第10讲 函数的图像(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义

第 1 页 / 共 3 页 第10讲：函数的图像

一、课程标准

1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数.

2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题.

二、基础知识回顾

1.利用描点法作函数的图象

步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

(2)对称变换

y＝f(x)的图象――――――→关于x轴对称y＝－f(x)的图象；

y＝f(x)的图象――――――――→关于y轴对称y＝f(－x)的图象；

y＝f(x)的图象――――――――→关于原点对称y＝－f(－x)的图象；

y＝ax(a>0，且a≠1)的图象――――――――――→关于直线y＝x对称y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.

(3)伸缩变换

y＝f(x)―――――――――――――――――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a>0）倍y＝f(ax).

y＝f(x)―――――――――――――――――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A(A>0)倍y＝Af(x).

(4)翻折变换

y＝f(x)的图象―――――――――――――――――→x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y＝|f(x)|的图象；

第 1 页 / 共 3 页 y＝f(x)的图象―――――――――――――――――→y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变y＝f(|x|)的图象.

[常用结论与微点提醒]

1.记住几个重要结论

(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.

(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.

(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x．而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.

3.图象的上下平移仅仅是相对于．．．y．而言的，利用“上减下加”进行.

三、自主热身、归纳总结

1、函数的部分图像大致为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵，

当时，，∴，则B，C不正确；

当时，，∴，则D不正确；

综上可得选项为A.

2、.(2020·深圳调研)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )

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【答案】 C

【解析】 由函数f(x)的图象知a>1，－1

∴g(x)＝ax＋b在R上是增函数，且g(0)＝1＋b>0.

因此选项C满足要求.

3、已知函数f(x)＝logax(0＜a＜1)，则函数y＝f(|x|＋1)的图像大致为(A )

A BC D

【答案】A

【解析】 先作出函数f(x)＝logax(0＜a＜1)的图像，当x>0时，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)，其图像由函数f(x)的图像向左平移1个单位得到，又函数y＝f(|x|＋1)为偶函数，∴再将函数y＝f(x＋1)(x>0)的图像关于y轴对称翻折到y轴左边，得到x＜0时的图像．故选A.

4、定义：在平面直角坐标系xOy中，若存在常数(0)，使得函数()yfx的图象向右平移个单位长度后，恰与函数()ygx的图象重合，则称函数()yfx是函数()ygx的“原形函数”．下列四个选项中，函数()yfx是函数()ygx的“原形函数”的是( )

A．f 2()xx，2()21gxxx

B．f ()sinx x，()cosgx x

C．f ()xln x，()gxln 2x

D．f 1()()3xx，1()2()3xgx

【答案】ABD

【解析】由2()fxx，2()(1)gxx知，()fx向右移动一个单位可得到()gx，故选项A正确；

由3()sin,()cossin()2fxxgxxx知，()fx向右移动32个单位可得到()gx，故选项B正确；

第 1 页 / 共 3 页 由1(),()()22fxlnxgxlnxlnxln知，()fx项下移动2ln个单位可得到()gx，故选项C不正确；

由31321211()()11133()(),()2()()13331()23xxxlogxxlogfxgx知，()fx向右移动3log2个单位可得到()gx，故选项D正确；

故选：ABD．

5、.已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0

【答案】9

【解析】如图，作出函数f(x)＝|log3x|的图象，观察可知0

若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，

从图象分析应有f(m2)＝2，

∴log3m2＝－2，∴m2＝19.

从而m＝13，n＝3，故nm＝9.

6、(一题两空)(2019·吉林调研改编)设函数f(x)＝ln x，x≥1，1－x，x＜1，则f(f(0))＝________，若f(m)＞1，则实数m的取值范围是________．

【答案】0 (－∞，0)∪(e，＋∞)

【解析】f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0.如图所示，可得f(x)＝ln x，x≥1，1－x，x＜1的图象与直线y＝1的交点分别为(0，1)，(e，1)．若f(m)＞1，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞)．

7、已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a＞0.

第 1 页 / 共 3 页 (1)作出函数f(x)的图象；

(2)写出函数f(x)的单调区间；

(3)当x∈[0，1]时，由图象写出f(x)的最小值．

【解析】 (1)f(x)＝x（x－a），x≥0，－x（x－a），x＜0，其图象如图所示．

(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，a2，＋∞；单调递减区间是0，a2.

(3)由图象知，当a2＞1，即a＞2时，f(x)min＝f(1)＝1－a；

当0＜a2≤1，即0＜a≤2时，f(x)min＝fa2＝－a24.

综上，f(x)min＝－a24，0＜a≤2，1－a，a＞2.

四、例题选讲

考点一 作函数的图像

例1、作出下列函数的图象：

(1)(1)y＝2－2x；

(2)y＝log13 [3(x＋2)]；

(3)y＝|log12(－x)|.

思路点拨：搞清各个函数与基本函数之间的关系，然后用图象变换法画函数图象．

解析：(1)作函数y＝2x的图象关于x轴对称的图象得到y＝－2x的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y＝2－2x的图象．如图1；

(2)因为y＝log13[3(x＋2)]＝－log3[3(x＋2)]＝－log3(x＋2)－1.

所以可以先将函数y＝log3x的图象向左平移2个单位，可得y＝log3(x＋2)的图象，再作图象关于x轴对称的

第 1 页 / 共 3 页 图象，得y＝－log3(x＋2)的图象，最后将图象向下平移1个单位，得y＝－log3(x＋2)－1的图象，

即为y＝log13[3(x＋2)]的图象．如图2；

(3)作y＝log12x的图象关于y轴对称的图象，得y＝log12(－x)的图象，再把x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得到

y＝|log12(－x)|的图象．如图3.

变式、作出下列函数的图像：

(1)y＝12x； (2)y＝|log2(x＋1)|；

(3)y＝2x－1x－1； (4)y＝x2－2|x|－1.

【解】 (1)作出y＝12x的图像，保留y＝的图像中x≥0的部分，加上y＝的图像中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图像，如图①实线部分．

①②

(2)将函数y＝log2x的图像向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即得函数y＝|log2(x＋1)|的图像，如图②. 12x12x12x

第 1 页 / 共 3 页 (3)∵y＝2x－1x－1＝2＋1x－1，故函数图像可由y＝1x的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图③.

(4)∵y＝22x21,021,0xxxxx≥，＜，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，如图④.

③ ④

方法总结：1.作函数图象的一般步骤为：

(1)确定函数的定义域．

(2)化简函数解析式．

(3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如极值点、与坐标轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等)．

(4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象．

2．采用图象变换法时，变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点，以显示图象的主要特征，处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到所要的函数图象．

考点二 图像的辨识

例2、函数y＝2x－x2的图像大致是____．

① ②③ ④

(2)已知函数y＝f(1－x)的图像如图所示，则y＝|f(x＋2)|的图像是( )