2.1.1指数与指数幂的运算(三)

1 人教版高中数学必修一第二章知识点汇总

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

①如果,,,1nxaaRxRn，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．

①式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a．

①根式的性质：()nnaa；当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时， (0)|| (0) nnaaaaaa．

（2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmnaaamnN且1)n．0的正分数指数幂等于0．

①正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mmmnnnaamnNaa且1)n．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

（3）分数指数幂的运算性质

①(0,,)rsrsaaaarsR ①()(0,,)rsrsaaarsR

①()(0,0,)rrrabababrR

【2.1.2】指数函数及其性质

（4）指数函数

2 函数名称 指数函数

定义 函数(0xyaa且1)a叫做指数函数

图象 1a 01a

定义域 R

值域 (0,)

过定点 图象过定点(0,1)，即当0x时，1y．

奇偶性 非奇非偶

单调性 在R上是增函数 在R上是减函数

函数值的

变化情况 1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax 1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax

a变化对 图象的影响 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．

第二章 基本初等函数（Ⅰ）

2.1 指数函数

§2.1.1 指数与指数幂的运算

【课标解读】

1．理解n次方根和根式的概念；

2．理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；

3．学习重点：理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算；

4．学习难点：理解根式根式的概念，掌握根式与分数指数幂之间的转化．

【自学导引】

1．若nn33 ，则n的取值集合是 .

【答案】{|21,}nnkk

2．下列说法正确的是（ ）

（A）64的6次方根是2

（B）664的运算结果是2

（C）1n且n时，aann)(对于任意实数a都成立

（D）1n且n时，式子nna对于任意实数a都有意义

【答案】D

3．设annm,1,,是正实数，则下列各式中正确的有（ ）

①nmnmaa； ②10a； ③1mnnmaa．

（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个

【答案】A

4．计算：1140443251(3)(0.008)()0.25()32

【答案】

5．无理指数幂的含义：如32，它是一个确定的实数，可以看成由以3的一串不足近似值和相应的一串过剩近似值为指数的有理数幂的值 的结果.

【答案】逼近

【典例精析】

【例1】求使等式3)3()9)(3(2aaaa成立的实数a的范围.

【答案】{|33}aa

【例2】已知13xx，求下列各式的值：

（1）1122xx； 【答案】5

（2）22xx； 【答案】7

（3）22xx； 【答案】35

（4）33xx. 【答案】5

【例3】化简：223410623.

【自主反馈】

1．（原创题）下列各式正确的是（ ）

2.1指数函数

2.1.1指数与指数幂的运算(1)

（I）复习回顾

引例：填空

（1）*)nnaaaanN个（；a0= （a)0；__＝na)Nn,0a(*

(2) aman=____ (m,n∈Z)；(am)n=___(m,n∈Z)； (ab)n=___(n∈Z)

（3）___9； -_____9； ______0

（4）)0a_____()a(2； ________a2 (1)(2)复习整数指数幂的概念和运算性质；

(3)(4)复习平方根的概念

（II）讲授新课

22=4 ，（-2）2=4  2，-2叫4的平方根

23=8  2叫8的立方根； （-2）3=-8-2叫-8的立方根

25=32  2叫32的5次方根 …

2n=a 2叫a的n次方根

1.n次方根的定义：（板书）

一般地，如果nxa，那么x叫做a的n次方根（n th root）,其中1n，且nN。

问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？nax是否正确？

分析过程：

例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a6的3次方根。（要求完整地叙述求解过程）

结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为nax。

从而有：3273，2325，236aa

例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。

结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：)0a(an

其中na表示a的正的n次方根，na表示a的负的n次方根。

例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。 结论3：0的n次方根是0，记作nna,00即当a=0时也有意义。

2.1.1有理指数幂及其运算

【课题】有理指数幂及其运算

【教学目标】：

（1）能用数学符号正确表示分数指数幂的意义;

（2）明确分数指数幂的引入使指数概念由整数指数扩充到有理指数;

（3）能用数学符号正确表示有理指数幂的三条运算性质;

（4）能根据幂的运算性质熟练地进行分数指数幂和根式的运算.

（5）培养学生猜想归纳的能力和转化能力.

【教学重点】分数指数幂和根式的运算和应用

【教学难点】分数指数幂的意义【教学过程设计】

教学环

节教学活动设计意图

一、教学

概念引

入1、练习 猜想 归纳（负整数指数幂）

练习 ________)(5

ab________)(32

a

_______

35



aa

猜想 1)_________

53



aa

2）与有何关系? =________ 与呢？2

a2

a2

an

an

a

归纳 1)=_________n

a

)0(a

2)=_________0

a)0(a

2、观察 归纳（分数指数幂）

观察：假如我们规定: 21

aa)0(a

31

3aa

那么你能够把下列的根式可表为:

________n

a)0(a

________54

________53



________)5(4

4

________)5(44



________)5(3

3

________)5(33



猜想归纳:通过练习

猜想,归纳，

帮助学生

梳理知识，

构建知识

体系.

________)(n

na





________________________

_______nn

a

________nm

a)0(a

3、总结（有理数指数幂及其运算律）

指数有理指数幂意义(a的取值)运算律

正整数



ann

aaaa

个

负整数

n

a)0___(a

奇次根

式 

na1

偶次根

式 

na1

)0___(a

正有理

数 

nm

a)0(a

负有理

数 

nm

a_

)0___(a1)

2)

3)

二、例题

讲解

例题1 用分数指数幂表示下列各式

1) ____1

3

a

2) __________322