组合数学(25)

2016年全国高中数学联赛8月份培训讲座

组合数学

严文兰数学工作室

1. 圆周上有n个点(6)n，每两点连一线段，假设其中任意三条线段在圆内不共点，于是任意三条两

两相交的线段构成一个三角形，试求这些线段确定的三角形的个数。

2. 有n个人，已知他们任意2人至多通话一次，他们任意2n

个人之间通话的总次数相等，都等于

3()kkZ

，求n的所有可能值。

3. 设

na

为下述正整数N的个数：N的十进制表示中的各位数字之和为n，且每位数字只能取1,3或4，

求证：

2na

是完全平方数。

4. 给定n个不同实数，其所有全排列组成的集合为

nA

，对于

12(,,,)

nnaaaA

，若恰有两个不同的

整数,{1,2,,1}ijn，使得

11,

iijjaaaa



成立，则称该排列为“好排列”，求

nA

中好排列

的个数。

5. 投掷一次骰子，出现点数1,2,,6的概率均为1

6，连续掷10次，出现的点数之和是30的概率为？

6. 试求所有的正整数(1)nn，使得存在正整数数列

12naaa

，满足

(1)

ijaaijn

互不相同，且这些和分别被8除得到的余数中，每种余数各出现1

8。

7. 设

12,,,

naaa

是1,2,,n的一个排列，求

12|1||2|||

nnSaaan

的最大值

8. 若01(1,2,,5)

ixi

，则

2222

12233445||||||||Mxxxxxxxx2

51||xx

的最大值是_________

9. 设实数

122013,,,xxx

满足如下两个条件：

(1) 1

3(1,2,,2013)

3ixi

; (2)

1220136543xxx

试求222

122013yxxx

的最大值，并说明理由。

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10. 对于满足条件

121

nxxx

的非负实数

12,,,

nxxx

湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲

考试科目代码：[] 考试科目名称：组合数学

一、考试形式与试卷结构

1)试卷成绩及考试时间：

本试卷满分为100分，考试时间为180分钟。

2)答题方式：闭卷、笔试

3)试卷内容结构

（一） 排列与组合,组合恒等式 25%

（二） 生成函数 25%

（三） 递推关系 25%

（四） 容斥原理和抽屉原理 25%

4)题型结构

a: 填空题， 20分

b: 计算题， 40分

c: 证明题， 40分

二、考试内容与考试要求

（一） 排列与组合,组合恒等式

考试内容：

集合的排列与组合的基本概念，加法原理和乘法原理 、多重集的全排列与组合、

二项式系数与基本的组合恒等式

考试要求：

掌握各种基本的排列与组合问题的计算 ，理解和掌握基本组合恒等式的证明

（二）生成函数

考试内容：

常生成函数的定义与性质、指数型生成函数的定义与性质，常见函数的生成函数

生成函数在排列、组合问题中的应用 。

考试要求：

理解和掌握常见的生成函数（常生成函数与指数型生成函数）及性质、会利用生成函数解决组合计数中的问题。

（三） 递推关系：

考试内容：

递推关系的基本概念、 用迭代和归纳法解递推关系、用特征值法解二阶递推关系、Fibonacci数，Catlan数， Stirling数 的基本性质

考试要求：

会建立实际问题的递推关系, 会解简单的递推关系，理解和掌握Fibonacci数，Catlan数， Stirling数 的基本性质，会证明有关Fibonacci数，Catlan数， Stirling数的恒等式。

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组合数学的课程教学探讨

作者：龙述德

来源：《教育教学论坛》2013年第25期

摘要：对在组合数学教学中遇到的问题进行探讨并总结了一些体会，以便提高学生分析和解决组合问题的能力。

关键词：组合数学；组合恒等式；数学思维

中图分类号：O157.5；G424.2 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）25-0089-02

一、引言

组合数学作为既古老又年轻的一个数学分支，它是研究离散对象的一门数学学科，是大学数学专业高年级学生的一门选修课程。学生经过大学两年或三年的专门数学专业训练后，已经有了一定的数学基础和数学思维能力。另外，学生在中学也学过一些简单的组合数学知识，例如简单的排列和组合问题，这些对于学习组合数学是有利的和必备的。在教学中，有相当一部分学生一开始认为组合数学在中学曾经接触过且又学了二三年的其他数学专业课程，学好组合数学是件不难的事情，但随着学习的深入，发现和自己想象中完全不同，这门课程不仅思维方式很独特，方法很难模仿，尤其是在解习题时不知从何着手，无所适从。针对这些情况，结合这些年的教学经验，笔者认为应注意以下几个方面。

二、加强数学概念教学

数学概念不仅是任何一门数学课程的起点，也是学好任何一门数学课程的立足点。组合数学也不例外。在实际教学中，有的教师认为只要教学生解决问题的方法就行了，至于概念的教学则一笔带过，概念的理解就是学生自己的事情，殊不知，概念理解的正确与否直接决定了学生组合数学学习好坏的程度。概念理解不清是不可能掌握正确解决问题的方法的，更谈不上在将来的数学研究工作中有所创新。因此，在组合数学教学中应注重概念教学，有意识地培养学生理清概念实质的能力。为了进一步理解组合数学中的一些概念，教师最好举一些实例加以说明。

例1 求从10名学生中任选3人组成一个数学学习兴趣小组及从10名学生中任选3人排成一列的方法数。

第一章答案

1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )

(b) 455+(4+3+2+1) = 235

( 126, 237, 348, …,454650, 464750, 474850, 4950 )

2．(a) 5!8!

(b) 7! P(8,5)

(c) 2 P(5,3) 8!

3. (a) n!P(n+1, m)

(b) n!(m+1)!

(c) 2!((m+n-2)+1)!

4. 2 P(24,5) 20!

5. 25P(8,2)+34P(8,2)

6. (n+1)!-1

7. 用数学归纳法易证。

8. 4131

9. 设 n=p1n1p2 n2…pk nk, 则n2的除数个数为 ( 2p1+1) (2p2+1) …(2pk+1).

10．1）用数学归纳法可证n能表示成题中表达式的形式；

2）如果某n可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a3；…；这说明表达式是唯一的。

11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。

组合意义：

右：从n个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；

左：上述组合中，先从n个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。

12．考虑,)1(,)1(1010nnkkknnnkkknxnxkCxxC求导数后有

令x=1, 即知.210nnkknnkC

13. 设此n个不同的数由小到大排列后为a1, a2, …, an 。当第二组最大数为ak时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k-1种不同的可能。故符合要求的不同分组共有12)2()12(21111nknknkn种。