组合数学漫谈

高中数学组合数学的趣味教学组合数学是高中数学中一个有趣且富有挑战性的领域，它不仅能够锻炼学生的逻辑思维能力，还能培养学生的创新意识和解决实际问题的能力。

然而，由于其概念较为抽象，学生在学习过程中往往感到困难和枯燥。

因此，如何让组合数学的教学变得趣味横生，激发学生的学习兴趣和积极性，成为了高中数学教师需要思考和探索的重要课题。

一、组合数学的重要性与挑战组合数学在现代科学和技术中有着广泛的应用，如计算机科学、密码学、统计学等。

在高中数学中，组合数学主要包括排列组合、二项式定理等内容，这些知识是进一步学习概率论和数理统计的基础。

然而，组合数学的概念较为抽象，学生在理解和应用时容易出现混淆和错误。

例如，排列和组合的区别、组合数的计算方法等，都需要学生有较强的逻辑思维能力和抽象概括能力。

此外，组合数学的题目往往具有较强的综合性和灵活性，需要学生能够灵活运用所学知识，进行分析和推理。

这对于学生来说是一个较大的挑战，容易让学生产生畏难情绪。

二、趣味教学的方法与策略1、引入实际生活中的例子将组合数学与实际生活中的问题相结合，能够让学生感受到组合数学的实用性和趣味性。

例如，在讲解排列组合时，可以让学生计算彩票中奖的概率、足球比赛的胜负情况、生日相同的概率等。

通过这些实际问题的引入，能够激发学生的好奇心和求知欲，让学生主动参与到学习中来。

2、开展数学游戏和活动数学游戏和活动是激发学生学习兴趣的有效手段。

例如，可以组织学生进行“抽奖游戏”，让学生计算自己中奖的概率；开展“数独比赛”，锻炼学生的逻辑思维能力；进行“组合拼图”活动，让学生通过拼图的方式理解组合的概念。

这些游戏和活动不仅能够让学生在轻松愉快的氛围中学习组合数学，还能够培养学生的团队合作精神和竞争意识。

3、利用多媒体教学手段多媒体教学手段能够将抽象的组合数学知识直观形象地展示给学生。

例如，通过制作动画演示排列组合的过程、利用图形展示二项式定理的展开式等，能够让学生更加清晰地理解和掌握所学知识。

浅谈中学数学中的组合数学问题【摘要】组合数学起源于数学游戏，但随着计算机的日益发展，组合数学已经在各个领域有了越来越广泛的应用。

本文主要介绍了组合数学的几个重要原理在中学数学中的应用。

【关键词】中学数学；组合计数；抽屉原理1.证明某种现象的存在性在组合数学中，证明存在性主要运用抽屉原理。

抽屉原理：如果个物体被放进个抽屉，那么至少有一个抽屉包含两个或更多的物体。

应用抽屉原理的关键是构造出合适的抽屉，请看下面两个例子：例1.从1～98的自然数中，任意取出50个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。

分析：因为要取出50个数，所以抽屉的个数要少于50个，并且同一个抽屉内的任意两个数要满足性质“其中一个是另外一个的整数倍”。

证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘以2的形式（其中n为），并且这种表示是唯一的。

所以我们可以把1～98的正整数分成如下49个抽屉：（1）（2）（3）（4）（5）（25）（26）（49）这样，我们就可以将1～98的正整数无重复、无遗漏地放进这49个抽屉内了。

从这98个数中任取50个数，也即将50个物体放入49个抽屉中，根据抽屉原理，其中必定至少有两个物体放入了同一个抽屉，也就是说，其中必定至少有两个数是从同一抽屉中取出的。

从抽屉的构造容易看出，这两个数中的一个是另一个的整数倍。

例2.证明，在整数数列中，可以找出若干个连续的数（允许），它们的和可被10整除。

分析：任意整数除以10所得的余数只有这10种可能。

若两个整数除以10得到相同的余数，则这两个整数的差可被10整除。

由此想到用模10的剩余类来构造抽屉。

证明：作如下数列：若这10个整数中至少有一个能被10整除，则结论成立。

否则，设上述数列中没有一个能被10整除，于是，当我们将它们分到模10的剩余类中去时，它们只能进入以下9个类：可是数列中有10个整数，由抽屉原理，数列中至少有两个数属于同一类，从而这两个数的差可被10整除，不妨设与属于同一剩余类，其中，则可被10整除。

组合数学概述组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。

组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。

计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。

组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。

现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。

组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。

微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。

而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。

计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。

正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有思维的。

组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。

在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。

此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。

用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。

最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。

在1997年11月的南开大学组合数学研究中心成立大会上，吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。

最近，吴文俊院士又指出，信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变革，而组合数学则将显示出它的重要作用。

集合学习漫谈中国是由五十六个民族组成的大家庭；高一（3）班全体同学；小于10的所有质数；到线段AB 两端距离相等的所有点组成的图形．常言道：“物以类聚，人以群分”．其实，用数学的观点来看，这就是一种最朴素、最生活化的集合的概念．上面的四句话分别表示中国民族的集合、高一（3）班同学的集合、小于10的质数集合和AB 的垂直平分线（点的集会）．集合是数学中最基本的概念之一，集合论也成为现代数学中重要的基础理论．集合是高中数学必修教材（1）中所学到的第一个数学内容，也是今后学习和研究函数的基础．学习数学，首先应该注重数学概念的学习，只有真正理解了概念的内涵，才能进一步运用概念去分析和解决问题．集合是指在一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成的整体．研究集合，就须要分析构成集合的对象——元素，以及这些元素所具有的共同属性．描述法就清楚的反映了集合的本质，它的基本模式是：{ 元素 | 元素的共同属性 }．例如“到线段AB 两端距离相等的所有点组成的图形”运用描述法可以表示为{ P | PA=PB }，即它表示一个点集，且集合中每一个元素P 都满足PA=PB ．又如，对于集合A={ y | y=x 2+1 }与集合B={ ( x, y ) | y=x 2+1 }．首先应分析集合的代表元，确定该集合的元素是什么；进而弄清该集合中元素的共同属性．集合A 中的元素是数，集合B 中的元素是点．虽然两个集合的元素的共同属性的表达形式都是y=x 2+1，但意义却完全不同．集合A 是数集，它表示x 2+1的取值范围，即集合A 表示不小于1的实数集；集合B 是平面上的点集，它表示平面直角坐标系中，顶点在（0，1）且开口向上的抛物线上所有点构成的集合，即函数12+=x y 的图象．理解了元素和集合的概念，才能对元素与集合、集合与集合间的关系作出正确判断，并进行集合间的各种运算．例如，空集ϕ与集合{}ϕ之间关系的正确回答应该是，当φ表示元素时，{}ϕϕ∈；当φ表示集合时，{}ϕϕ⊂．又如，已知集合}|{2x y y P ==，}2|{x y y Q ==，}|),{(2x y y x M ==， }2|),{(x y y x N ==A B 3,5,117 29 17,23 2,13,19U 试求：(1);(2);(3);(4);(5)()()U U P Q P Q M N P N C M C Q ．因为集合P 、Q 为数集，{|0}P y y =≥，Q R =，所以，（1）{|0}P Q P y y ==≥ ；（2）P Q Q R == ．而集合M 、N 均为点集，因此（3）2{(,)|}{(0,0),(2,4)}2y x M N x y y x⎧===⎨=⎩ ；（4）P N ϕ= ； （5）()()U U C M C N = {平面上除去（0，0）和（2，4）的点}．若不能准确理解集合的概念，解答上述问题就有可能误解为{(0,0),(2,4)}P Q P N == ．对概念有了正确的理解为数学学习奠定了良好的基础．要进一步学好数学，还需要具备一定的数学的基本技能和数学思想方法．数学的内容通常都表现为“数”和“形”两个方面．实际上，数与形是同一事物的两种不同的表现形式，以形助数可以使问题变得更直观、生动，而依数解形则可以使问题变得更加严谨、精确．恰当地运用“数形结合”的思想，不仅可以使问题得到正确解决，还可以使解题变得更简捷明了．集合既可以运用列举法或描述法表示，也可以运用Venn 图表示．恰当的运用Venn 图表示法，不仅可以帮助我们理解概念，还可以开拓解题思路．例如，设全集U ={x |为不大于30的质数}，(){3,5,11}U A C B = ，(){17,23}U C A B = ，()(){2,13,19}U U C A C B = ，求集合A 和B ．此题可以从“数”的角度，运用逻辑推理得到正确答案，其解答过程为：}29,23,19,17,13,11,7,5,3,2{=U ,由}11,5,3{)(=⋂B C A U 可得A ∈11,5,3,且B ∉11,5,3；由}23,17{)(=⋂B A C U 得A ∉23,17，且B ∈23,17；由}19,13,2{)()(=⋂B C A C U U 得}19,13,2{)(=⋃B A C U ．综上可得}29,11,7,5,3{=A ，}29,23,17,7{=B ．若此题能运用Venn 图从“形”的角度分析，显得更加直观清晰．具体方法为：如图，全集被分成四个部分B A ⋂，)(B C A U ⋂，B A C U ⋂)(和)(B A C U ⋃．根据题设将各部分所确定的元素填进去即可得到正确答案}29,11,7,5,3{=A ，}29,23,17,7{=B ．严密的逻辑性是数学的基本特点．在学习数学的过程中，重视思维的逻辑性和严谨性的培养与训练是十分必要的．如，已知集合}012|{2=+-=x ax x M 中只有一个元素，求实数a 的取值．此题若不注意二次项系数是否为零的问题，就会使解答不完整，仅由044=-=∆a 得到a =1，实际上，当二次项系数a =0时，集合M 中也只有一个元素．再如，已知集合}032|{2=--=x x x P ，}01|{=-=ax x Q ，若Q Q P =⋂，求实数a 的值．此题的解答中若不注意到集合Q 可以为空集的情况，必将漏解．由于同学们刚刚进入高中阶段的数学学习，对数学的一些思想方法可能还不是很熟悉，想要熟练地加以运用就会显得更加困难，但这并不可怕，只要能在平时的学习中，多问几个为什么，使解题从偶然走向必然，那么，你的学习能力和解题能力一定会得到提高．集合论的创立者——德国伟大的数学家康托尔（1845—1918），就是因为不满足于对一些看似矛盾却又实际存在的问题的大众化认识，而去刻苦钻研，抛弃一切经验和直观，用理论进行论证，最终取得了令世人瞩目的成就，创立了对数学具有深远而广泛影响的基础理论——集合论．最后，留给同学们两个有趣的问题，空闲时你不妨想一想：如果从两个同心圆出发画射线，那么射线就在这两个圆的点与点之间建立起一一对应，然而两圆的周长却是不一样的；正整数可以和它们的平方构成一一对应，只要使每个正整数同它们的平方对应起来就行了，1 2 3 4 …… n ……↓ ↓ ↓ ↓ …… ↓ ……21 22 23 24 …… 2n ……难道，正整数和它的一部分（正整数的平方）的个数竟然是相当的！。

组合数学中的论问题分析组合数学是数学的一个重要分支，它研究的是集合论、图论、数论和代数等数学分支之间的组合关系。

在组合数学中，论问题是一个具有重要理论意义和广泛应用价值的研究领域。

本文将对组合数学中的论问题进行分析与讨论。

一、问题的提出与背景论问题是指在一定条件下，研究一个集合具有某种性质的问题。

论问题由于其对应用领域的重要性，成为组合数学中的一个重要分支。

论问题的研究有助于深入理解数学的结构和规律，并能应用于通信、计算机科学、优化问题等领域。

二、经典论问题1. 托波利茨矩阵的论问题托波利茨矩阵是一种具有特殊结构的矩阵，它的每一条对角线上的元素都相等。

论问题涉及到托波利茨矩阵的性质与应用，研究如何刻画托波利茨矩阵的一些重要参数，比如最大特征值和最小特征值等。

2. 图的论问题图论是组合数学中的一个重要分支，其研究的对象是用顶点和边构成的图。

论问题中的图可以是有向图或无向图，研究的问题包括图的连通性、路径问题、最短路径问题等。

经典的论问题有哈密顿回路问题、旅行商问题等。

3. 组合问题组合问题是论问题的一个重要分支，研究的是集合的排列组合。

常见的组合问题包括组合数的计算、排列问题、选择问题等。

论问题在组合问题的研究中起到了重要的作用，能够给出组合问题的理论刻画和应用推广。

三、论问题的应用论问题不仅仅是数学中的一个理论问题，它在实际应用中也具有重要的作用。

1. 信息理论信息理论中的熵是论问题的一个重要概念。

熵用来表示信息的不确定性，它是对信息分布的度量。

通过对论问题的研究，可以对信息传输、编码等问题进行分析与优化。

2. 优化问题论问题与优化问题密切相关，通过论问题的研究可以对优化问题进行分析与求解。

例如，在调度问题中，可以利用论问题的方法对任务的分配进行优化，以提高效率和资源利用率。

3. 密码学密码学中的编码问题与论问题有着密切的联系。

通过对论问题的研究，可以设计出高效、安全的编码算法，保护信息的安全性和隐私性。

数学强则国强，“组合数学”告诉我们：“人工智能”时代真的来临来源：数学真美当我们翻开世界历史，会发现一个有意思的现象，世界强国的背后，都有着强大的数学实力作为支撑。

17-19世纪的英国、德国、法国等世界强国，它们同样是“数学强国”。

而今天，在美国成为世界霸主的背后，其实也正是以强大的数学实力作为支撑的。

正如拿破仑所说：“一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国力的强大。

数学的发展和国家繁荣昌盛密切相关。

”曾几何时，“微积分”的创立直接导致了英国“工业革命”的成功，英国也随之成为世界第一强国，帝国主义的野心迅速膨胀，侵略的铁蹄打开了我们的国门，给积贫积弱的中国带来了百年屈辱史。

今天，“离散数学”的快速发展已经取代了昔日“微积分”的主流地位。

如果说“微积分”的发展直接导致了“近代工业革命”的成功，那么“离散数学”中的“组合数学”的发展就是推动“计算机革命”的原动力。

“组合数学”与“计算机科学”相结合，使得冷冰冰的机器似乎拥有了思维，一个崭新的“人工智能时代”呼之欲出。

然而，“组合数学”到底是怎么一回事呢？现代数学体系可以分为两大类：一类是研究“连续对象”的，比如“微积分”等，另一类则是研究“离散对象”的，比如“离散数学”。

在“离散数学”中，其核心内容就是“组合数学”。

“组合数学”无处不在，它的主要应用就是在“各种复杂关系”中快速地找出“最优方案”。

所以组合数学完全可以看成是“量化”了的“关系学”、“运筹学”，“管理学”。

“四色定理”、“中国邮差问题”、“河洛图”等问题都属于“组合数学”的范畴。

以造出第一颗原子弹著称于世的美国国家实验室，一直都非常重视“组合数学”的研究。

世界上的其它国家，比如英国、法国、德国、荷兰、丹麦、奥地利、瑞典、意大利、西班牙等国家都建立了各种形式的“组合数学”研究中心。

在很早以前，澳大利亚、新西兰、新加坡、韩国、马来西亚以及我国大陆、台湾、香港等地区就已组建了很强的组合数学研究机构。