下载文档原格式
等差等比数列的通项及求和公式等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值保持恒定的数列。
等差数列的通项公式和求和公式非常重要，在数学中得到广泛的应用。
1.通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)*d其中，aₙ表示数列的第n项。
2.求和公式：设等差数列的首项为a₁，末项为aₙ，共有n项，公差为d，则等差数列的前n项和的求和公式为：Sn=(a₁+aₙ)*n/2其中，Sn表示数列的前n项和。
等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值保持恒定的数列。
等比数列的通项公式和求和公式也具有重要的应用。
1.通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为：aₙ=a₁*q^(n-1)其中，aₙ表示数列的第n项。
2.求和公式：设等比数列的首项为a₁，共有n项，公比为q，则等比数列的前n项和的求和公式为：Sn=a₁*(1-q^n)/(1-q)当q=1时，数列为等差数列，求和公式退化为等差数列的求和公式。
三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1.数学应用：等差数列和等比数列的通项公式和求和公式在数学中有重要的应用，如解方程、求极限、推导函数的表达式等。
2.物理应用：在物理学中，很多现象和规律都可以用等差数列和等比数列来描述，如自由落体运动、等速直线运动等。
3.经济应用：在经济学中，很多经济指标的增长变化都可以用等差数列和等比数列来表达，如GDP增长、利润增长、市场份额等。
4.工程应用：在工程学中，等差数列和等比数列的应用也非常广泛，如计算机网络的数据传输速率、通信系统的信号强度衰减等。
总之，等差数列和等比数列的通项公式和求和公式是数学中的重要概念和工具，深入理解和熟练应用这些公式对于解决实际问题具有重要意义。
等差数列与等比数列的证明方法等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式，它们在数学和实际问题中都有重要的应用。
下面我们来介绍等差数列和等比数列的证明方法。
等差数列是指数列中每两个相邻的数之间的差值都相等的数列。
等差数列的通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
1. 通过公式法证明等差数列：假设有数列{an}，首项为a1，公差为d，我们可以使用数列的通项公式An = a1 + (n-1)d。
通过将通项公式代入证明，我们可以得到每一项与前一项之间的差值都为d，从而证明这是一个等差数列。
2. 通过递推法证明等差数列：假设有数列{an}，如果我们知道数列的首项a1和公差d，我们可以通过递推关系式an = an-1 + d来证明这是一个等差数列。
我们可以通过验证递推关系式对于所有项都成立，从而证明这是一个等差数列。
3.通过数列的性质证明等差数列：等差数列有很多重要的性质，例如，等差数列的中项等于首项与末项的平均数，等差数列的前n项和等于n倍首项与末项和的平均数。
如果我们通过对这些性质进行验证，可以得出结论这是一个等差数列。
等比数列是指数列中每两个相邻的数之间的比值都相等的数列。
等比数列的通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
1. 通过公式法证明等比数列：假设有数列{an}，首项为a1，公比为r，我们可以使用数列的通项公式An = a1 * r^(n-1)。
通过将通项公式代入证明，我们可以得到每一项与前一项之间的比值都为r，从而证明这是一个等比数列。
2. 通过递推法证明等比数列：假设有数列{an}，如果我们知道数列的首项a1和公比r，我们可以通过递推关系式an = an-1 * r来证明这是一个等比数列。
我们可以通过验证递推关系式对于所有项都成立，从而证明这是一个等比数列。
3.通过数列的性质证明等比数列：等比数列有很多重要的性质，例如，等比数列的任意两项的比值都相等，等比数列的前n项和等于首项与末项和的乘积与公比的差的商。
一、等差数列等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
等差数列的一般形式为：a_n = a_1 + (n 1)d其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
等差数列的前n项和公式为：S_n = n/2 (a_1 + a_n)或者S_n = n/2 (2a_1 + (n 1)d)二、等比数列等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。
等比数列的一般形式为：a_n = a_1 q^(n 1)其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
等比数列的前n项和公式为：S_n = a_1 (1 q^n) / (1 q) （当q ≠ 1时）或者S_n = n a_1 （当q = 1时）一、等差数列等差数列是一种常见的数列，其中每一项与前一项之间的差是恒定的。
这个恒定的差值被称为公差，通常用字母d表示。
等差数列的一般形式可以表示为：a_n = a_1 + (n 1)d其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
S_n = n/2 (a_1 + a_n)或者S_n = n/2 (2a_1 + (n 1)d)这个公式可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和。
二、等比数列等比数列是另一种常见的数列，其中每一项与前一项之间的比是恒定的。
这个恒定的比值被称为公比，通常用字母q表示。
等比数列的一般形式可以表示为：a_n = a_1 q^(n 1)其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
S_n = a_1 (1 q^n) / (1 q) （当q ≠ 1时）或者S_n = n a_1 （当q = 1时）这个公式可以帮助我们快速计算等比数列的前n项和。
三、应用场景等差数列和等比数列在数学和现实生活中的应用非常广泛。
例如，在金融领域，等差数列可以用来计算定期存款的利息，而等比数列可以用来计算复利的增长。
等差数列与等比数列基础知识1．数列的概念定义1. 按照某一法则，给定了第1个数，第2个数，………，对于正整数有一个确定的数，于是得到一列有次序的数我们称它为数列，用符号表示。
数列中的每项称为数列的项，第项称为数列的一般项，又称为数列的通项。
定义2.当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则称这个数列为无限数列。
定义3.对于一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即，这样的数列称为递增数列；如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即，这样的数列称为递减数列。
定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数，即，其中是某一个正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。
定义5.如果在数列中，项数与具有如下的函数关系：，则称这个关系为数列的通项公式。
2．等差数列定义6.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示。
等差数列具有以下几种性质：（1）等差数列的通项公式：或；（2）等差数列的前项和公式：或；（3）公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数；（4）公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数；（5）设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；（6）设，是等差数列，则（是常数）也是等差数列；（7）设，是等差数列，且，则也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；（8）若，则；特别地，当时，；（9）设，，，则有；（10）对于项数为的等差数列，记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和，则，；（11）对于项数为的等差数列，有，；（12）是等差数列的前项和，则；（13）其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.3．等比数列定义7.一般地，如果有一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用字母表示（），即。
等差、等比数列的公式1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+=3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11kn k n n q a q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a qq a a S nn n 当q=1时.1na S n =2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2b a A +=2°.设a ,G ,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±=③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=nk n n k nn k kk kaa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk n n k nn k kk kaa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2nq的等比数列.⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2nd S S =-奇偶练习 1．三个数,,1,,1,1,122成等比数列又成等差数列n m nm的值为则nm n m ++22 （ ）A ．－1或3B ．－3或1C ．1或3D ．－3或－1 2．在等比数列1020144117,5,6,}{a a a a a a a n 则中=+=⋅=（ ）A ．2332或B ．2332--或 C ．515--或 D ．2131-或3．等比数列===302010,10,20,}{M MM M n a n n 则若项乘积记为前（ ）A ．1000B ．40C ．425D ．814．已知等差数列5，8，11，…与3，7，11，…都有100项，则它们相同项的个数 （ ） A ．25 B ．26 C ．33 D ．345．已知一个等差数列的前5项的和是120，最后5项的和是180，又所有项的和为360，则此数列的项数为 （ ） A ．12项 B ．13项 C ．14项 D ．15项 6．若两个等差数列)(27417,}{},{+∈++=N n n n B A B A n b a nn n n n n 且满足和项和分别为的前则的值是1111b a（ ）A ．47 B ．23 C ．34 D ．71781．B 2．A 3．D 4．A 5．A 6．C求通项方法（一）一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。
如何求解等差数列和等比数列等差数列和等比数列是数学中常见且重要的数列。
在解题过程中，我们需要掌握一些基本的求解方法和公式。
本文将详细介绍如何求解等差数列和等比数列的方法和步骤。
一、等差数列的求解方法等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。
1. 求解等差数列的前n项和要求解等差数列的前n项和，可以使用等差数列求和公式。
等差数列的前n项和公式为：Sn = (n/2) * (a₁ + aₙ)其中，Sn表示前n项和，n表示项数，a₁表示首项，aₙ表示第n项。
2. 求解等差数列的第n项要求解等差数列的第n项，可以使用等差数列通项公式。
等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1) * d其中，aₙ表示第n项，n表示项数，a₁表示首项，d表示公差。
二、等比数列的求解方法等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ。
1. 求解等比数列的前n项和要求解等比数列的前n项和，可以使用等比数列求和公式。
等比数列的前n项和公式为：Sn = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)其中，Sn表示前n项和，a₁表示首项，q表示公比。
2. 求解等比数列的第n项要求解等比数列的第n项，可以使用等比数列通项公式。
等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，aₙ表示第n项，a₁表示首项，q表示公比。
通过上述的求解方法和公式，我们可以轻松求解等差数列和等比数列的问题。
在实际应用中，我们可以根据题目给出的条件，确定问题所涉及的数列类型，并选择恰当的求解方法进行计算。
总结：等差数列和等比数列是数学中常见的数列类型，求解它们的方法和步骤相对简单。
对于等差数列，我们可以使用求和公式和通项公式来求解前n项和和第n项；对于等比数列，我们可以使用求和公式和通项公式来求解前n项和和第n项。
掌握了这些基本方法和公式，我们就可以有效地解决等差数列和等比数列的问题。
数列的等差数列与等比数列的计算数列是数学中常见的概念，它是由一串数按照一定规律排列而成的序列。
其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。
本文将会介绍等差数列和等比数列的计算方法。
一、等差数列的计算等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定。
设等差数列的首项为a₁，公差为d。
则数列的通项公式为：an = a₁ + (n - 1)d其中，an表示数列的第n项。
1. 求首项和公差若已知等差数列的前n项和Sn、项数n以及末项an，可通过下列公式求得首项a₁和公差d：a₁ = (2S₁- nₐₙd) / (n + 1)d = (an - a₁) / (n - 1)2. 求和公式等差数列的前n项和Sn的计算公式为：Sn = (n / 2)(a₁ + an)二、等比数列的计算等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定。
设等比数列的首项为a₁，公比为q。
则数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)其中，an表示数列的第n项。
1. 求首项和公比若已知等比数列的前n项和Sn、项数n以及末项an，可通过下列公式求得首项a₁和公比q：a₁ = Sn / (q^n - 1) + n / (1 - q)q = (an / a₁)^(1 / (n - 1))2. 求和公式等比数列的前n项和Sn的计算公式为：Sn = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)三、例题解析现有一个等差数列，前6项的和为45，公差为3，求首项和第8项。
解：根据已知信息可列出方程：45 = (n/2)(a₁ + a₈) ①a₈ = a₁ + (8 - 1)d ②代入公差d = 3，首项a₁ = ?，化简方程：45 = 4.5(a₁ + 7d)10 = a₁ + 21da₁ = 10 - 21d将公差代入，得到首项：a₁ = 10 - 21 * 3a₁ = -53将首项代入公式②，求得第8项a₈：a₈ = -53 + 7 * 3a₈ = -32所以，该等差数列的首项为-53，第8项为-32。
第3讲 《数列》一、等差数列1．等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=。
[说明]该公式整理后是关于n 的一次函数。
2．等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
即：2b a A +=或b a A +=23．等差数列的判定方法1． 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。
2．等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。
4．等差数列的前n 项和 2)(1n n a a n S += d n n na S n 2)1(1-+= 5．等差数列的性质（1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=（2）对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。
也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a ，如图所示：n n a a n a a n n a a a a a a ++---112,,,,,,12321 （3）若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，kk S S 23-成等差数列。
如下图所示：k kk k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 二、等比数列1．等比中项如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。
也就是，如果是的等比中项，那么G b a G =，即ab G =2。
2．等比数列的判定方法（1）定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列。
第13讲 等差、等比数列的公式与方法（一）知识归纳： 1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+=3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11kn k n n qa q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n =2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A +=2°.设a ,G ,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk nn k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2n q 的等比数列.⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2ndS S =-奇偶 （二）学习要点：1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或qa，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q a qa aq aq aq a ±±或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.[例1]解答下述问题：（Ⅰ）已知cb a 1,1,1成等差数列，求证：（1）c ba b a c a c b +++,,成等差数列； （2）2,2,2bc b b a ---成等比数列.[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,,.)(2)()(2)()1(),(222112222222成等比数列成等差数列bc b b a bb c a b ac b c b a c b a b a c a c b bc a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac bac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=+++=++++=⇒=+⇒=+（Ⅱ）设数列),1(2,1,}{2-==n n n n a n S a S n a 且满足项和为的前 （1）求证：}{n a 是等差数列； （2）若数列:}{满足n b62)12(531321+=-+++++n n n a b n b b b求证：{n b }是等比数列. [解析]（1）⎩⎨⎧-+=-=++)1)(1(2)1(211n n n n a n S a n S ②－①得,1)1(1)1(211+=-⇒--+=++n n n n n na a n na a n a:,32,32,1,11321用数学归纳法证明猜想得令得令-===∴=-==n a a n a a n n1）当;,3221,3121,121结论正确时-⨯==-⨯=-==a a n 2）,32,)2(-=≥=k a k k n k 即时结论正确假设① ②)1)(12(1321)32(1)1(,121--=+-=+-=+=-+=∴+k k k k k k ka a k k n k k 时当.,3)1(212,21结论正确-+=-=∴≥+k k a k k由1）、2）知，,32,-=∈*n a N n n 时当.2}{,2,2,,26)1(4),2(2,2)12()52(2)32(2)12(2,6)32(262)2(;2}{,2)32()12(1111111的等比数列是公比为即时当也适合而时当设的等差数列是公差为即n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b N n b n b n n n T T b n n n a T a n n a a =∴=∈∴=+-⨯=≥=∴⨯-=---=-=-≥∴+-=+==---=-∴+*+-+++[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，或通过“归纳猜想”并证明.[例2]解答下述问题：（Ⅰ）等差数列的前n 项和为),(,,Q P QPS P Q S S Q P n ≠==若 求).,(表示用Q P S Q P +[解析]选择公式""2bn an S n +=做比较好，但也可以考虑用性质完成.[解法一]设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=∴+=bQ aQ QP bP aP P Q bn an S n 222, ①－②得：,],)()[(22Q P b Q P a Q P PQP Q ≠++-=- .)(])()[(,)(,2PQQ P b Q P a Q P S PQQP b Q P a Q P Q P +-=+++=∴+-=++∴≠+①②[解法二]不妨设P Q Q Q P a a a S S QPP Q Q P +++=-=-∴>++ 21, .)(,2))((2))((211PQQ P S S QP QP a a Q P Q P Q P a a Q P Q P Q P Q P P Q +-=∴+-=++⋅+-=+-=++++（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为2128，求项数n.[解析]设公比为2421281024,142531==-n n a a a a a a a q)1(24211=⋅⇒-n qa.7,23525,2)2()1(,2)(2)1(221281024235252352112353211235321==∴==⋅⇒=-+⋅⇒=⨯=-++n n q a n qa a a a a nn n n 得代入得将而（Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列求数列.}{项和的前n k n[解析],,,,171251751a a a a a a ⋅=∴成等比数列.1313132}{,132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111111115111121--=---⨯=-⋅=-+=-+=⋅=⋅=∴=+==∴=∴≠=-⇒+⋅=+⇒---n n S n k k d k d d k a a d a a a da a a q a d a d d a d d a a d a n n n n n n n n k n n k k n n n 项和的前得由而的公比数列①②①，②[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.[例3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a －d , a , a +d ，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232))(()4()32)((22222或原三数为或得或∴===∴=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=++-a d d d d da a d d d a d a a a d a d a（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.[解析]设此四数为)15(15,5,5,15>++--a a a a a ,⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=+=-∴+<-+-⨯=⨯==+-⇒=+⇒∈=++++-+-∴*2521251,,,2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与解得∴==),(1262不合或a a 所求四数为47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.《训练题》一、选择题：1．三个数,,1,,1,1,122成等比数列又成等差数列n m nm 的值为则n m n m ++22 （ ）A ．－1或3B ．－3或1C ．1或3D ．－3或－1 2．在等比数列1020144117,5,6,}{a a a a a a a n 则中=+=⋅=（ ）A ．2332或B ．2332--或 C ．515--或 D ．2131-或 3．等比数列===302010,10,20,}{M M M M n a n n 则若项乘积记为前 （ ）A ．1000B ．40C ．425 D ．81 4．已知等差数列5，8，11，…与3，7，11，…都有100项，则它们相同项的个数 （ ） A ．25 B ．26 C ．33 D ．345．已知一个等差数列的前5项的和是120，最后5项的和是180，又所有项的和为360，则此数列的项数为 （ ） A ．12项 B ．13项 C ．14项 D ．15项 6．若两个等差数列)(27417,}{},{+∈++=N n n n B A B A n b a n n n n n n 且满足和项和分别为的前 则的值是1111b a（ ）A ．47 B ．23 C ．34 D ．7178 二、填空题：7．在等比数列543211245,4,108,}{a a a a a a a a a a n ++++=-=-则中的值为 . 8．若a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 成等差数列，则=+ycx a . 9．数列}{n a 是公差不为零的等差数列，它的第4，8，17项恰是另一等比数列}{n b 的第6，8，10项，则}{n b 的公比是 .10．在等差数列===+q p q p n a p a q a a 则中,,,}{ .在各项为正的等比数列===-+m n m n m n a q a p a a 则中,,,}{ . 三、解答题：11．设等差数列,324),6(144,36,}{66=>==-n n n n S n S S S n a 已知项和为的前求a n 的值. 12．设等比数列的各项为正数，前n 项的和为2，这n 项后面的2n 项的和为12，求上述3n项后面的3n 项之和. 13．已知等差数列,,0},{461S S a a n =<且（Ⅰ）当n 为何值时，S n 最小？（Ⅱ）当n 为何值时，?0?0?0<>=n n n S S S（Ⅲ）.2609}{,7287≤≤-=+n n a a a a 中有多少项满足问若14．有五个整数成等比数列，且第一个数为正数，若这五个整数的和为205，而它们的倒数之和为256205，求此五数. 15．数列,0,,}{≠n n n a n S n a 对任意的正整数项和为的前.?}{),1|(|11说明理由是否为等比数列问数列若n n n n a k ka S S >=+++《答案与解析》一、1．B 2．A 3．D 4．A 5．A 6．C 二、7.242 8.2, 9.32± 10.0,pq 11．216)(6,180361651621=+⎩⎨⎧=-=+++=+++---n n n n n n a a S S a a a a a a 得.35,1)1(,2144126,18036181181413621==∴==⇒=⨯⎩⎨⎧=+++=+++∴a a a d d a a a a a a n 得代入两式相减得 12．（1）),1(1)1(,11-=--=≠n n n q a q q a S q 时当 ,2,2,14)1(2)1(3==⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴a q q a q a n nn得代入得;112,126)1(3666=-∴=-=∴n n n n S S q a S（2）当q=1时，有na 1=2及2na 1=12，矛盾； 综上，所求前3n 项后面的3n 项的和为112. （另解）设公比为,,,,,615621211∑∑∑+=+=====nn k nn k k nk ak Wak W a W q 且.112)(,212)(2122,,,,5431654211321621=++=++=∴=⇒⎩⎨⎧=+=⇒⎩⎨⎧=+=∴n n n nnn n q q q W W W W s q q q W W W W W q W W W 所求和的等比数列成公比为13．（Ⅰ）,0029146>⇒<-=⇒=d d a S S ;5],25)5[(25222最小时当n n S n n dnd n d S =∴--=-=∴①②①+② ①②①②①（Ⅱ）.0101;010;010),10(2<<≤>>==∴-=n n n n S n S n S n n n dS 时当时当时当 （Ⅲ）,18,4142,727,72141487=⨯⨯=⨯=∴=+d dS S a a 得而.15,19526099189,9918项满足条件共有∴≤≤⇒≤-≤-∴-=∴n n n a n14．设五数为,,,,,22aq aq a qaq a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++∈>∴*256205)11(1205)11(,0,,,,2222q q q q aq q q q a N a a 由条件得且五项同号三且第一首项为正数.256,64,16,4,1,4;1,4,16,64,256,41,44104174,417)2(;,,04134,413)1(,41741302211616,1,16221)1()1(1618911,16,0,2562222222---=---=-=-=⇒=++-==+-=-==⇒=-+=+=+++⇒=+++=∴>=得所求五数为时得所求五数为时或则若不合方程无有理解则若或得令得代入得q q q q q q x q q x x x x x x q q q q q q q q qq a a a15．111112,,+++++=-=+n n n n n n n S a S S ka S S 得而,,11211,}{,12,11,01,)1()1()1()1(222,)1(12212111111矛盾则为等比数列若而=⇒-=-+-=⇒=+-+=∴≠-+=-⇒+-+-=∴+=++++++k k k k a k a a ka S S k k a a k a k a k a k a k S S a a k n n n n n n n n n n n①②① ②① ① ② ①+②11 故.,0,,}{,).(}{213122222131232311矛盾得由则为等比若另不是等比数列故=⋅⋅=+=⇒=∴=++a a a a a a a a a a a S S a a S S a a a n n n n n n① ② ①，②。
