第二章几个重要的不等式 (2)

§2排序不等式 [对应学生用书P39] [自主学习] 1．顺序和、乱序和、逆序和的概念 设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn，bj1，bj2，…，bjn(其中j1，j2，…，jn是1,2，…，n的任一排列方式)，为b1，b2，…，bn的任一排列方式． 则s1＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn称为顺序和； s2＝a1bj1＋a2bj2＋…＋anbjn称为乱序和； s3＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1称为逆序(倒序)和． 2．排序不等式 (1)定理1：设a，b和c，d都是实数，如果a≥b，c≥d，那么ac＋bd≥ad＋bc. 此式当且仅当a＝b(或c＝d)时取“＝”号． (2)定理2：(排序不等式)设有两个有序实数组 a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn. 则(顺序和)a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥(乱序和)a1bj1＋a2bj2＋…＋anbjn≥(逆序和)a1bn＋a2bn

－1＋…＋anb1.

其中j1，j2，…，jn是1,2，…，n的任一排列方式，上式当且仅当a1＝a2＝…＝an(或b1

＝b2＝…＝bn)时取“＝”号．

[合作探究] 1．定理2中哪个和最大？哪个和最小？ 提示：顺序和最大，逆序和最小． 2．设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么，它们的顺序和、乱序和、逆序和大小关系如何？ 提示：a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn.

[对应学生用书P39] 利用排序不等式证明所证不等式中所给字母的大小顺序已确定的情况

[例1] 已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证： (1)1bc≥1ca≥1ab； (2)a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥1a＋1b＋1c. [思路点拨] 本题考查排序不等式及不等式的性质、证明不等式等基本知识，考查推理论证能力．解答此题只需根据a≥b≥c，直接构造两个数组，利用排序不等式证明即可． [精解详析] (1)∵a≥b>0，于是1a≤1b，又c>0，

∴1c>0，从而1bc≥1ca. 同理，∵b≥c>0，于是1b≤1c， ∵a>0，∴1a>0，于是得1ca≥1ab.从而1bc≥1ca≥1ab. (2)由(1)1bc≥1ca≥1ab，于是由“顺序和≥乱序和”得， a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥b5b3c3＋c5c3a3＋a5a3b3

＝b2c3＋c2a3＋a2b3(∵a2≥b2≥c2，1c3≥1b3≥1a3)≥ c2c3＋a2a3＋b2b3＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c.

利用排序不等式证明所证不等式中所给字母的大小顺序已确定的情况，关键是根据所给字母的大小顺序构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组．

1．设0列，证明： a1b1a2b2…anbn≥a1c1a2c2…ancn≥a1bna2bn－1…anb1. 证明：因为0所以ln a1≤ln a2≤…≤ln an. 又因为0≤b1≤b2≤…≤bn；故由排序不等式得： b1ln a1＋b2ln a2＋…＋bnln an≥c1ln a1＋c2ln a2＋…＋cnln an≥bnln a1＋bn－1ln a2＋…＋b1ln an 于是得：ln(a1b1a2b2…anbn)≥ln(a1c1a2c2…ancn)≥ln(a1bna2bn－1…anb1)． 又f(x)＝ln x在(0，＋∞)为单调增函数， 于是a1b1a2b2…anbn≥a1c1a2c2…ancn≥a1bna2bn－1…anb1. 需对所证不等式中所给的字母顺序作出假设的情况 [例2] 已知a，b，c∈R＋.求证：

a＋b＋c≤a2＋b22c＋b2＋c22a＋c2＋a22b≤a3bc＋b3ca＋c3ab. [思路点拨] 解答此题需要假设a≥b≥c推出a2≥b2≥c2

，1c≥1b≥1a，再利用排序不等式

进行论证． [精解详析] 不妨设a≥b≥c，

则a2≥b2≥c2，1c≥1b≥1a. 故由排序不等式，得 a2·1c＋b2·1a＋c2·1b≥a2·1a＋b2·1b＋c2·1c，①

a2·1b＋b2·1c＋c2·1a≥a2·1a＋b2·1b＋c2·1c，② (①＋②)÷2可得a2＋b22c＋b2＋c22a＋c2＋a22b≥a＋b＋c. 又∵a3≥b3≥c3且1bc≥1ac≥1ab， 由排序不等式，得 a3·1bc＋b3·1ca＋c3·1ab≥a3·1ac＋b3·1ab＋c3·1bc，③

a3·1bc＋b3·1ca＋c3·1ab≥a3·1ab＋b3·1bc＋c3·1ca，④ (③＋④)÷2可得 a3bc＋b3ca＋c3ab≥a2＋b22c＋b2＋c22a＋c2＋a22b.

综上可知， a＋b＋c≤a2＋b22c＋b2＋c22a＋c2＋a22b≤a3bc＋b3ca＋c3ab.

在利用排序不等式证明所证不等式中所给字母没有限定大小顺序时，要使用排序不等式，先要根据所给字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系，方可应用排序不等式求证．

2．已知a，b，c∈R＋.求证： 2a2b＋c＋b2a＋c＋c2a＋b≥b2＋c2b＋c＋a2＋c2a＋c＋a2＋b2a＋b. 证明：由对称性，不妨设a≥b≥c>0， ∴a＋b≥a＋c≥b＋c.

∴a2≥b2≥c2，1b＋c≥1a＋c≥1a＋b. 由排序不等式得： a2b＋c＋b2a＋c＋c2a＋b≥c2b＋c＋a2a＋c＋b2a＋b，

a2b＋c＋b2a＋c＋c2a＋b≥b2b＋c＋c2a＋c＋a2a＋b.

两式相加得： 2a2b＋c＋b2a＋c＋c2a＋b≥b2＋c2b＋c＋a2＋c2a＋c＋a2＋b2a＋b. 3．设a1，a2，…，an是1,2，…，n的一个排列， 求证：12＋23＋…＋n－1n≤a1a2＋a2a3＋…＋an－1an. 证明：设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排列， 且b1

则1c1>1c2>…>1cn－1且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n.

利用排序不等式，有a1a2＋a2a3＋…＋an－1an≥b1c1＋b2c2＋…＋bn－1cn－1≥12＋23＋…＋n－1n. ∴原不等式成立．

本课时考点常以解答题的形式考查排序不等式在证明不等式中的应用． [考题印证]

设a1，a2，…，an为正数，求证： a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2n

a1

≥a1＋a2＋…＋an.

[命题立意] 本题考查排序不等式及不等式的性质，证明不等式等基础知识，考查推理论证及求解能力． [自主尝试]

由所证不等式的对称性，不妨设0∴a21≤a22≤…≤a2n，1a1≥1a2≥…≥1an. 1a2，1a3，…，1an，1a1为1a1，1a2，…，1an

的一个排序， 由“乱序和≥逆序和”得a21·1a2＋a22·1a3＋…＋a2n－1·1an＋a2n·1a1≥a21·1a1＋a22·1a2＋…＋a2n·1an， 即a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1≥a1＋a2＋…＋an.

[对应学生用书P41] 一、选择题 1．设a1，a2，…，an都是正数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，P＝a21b－11

＋a22b－12＋…＋a2nb－1n，Q＝a1＋a2＋…＋an，则P与Q的大小关系是( )

A．P＝Q B．P＞Q C．P＜Q D．P≥Q 解析：设a1≥a2≥…≥an＞0， 可知a21≥a22≥…≥a2n，a－1n≥a－1n－1≥…≥a－11. 由排序不等式，得 a21b－11＋a22b－12＋…＋a2nb－1n≥a21a－11＋a22a－12＋a2na－1n， 即a21b－11＋a22b－12＋…＋a2nb－1n≥a1＋a2＋…＋an. ∴P≥Q，当且仅当a1＝a2＝…＝an＞0时等号成立． 答案：D

2．设a，b，c都是正数，M＝bca＋cab＋abc，N＝a＋b＋c，则M，N的大小关系是( ) A．M≥N B．M＜N C．M＝N D．M≤N 解析：由题意不妨设a≥b≥c＞0，

则ab≥ac≥bc，1c≥1b≥1a. 由排序不等式，知 ab·1c＋ac·1b＋bc·1a≥ab·1b＋ac·1a＋bc·1c，即M≥N.当且仅当a＝b＝c时等号成立． 答案：A 3．已知a，b，c都是正数，则a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小关系是( ) A．a3＋b3＋c3＞a2b＋b2c＋c2a B．a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a C．a3＋b3＋c3＜a2b＋b2c＋c2a D．a3＋b3＋c3≤a2b＋b2c＋c2a 解析：根据排序不等式，取两组数a，b，c和a2，b2，c2.不妨设a≥b≥c，所以a2≥b2≥c2.所以a2·a＋b2·b＋c2·c≥a2b＋b2c＋c2a.当且仅当a＝b＝c时取“＝”号．