第三章 导数与微分
习题一 导数的定义
一、1、由导数定义得：
2)2(lim )(2lim )
41(4)1(lim
)1()1(lim lim )1(02
022000'
=∆+=∆∆+∆=∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆→∆→∆x x
x x x
x x y x y x y y x x x x x
2、由导数定义得：
4
3
243lim 2
3
23lim )
2()2(lim lim )2(0000'-=∆+-=∆-
∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆→∆x x
x x y x y x y y x x x x 二、（1）求增量：因为b ax x f y +==)( b x x a x x f +∆+=∆+)()(
所以x a b ax b x x a x f x x f y ∆=+-+∆+=-∆+=∆)()()()(
（2）算比值：
a x x
a x y =∆∆=∆∆ （3）取极限：a a x y
dx dy x x ==∆∆=→∆→∆0
0lim lim
三、0)1sin (lim 0
1sin lim 0)0()(lim )0(0200'==-=--=→→→x
x x x x x f x f f x x x 四、011lim )0()0(lim lim )0(000'
=∆-=∆-∆+=∆∆=---→∆→∆→∆-x
x f x f x y f x x x
11
)1(lim )0()0(lim lim )0(000'=∆-+∆=∆-∆+=∆∆=+++→∆→∆→∆+x
x x f x f x y f x x x
因为)0()0('
'+-≠f f ，所以函数)(x f 在0=x 处的导数不存在。 五、设所求点的坐标为),(00y x ，则抛物线2
x y =在该点的切线的斜率为：
0'22|2|)(00x x x k x x x x =====
又过该点的切线平行于所给直线，因此两直线的斜率相等， 所以有：220==x k ，解得10=x
又因为所求点在抛物线上，因而有：12
00==x y 所以，所求抛物线上的一点为)1,1(
习题二 导数的四则运算
一、填空题： 1、1
.21.3x
； 2、 1
-μμx
； 3、x e ； 4、3ln 3x
； 5、x cos 2；
6、x sin -；
7、x 2
sec ； 8、x 2
csc -； 9、x 1； 10、10
ln 1x ； 11、
2
11x -； 12、2
11x --
； 13、
211x +； 14、2
11x
+- 二、求下列函数的导数：
1、2
ln 3
58)(log 3)()8log 3(4
''2'5'25'x x x x x x y +
=++=++= 2、x e x e x e x e x e y x
x
x
x x
cos sin )(sin sin )()sin ('
'
'
'
+=+==
3、32
23
'31
21
'32'
3
51)52()52(
-
--+-=++=⋅++=x x x x x x x x x x y 4、x
x x x x x x x x x
x x y 2
2'
2
'
cos sin ln )1(cos )1
ln 2(]cos ln )1([
++++
=
+= 5、2
2
'
'
'
'
11sec 3)(arccos )(tan 3)arccos tan 3(x
x x x x x y --
=+=+=
6、2
2
'
2
'
2'
2
'
1arctan 2)(arctan arctan )()arctan (x x x x x x x x x x y ++=+==
三、设x x
x f y sin )(4
.0==，按要求完成下列问题：
1、 连续区间为),(+∞-∞
2、
x x x x x x x x x x dx
dy
cos sin 4.0)(sin sin )()sin (4.06.0'4.0'4.0'4.0+=+==- 3、 0sin lim )0()0(lim lim
)0(4.0000'
=∆∆∆=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆x
x x x f x f x y f x x x 4、 x x x x
x f cos sin 4.0)(4.06
.0'
+=-
习题三 复合函数求导
一、填空题： 1、
x
5 ； 2、 x x ,sin ； 3、)(x ϕ； 4、x sin ； 5、)(x e ϕ； 二、求下列函数的导数： 1、
2
2
2
2
2
2
'
222'2'22'cos sin 2sin 2sin 2cos sin sin cos sin 2)(sin sin sin )(sin )sin (sin x x x x x x x x x x x x x x x x x y +=⋅+=+== 2、
'2sin 2sin ''2sin ')(1
tan )1(tan )1(tan x x x e x
e x e x y +==
x e x e x
x x x 2cos 21tan )1(1sec 2sin 2sin 22⋅+-⋅= )1sec 11tan 2cos 2(222sin x
x x x e x
-=
3、101
99
299'99'
)
1()1(200)1(11)11(100)11()11(100x x x x x x x x x x x y -+=-++-⋅-+=-+⋅-+= 4、)1sin 1(cos )1
1sin 1(cos )1
cos (1cos
21cos
'1cos
'x
x x
e
x
x x x e
x
x e y x
x x x x
x +
=⋅+=⋅=
5、x
x x x x x x y 3cos 3sin 31)3cos (3cos 1''
-+=
-⋅-= 6、
)
ln(ln ln 21
211ln )ln(ln 1
)(ln ln 1
)ln(ln 1
))(ln(ln )
ln(ln 1'
''x x x x x x x x x
x x x y =⋅⋅=⋅⋅
=
⋅=
三、
ωϕωϕωϕω⋅++=+==)cos()sin(2)]([sin )()('
2
'
t t t t s t v
)22sin(ϕωω+=t
)
22cos(22)22(cos )]22sin([)()(2
''ϕωωω
ϕωωϕωω+=⋅+=+==t t x t t v t a
四、'
)('
])([x f x
e e
f y =
')()('])[()]([x f x x f x e e f e e f +=
