完全四边形的性质应用举例
- 格式：pdf
- 大小：154.15 KB
- 文档页数：5
１６ 中等数学
完全四边形的性质应用举例
沈文选
（湖南师范大学数学奥林匹克研究所，４１００８１）
文［１］给出了一般完全四边形的ｌ０条优
美性质．其实，完全四边形还有一系列的优美
性质．熟悉并应用这些性质，可以简捷地处理
某些平面几何赛题．下面举例说明．
例１在凸四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ
平分 ＢＡＤ，Ｅ是边ＣＤ上一点，ＢＥ交ＡＣ于
点Ｇ，ＤＧ交ＢＣ于点Ｆ．求证： ＦＡＣ＝
ＥＡＣ． （１９９９，全国高中数学联赛）
证明：如图１，由
于点Ａ是完全四边
形ＣＦＢＣ，ＤＥ的对角
线ＣＧ所在直线上一Ｂ
点，且满足 ＢＡＣ＝
ＤＡＣ，于是，由完 Ａ
图ｌ Ｄ
全四边形的性质１０，即知 ＦＡＣ＝ ＥＡＣ．
注：文［１］中性质１０的图１１仅指出如下
两点： ’ （１）显然，例１是性质１０，当点Ｇ在ＡＤ
的延长线上，且０ｏ＜ ＡＣ，Ｃ＝ ＡＧＥ＜９０￣时
的情形．
（２）若点Ｇ在ＡＤ的延长线上，且 ＡＧＣ
＝ ＡＧＥ＝９０￣时，则为１９９４年加拿大数学奥
林匹克试题或２ＯＯ３年保加利亚数学奥林匹 克试题：
在锐角△ＡＢＣ中，设ＡＤ是边ＢＣ上的
高，Ｐ是线段ＡＤ上任一点， 、ＣＰ的延长
线分别交ＡＣ、ＡＢ于点Ｅ、Ｆ．求证： ＥＤＰ＝
ＦＤＰ． 例２性质７，即完全四边形的三条对角
线的中点共线．
本文给出另一种证法． 证明：如图
２，设 、Ⅳ、Ｐ 分别是完全四
边形ＡＢＣＤＥＦ 的三条对角线
ＡＤ、 、ＣＥ的Ｃ
中点，ＡＤ与ＢＦ 交于点 ．由于 图２
边ＡＢ、ＦＤ所在直线交于点Ｃ，边ＡＦ、ＢＤ所
在直线交于点Ｅ，对完全四边形ＥＦＡＫＢＤ和
完全四边形ＣＤＦＫＡＢ，分别应用性质９，即知
Ｓ四边形肥ＤＦ＝４Ｓ△鲫，
Ｓ四 ＝４Ｓ△ ．
故Ｓ ＝Ｓ△ ．
即点Ｅ、ｃ到直线ＭＮ的距离相等．
设直线ＭＮ交对角线ＣＥ于点Ｐ，．由点
Ｅ、ｃ与直线ＭＮ等距，知Ｐ 为ＣＥ的中点，即
点Ｐ 与点Ｐ重合．
故 、Ⅳ、Ｐ三点共线．
例３如图３，
四边形ＡＢＣＤ的两
组对边延长后得
交点Ｅ、Ｆ，对角线
ＢＤ／／ ，Ａｃ的延
长线交ＥＦ于点Ｇ．
求证：ＥＧ＝ＧＦ． Ａ
Ｇ
图３
（１９７８，全国高中数学竞赛）
证法１：由肋∥ ，知
一ＡＢ一 ＢＥ—ＤＦ’
即丽ＡＢ・丽ＦＤ＝１．
维普资讯 http://www.cqvip.com ２ＯＯ６年第ｌ０期 １７
在完全四边形ＡＢＥＣＦＤ中，由性质２（或 塞瓦定理）得
丝． ． 一１ 舾 一。
故 ＥＧ＝１．从而，ＥＧ＝ＧＦ．
证，法２：令丽ＡＣ＝Ｐ。， ＝ｐ：， ＝ｐ３．
由性质５知
ＡＢ 、 １＋Ｐｌ 舾一 ３—１＋Ｐ．’
ｌｉＤ一１—１＋Ｐｌ ＤＦ— ２—１＋Ｐ３’
ＥＧ 、 １＋ｐ２ Ｇ 一 一１＋Ｐ，。
因为ＢＤ／／ＥＦ，则丽ＡＢ＝ ，即
１＋Ｐ２＝１＋ｐ３．
而 ＝ －１，故ＥＧ＝ＧＦ．
例４如图４，任意五角星形Ａ。Ａ：Ａ，Ａ４也一
ｃ。ｃ：ｃ，ｃ４ ｃ 的五个小三角形的外接圆分别
交于星形外的五个点 ．、 ：、 ，、风、曰 ．求
证：Ｂｌ、Ｂ２、Ｂ３、Ｂ４、Ｂ５五点共圆．
ｅ Ｃｌ
图４ 证明：注意到五角星形可看作是由五个
完全四边形所组成．由性质３，知每一个完全
四边形有一个Ｍｉｑｕｅｌ点，于是，此题即证五
个Ｍｉｑｕｅｌ点 ｌ、 ２、 ３、风、 ５共圆．
设 ：Ａ。的延长线与ｃ。 的延长线交 于点Ｄ．对完全四边形Ｃ Ａ： Ａ Ｃ， 、完全
四边形ｃ４Ａ ｃ：Ａ ｃ。Ａ３分别应用性质３，知
△Ａ ｃ。ｃ４的外接圆过点 ．、风．因此， ．、
风、Ｃ．、ｃ４四点共圆．
又Ａ：、 ：、ｃ４、 。四点共圆，则
ｌ风Ｄ＝ Ｂｌ Ｃ４Ａ２＝ ＢｌＢ２Ｄ．
从而， ．、 ：、风、Ｄ四点共圆．
再由Ａ２、 ２、Ａ３、 ３及Ａ３、 ３、ｃｌ、 ４分
别四点共圆，知
２ ３Ａ３＝ ＤＡ２Ａ３，
Ａ３ ３Ｂ４＝ Ａ３ＣｌＢ４．
故 Ｂ２ＤＢ４＋ Ｂ２Ｂ３Ｂ４
＝ Ｂ２ＤＢ４＋ Ｂ２Ｂ３Ａ３＋ Ａ３Ｂ３Ｂ４
＝ Ｂ２ＤＢ４＋ ＤＡ２Ａ３＋ Ａ３ＣｌＢ４
＝１８０￣． 因此， ：、 ３、风、Ｄ四点共圆，即 ．、
：、 ３、风．、Ｄ五点共圆．
同理， ：、 ，、风、风四点共圆．
故五个Ｍｉｑｕｅｌ点 ｌ、 ２、 ３、风、 ５共
例５ 在完全四边形ＡＢＣＤＥＦ中，若
０ｌ、０２、０３、０４分别是△ＡＣＦ、△ＡＢＥ、
△ＤＥＦ、△ＢＣＤ外接圆的圆心，则０。、０：、
０，、０ 四点共圆．
证明：如图５，由性质３，知ｏ０．、ｏ０：、
ｏ０３、ｏ０ 共点于 ．
图， 维普资讯 http://www.cqvip.com １８ 中等数学
联结０１０４、ＣＯ４、０４Ｍ、ＭＯ３、０１０３，则
１ ０１ ０４Ｍ＝１８０￣一｛ ＣＯ４Ｍ
＝１８０￣一 ． 同理， ０１ ０３Ｍ＝１８０￣一 ＦＤＭ．
故 ０１０４Ｍ＋ ０１０３Ｍ
＝３６０ｏ一（ ＣＤＭ＋ 删）
＝１８０￣． － 因此，０。、０小０，、Ｍ四点共圆．
同理，０ 、０ 、０，、Ｍ四点共圆．
所以，０。、０ 、０，、０ 四点共圆．
此例又是完全四边形的一条优美性质．
不妨记为性质ｌ１．
其实，性质ｌ１本质上是第４３届ＩＭＯ预
选题及２００３年中国国家集训队培训测试 题： 已知圆Ｓ 与圆Ｓ：交于点Ｐ、Ｑ，Ａ卜Ｂ
为圆Ｓ，上不同于Ｐ、Ｑ的两个点，直线
Ａ。Ｐ、Ｂ。Ｐ分别交圆Ｓ 于点Ａ 、 ，直线
Ａ。 。和Ａ 交于点Ｃ．证明：当点Ａ。和点
。变化时，△Ａ。Ａ Ｃ的外心总在一个定圆
周上．
例６在完全四边形ＡＢＣＤＥＦ中，若对
角线ＣＥ与对角线ＡＤ的延长线交于点Ｇ，联
结ＢＧ、ＦＧ、 ，则ｓ ≤｛ｓ ．
证明：如图
６，令丽ＡＤ＝ｐ１，
ＣＤ ＥＤ —ＤＦ ｐ２，面
ＣＧ 、 ＥＦ ｃ ｐ３，面 ＾１，
． 日 ． ２，丽 ３‘
由性质５知 Ｇ
图６
Ｐ１Ｐ２Ｐ， Ｐ１＋Ｐ２＋Ｐ３＋２
＝ １ ３＋Ａ２ １＋ ３ ２＋ ３＋ １＋ ２＋２
≥３ ＋３￣１１Ａ２Ａ３＋２：８， 且 型一丝． 一 ．—Ｌ Ｓ△＾ 一ＡＣ ＡＥ一１＋ ３ １＋ｉｔ２
一 ！ 二 ． 兰± 一Ｐ１Ｐ３＋Ｐ３ Ｐ２Ｐ３＋Ｐ２
Ｐ１Ｐ２Ｐ３＋Ｐ１Ｐ３一Ｐ２—１
２＋Ｐ１＋Ｐ２＋Ｐ３＋Ｐ１Ｐ３一Ｐ２—１ — 厂
（Ｐ１＋１）（Ｐ３＋１） １ ； 可 一ＰｚＰ３’－
同理， ＝ １ ， ＝ １ ．
故Ｓ ＝Ｓ 一Ｓ 一Ｓ 一Ｓ衄
＝ｓ （・一 一 一 ）
＝Ｓ Ｐ１Ｐ２Ｐ３
—ＰｌＰ—２Ｐｓ￣ＳＡ４ａ￣≤ ｓ△船・
此例也是完全四边形的一条优美性质．
不妨记为性质１２． 性质１２及其特殊情形，即为如下两道数
学竞赛题：
（１）设Ｐ是△ＡＢＣ的一个内点，Ｑ、Ｒ、Ｓ
分别是点Ａ、 、Ｃ与点Ｐ的连线和对边的交
点．求证：ｓ ≤｛ｓ ．
（第３１届ＩＭＯ预选题） （２）如果ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ是ＡＡＢＣ的三条角
平分线，证明：△ＤＥＦ的面积不超过△ＡＢＣ 面积的四分之一．
（１９８１，前民主德国数学奥林匹克）
例７在完全四边形ＡＢＥＣＦＤ中，对角
线ＡＣ与ＢＤ交于点Ｐ．过Ｐ作ＰＯ垂直于对 角线ＥＦ于点０，联结ＢＯ、ＣＯ、ＡＯ、ＤＯ．证
明： 肋Ｃ＝ ＡＯＤ．
证明：如图７，设对角线ＡＣ的延长线交
ＥＦ于点Ｑ．要证 ＢＯＣ＝ ＡＯＤ，只须证 ＰＯＣ＝ ＰＯＡ及 ＰＯＢ＝ ＰＯＤ． 欲证 ＰＯＣ＝ ＰＯ
Ａ，只须证 维普资讯 http://www.cqvip.com ２００６年第１０期 １９
伽＝ ＡＤＦ．
Ａ
图７ 为此，作ＣＧ上ＥＦ、ＡＨＪ－ＥＦ，垂足分别 为Ｇ、日．
‘ 于是，只须证Ｒｔ△ＣＧＯ∽Ｒｔ△ＡＨＯ，
即丽ＣＧ＝器．
由ＣＧ／／ＰＯ／／ＡＨ，知
一ＧＯ一丝 一 ＯＨ—ＰＡ’Ａｌｌ—ＱＡ‘
从而，只须耻，－．－雨ＰＣ＝ 卿筹＝ ．
对完全四边形ＡＢＥＣＦＤ应用性质６，有
～ＡＰ一丝 ＡＱ 。ＱＣ‘ 同理， ＰＯＢ＝ ＰＯＤ．
故 ＢＯＣ＝ ＡＯＤ． 此例又是完全四边形的一条优美性质．
不妨记为性质１３． 其实，性质１３即为２０Ｏ２年中国国家集
训队选拔赛试题中ＡＣ或ＢＤ均与ＥＦ不平行 的情形．题目为：
设凸四边形ＡＢＣＤ的两组对边ＡＢ与 ＤＣ、ＡＤ与ＢＣ所在直线分别交于点 、Ｆ，两 对角线的交点为Ｐ，过Ｐ作ＰＯ上ＥＦ于０．求
证Ｉ ＢＯＣ＝ ＡＯＤ．
例８如图８，在完全四边形ＡＢＣＤＥＦ
中，点日在对角线ＡＤ上，点Ｇ在ＡＤ的延长
线上，直线ＨＦ与 交于点Ｑ，直线ｌｉＢ与
ＣＣ交于点Ｐ． （１）求证Ｉ直线ＰＦ、 、ＡＤ三线共点； （２）若对角线ＦＢ与ＥＣ所在直线交于点 尺，则Ｒ、Ｐ、Ｑ三点共线． 图８ 证明：（１）设ＡＤ与ＢＦ交于点 ．对完全 四边形ＡＢＣＤＥＦ，由性质２中的式⑤（或对
△ＡＢＦ及点Ｄ应用塞瓦定理），有
丝．丝…ＦＫ １ ＣＡ ＥＦ ＫＢ一 ‘ 又分别对完全四边形ＧＨＡＢＰＣ、完全四
边形ＧＨＡＦＱＥ应用性质１（或对△ＡＢＨ及截
线ＰＣＧ、△ＡＨＦ及截线ＱＥＧ分别应用梅涅劳 斯定理），有
—Ｂ—Ｐ…ＨＧ—Ａ—Ｃ一１ ＰＨ ＣＡ ＣＢ一 ’
．丝． 一１ ＱＦ ＥＡ ＧＨ一 ‘ 以上三式相乘得
． ． 一１ ＫＢ ＰＨ ＯＦ一 ‘
对△ＢＦｔｌ应用塞瓦定理的逆定理，知
ＰＦ、 、ＡＤ三线共点． （２）对完全四边形ＥＦＡＢＲＣ 应用性质４，
知Ｒ、Ｐ、Ｑ三点共线．
此例也可以作为完全四边形的一条优美 性质．不妨记为性质１４．
伪９如图９，在完全四边形ＡＢＣＤＥＦ
中，Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ分别是ＡＢ、ＢＤ、ＤＦ：．：ＦＡ上的 点．试证：直线ＰＱ、ＡＤ、艘相互平行或共点
的充要条件是
ＡＰ． ． ． ；１． ＰＢ ＱＤ ＲＦ＆Ｉ■
证明：必要性．
若直线ＰＱ、ＡＤ、ＳＲ相互平行，则
ＡＰ ＤＯ ＦＳ ＦＲ ＰＢ 。ＯＢ’ＳＡ ＲＤ。
维普资讯 http://www.cqvip.com
