍等差数列和等比数列的计算方法。

一、等差数列的计算等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定。

设等差数列的首项为a₁，公差为d。

则数列的通项公式为：an = a₁ + (n - 1)d其中，an表示数列的第n项。

1. 求首项和公差若已知等差数列的前n项和Sn、项数n以及末项an，可通过下列公式求得首项a₁和公差d：a₁ = (2S₁- nₐₙd) / (n + 1)d = (an - a₁) / (n - 1)2. 求和公式等差数列的前n项和Sn的计算公式为：Sn = (n / 2)(a₁ + an)二、等比数列的计算等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定。

设等比数列的首项为a₁，公比为q。

则数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)其中，an表示数列的第n项。

1. 求首项和公比若已知等比数列的前n项和Sn、项数n以及末项an，可通过下列公式求得首项a₁和公比q：a₁ = Sn / (q^n - 1) + n / (1 - q)q = (an / a₁)^(1 / (n - 1))2. 求和公式等比数列的前n项和Sn的计算公式为：Sn = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)三、例题解析现有一个等差数列，前6项的和为45，公差为3，求首项和第8项。

解：根据已知信息可列出方程：45 = (n/2)(a₁ + a₈) ①a₈ = a₁ + (8 - 1)d ②代入公差d = 3，首项a₁ = ?，化简方程：45 = 4.5(a₁ + 7d)10 = a₁ + 21da₁ = 10 - 21d将公差代入，得到首项：a₁ = 10 - 21 * 3a₁ = -53将首项代入公式②，求得第8项a₈：a₈ = -53 + 7 * 3a₈ = -32所以，该等差数列的首项为-53，第8项为-32。

第3讲 《数列》一、等差数列1．等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=。

[说明]该公式整理后是关于n 的一次函数。

2．等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

即：2b a A +=或b a A +=23．等差数列的判定方法1． 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。

2．等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。

4．等差数列的前n 项和 2)(1n n a a n S += d n n na S n 2)1(1-+= 5．等差数列的性质（1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=（2）对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。

也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a ，如图所示：n n a a n a a n n a a a a a a ++---112,,,,,,12321 （3）若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，kk S S 23-成等差数列。

如下图所示：k kk k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 二、等比数列1．等比中项如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。

也就是，如果是的等比中项，那么G b a G =，即ab G =2。

2．等比数列的判定方法（1）定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列。

等差数列与等比数列总结一、等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示；等差中项，如果2ba A +=，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数；等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=； 等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-；等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n）a a （n 1⨯+=d 2）1-n （n na 1⨯+= 中12na n ）2d-a （n ）2d （=⨯+⨯； 【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n +=【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+3、md 成等差数列，公差为、a 、a 、a m 2k m k k ⋯⋯++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =⋯⋯==+++4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ⋯⋯成等差数列，公差为d n 2【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+⋯⋯+++⋯⋯++=++，）a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+⋯⋯+++⋯⋯++=++++⋯⋯=，d n 25、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2，q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=⇔+【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，n S =d 2）1-n （n na 1⨯+= n ）2d -a （n ）2d （12⨯+⨯ 6、若数列}{a n 是等差数列，则}{c n a为等比数列，c>0【说明】d a-a a ac c cc 1-n n 1-n n ==7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2nS -S 奇偶⨯=当n 为奇数时，n a S 中n ⨯=，中偶奇a S -S =，1-n 1n S S 偶奇+=【说明】当n 为偶数时，d 2n）a -a （）a -a （）a -a （S -S 123-n 2-n 1-n n 奇偶⨯=+⋯⋯++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 21-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+=+⋯⋯++=，，1-n 1n 21-n ）a a （2121n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶奇+=⨯++⨯+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+8、设1-2n 1-n 2n n n n n n T Sb a 项和，则n 的前}{b 、}{a 分别表示等差数列T 和S = 【说明】nn 中中1-2n 1-n 2b ab ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列1515n n n n n n b a，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}{a += 9、1-d ，0a ），则q p （p a ，q a q p q p ==≠==+q --p a ），则q p （p S ，q S q p q p =≠==+ 0a ），则q p （S S q p q p =≠=+【说明】0q -q qd a a ，1-d q -p d ）q -p （a -a p q p q p ==+==⇒==+ 2-a a p -q 2）q -p ）（a a （）a a （S S p 1q p 1q p 1q q p =+⇒=+=+⋯⋯+=-+++q --p 2）q p ）（a a （2）q p ）（a a （S p 1q q p 1q p =++=++=+++二、等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用小写字母q 表示；等比中项，如果ab G 2=，那么G 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等比数列，那么等差中项的平方等于另两项的积；等比数列}{a n 的通项公式：）N n （q a a 1-n 1n *∈=；等比数列}{a n 的递推公式：）2n （q a a 1n n ≥=-；等比数列}{a n 的前n 项和公式：n S =⎪⎩⎪⎨⎧≠==1q ，q -1q a -a q -1）q -1（a 1q ，na n 1n 11 【等比数列的性质】 1、m -n m n q a a ⋅=【说明】n 1-n 1m -n 1-m 1m -n m a q a q q a q a =⋅=⋅⋅=⋅ 2、若m 、n 、k 、l *∈N ，且l k n m a a a a ，l k n m ⋅=⋅⋅=⋅【说明】l k 2-l k 212-n m 21n m a a q a q a a a ⋅===⋅++ 3、m m 2k m k k q ，成等比数列，公比为、a 、a 、a ⋯⋯++ 【说明】m mk m 2k k m k q a aa a ==+++ 4、k ）1-n （nk k 23k k k 2k S -S S -S 、S -S 、S ⋯⋯成等比数列，公比为nq【说明】n n21n22n 1n n n n 2q a a a a a a S S -S =+⋯⋯+++⋯⋯++=++ 5、数列}{a n 成等比数列）1-q （A S ，q p a ，a a a nn n n 1n 1-n 2n =⋅=⋅=⇔+【说明】）1-q （1-q a q -1）q -1（a S ，q q a qa a n 1n1n n 11-n 1n ==⋅=⋅= 6、若数列}{a n 是等比数列，则0a 为等差数列，}a {log n n c > 【说明】q log a a log a log -a log c 1-n nc1-n c n c == 7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S +=；若n 为偶数时，q a a 奇偶=；当n 为奇数时，q S a -S 偶1奇=；【说明】当n 为偶数时，q a a a a a a a a 1-n 41n42奇偶=+⋯⋯+++⋯⋯++=； 当n 为奇数时，q a a a a a a S a -S 1-n 42n 53偶1奇=+⋯⋯+++⋯⋯++=； 8、设偶奇n 偶奇n T T T 表示偶数项的积，则T 表示奇数项的积，T 项积，n 是前T ⋅=当n 为偶数时，n中奇中偶奇2n奇偶a T ，a T T 为奇数时，n ；当q T T ===；【说明】当n 为偶数时，2n1-n 42n42奇偶q a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=；当n 为奇数时，中1-n 42n421偶奇a a a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=； n中1-n 2n 1n 21奇a a a a a a a a T =⋯⋯⋅⋅=⋅⋯⋯⋅⋅=。

等差、等比的公式性质以及数列的求和方法第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d aa n n=--1（d为公差）（2³n ，*n N Î）注：下面所有涉及n ，*n N Î省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差 推广公式：()nma a n m d =+-变形推广：变形推广：mn a a d mn --= 3、等差中项、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列是等差数列)2(211-³+=Û+n a a a n n n 212+++=Ûn n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中（其中A A 、B 是常数，所以当是常数，所以当d d ≠0时，时，S S n 是关于是关于n n 的二次式且常数项为项为00）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法、等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*ÎN n )Û {}n a 是等差数列．等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列是等差数列)2(211-³+=Û+n aa a n n n212+++=Ûn n n aa a（（3）数列{}n a 是等差数列Ûbkn a n +=（其中b k ,是常数）。

等差等比数列公式大全等差数列是指一个数列中任意相邻两项的差都相等的数列，而等比数列是指一个数列中任意相邻两项的比都相等的数列。

这两种数列在数学中有着广泛的应用，因此掌握它们的公式是非常重要的。

下面我们将介绍等差数列和等比数列的公式大全。

一、等差数列公式。

1. 第n项公式。

对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其第n项公式可以表示为：$a_n = a_1 + (n-1)d$。

其中，$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，n表示项数，d表示公差。

2. 前n项和公式。

等差数列的前n项和公式可以表示为：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$。

其中，$S_n$表示前n项和。

3. 通项公式。

等差数列的通项公式可以表示为：$a_n = a_1 + (n-1)d$。

其中，$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，n表示项数，d表示公差。

二、等比数列公式。

1. 第n项公式。

对于等比数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其第n项公式可以表示为：$a_n = a_1 r^{(n-1)}$。

其中，$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，n表示项数，r表示公比。

2. 前n项和公式。

等比数列的前n项和公式可以表示为：$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$。

其中，$S_n$表示前n项和。

3. 通项公式。

等比数列的通项公式可以表示为：$a_n = a_1 r^{(n-1)}$。

其中，$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，n表示项数，r表示公比。

三、等差数列和等比数列的应用。

1. 等差数列和等比数列在数学中有着广泛的应用，特别是在数学建模和金融领域中。

2. 通过等差数列和等比数列的公式，可以快速计算数列中任意项的值和前n项和，为解决实际问题提供了便利。

3. 在金融领域，等差数列和等比数列常常用来描述利息的增长和贷款的还款情况，对于理解和计算复利有着重要的作用。

等差数列和等比数列公式等差数列公式是指具有相同公差的数列，其中每一项的值与前一项的值之差都相等。

等比数列公式是指具有相同比例的数列，其中每一项的值与前一项的值之比都相等。

等差数列公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)*d等差数列的前n项和公式为：Sₙ=n/2*(a₁+aₙ)=n/2*(2a₁+(n-1)*d)等差数列的前n项和为首项与尾项之和乘以项数的一半。

等差数列的示例：1,4,7,10,13,...以此等差数列的首项a₁=1，公差d=3，求该等差数列的第n项aₙ和前n项和Sₙ。

首先，利用等差数列的通项公式可以求得任意一项的值：aₙ=a₁+(n-1)*d假设要求第10项a₁₀，则代入a₁=1,d=3,n=10：a₁₀=1+(10-1)*3=1+9*3=1+27=28其次，利用等差数列的前n项和公式可以求得前n项的和：Sₙ=n/2*(a₁+aₙ)假设要求前10项和S₁₀，则代入a₁=1,aₙ=28,n=10：S₁₀=10/2*(1+28)=5*29=145因此，等差数列1,4,7,10,13,...的第10项为28，前10项和为145等比数列公式：设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式为：aₙ=a₁*r^(n-1)等比数列的前n项和公式为：Sₙ=(a₁*(r^n-1))/(r-1)(当r≠1)Sₙ=n*a₁(当r=1)等比数列的前n项和为首项与第n项乘以公比的n次方之差除以公比减1的结果。

等比数列的示例：2,6,18,54,162,...以此等比数列的首项a₁=2，公比r=3，求该等比数列的第n项aₙ和前n项和Sₙ。

首先，利用等比数列的通项公式可以求得任意一项的值：aₙ=a₁*r^(n-1)假设要求第6项a₆，则代入a₁=2,r=3,n=6：a₆=2*3^(6-1)=2*3^5=2*3*3*3*3*3=2*243=486其次，利用等比数列的前n项和公式可以求得前n项的和：Sₙ=(a₁*(r^n-1))/(r-1)假设要求前6项和S₆，则代入a₁=2,r=3,n=6：S₆=(2*(3^6-1))/(3-1)=(2*(729-1))/2=(2*728)/2=728因此，等比数列2,6,18,54,162,...的第6项为486，前6项和为728综上所述，等差数列和等比数列是数学中常见的数列，通过等差数列的通项公式和前n项和公式以及等比数列的通项公式和前n项和公式，可以方便地计算出数列中任意一项的值和前n项的和。

等比和等差公式：答案解析一、等差数列如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示.等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An 的等差中项,且任意两项am,an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式.从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aqSm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.和＝（首项＋末项）*项数÷2项数＝（末项-首项）÷公差＋1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项项数=(末项－首项）/公差＋1等差数列的应用：日常生活中,人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,长安等差数列进行分级.若为等差数列,且有ap=q,aq=p.则a(p+q)＝－（p+q).若为等差数列,且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0.等比数列：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）（2）前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}（4）若m,n,p,q∈N*,则有：ap·aq=am·an,等比中项：aq·ap=2ar ar则为ap,aq等比中项.记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.性质：①若m、n、p、q∈N,且m＋n=p＋q,则am·an=ap*aq；②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.注意：上述公式中A^n表示A的n次方.等比数列在生活中也是常常运用的.如：银行有一种支付利息的方式---复利.即把前一期的利息赫本金价在一起算作本金,在计算下一期的利息,也就是人们通常说的利滚利.按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)存期。

等差数列等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法数列是数学中重要的概念之一，是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

其中，等差数列和等比数列是最常见且最重要的两种数列。

本文将介绍等差数列和等比数列的相关性质和公式，以及数列的求和方法。

一、等差数列等差数列是指数列中的任意两个相邻的项之差都相等的数列。

常见的等差数列通常以"a"开头，公差为"d"。

以"an"表示等差数列的第n项，其通项公式为：an = a + (n - 1)d其中，a为首项，d为公差，n为项数。

等差数列的性质和公式有：1.任意连续三个项可以构成一个等差中项数列，中项数等于项数减一2.等差数列的前n项和公式为：Sn=(2a+(n-1)d)*n/2其中，Sn为前n项和。

二、等比数列等比数列是指数列中的任意两个相邻的项之比都相等的数列。

常见的等比数列通常以"a"开头，公比为"r"。

以"an"表示等比数列的第n项，其通项公式为：an = a * r^(n - 1)其中，a为首项，r为公比，n为项数。

等比数列的性质和公式有：1.任意连续三个项可以构成一个等比中项数列，中项数等于项数减一2.等比数列的前n项和公式为：Sn=a*(r^n-1)/(r-1)其中，Sn为前n项和。

数列的求和是指计算数列中一定项数的所有项的和。

常见的数列求和方法有以下几种：1.直接相加法：即将数列中的每一项相加得到和。

适用于项数较少、数值较小的数列。

2.通项法：利用数列的通项公式计算出每一项的值，再将这些值相加得到和。

适用于项数较多的数列。

3.分组求和法：将数列分成若干组，然后计算每组的和，最后将每组的和相加得到总和。

适用于数列中存在规律性的分组。

4.差分法：对等差数列求和，可以通过差分法简化计算。

差分法是指利用等差数列的性质，将数列的求和问题转化为差分的求和问题。

等比数列和等差数列的公式
等比数列和等差数列是数学中常见的数列，它们的公式也是数学学习的基础。

首先，让我们来看看等比数列的公式。

等比数列是指每一项与它的前一项之比相等的数列，它的公式可以表示为：a1，a2，
a3，…，an，其中，a1是等比数列的第一项，q是公比，即
a2/a1=a3/a2=…=an/an-1=q，那么，等比数列的每一项可以表
示为：an=a1*q^(n-1)。

接下来，我们来看看等差数列的公式。

等差数列是指每一项与它的前一项之差相等的数列，它的公式可以表示为：a1，a2，
a3，…，an，其中，a1是等差数列的第一项，d是公差，即
a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d，那么，等差数列的每一项可以表
示为：an=a1+(n-1)*d。

以上就是等比数列和等差数列的公式，它们是数学学习的基础，也是数学计算的基础。