高考数学一本策略复习专题四立体几何第一讲空间几何体教案文

2012届高三文科第二轮复习教案 专题四 立体几何第一讲 空间几何体主讲：王明章 时间：2012年4月11日 星期三一、教学目标1、了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征2、理解空间几何体的三视图3、会求一些简单几何体的表面积和体积4、培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力二、教学重难点重点：空间几何体的三视图与直观图的转化，表面积和体积的计算难点：空间几何体的三视图以及由三视图还原几何体三、教学方法：讲练结合法四、教具：幻灯片，三角板，直尺六、考点层析冲关【考点一】空间几何体与三视图[例1](1)(2011·新课标全国卷)在一个几何体的三视图中，正(主)视图和俯视图如图所示，则相应的侧(左)视图可以为 ( )(2)(2011·山东高考)如右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：① 存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是 ( )A ．3B ．2 C.1 D ．0【点二】空间几何体的表面积和积[例2] (1)(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80(2)(2011·陕西高考)某几何体的三视图如右图所示，则它的体积为( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π3(3)(2011·广州模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋853，则正视图中x 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【考点三】球与空间几何体的切、接问题[例3] (1)(2011·辽宁高考)已知球的直径SC ＝4，A 、B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S －ABC 的体积( )A.33B.233C.433D.533 2)已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O 的表面积等于( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π(3)(2011·济南模拟)已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为________．【变式】若将本例第(2)题的条件改为“已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ＝SB ＝SC ＝1，且SA ，SB ，SC 两两垂直”，如何求球O 的表面积？每课一技：转化与划归思想[典例] 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB ＝CD ＝2，则四面体ABCD 的体积的最大值为 ( ) A.233 B.433 C ．23 D.833七、方法与技巧小结1、抓住“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”的特点.2、解决空间几何体的表面积和体积问题的常用技巧八、作业布置《创新方案》配套练习九、课后反思由几何体确定三视图或是由三视图还原成几何体的关键是找准投影面及三视图之间的关系。

高中立体几何教案5篇第一篇：高中立体几何教案高中立体几何教案第一章直线和平面两个平面平行的性质教案教学目标1．使学生掌握两个平面平行的性质定理及应用；2．引导学生自己探索与研究两个平面平行的性质定理，培养和发展学生发现问题解决问题的能力．教学重点和难点重点：两个平面平行的性质定理；难点：两个平面平行的性质定理的证明及应用．教学过程一、复习提问教师简述上节课研究的主要内容（即两个平面的位置关系，平面与平面平行的定义及两个平面平行的判定定理），并让学生回答：（1）两个平面平行的意义是什么？（2）平面与平面的判定定理是怎样的？并用命题的形式写出来？（教师板书平面与平面平行的定义及用命题形式书写平面与平面平行的判定定理）（目的：（1）通过学生回答，来检查学生能否正确叙述学过的知识，正确理解平面与平面平行的判定定理．（2）板书定义及定理内容，是为学生猜测并发现平面与平面平行的性质定理作准备）二、引出命题（教师在对上述问题讲评之后，点出本节课主题并板书，平面与平面平行的性质）师：从课题中，可以看出，我们这节课研究的主要对象是什么？生：两个平面平行能推导出哪些正确的结论．师：下面我们猜测一下，已知两平面平行，能得出些什么结论．（学生议论）师：猜测是发现数学问题常用的方法．“没有大胆的猜想，就作不出伟大的发现．”但猜想不是盲目的，有一些常用的方法，比如可以对已有的命题增加条件，或是交换已有命题的条件和结论．也可通过类比法即通过两个对象类似之处的比较而由已经获得的知识去引出新的猜想等来得到新的命题．（不仅要引导学生猜想，同时又给学生具体的猜想方法）师：前面，复习了平面与平面平行的判定定理，判定定理的结论是两平面平行，这对我们猜想有何启发？生：由平面与平面平行的定义，我猜想：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个面．师：很好，把它写成命题形式．（教师板书并作图，同时指出，先作猜想、再一起证明）猜想一：已知：平面α∥β，直线a 求证：a∥β．生：由判定定理“垂直于同一条直线的两个平面平行”．我猜想：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．[教师板书]α，猜想二：已知：平面α∥β，直线l⊥α．求证：l⊥β．师：这一猜想的已知条件不仅是“α∥β”，还加上了“直线l⊥α”．下面请同学们看课本上关于判定定理“垂直于同一直线的两平面平行”的证明．在证明过程中，“平面γ∩α=a，平面γ∩β=a′”．a与a′是什么关系？生：a∥a′．师：若改为γ不是过AA′的平面，而是任意一个与α，β都相交的平面γ．同学们考虑一下是否可以得到一个猜想呢？（学生讨论）生：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，也必与另一个平面相交．” [教师板书] 猜想三：已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，求证：γ与β一定相交．师：怎么作这样的猜想呢？生：我想起平面几何中的一个结论：“一条直线与两条平行线中的一条相交，也必与另一条相交．”师：很好，这里实质用的是类比法来猜想．就是把原来的直线类似看作平面．两平行直线类似看作两个平行平面，从而得出这一猜想．大家再考虑，猜想三中，一个平面与两个平行平面相交，得到的交线有什么位置关系？生：平行师：请同学们表达出这个命题．生：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． [教师板书]猜想四：已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，γ∩β=b．求证：a∥b．[通过复习定理的证明方法，既发现了猜想三，猜想四，同时又复习了定理的证明方法，也为猜想四的证明，作了铺垫] 师：在得到猜想三时，我们用到了类比法，实际上，在立体几何的研究中，将所要解决的问题与平面几何中的有关问题作类比，常常能给我们以启示，发现立体几何中的新问题．比如：在平面几何中，我们有这样一条定理：“夹在两条平行线间的平行线段相等”，请同学们用类比的方法，看能否得出一个立体几何中的猜想？生：把两条平行线看作两个平行平面，可得猜想：夹在两个平行平面间的平行线段相等． [教师板书] 猜想五：已知：平面α∥β，AA′∥BB′，且A，B∈α，B，B′∈β．求证：AA′=BB′．[该命题，在教材中是一道练习题，但也是平面与平面平行的性质定理，为了完整体现平面与平面平行的性质定理，故尔把它放在课堂上进行分析]三、证明猜想师：通过分析，我们得到了五个猜想，猜想的结论往往并不完全可靠．得到猜想，并不意谓着我们已经得到了两个平面平行的性质定理，下面主要来论证我们得到的猜想是否正确．[师生相互交流，共同完成猜想的论证] 师：猜想一是由平面与平面平行的定义得到的，因此在证明过程中要注意应用定义．[猜想一证明] 证明：因为α∥β，所以α与β无公共点．又因为a α，所以 a与β无公共点．故a∥β．师：利用平面与平面平行的定义及线面平行的定义，论证了猜想一的正确性．这便是平面与平面平行的性质定理一．简言之，“面面平行，则线面平行．”[教师擦掉“猜想一”，板书“性质定理一”] [论证完猜想一之后，教师与学生共同研究了“猜想二”，发现，若论证了“猜想四”的正确性质，“猜想二”就容易证了，因而首先讨论“猜想三，猜想四”] 师：“猜想三”是类比平面几何中的结论得到的，还记得初中时，是怎么证明的？[学生回答：反证法] 师：那么，大家可否类比初中的证明方法来证明“猜想三”呢？生：用反证法：假设γ与β不相交，则γ∥β．这样过直线a有两个平面α和γ与β平行．与“过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”矛盾．故γ与β相交．师：很好．由此可知：不只是发现问题时可用类比法，就是证明方法也可用类比方法．不过猜想三，虽已证明为正确的命题，但教材中并把它作为平面与平面平行的性质定理，大家在今后应用中要注意．[猜想四的证明] 师：猜想四要证明的是直线a∥b，显然a，b共面于平面γ，只需推导出a与b无公共点即可．生：（证法一）因为a∥β，所以 a与β无公共点．又因为a α，b β．所以 a与b无公共点．又因为a γ，b 所以a∥b．师：我们来探讨其它的证明方法．要证线线平行，可以转化为线面平行．生：（证法二）因为a α，又因为α∥β，所以a∥β．又因为a γ，且γ∩β=b，所以a∥b．师：用两种不同证法得出了“猜想四”是正确的．这是平面和平面平行的性质定理二．[教师擦掉“猜想四”，板书“性质定理二”] 师：平面与平面平行的性质定理二给出了在两个平行平面内找一对平行线的方法．即：“作一平面，交两面，得交线，则线线平行．”同时也给我们证明两条直线平行的又一方法．简言之，“面面平行，则线线平行”．[猜想二的证明] 师：猜想二要证明的是直线l⊥β，根据线面垂直的判定定理，就要证明l和平面β内的两条相交直线垂直．那么如何在平面β内作两条相交直线呢？[引导学生回忆：“垂直于同一直线的两个平面平行”的定理的证明] γ，生：（证法一）设l∩α=A，l∩β=B．过AB作平面γ∩α=a，γ∩β=a′．因为α∥β，所以a∥a′．再过AB作平面δ∩α=b，δ∩β=b′．同理b∥b′．又因为l⊥α，所以l⊥a，l⊥b，所以l⊥a′，l⊥b′，又a′∩b′=β，故l⊥β．师：要证明l⊥β，根据线面垂直的定义，就是要证明l和平面β内任何一条直线垂直．生：（证法二）在β内任取一条直线b，经过b作一平面γ，使γ∩α=a，因为α∥β，所以a∥b，因此l⊥α，a α，故l⊥a，所以l⊥b．又因为b为β内任意一条直线，所以l⊥β．[教师擦掉“猜想二”，板书“性质定理三”] [猜想五的证明] 证明：因为AA′∥BB′，所以过AA′，BB′有一个平面γ，且γ∩α=AB，γ∩β=A′B′．因为α∥β，所以AB∥A′B′，因此AA′ B′B为平行四边形．故AA′=BB′．[教师擦掉“猜想五”，板书“性质定理四”] 师：性质定理四，是类比两条平行线的性质得到的．平行线的性质有许多，大家还能类比得出哪些有关平行平面的猜想呢？你能证明吗？请大家课下思考．[因类比法是重要的方法，但平行性质定理已得出，故留作课下思考]四、定理应用师：以上我们通过探索一猜想一论证，得出了平面与平面平行的四个性质定理，下面来作简单的应用．例已知平面α∥β，AB，CD为夹在α，β间的异面线段，E、F分别为AB，CD的中点．求证：EF∥α，EF∥β．师：要证EF∥β，根据直线与平面平行的判定定理，就是要在β内找一条直线与EF平行．证法一：连接AF并延长交β于G．因为AG∩CD=F，所以 AG，CD确定平面γ，且γ∩α=AC，γ∩β=DG．因为α∥β，所以AC∥DG，所以∠ACF=∠GDF，又∠AFC=∠DFG，CF=DF，所以△ACF≌△DFG．所以AF=FG．又 AE=BE，所以EF∥BG，BG 故EF∥β．同理：EF∥α．师：要证明EF∥β，只须过EF作一平面，使该平面与β平行，则根据平面与平面平行性质定理即可证．证法二：因为AB与CD为异面直线，所以A CD．β．在A，CD确定的平面内过A作AG∥CD，交β于G，取AG中点H，连结AC，HF．因为α∥β，所以AC∥DG∥EF．因为DG β，所以HF∥β．又因为 E为AB的中点，因此EH∥BG，所以EH∥β．又EH∩FH=H，因此平面EFH∥β，EF 所以EF∥β．同理，EF∥α．平面EFH，师：从以上两种证明方法可以看出，虽然是解决立体几何问题，但都是通过转化为平面几何的问题来解决的．这是解决立体几何问题的一种技能，只是依据的不同，转化的方式也不同．五、平行平面间的距离师：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段．两个平行平面有几条公垂线？这些公垂线的位置关系是什么？生：两个平行平面有无数条公垂线，它们都是平行直线．师：夹在两平行平面之间的公垂线段有什么数量关系？根据是什么？生：相等，根据“夹在两个平行平面间的平行线段相等．”师：可见夹在两个平行平面的公垂线段长度是唯一的．而且是夹在两个平行平面间的所有线段中最短的．因此我们把这公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离．显然两个平行平面的距离等于其中一个平面上的任一点到另一个平面的垂线段的长度．六、小结1．由学生用文字语言和符号语言来叙述两个平面平行的性质定理．教师总结本节课是由发现与论证两个过程组成的．简单的说就是：由具体问题具体素材用类比等方法猜想命题，并由转化等方法论证猜想的正确性，得到结论．2．在应用定理解决立体几何问题时，要注意转化为平面图形的问题来处理．大家在今后学习中一定要注意掌握这一基本技能．3．线线平行、线面平行与面面平行的判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系．在学习中应发现其内在的科学规律：低一级位置关系判定着高一级位置关系；高一级位置关系一定能推导低一级位置关系．下面以三种位置关系为纲应用转化的思想整理如下：七、布置作业课本：p．38，习题五5，6，7，8．课堂教学设计说明1．本节课的中心是两个平行平面的性质定理．定理较多，若采取平铺直叙，直接地给出命题，那样就绕开了发现、探索问题的过程，虽然比较省事，但对发展学生的思维能力是不利的．在设计本教案时，充分考虑到教学研究活动是由发现与论证这样两个过程组成的．因而把“如何引出命题”和“如何猜想”作为本节课的重要活动内容．在教师的启发下，让学生利用具体问题；运用具体素材，通过类比等具体方法，发现命题，完成猜想．然后在教师的引导下，让学生一一完成对猜想的证明，得到两个平面平行的性质定理．也就在这一“探索”、“发现”、“论证”的过程中，培养了学生发现问题，解决问题的能力．在实施过程中，让学生处在主体地位，教师始终处于引导者的位置．特别是在用类比法发现猜想时，学生根据两条平行线的性质类比得出许多猜想．比如：根据“平行于同一条直线的两条直线平行”得到“平行于同一个平面的两个平面平行．”根据“两条直线平行，同位角相等”等，得到“与两个平行平面都相交的直线与两个平面所成的角相等”等等，当然在这些猜想中，有的是正确的，有的是错误的，这里不一一叙述．这就要求教师在教学过程中，注意变化，作适当处理．学生在整节课中，思维活跃，沉浸在“探索、发现”的思维乐趣中，也正是在这种乐趣中，提高了学生的思维能力．2．在对定理的证明过程中，课上不仅要求证出来，而且还考虑多种证法．对于定理的证明，是解决问题的一些常用方法，也可以说是常规方法，是要学生认真掌握的．因此教师要把定理的证明方法，作为教学的重点内容进行必要的讲解，培养学生解决问题的能力．3．转化是重要的数学思想及数学思维方法．它在立体几何中处处体现．实质上处理空间图形问题的基本思想方法就是把它转化为平面图形的问题，化繁为简．特别是在线线平行，线面平行，面面平行三种平行的关系上转化的思想也有较充分的体现，因而在小结中列出三个平行关系相互转让的关系图，一方面便于学生理解，记忆，同时通过此表，能马上发现三者相互推导的关系，能打开思路，发现线索，得到最佳的解题方案．第二篇：高中立体几何高中立体几何的学习高中立体几何的学习主要在于培养空间抽象能力的基础上，发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

立体几何教案范文第一章：绪论1.1 立体几何的概念引导学生理解立体几何的基本概念，如点、线、面、体等。

让学生通过实物观察和模型演示，理解三维空间中的位置关系。

1.2 立体几何的表示方法介绍立体几何图形的表示方法，如正视图、侧视图、俯视图等。

让学生通过绘制简单的立体几何图形，掌握三视图的绘制技巧。

第二章：直线与平面2.1 直线与平面的基本性质引导学生理解直线与平面的定义及其基本性质，如直线的方向、平面的方程等。

让学生通过实例分析，掌握直线与平面的位置关系，如平行、相交、垂直等。

2.2 直线与平面的判定定理介绍直线与平面的判定定理，如直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定等。

让学生通过几何作图和逻辑推理，验证判定定理的正确性。

第三章：三角形与多边形3.1 三角形的基本性质引导学生理解三角形的基本性质，如三角形的内角和、三角形的边长关系等。

让学生通过实例分析，掌握三角形的分类，如等边三角形、等腰三角形等。

3.2 多边形的基本性质介绍多边形的基本性质，如多边形的边数、多边形的角度和等。

让学生通过实例分析和绘图，了解多边形的分类，如四边形、五边形等。

第四章：圆与圆锥4.1 圆的基本性质引导学生理解圆的定义及其基本性质，如圆的半径、圆的周长等。

让学生通过实例分析，掌握圆的方程和圆的性质。

4.2 圆锥的基本性质介绍圆锥的定义及其基本性质，如圆锥的底面、圆锥的侧面等。

让学生通过实例分析和绘图，了解圆锥的分类，如直圆锥、斜圆锥等。

第五章：立体几何的计算5.1 立体几何图形的面积和体积计算引导学生理解立体几何图形面积和体积的计算方法，如矩形的面积、球的体积等。

让学生通过实例分析和计算，掌握立体几何图形的面积和体积计算公式。

5.2 立体几何图形的对角线长度计算介绍立体几何图形对角线长度的计算方法，如立方体的对角线长度计算等。

让学生通过实例分析和计算，了解立体几何图形对角线长度的计算方法。

第六章：立体几何中的特殊图形6.1 棱柱与棱锥引导学生理解棱柱和棱锥的定义及其特性，如直棱柱、斜棱柱、直棱锥、斜棱锥等。

高中数学空间几何体教案
一、教学目标：
1. 掌握空间几何体表面积和体积的计算方法。

2. 能够应用所学知识解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维和空间想象能力。

二、教学内容与重点：
1. 空间几何体的概念及分类。

2. 空间几何体的表面积和体积的计算公式。

3. 实际问题的应用。

三、教学过程：
1. 导入（5分钟）
展示几何体模型，引导学生讨论几何体的特点，并引出今天的学习内容。

2. 讲解（15分钟）
介绍空间几何体的概念、分类以及表面积和体积的计算方法，讲解相关公式及求解步骤。

3. 实例演练（20分钟）
选择几个简单的例题进行讲解和演练，让学生掌握计算方法和技巧。

4. 练习与拓展（20分钟）
让学生自行完成一些练习题目，并带领学生讨论解题方法和思路。

同时提供一些拓展题目，拓展学生的思维空间。

5. 总结与展示（10分钟）
对本节课的内容进行总结，并提出一些学生容易疏漏的地方进行讲解。

通过展示一些实际
问题，让学生了解数学在日常生活中的应用价值。

四、课后作业：
1. 完成教师布置的练习题目。

2. 总结今天所学知识，完成一道实际问题的解答。

五、评价与反思：
本节课主要通过知识的传授和实例的演示让学生掌握了空间几何体的表面积和体积计算方法，培养了学生的逻辑思维和空间想象能力。

教学过程中应注重引导学生学会灵活运用所学知识解决实际问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。

空间立体几何教案教案：空间立体几何一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1.了解空间立体几何的基本概念和术语；2.掌握空间直线、平面与角的关系；3.能够运用空间几何知识解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

二、教学重点1.空间立体几何的基本概念和术语；2.空间直线、平面与角的关系；3.运用空间几何知识解决实际问题。

三、教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：1.空间立体几何的基本概念和术语；2.空间直线、平面与角的关系；3.空间几何的运用实例。

1.导入通过展示一些立体图形的图片，引发学生对空间立体几何的兴趣，并让他们尝试用自己的话解释这些图形。

2.知识讲解首先，给学生介绍空间立体几何的基本概念和术语，比如点、直线、平面、角等，并讲解它们在空间中的特点和关系。

接着，详细讲解空间直线、平面与角的关系，包括直线与平面的相交、平行关系，以及角的定义、分类和性质。

最后，通过一些具体的实例，向学生演示如何应用空间几何知识解决问题。

3.讨论与练习组织学生进行小组讨论，让他们互相交流和分享对空间立体几何的理解和应用，并提供一些相关问题供他们讨论解答。

然后，进行空间立体几何的练习，包括计算角的大小、判断线段是否相交等。

4.拓展与应用引导学生从日常生活中找出更多的空间几何实例，并鼓励他们尝试应用所学知识解决这些实际问题。

通过观察学生在课堂上的表现、小组讨论的质量，以及练习题的完成情况来评价学生对空间立体几何的掌握程度。

六、课堂反思在课堂结束时，与学生一起回顾本节课的重点内容，并让他们提出自己的疑问和建议，以便进一步完善教学。

七、拓展阅读推荐相关的参考书籍和网站，供学生自主学习和进一步探索空间立体几何的知识。

八、课后作业布置一些练习题和实际应用题作为课后作业，巩固学生对空间立体几何的理解和应用能力。

以上就是本节课的教案，希望能够帮助学生更好地理解和掌握空间立体几何的知识。

任课教师可以根据实际情况进行微调和调整，以适应学生的学习需求和教学进度。

专题四立体几何一、考试内容平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．二、考试要求（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．（5）会用反证法证明简单的问题．（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．三、命题热点高考对立体几何的考查主要有两个方面：一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系，线面平行、垂直关系的证明等；在高考试卷中，一般有1~2个客观题和一个解答题.多为容易题和中档题.四、知识回顾（一）、平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向）（二）、空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线：有且仅有一个公共点；平行直线：共面，没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，没有公共点[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[) 180,0∈θ） （直线与直线所成角(] 90,0∈θ） （斜线与平面成角() 90,0∈θ） （直线与平面所成角[] 90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）（三）、直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，12方向相同12方向不相同可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理）， 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .● 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上（四）、平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. P OA a P αβθM AB O证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.6. 两异面直线任意两点间的距离公式：θcos 2222mn d n m l +++=（θ为锐角取加，θ为钝取减，综上，都取加则必有⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πθ） 7. ⑴最小角定理：21cos cos cos θθθ=（1θ为最小角，如图）⑵最小角定理的应用（∠PBN 为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.（五）、棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则1c o s c o s c o s 222=++γβα.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2c o s c o s c o s 222=++γβα.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） 图1θθ1θ2图2③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V Sh V ==.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S =（侧面与底面成的二面角为α） 附： 以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α为二面角b l a --.则l a S ⋅=211①，b l S ⋅=212②，b a =⋅αcos ③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =.注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的l ab c B等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.简证：A B ⊥CD ，AC ⊥BD ⇒ BC ⊥AD. 令===,, 得-=⋅⇒=-=-=,，已知()()0,0=-⋅=-⋅c a b b c a0=-⇒c b c a 则0=⋅AD BC . iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC 中点'O ，则⊥⇒⊥'⊥'AC AC O B AC o o ,平面=∠⇒⊥⇒'FGH BO AC B O O 90°易知EFGH 为平行四边形⇒EFGH 为长方形.若对角线等，则EFGH FG EF ⇒=为正方形.3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=. ⑵纬度、经度：①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P .②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B 点的经度.附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高）②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高）4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，a h 36=，243a S =底，243a S =侧 得a a a R R a R a a a 46342334/424331433643222=⋅==⇒⋅⋅+⋅=⋅. 注：球内切于四面体：h S R S 313R S 31V 底底侧AC D B ⋅=⋅+⋅⋅⋅=- ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.（六）. 空间向量.1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.注：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.（×） [当0=b 时，不成立] ②向量c b a ,,共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]③若a ∥b ，则存在小任一实数λ，使b a λ=.（×）[与0=b 不成立]F E HG B C D A O'O rOR④若a 为非零向量，则00=⋅a .（√）[这里用到)0(≠b b λ之积仍为向量]（2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使b a λ=.（3）共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作a ∥α.（4）①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量P 与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使b y a x P +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是P ABC 四点共面的充要条件.（简证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面）注：①②是证明四点共面的常用方法.2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使c z b y a x p ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使 z y x ++=(这里隐含x+y+z≠1).注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31++=用+=3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则),,(332211b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a ++=⋅ a ∥)(,,332211R b a b a b a ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a 222321a a a ++==(=⇒⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅⋅>=< ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.DB（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥那么向量叫做平面α的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n 方向相同，则为补角，21,n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.AB（七）、常用结论、方法和公式1. 对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1；④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180°.2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形. （在直角四面体中，记V 、l 、S 、R 、r 、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S 2△ABC +S 2△BCD +S 2△ABD =S 2△ACD.3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.（在等腰四面体ABCD 中，记BC = AD =a ，AC = BD = b ，AB = CD = c ，体积为V ，外接球半径为R ，内接球半径为r ，高为h ），则有 ①等腰四面体的体积可表示为22231222222222c b a b a c a c b V -+⋅-+⋅-+=； O A BCD②等腰四面体的外接球半径可表示为22242c b a R ++=； ③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为22232c b a m ++=； ④h = 4r.4、空间正余弦定理.空间正弦定理：sin ∠ABD/sin ∠A-BC-D=sin ∠ABC/sin ∠A-BD-C=sin ∠CBD/sin ∠C-BA-D 空间余弦定理：cos ∠ABD=cos ∠ABCcos ∠CBD+sin ∠ABCsin ∠CBDcos ∠A-BC-D5.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；6. 已知:直二面角M －AB －N 中，AE ⊂ M ，BF ⊂ N,∠EAB=1θ,∠ABF=2θ，异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则;cos cos cos 21θθθ=7.立平斜公式：如图，AB 和平面所成的角是1θ，AC 在平面内，BC 和AB 的射影BA 1成2θ，设∠ABC=3θ,则cos 1θcos 2θ=cos 3θ；8.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；9.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。

高中数学立体空间几何教案
一、教学目标：
1. 知识目标：学生能够掌握立体空间的基本概念和相关定理，能够运用立体空间几何知识解决实际问题。

2. 能力目标：培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高学生的应用能力和解决问题的能力。

3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学学习兴趣和探究精神。

二、教学内容：
1. 立体空间的基本概念
2. 立体空间的投影相关定理
3. 立体空间的相交和平行关系
4. 立体空间的角度关系
三、教学过程：
1. 导入：通过展示一些立体空间的实际图像，引导学生了解立体空间的概念，并讨论立体空间在生活中的应用。

2. 学习：介绍立体空间的相关定理和概念，并通过实例分析让学生掌握立体空间的投影、相交及平行关系。

3. 巩固：设计一些练习题目，让学生运用所学知识，巩固立体空间几何的相关概念。

4. 拓展：引导学生继续探索立体空间的角度关系，并引导学生进行拓展思考，解决一些具有挑战性的问题。

5. 总结：总结本节课的重点知识，让学生对立体空间几何的知识有一个清晰的认识。

四、作业布置：
1. 完成课堂练习题
2. 自主拓展思考，设计一个与立体空间相关的问题，并尝试解答
五、教学反思：
本节课程注重学生的主动学习和思维能力的培养，通过实际的例题分析和练习引导学生掌握立体空间几何知识。

同时也通过拓展思考和问题解决，激发学生学习的兴趣，提高学生
的空间想象和推理能力。

在未来的教学中，可以更多地引导学生进行实际问题的拓展与解决，帮助学生深入理解立体空间几何知识。

【专题概述】立体几何是高考的重点内容之一,从近几年高考试题来看,主要有以下几个方面:一是以三视图为载体,考查空间几何体的特征及表面积、体积的计算;二是考查线面位置关系的判断与证明;三是考查空间向量的应用,尤其空间向量法求二面角是考查的热点之一.第一讲 空间几何体一 体验高考1.(2012年高考福建卷,理4)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( D )(A)球 (B)三棱锥 (C)正方体 (D)圆柱解析:分别比较选项A 、B 、C 的三视图不符合题干要求,选项D 符合.2.(2012年高考广东卷,理6)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )(A)12π (B)45π (C)57π (D)81π解析:由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两几何体组合而成,直观图如图所示. 圆锥的底面半径为3,高为4,圆柱的底面半径为3,高为5,∴V=V 圆锥+V 圆柱=31Sh 1+Sh 2 =31×π×32×4+π×32×5 =57π.故选C.3.(2012年高考安徽卷,理12)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是 .解析:由几何体的三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示).在四边形ABCD 中,作DE ⊥AB,垂足为E, 则DE=4,AE=3, 则AD=5.所以其表面积为:2×21×(2+5)×4+2×4+4×5+4×5+4×4=92. 答案:924.(2012年高考辽宁卷,理16)已知正三棱锥P ABC,点P,A,B,C 都在半径为3的球面上,若PA,PB,PC 两两相互垂直,则球心到截面ABC 的距离为 . 解析:法一:如图,设PA=a,M 为△ABC 中心,则AB=2a, 即正三棱锥P ABC 侧棱长为a,底面边长为2a,则CN=26a,CM=36a,PM=33a.设球的半径为R,所以(33a-R)2+(36a)2=R 2, 将R=3代入上式,解得a=2,所以球心到截面ABC 的距离d=3-332=33. 法二:由点P 、A 、B 、C 在半径为3的球面上.PA 、PB 、PC 两两互相垂直, 所以正三棱锥P ABC 可看正方体一部分,设棱长为a,则3a 2=12,a=2,则AB=BC=CA=22,NC=6.MC=362,则PM=332. 所以球心到截面ABC 距离为3-332=33. 答案:33二 备考感悟1.命题与备考本部分在高考中重点是以三视图为命题背景,研究空间几何体的结构特点,是每年必考内容,在备考中要注意三视图的画法原则及由三视图还原几何体的技巧运用,同时掌握与球有关的切、接问题. 2.小题快做判断三视图时,要注意三视图中实、虚线的运用三 热点考向突破考向一 空间几何体的三视图及应用该类问题有两种类型:一是由几何体确定三视图;二是由三视图还原成几何体.通常的解法是找准投影面及三个视图之间的关系,作出判断.【例1】 (2012年高考陕西卷)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的左视图为( )关注细节：判断三视图的形状时要选准投影面,并判断几何体关键点在投影面内的投影,再连接各投影点,形成视图形状.热点训练1:(2011年山东济南调研)如图所示,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且其体积为4π.则该几何体的俯视图可以是( )解析:若俯视图是A 选项,则其体积为1,故选项A 错误;若俯视图是B 选项,则其三个视图的尺寸存在矛盾,故选项B 错误;若俯视图是C 选项,则其体积应为21,故选项C 错误;当俯视图是D 选项时,该几何体是一个圆柱的41,其体积为4π,故选项D 正确.故选D.考向二 空间几何体的结构特征及应用在理解棱柱、棱锥、棱台的概念基础上,结合图形,正确运用平行、垂直的判定及性质定理进行判断,要注意结合图形或举例去分析. 【例2】 给出下列命题:①在正方体上任意选择4个不共面的顶点,它们可能是正四面体的4个顶点;②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;③若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;④一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直;⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直;⑥所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体.其中正确命题的序号是.解析:①正确,正四面体是每个面都是等边三角形的四面体,如正方体ABCD A 1B1C1D1中的四面体A CB1D1;②错误,如图所示,底面△ABC为等边三角形,可令AB=VB=VC=BC=AC,则△VBC为等边三角形,△VAB和△VCA均为等腰三角形,但不能判定其为正三棱锥;③错误,必须是相邻的两个侧面;④错误,如果有两条侧棱和底面垂直,则它们平行,不可能;⑤正确,当两个侧面的公共边垂直于底面时成立;⑥错误,当底面是菱形时,此说法不成立,所以应填①⑤.答案:①⑤关注细节：由空间几何体的结构特征判断几何体时,切忌只判断底面或侧面特征,忽视了另一方面,造成失误,要综合分析判断.热点训练2:以下命题中,说法正确的是.①底面是矩形的四棱柱是长方体;②直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥;③四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形.解析:命题①不是真命题,若侧棱不垂直于底面,这时四棱柱是斜四棱柱;命题②不是真命题,直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周形成的几何体叫做圆锥,如果绕着它的斜边旋转一周,形成的几何体则是两个具有共同底面的圆锥;命题③是真命题,如图所示,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,则可以得到四个侧面都是直角三角形.答案:③考向三空间几何体的表面积与体积与三视图相结合的空间几何体的表面积与体积求法:(1)由三视图还原几何体;(2)确定几何体的特性,几何体高即正视图或侧视图的高,底面的长与宽可由俯视图确定;(3)选择恰当方法计算表面积或体积.【例3】(2012年高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )(A)28+65(B)30+65(C)56+125(D)60+125解析:由几何体的三视图可知,该三棱锥的直观图如图所示,其中AE⊥平面BCD,CD⊥BD,且CD=4,BD=5,BE=2,ED=3,AE=4.∵AE=4,ED=3,∴AD=5.又CD⊥BD,CD⊥AE,则CD⊥平面ABD,故CD ⊥AD,所以AC=41且S △ACD =10. 在Rt △ABE 中,AE=4,BE=2,故AB=25.在Rt △BCD 中,BD=5,CD=4,故S △BCD =10,且BC=41. 在△ABD 中,AE=4,BD=5,故S △ABD =10. 在△ABC 中,AB=25,BC=AC=41, 则AB 边上的高h=6, 故S △ABC =21×25×6=65. 因此,该三棱锥的表面积为S=30+65.故选B.关注细节：(1)由三视图还原成几何体注意结合条件分析判断几何体的每一个面的形状.(2)计算时要注意三视图中标注的数值与空间几何体对应关系.(3)求不规则几何体的体积要有割补法处理问题的意识.求三棱锥体积时,可用不同顶点来表示几何体,由等积法,化难为易.热点训练3:(2012年河北模拟)如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图,且正视图、侧视图都是矩形,则该几何体的体积是( )(A)24 (B)12 (C)8 (D)4解析:依题意知,该几何体是一个长方体中挖去一个三棱柱后剩下的几何体, 因此其体积等于2×3×4-21×(2×3)×4=12,故选B. 2.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为12π+358,则正视图中x 的值为( )(A)5 (B)4 (C)3 (D)2解析:由空间几何体三视图知上部分为正四棱锥,下部分为圆柱.正四棱锥的高为2223 =5,底面正方形的边长为22;下部为圆柱,圆柱的高为x,底面圆的直径为4.V正四棱锥=31×(22)2×5=358,V 圆柱=π×22×x=4πx,依题意有358+4πx=12π+358,得x=3,故选C.【例2】 如图所示,某几何体的正视图、侧视图均为等腰三角形,俯视图是正方形,则该几何体的外接球的体积是 .解析:依题意得知,该几何体是一个正四棱锥,其中底面是边长为2的正方形、高是2,因此底面的中心到各顶点的距离都等于2,即该几何体的外接球球心为底面正方形的中心,外接球半径为2,故该几何体的外接球的体积等于34π×(2)3=328π.答案:328π第1讲 空间几何体【选题明细表】知识点、方法 题号 空间几何体的结构特征 3、5、12直观图 1 空间几何体的三视图 2、4、6、10面积和体积 4、7、8、10、11 与球有关的计算 9一、选择题1.利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形 ③正方形的直观图是正方形 ④菱形的直观图是菱形 以上结论正确的是( A )(A)仅①② (B)仅① (C)仅③④ (D)①②③④解析:由斜二测画法可知三角形得到的直观图仍是三角形,平行四边形得到的直观图仍是平行四边形,正方形得到的直观图是平行四边形,菱形无法得到菱形.故选A.2.(2012年青岛摸底测试)如图,在下列四个几何体中,其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( A )(A)②③④(B)①②③(C)①③④(D)①②④解析:①的三个视图都是边长为1的正方形;②的俯视图是圆,正视图、侧视图都是边长为1的正方形;③的俯视图是一个圆及其圆心,正视图、侧视图是相同的等腰三角形;④的俯视图是边长为1的正方形,正视图、侧视图是相同的矩形.故选A.3.过圆锥的高的中点作平行于底面的截面,它把圆锥分成两部分的侧面面积之比为( B )(A)1∶2 (B)1∶3 (C)2∶3 (D)1∶4解析:大圆锥被分成两部分的侧面积分别设为S1,S2,则S2=4S1-S1=3S1,∴S1∶S2=1∶3,故选B.4.(2012年山东济南模拟)用若干个大小相同,棱长为1的正方体摆成一个立体模型,其三视图如图所示,则此立体模型的表面积为( C )(A)24 (B)23 (C)22 (D)21解析:由几何体的三视图得其直观图如图.这个空间几何体是由两部分组成的,下半部分为四个小正方体、上半部分为一个小正方体,结合直观图可知,该立体模型的表面积为22.5.如图,不是正四面体的表面展开图的是( D )(A)①⑥ (B)②⑤ (C)③④ (D)④⑤解析:④⑤不能折成四面体.故选D.6.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是有一直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为( C )解析:由于空间几何体的正视图和侧视图高相等,故正视图的高一定是2,由于正视图和俯视图长相等,故正视图的底面边长为2,又根据侧视图可知这个空间几何体最前面的面垂直于底面,这个面遮住了后面的一个侧棱,综上可知,这个空间几何体的正视图可能是C. 故选C.7.如图,一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形,俯视图是一个半径为3的圆(包括圆心),则该组合体的表面积等于( C ) (A)15π (B)18π (C)21π (D)24π解析:由题意可知,该组合体的下面为圆柱体,上面为圆锥体,由相应几何体的面积计算公式得,该组合体的表面积为S=πr 2+2πrh+πrl=π(3)2+2π×(3)×23+π×(3)×23=21π.故选C.8.从棱长为3的正四面体的各顶点截去一个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面),所得几何体的表面积为( A ) (A)73 (B)63 (C)33 (D)93解析:原正四面体的表面积为4×439=93,每截去一个小正四面体,表面减少三个小正三角形,增加一个小正三角形,故表面积减少4×2×43=23,故所得几何体的表面积为73,故选A.9.(2012年河北唐山模拟)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为( B )(A)3π8 (B)3π16 (C)43 (D)23π解析:根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱锥D ABC,其中平面ADC ⊥平面ABC,△ADC 为等边三角形.取AC 的中点E,连接DE 、BE, 则有DE ⊥AC,所以DE ⊥平面ABC, 所以DE ⊥EB. 由题图中数据知 AE=EC=EB=1,DE=3, AD=22DE AE =2=DC=DB,AB=BC=2,AC=2.设此三棱锥的外接球的球心为O, 则它落在高线DE 上,连接OA,则有AO 2=AE 2+OE 2=1+OE 2, AO=DO=DE-OE=3-OE, 所以AO=32, 故球O 的半径为32, 故所求几何体的外接球的表面积S=4π(32)2=316π,故选B.二、填空题10.(2012年哈师大附中月考)如图是底面面积为3,体积为3的正三棱锥的正视图(等腰三角形)和俯视图(等边三角形),此正三棱锥的侧视图的面积为 .解析:如图所示为正三棱锥直观图,由题意知侧视图是一个三角形,其底边长就是正三棱锥的底面正三角形的高,高就是正三棱锥的高. 设正三棱锥底面边长为a,高为h, 则21a 2×23=3,331·h=3. ∴a=2,h=3. 则底面高为3.故侧视图的面积是21×3×3=233. 答案:23311.(2012年高考山东卷)如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E,F 分别为线段AA 1,B 1C 上的点,则三棱锥D 1-EDF 的体积为 . 解析:利用三棱锥的体积公式直接求解,D E D F ED F D V V 11--==DE D S 131∆·AB=31×21×1×1×1=61. 答案: 6112.如图,点O 为正方体ABCD-A'B'C'D'的中心,点E 为面B'BCC'的中心,点F 为B'C'的中点,则空间四边形D'OEF 在该正方体的各个面上的正投影可能是 (填出所有可能的序号).解析:空间四边形D'OEF在正方体的面DCC'D'及其对面ABB'A'上的正投影是①;在面BCC'B'及其对面ADD'A'上的正投影是②;在面ABCD及其对面A'B'C'D'上的正投影是③,即不存在④的情况,故填①②③.答案:①②③。

第二节空间点、直线、平面之间的位置关系课程标准1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义,了解四个基本事实和一个定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.考情分析考点考法:以空间几何体为载体,考查基本事实及其结论在判断位置关系、交线问题、求角中的应用.求异面直线所成的角是高考的热点,在各个题型中均有所体现.核心素养:直观想象、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.四个基本事实基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.符号:A,B,C三点不共线⇒存在唯一的α使A,B,C∈α.基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.符号:A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α.基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号:P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.符号:a∥b,b∥c⇒a∥c.2.基本事实的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.3.空间点、直线、平面之间的位置关系项目直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a ∥b a ∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a ∩b =A a ∩α=A α∩β=l 其他关系图形语言-符号语言a ,b 是异面直线a ⊂α-【微点拨】(1)直线在平面外分直线与平面平行和直线与平面相交两种情况.(2)两条直线没有公共点分直线与直线平行和直线与直线异面两种情况.4.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.5.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围:,【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号14231.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是()A.如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合B.经过两条相交直线,有且只有一个平面C.两两相交的三条直线共面D.若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线【解析】选ACD.A中的两个平面可能相交;B正确;C中的三条直线相交于一点时可能不共面;D中的两条直线可能是平行直线.2.(易错题)若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则()A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交【解析】选B.由题意知,直线l与平面α相交,则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项B是正确的.3.(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则()A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°【解析】选ABD.如图,连接AD1,在正方形A1ADD1中,AD1⊥DA1,因为AD1∥BC1,所以BC1⊥DA1,所以直线BC1与DA1所成的角为90°,故A正确.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BCC1B1,又BC1⊂平面BCC1B1,所以CD⊥BC1,连接B1C,则B1C⊥BC1,因为CD∩B1C=C,CD,B1C⊂平面DCB1A1,所以BC1⊥平面DCB1A1,又CA1⊂平面DCB1A1,所以BC1⊥CA1,所以直线BC1与CA1所成的角为90°,故B正确.连接A1C1,交B1D1于点O,则易得OC1⊥平面BB1D1D,连接OB,因为OB⊂平面BB1D1D,所以OC1⊥OB,∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为a,则易得BC1=2a,OC1=22,所以在Rt△BOC1中,OC1=12BC1,所以∠OBC1=30°,故C错误.因为C1C⊥平面ABCD,所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角,易得∠CBC1=45°,故D正确.4.(必修二P134例1变形式)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为菱形;(2)当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为正方形.【解析】(1)因为四边形EFGH为菱形,所以EF=EH,因为EF=12AC,EH=12BD,所以AC=BD.(2)因为四边形EFGH为正方形,所以EF=EH且EF⊥EH.因为EF∥AC,EH∥BD,且EF=12AC,EH=12BD,所以AC=BD且AC⊥BD.答案:(1)AC=BD(2)AC=BD且AC⊥BD【核心考点·分类突破】考点一空间位置关系的判断[例1](1)(多选题)下列选项正确的是()A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.过空间中任意三点有且仅有一个平面C.若空间两条直线不相交,则这两条直线平行D.若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l【解析】选AD.对于选项A,可设l1与l2相交,这两条直线确定的平面为α;若l3与l1相交于B,则交点B在平面α内,同理,l3与l2的交点A也在平面α内,所以AB⊂α,即l3⊂α,选项A正确.对于选项B,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个,选项B错误.对于选项C,空间中两条直线可能相交、平行或异面,选项C错误.对于选项D,若直线m⊥平面α,则m垂直于平面α内所有直线.因为直线l⊂平面α,所以直线m⊥直线l,选项D正确.(2)如图,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________.(填序号)【解析】题图①中,直线GH∥MN;题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;题图③中,连接MG,则GM∥HN,因此GH与MN共面;题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面,所以题图②④中GH 与MN异面.答案:②④【解题技法】1.点、线共面的判断方法(1)纳入平面法:要证明“点共面”或“线共面”,可先由部分点或直线确定一个平面,再证其余点或直线也在这个平面内.(2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.(3)证明四点共面常通过证明四点组成的四边形为平行四边形或梯形来解决. 2.两直线位置关系的判断【微提醒】平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线.【对点训练】1.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行【解析】选C.由题意易知,c与a,b都可相交,也可只与其中一条相交,故A,B均错误;若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,根据基本事实4,知a∥b,与a,b为异面直线矛盾,D错误.2.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线.上述命题中错误的是__________(写出所有错误命题的序号).【解析】由基本事实4知①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行或异面,故②错误;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③错误;a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b不同在任何一个平面内,故④错误.答案:②③④考点二基本事实及其应用[例2]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和C1D1的中点.求证:(1)E,F,D,B四点共面;(2)BE,DF,CC1三线共点.【证明】(1)如图,连接EF,BD,B1D1,因为EF是△B1C1D1的中位线,所以EF∥B1D1,因为BB1与DD1平行且相等,所以四边形BDD1B1是平行四边形,所以BD∥B1D1,所以EF∥BD,所以E,F,D,B四点共面;(2)因为EF∥BD,且EF≠BD,所以直线BE和DF相交,延长BE,DF,设它们相交于点P,因为P∈直线BE,直线BE⊂平面BB1C1C,所以P∈平面BB1C1C,因为P∈直线DF,直线DF⊂平面CDD1C1,所以P∈平面CDD1C1,因为平面BB1C1C∩平面CDD1C1=CC1,所以P∈CC1,所以BE,DF,CC1三线共点.【解题技法】1.证明空间点共线问题的方法(1)一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本事实3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.2.共面、共点问题(1)先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;(2)利用确定平面的定理,如由点构造平行直线、构造相交直线等.【对点训练】1.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必经过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M【解析】选D.因为AB⊂γ,M∈AB,所以M∈γ.又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.根据基本事实3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.所以γ与β的交线必经过点C和点M.2.已知空间四边形ABCD(如图所示),E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD 上的点,且CG=13BC,CH=13DC.求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)三直线FH,EG,AC共点.【证明】(1)连接EF,GH,因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD.又因为CG=13BC,CH=13DC,所以GH∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面.(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,所以设FH∩AC=M,所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.又因为平面EFHG∩平面ABC=EG,所以M∈EG,所以FH,EG,AC共点.考点三异面直线所成的角[例3](1)如图所示,圆柱O1O2的底面半径为1,高为2,AB是一条母线,BD是圆O1的直径,C是上底面圆周上一点,∠CBD=30°,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A.33535B.43535C.3714D.277【解析】选C.连接AO2,设AO2的延长线交下底面圆周上的点为E,连接CE,易知∠CAE(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角,连接CD(图略),在Rt△BCD 中,∠BCD=90°,BD=2,∠CBD=30°,得BC=3,CD=1.又AB=DE=AE=BD=2,AC=B2+B2=7,CE=B2+B2=5,所以在△CAE中,cos∠CAE=B2+B2-B22B·B==3714,即异面直线AC与BD所成角的余弦值为3714.(2)(2023·武汉模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=AA1,D,E分别为AC,BC的中点,则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为()A .33B .55C .1010D .3010【解析】选D .设AB =2,取A 1B 1的中点F ,连接C 1F ,DF ,DE ,则B 1F =12A 1B 1,因为D ,E 分别为AC ,BC 的中点,所以DE ∥AB ,DE =12AB ,因为A 1B 1∥AB ,A 1B 1=AB ,所以DE ∥B 1F ,B 1F =DE ,所以四边形DEB 1F 为平行四边形,所以DF ∥B 1E ,所以∠C 1DF 为异面直线C 1D 与B 1E 所成的角或补角.因为AB ⊥BC ,AB =BC =AA 1=2,D ,E 分别为AC ,BC 的中点,所以DF =B 1E =12+22=5,C 1F =12+22=5,C 1D =(2)2+22=6,所以cos ∠C 1DF =121D ==3010.【解题技法】求异面直线所成角的方法(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.(2)求异面直线所成角的三步:一作、二证、三求.①一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;②二证:证明作出的角是异面直线所成的角;③三求:解三角形,求出所作的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.【对点训练】1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为()A.π2B.π3C.π4D.π6【解析】选D.如图,连接A1C1,BC1,因为AD1∥BC1,所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体的棱长为2,则PB=6,PC1=2,BC1=22,则PB2+P12=B12,在Rt△PBC1中,因为sin∠PBC1=B1B1=2=12,所以直线PB与AD1所成的角为π6.2.如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD, SO=OB=3,SE=14SB,则异面直线SC与OE所成角的正切值为()A .222B .53C .1316D .113【解析】选D .如图,过点S 作SF ∥OE ,交AB 于点F ,连接CF ,则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角.因为SE =14SB ,所以SE =13BE.又OB =3,所以OF =13OB =1.因为SO ⊥OC ,SO =OC =3,所以SC =32.因为SO ⊥OF ,所以SF =B 2+D 2=10.因为OC ⊥OF ,所以CF =10.所以在等腰△SCF 中,tan ∠CSF =113.即异面直线SC 与OE 所成角的正切值为113.【加练备选】平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD =m ,α∩平面ABB 1A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为()A .32B .22C .33D .13【解析】选A .如图所示,过点A 补作一个与正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体,易知平面α为平面AF 1E ,则m ,n 所成的角为∠EAF 1.因为△AF 1E 为正三角形,所以sin ∠EAF 1=sin 60°=32.。

第一章空间几何体复习一：教学目标1、熟悉简单空间几何体及简单组合体的结构特征，2、能画出简单空间几何体（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，并能识别上述三视图表示的立体模型。

3、了解简单空间几何体的表面积和体积的计算公式。

二：教学重难点教学重点：熟悉简单几何体及简单组合体的结构特征，并会画出它们的三视图。

教学难点：区别各种几何体结构特征的异同，并能与实际生活中相联系。

三：基础知识（一）空间几何体的结构结构特征结构特征图例棱柱（1）两底面相互平行，其余各面都是四边形；（2）并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行.圆柱（1）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体,圆柱.棱锥（1）底面是多边形，各侧面均是三角形；（2）各侧面有一个公共顶点.圆锥（1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.圆锥棱台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分.棱台圆台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分.圆台球（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.球O.知识拓展1.特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；侧棱垂直于底面的平行六面体叫做直平行六面体；底面是矩形的直平行六面体叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体，其中长方体对角线的平方等于同一顶点上三条棱的平方和.2.特殊的棱锥：如果棱锥的底面为正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥，正棱锥各侧面底边上的高均相等，叫做正棱锥的斜高；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体.3.特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形，正棱台各侧面等腰梯形的高称为正棱台的斜高.4.球心与球的截面圆心的连线垂直于截面.5.规定：在多面体中，不在同一面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线，不在同一面上的两条侧棱称为多面体的不相邻侧棱，侧棱和底面多边形的边统称为棱.（二）空间几何体的三视图和直观图1、中心投影与平行投影中心投影：把光由一点向外散射形成的投影。

第一章：空间几何体1.1空间几何体的结构一、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括及判断组合体是由哪些简单几何体构成的。

二、教学过程（一）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。

相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

（二）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。

这节课我们主要学习多面体——柱、锥的结构特征。

1. 棱柱的结构特征：请同学们仔细观察下列几何体，说说他们的共同特点．（师生共同讨论，总结出棱柱的定义及其相关概念）（1）定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

（2）棱柱的有关概念：（出示下图模型，边对照模型边介绍）棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

（3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

（4）棱柱的表示用底面各顶点的字母表示，如上图的六棱柱可表示为“棱柱ABCDEF—A'B'C'D'E'F'”思考：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？答：不是棱柱。

可举反例。

如右图几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱。

2．棱锥的结构特征：请同学们仔细观察下列几何体，说说他们的共同特点．（师生共同讨论，总结出棱锥的定义及其相关概念）（1）定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

（2）棱锥的有关概念：（出示下图模型，边对照模型边介绍）棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

高考数学立体几何备考复习教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握立体几何的基本概念、性质和定理，提高空间想象能力。

2. 过程与方法：通过复习，使学生掌握立体几何的解题方法，提高解题能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习立体几何的兴趣，培养学生的创新意识。

二、教学内容1. 立体几何的基本概念：点、线、面的位置关系，空间向量。

2. 立体几何的性质：平行公理，空间向量的运算律。

3. 立体几何的定理：平行线、异面直线、线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质。

4. 立体几何的计算：体积、表面积、角、距离的计算。

5. 立体几何的综合应用：空间几何体的结构特征，几何体的运动变化。

三、教学重点与难点1. 教学重点：立体几何的基本概念、性质和定理，立体几何的计算方法。

2. 教学难点：立体几何的综合应用，空间想象能力的培养。

四、教学方法1. 采用讲解、示范、练习、讨论、探索相结合的方法，引导学生掌握立体几何的基本概念、性质和定理。

2. 通过案例分析、几何画板演示等手段，培养学生的空间想象能力。

3. 组织学生进行合作学习，提高学生的解题能力。

五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 练习与作业：检查学生完成的练习和作业，评估学生的掌握程度。

3. 考试成绩：定期进行立体几何的测试，分析学生的成绩，了解学生的学习效果。

教案第一课时：立体几何的基本概念1. 教师讲解立体几何的基本概念，如点、线、面的位置关系，空间向量。

2. 学生通过案例分析，理解并掌握基本概念。

第二课时：立体几何的性质1. 教师讲解立体几何的性质，如平行公理，空间向量的运算律。

2. 学生通过几何画板演示，直观地理解立体几何的性质。

第三课时：立体几何的定理1. 教师讲解立体几何的定理，如平行线、异面直线、线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质。

2. 学生通过案例分析，掌握立体几何的定理。