华东师大 第四版 数学分析上册 课件

则有限十进小数都能表示成无限循环小数。 对正整数 x a0 , 记为 x a0 1 .999 对负有限小数（包括负整数）y,先将- y表 示成无限小数，再在无限小数前加负号． 如: -8=-7.999
2.两个实数的大小关系
（1）定义1
给定两个非负实数 x a0 .a1a 2 L a n L , y b0 .b1b2 L bn L , 其中 a0 , b0为非负整数 ， a k , bk ( k 1, 2, L)为整数 ， a k 9,0 bk 9. 0 若有 a k bk , k 1, 2, L , 则称 x与 y相等 ， 记为 x y； 若 a0 > b0或存在非负整数 l , 使得 a k bk ( k 1, 2 L l )而 al +1 > bl +1 则称 x大于 y或 y小于 x， 分别记为 x > y或 y < x.
二 绝对值与不等式
一、实数及其性质： 1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义.
q 有理数:任何有理数都可以用分数形式 p ( p, q为整数且q 0)表示， 也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示. 无理数:用无限十进不循环小数表示.
实 数
若规定：
a0 .a1a2 an a0 .a1a2 (an 1)999
1 由于x < y, 故存在非负整数n，使得 x n < y n .令r ( x n + yn ) 2 则r为有理数，且有x x n < r < yn y,即得x < r < y.
例2 设a, b R, 证明 : 若对任何正数e有a < b + e , 则a b. 证明 用反证法 .假若结论不成立

lim
f ( x, y )极限存在，
是指当动点 ( x, y )以任意的方式趋向于点 ( x0 , y0 )时, 对应的极限都存在并且 相等.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例题
证明二重极限 x y lim 不存在. 2 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y
证明
取y kx, 则 即当动点( x, y )沿着直线y kx趋向于点(0,0)时, x y kx k lim lim , 2 2 2 2 2 ( x , y )( 0 , 0 ) x y x 0 (1 k ) x 1 k
求二元函数的定义域与值域
1.函数z f ( x, y ) a x b y (a, b是不为0的实数); 2.函数z f ( x, y ) 1 ( x 2 y 2 ) ; 2 xy 3.函数z f ( x, y ) 2 ; 2 x y 4.函数z f ( x, y ) 1 x 1 y .

则一定存在有限个开区 域1 , 2 , , n , 使得 D k .
k 1 n
n元函数的定义
所有有序实数组 ( x1 , x2 , , xn )的全体称为 n维向量空间 , 记作R n . 每个有序实数组 ( x1 , x2 , , xn )称为R n中的一个点 , n个实数x1 , x2 , , xn 称为这个点的坐标 .
二元函数的定义域
• 一元函数的定义域是实数轴上的点集；
• 二元函数的定义域是坐标平面上的点集.
坐标平面与平面点集
• 在平面上确定了一个直角坐标系之后，所 有有序实数对(x,y)与平面上所有的点之间就 建立了一一对应。确定了直角坐标系的平 面，称为坐标平面； • 在坐标平面上满足某种条件P的点的集合称 为平面点集，记作

lim()x xf x A→= *点击以上标题可直接前往对应内容定理3.2（唯一性）证 不妨设以及 A x f x x =→)(lim 0.)(lim 0B x f x x =→由极限的定义，对于任意的正数 ,1δ存在正数,||010时当δ<-<x x (1),2|)(|ε<-A x f ,||020时当δ<-<x x )(lim 0x f x x →存在, 则此极限唯一.若 的基本性质 A x f xx =→)(lim 0,2δ,ε后退 前进 目录 退出(2) 式均成立，.|)(||)(|||ε<-+-≤-B x f x f A B A 由ε 的任意性，推得 A = B. 这就证明了极限是唯一的.12min{,},δδδ=令(1) 式与.2|)(|ε<-B x f (2)(1),2|)(|ε<-A x f 00||,x x δ<-<当时所以定理3.3（局部有界性）证 ,1=ε取.1|)(|<-A x f .1|||)(|+<A x f 由此得,)(lim 0A x f x x =→若上在)()(0x U x f,)(0x U则存在有界.这就证明了 在某个空心邻域 上有界.),(0δx U)(x f ,0>δ存在00x x δ<-<当时，注(1) 试与数列极限的有界性定理（定理 2.3）作一 (2) 有界函数不一定存在极限； 这上并不是有界的在但.)2,0(1,11lim )3(1xx x =→说明定理中 “局部” 这两个字是关键性的.比较；定理3.4（局部保号性）则对任何正数)(A r A r -<<或使得存在,)(,0x U.)0)((0)(<-<>>r x f r x f 或.|)(|ε<-A x f .)(r A x f >->ε由此证得 有对一切,)(0x U x∈有时，当δ<-<||00x x 证 不妨设 0.A >,)0(0)(lim 0<>=→或A x f x x 若 ,0>δ存在,r A -=ε取 (0,),r A ∈对于任何定理3.5（保不等式性）)(lim )(lim 0x g x f x x x x →→与设则内有且在某邻域,)()()(0x g x f x U ≤).(lim )(lim 0x g x f x x x x →→≤证 0lim (),lim (),x x x x f x A g x B →→==设;)(ε->A x f 有时而当,||020δ<-<x x .)(ε+<B x g 分别存在正数 12,,δδ有 都存在，0,ε>则对于任意使当 010||x x δ<-<时, 满足时则当令,||0,},min{021δδδδ<-<=x x ,)()(εε+<≤<-B x g x f A所以证得是任意正数因为从而有,.2εε+<B A .B A ≤定理3.6（迫敛性）lim ()lim (),x x x x f x g x A →→==设0x 且在的某个空心).()()(x g x h x f ≤≤.)(lim 0A x h x x =→那么证 因为 00lim ()lim (),x x x x f x g x A →→==有时当,||00δ<-<x x (),A f x A εε-<<+().A g x A εε-<<+.)()()(εε+<≤≤<-A x g x h x f A 再由定理的条件，又得这就证明了 0)(x x h 在点的极限存在，并且就是 A .0,ε>所以对于任意,0>δ存在0()U x 邻域内有定理3.7（四则运算法则）;)(lim )(lim )]()([lim )1(0x g x f x g x f x x x x x x →→→±=±;)(lim )(lim )()(lim )2(000x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=g f g f ⋅±,在点 x 0 的极限也存在, 且都存在, ,0)(lim )3(0≠→x g x x 又若在点 x 0 的极限也存在,g f则.)(lim )(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x x x →→→=并有,)(lim 0x f x x →若)(lim 0x g xx → 则§2 函数极限概的性质A x f x x =→)(lim 0范例这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理, 这就可以知道这些定理是显然的.里将证明留给读者. 在下一节学过归结原则之后, 的基本性质 A x f xx =→)(lim 0的基本性质 §2 函数极限概的性质A x f xx =→)(lim 0范例arctan lim x x x→+∞πlim arctan ,2x x →+∞=因解为例1 .arctan limxxx ∞+→求002=⋅=π范例1lim 0,x x →∞=所以1=lim arctan lim x x x x →+∞→+∞⋅例 2 .1lim 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 求有时又当,0<x 0>x 当,11lim )1(lim 00==-++→→x x x 由于,111x x x -≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<于是求得.11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 解 由取整函数的性质， .1111xx x ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-时, 有 ,111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x 因此由迫敛性得 ;11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→x x x 同理得 .11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→x x x例 3 求极限 π4lim(tan 1).x x x →-π4lim tan tan1,4x x π→==解 因为所以π4ππlim(tan 1)11 1.44x x x →-=⋅-=-例4 .)1(1lim 0>=→a a xx 求证特别又有.1111εε+<<<--NNa a ,1N=δ取,|0|0时当δ<-<x ,1111εε+<<<<--NxNa a a .1lim 0得证即=→xx a 证 ,11lim ,1lim ==∞→∞→n n nn aa 因为所以 ,,0N ∃>∀ε有时当,N n ≥,1111εε+<<<--nna a复习思考题1. lim (), lim (),x x x x f x a g x →→=设存在不存在试问02. lim (),lim (),x x u u g x u f u A →→==设这时是否必有lim (())?x x f g x A →=0lim ()()?x x f x g x →极限是否必定不存在。

《数学分析华师大》PPT 课件
数学分析是一门重要的数学学科，涵盖了诸多内容，从函数性质到微积分应 用等。本课件将带您深入了解数学分析的各个方面。
导言
学科介绍
数学分析是研究数学对象的性质和变化规律的一门学科。
重要性
它为其他数学学科提供了理论基础，并在科学研究和实际应用中发挥着关键作用。
应用领域
数学分析在物理学、工程学、经济学等众多领域有广泛的应用。
了解连续函数的定义和性质，探索连
续函数的局部性质和级数定义。
3
间断点
研究间断点的各种类型，包括可去间
复合函数
4
断和跳跃间断。
学习复合函数的概念和性质，掌握复 合函数的求导和求极限的方法。
导数与应用
1 导数的定义
深入研究导数的定义和 性质，掌握导数的计算 方法和应用。
2 最值与极值
3 曲线的变化
研究函数的最大值和最 小值，探索极值的判定 条件和优化问题的解法。
函数定义、性质和图像， 理解函数的各种特性和变换。
研究二维和三维曲线曲面的性 质，包括弧长、曲率和曲面积 分。
指数函数
探索指数函数的性质和应用， 了解指数增长和衰减的规律。
极限与连续性
1
极限的概念
深入研究极限的定义和性质，掌握极
连续函数
2
限运算和极限存在的条件。
极坐标和指数形式
研究极坐标和指数形式的复数 表示，深入理解复数的乘方和 开方。
微分方程
1 常微分方程
学习常微分方程的基本概念和解法，掌握常微分方程在实际问题中的应用。
2 偏微分方程
了解偏微分方程的基本概念和分类，研究常见偏微分方程的解法。
3 数值方法
探索数值方法在微分方程求解中的应用，包括欧拉方法和龙格-库塔方法。