第12讲 空间几何体

第12讲 空间几何体

主干知识整合

1．空间几何体的三视图

(1)正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；

(2)侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；

(3)俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图．

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．

2．斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤

(1)建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系；

(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox′，Oy′，使∠x′Oy′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平平面；

(3)画对应图形，在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度变为原来的一半；

(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线(虚线)．

3．基本面积公式

4．空间几何体的体积计算公式

要点热点探究

探究点一 三视图与直观图

例1 [2011·课标全国卷] 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图12－1所示，则相应的侧视图可以为(

)

图12－1 图12－2

D 【解析】 由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，如图，故侧视图选D.

【点评】 本题考查空间几何体的三视图，试题要求根据空间几何体的两个视图判断其第三个视图，这种情况下第三个视图就可能有多种情况，这就要根据选项提供的视图确定其可能的情况，对考生的空间想象能力有较高的要求．解答这类试题就是选择合理的图形．

变式题

(1)[2011·山东卷] 如图12－3是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图12－3；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图12－3；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图12－3.其中真命题的个数是( ) 图12－3

A．3 B．2 C．1 D．0

（2） 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )

A.12＋22 B．1＋22

C．1＋2 D．2＋2

(1)A (2)D 【解析】 (1)①可以是放倒的三棱柱，所以正确；容易判断②正确；③可以是放倒的圆柱，所以也正确．

(2)如图，设直观图为O′A′B′C′，建立如图所示的坐标系，按照斜二测画法的规则，在原来的平面图形中，OC⊥OA，且OC＝2，BC＝1，OA＝1＋2×22＝1＋2，故其面积为

12×()1＋1＋2×2＝2＋2.

探究点二 空间几何体的表面积和体积

例2 (1) [2011·安徽卷] 一个空间几何体的三视图如图12－4所示，则该几何体的表面积为( )

图12－4

A．48

B．32＋817

C．48＋817 D．80

(2)[2011·湖南卷] 设图12－5是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) 图12－5

A．92π＋12 B．92π＋18

C．9π＋42 D．36π＋18

(1) C (2)B 【解析】 (1)由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所示)，所以该直四棱柱的表面积为S＝2×12×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×1＋16×4＝48＋817.

(2)由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3、高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为：V＝V1＋V2＝43×π×323＋3×3×2＝92π＋18，故选B.

【点评】 我们常见的柱体一般是把底面放在水平面上，锥体也往往是把底面放在水平面上，但是柱体和锥体也可以把其侧面或者一条母线放在水平面上，也可以以其他各种可能的方式放置在空间，这时其三视图就会出现各种可能，在根据空间几何体的三视图还原空间几何体的形状时，要克服思维定势．

变式题

(1)如图12－6为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为(

)

图12－6

A．143 B．6＋3

C．12＋23 D．16＋23

(2)一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图12－7，则该多面体的体积为( ) 图12－7

A．48 cm3 B．24 cm3

C．32 cm3 D．28 cm3

(1)C (2)A 【解析】 (1)根据三视图可知这个空间几何体是一个三棱柱，其高为2、底面边长也为2.侧面积是3×2×2、底面积是2×34×22＝23.

(2)根据空间几何体的三视图还原空间几何体，再根据三视图中的数据和体积公式进行计算．这个几何体是一个三棱柱，其底面三角形的一个边长为6 cm、这个边上的高为4 cm，这个三棱柱的高为

4 cm，根据柱体的体积公式得这个三棱柱的体积是12×6×4×4＝48(cm3)．

探究点三 球与多面体

例3 [2011·辽宁卷] 已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为(

)

A．33 B．23 C.3 D．1

C 【解析】 如图，过A作AD垂直SC于D，连接BD.

由于SC是球的直径，所以∠SAC＝∠SBC＝90°，又∠ASC＝∠BSC＝30°，又SC为公共边，所以△SAC≌△SBC.由于AD⊥ SC，所以BD⊥SC.由此得SC⊥平面ABD.

所以VS－ABC＝VS－ABD＋VC－ABD＝13S△ABD·SC.

由于在Rt△SAC中∠ASC＝30°，SC＝4，所以AC＝2，SA＝23，由于AD＝SA·CASC＝3.同理在Rt△BSC中也有BD＝SB·CBSC＝3.

又AB＝3，所以△ABD为正三角形，

所以VS－ABC＝13S△ABD·SC＝13×12×(3)2·sin60°×4＝3，所以选C.

【点评】 本题考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．本题的难点在于对三棱锥S－ABC的结构特征的分析判断，其中的体积分割法是求解体积问题时经常使用的技巧．

变式题

(1)已知一个三棱锥的三视图如图12－8所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为________．

图12－8

(2)[2011·课标全国卷] 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．

(1)2053π (2)13 【解析】 (1)这个空间几何体的直观图如图，由于该几何体关于平面PAD对称，故球心一定在平面PAD内，则球心一定在平面PAD中线段PA的垂直平分线EO上，如图，设DF＝x，则OP＝1＋x2＋1，OB＝x2＋4，由1＋x2＋1＝x2＋4，解得x＝1，故OP＝5，这就是三棱锥的外接球的半径．根据体积公式得V＝43π(5)3＝2053π.

(2)如图，设球的半径为R，圆锥底面半径为r，则球面面积为4πR2，圆锥底面面积为πr2，

由题意πr2＝1216πR2，所以r＝32R，

所以OO1＝OA2－O1A2＝R2－34R2＝12R，

所以SO1＝R＋12R＝32R， S1O1＝R－12R＝12R，所以S1O1SO1＝R23R2＝13.

规律技巧提炼 1．真实图形中和两坐标轴平行的线段在直观图中仍然和两坐标轴平行，在真实图形中与x轴平行的线段在直观图中长度不变，在真实图形中和y轴平行的线段在直观图中变为原来的一半．这种画法蕴含着一个一般的规律，在斜二测画法中，真实图形的面积和直观图的面积之比是22.

2．空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分“是侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．

3．实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，往往是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体体积的基本方法就是“分解”，将组合体“分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积”，然后根据组合体的结构，将整个的体积转化为这些“部分体积”的和或差

教师备用例题

备选理由：例1把球、二面角综合，但解题主要依靠余弦定理和方程思想，是一道对空间想象能力和运算能力要求较高的试题；例2是球与多面体，可以作为[要点热点探究三]的补充；例3是一个有难度的题目，其中点评给出的三视图可以提高考生的空间想象能力．

例1 设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面α，β截球的两截面圆的半径分别为1和3，二面角α－l－β 的平面角为150°，则球O的表面积为( )

A．4π B．16π

C．28π D．112π

【解析】 D 如图，设OO1＝h1，OO2＝h2，则h21＋1＝h22＋3，根据余弦定理h21＋h22－2h1h2cos30°＝1＋3－2×1×3cos150°＝7，消掉h1得方程2h22－5＝3h2h22＋2，两端平方得h42－26h22＋25＝0，解得h22＝1(舍去)，或h22＝25，即h2＝5，所以球的半径r＝3＋25＝28，故球的面积是4πr2＝112π.

例2 [2011·重庆卷]

高为24的四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为( )

A.24

B.22

C．1

D.2

【解析】 C 如图所示，设球心为O，正方形的中心为O1，则OB＝1，O1B＝12BD＝22，所以点O到平面ABCD的距离OO1＝OB2－O1B2＝22.因为四棱锥S－ABCD的高为24，

故四棱锥S－ABCD的顶点S在与平面ABCD平行且距离为24的一个小圆的圆周上，此小圆的圆心O2在OO1的中点上，

易知SO2为线段OO1的垂直平分线，所以SO1＝SO＝1.故选C.