初中数学函数图像五种题型

初中数学专题复习（函数图像变换）一．一次函数的图像变换1．（2020•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y＝﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（）A．B．C．D．解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，∴∠QPM+∠NPQ′＝∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM＝∠PQ′N在△PQM和△Q′PN中，∴△PQM≌△Q′PN（AAS），∴PN＝QM，Q′N＝PM，设Q（m，﹣），∴PM＝|m﹣1|，QM＝|﹣m+2|，∴ON＝|3﹣m|，∴Q′（3﹣m，1﹣m），∴OQ′2＝（3﹣m）2+（1﹣m）2＝m2﹣5m+10＝（m﹣2）2+5，当m＝2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′的最小值为，当m＝2时，OQ′2有最小值为5，故选：B．2．（2020•湖北）如图，已知直线a：y＝x，直线b：y＝﹣x和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a 于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2020的横坐标为21010．解：∵点P（1，0），P1在直线y＝x上，∴P1（1，1），∵P1P2∥x轴，∴P2的纵坐标＝P1的纵坐标＝1，∵P2在直线y＝﹣x上，∴1＝﹣x，∴x＝﹣2，∴P2（﹣2，1），即P2的横坐标为﹣2＝﹣21，同理，P3的横坐标为﹣2＝﹣21，P4的横坐标为4＝22，P5＝22，P6＝﹣23，P7＝﹣23，P8＝24…，∴P4n＝22n，∴P2020的横坐标为2＝21010，故答案为：21010．3．（2020•锦州）如图，过直线l：y＝上的点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴．交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3；…按照此方法继续作下去，若OB1＝1，则线段A n A n﹣1的长度为3×22n﹣5．（结果用含正整数n的代数式表示）解：∵直线l：y＝x，∴直线l与x轴夹角为60°，∵B1为l上一点，且OB1＝1，∴OA1＝cos60°•OB1＝OB1＝，OB1＝cos60°•OA2，∴OA2＝2OB1＝2，∴A2A1＝2﹣＝∵OA2＝2，∴OB2＝2OA2＝4，∴OA3＝2OB2＝8，∴A3A2＝8﹣2＝6，…A n A n﹣1＝3×22n﹣5故答案为3×22n﹣5．4．（2020•南宁）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．（1）当t＝2时，请直接写出点B的坐标；（2）s关于t的函数解析式为s＝，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，连接AG，当t＝2时，A（﹣2，2），设B（x，x+1），在y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，∴G（0，1），∵AB⊥l1，∴∠ABG＝90°，∴AB2+BG2＝AG2，即（x+2）2+（x+1﹣2）2+x2+（x+1﹣1）2＝（﹣2）2+（2﹣1）2，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，∴B（﹣，）；（2）如图2可知：当t＝7时，s＝4，把（7，4）代入s＝中得：+7b﹣＝4，解得：b＝﹣1，如图3，过B作BH∥y轴，交AC于H，由（1）知：当t＝2时，A（﹣2，2），B（﹣，），∵C（0，3），设AC的解析式为：y＝kx+n，则，解得，∴AC的解析式为：y＝x+3，∴H（﹣，），∴BH＝﹣＝，∴s＝＝＝，把（2，）代入s＝a（t+1）（t﹣5）得：a（2+1）（2﹣5）＝，解得：a＝﹣；（3）存在，设B（x，x+1），分两种情况：①当∠CAB＝90°时，如图4，∵AB⊥l1，∴AC∥l1，∵l1：y＝x+1，C（0，3），∴AC：y＝x+3，∴A（﹣2，1），∵D（﹣2，﹣1），在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，即（x+2）2+（x+1﹣1）2+（x+2）2+（x+1+1）2＝22，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2（舍），∴B（﹣1，0），即B在x轴上，∴AB＝＝，AC＝＝2，∴S△ABC＝＝＝2；②当∠ACB＝90°时，如图5，∵∠ABD＝90°，∠ADB＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD，∵A（﹣2，t），D（﹣2，﹣1），∴（x+2）2+（x+1﹣t）2＝（x+2）2+（x+1+1）2，（x+1﹣t）2＝（x+2）2，x+1﹣t＝x+2或x+1﹣t＝﹣x﹣2，解得：t＝﹣1（舍）或t＝2x+3，Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，即（﹣2）2+（t﹣3）2+x2+（x+1﹣3）2＝（x+2）2+（x+1﹣t）2，把t＝2x+3代入得：x2﹣3x＝0，解得：x＝0或3，当x＝3时，如图5，则t＝2×3+3＝9，∴A（﹣2，9），B（3，4），∴AC＝＝2，BC＝＝，∴S△ABC＝＝＝10；当x＝0时，如图6，此时，A（﹣2，3），AC＝2，BC＝2，∴S△ABC＝＝＝2．5．（2020•哈尔滨）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为y＝x，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，OM＝9．（1）如图1，求直线AB的解析式；（2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG ＝AF，求点P的坐标．解：（1）∵CM⊥y轴，OM＝9，∴y＝9时，9＝x，解得x＝12，∵AC⊥x轴，∴A（12，0），∵OA＝OB，∴B（0，﹣12），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣12．（2）如图2中，∵∠CMO＝∠MOA＝∠OAC＝90°，∴四边形OACM是矩形，∴AO＝CM＝12，∵NC＝OM＝9，∴MN＝CM﹣NC＝12﹣9＝3，∴N（3，9），∴直线ON的解析式为y＝3x，设点E的横坐标为4a，则D（4a，0），∴OD＝4a，把x＝4a，代入y＝x中，得到y＝3a，∴E（4a，3a），∴DE＝3a，把x＝4a代入，y＝3x中，得到y＝12a，∴PD＝12a，∴PE＝PD﹣DE＝12a﹣3a＝9a，∴＝．（3）如图3中，设直线FG交CA的延长线于R，交y轴于S，过点F作FT⊥OA于T．∵GF∥x轴，∴∠OSR＝∠MOA＝90°，∠CAO＝∠R＝90°，∠BOA＝∠BSG＝90°，∠OAB＝∠AFR，∴∠OFR＝∠R＝∠AOS＝∠BSG＝90°，∴四边形OSRA是矩形，∴OS＝AR，∴SR＝OA＝12，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∴∠FAR＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAR＝∠AFR，∴FR＝AR＝OS，∵OF⊥FQ，∴∠OSR＝∠R＝∠OFQ＝90°，∴∠OFS+∠QFR＝90°，∵∠QFR+∠FQR＝90°，∴∠OFS＝∠FQR，∴△OFS≌△FQR（AAS），∴SF＝QR，∵∠SFB＝∠AFR＝45°，∴∠SBF＝∠SFB＝45°，∴SF＝SB＝QR，∵∠SGB＝∠QGR，∠BSG＝∠R，∴△BSG≌△QRG（AAS），∴SG＝GR＝6，设FR＝m，则AR＝m，AF＝m，QR＝SF＝12﹣m，∵GQ﹣FG＝AF，∴GQ＝×m+6﹣m＝m+6，∵GQ2＝GR2+QR2，∴（m+6）2＝62+（12﹣m）2，解得m＝4，∴FS＝8，AR＝4，∵∠OAB＝∠FAR，FT⊥OA，FR⊥AR，∴FT＝FR＝AR＝4，∠OTF＝90°，∴四边形OSFT是矩形，∴OT＝SF＝8，∵∠DHE＝∠DPH，∴tan∠DHE＝tan∠DPH，∴＝，由（2）可知DE＝3a，PD＝12a，∴＝，∴DH＝6a，∴tan∠PHD＝＝＝2，∵∠PHD＝∠FHT，∴tan∠FHT＝＝2，∴HT＝2，∵OT＝OD+DH+HT，∴4a+6a+2＝8，∴a＝，∴OD＝，PD＝12×＝，∴P（，）．二．反比例函数的图像变换6．（2020•赤峰）如图，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A．则△ABC的面积为（）A．3B．4C．5D．6解：过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，∵BC∥y轴，AC⊥BC，∴四边形ACDO和四边形ODBH都是矩形，＝|﹣2|＝2，∴S矩形OACDS矩形ODBH＝|6|＝6，＝2+6＝8，∴S矩形ACBH∴△ABC的面积＝S矩形ACBH＝4．故选：B．7．（2020•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值为（）A．﹣12B．﹣42C．42D．﹣21解：∵当x＝0时，y＝0+4＝4，∴A（0，4），∴OA＝4；∵当y＝0时，，∴x＝﹣3，∴B（﹣3，0），∴OB＝3；过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO．在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴BE＝AO＝4，CE＝OB＝3，∴OE＝3+4＝7，∴C点坐标为（﹣7，3），∵点C在反比例函数的图象上，∴k＝﹣7×3＝﹣21．故选：D．8．（2020•西宁）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C （﹣2，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴正半轴上，且与点B，C构成以BC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．解：（1）∵点C（﹣2，m）在一次函数y＝﹣x+1的图象上，把C点坐标代入y＝﹣x+1，得m＝﹣（﹣2）+1＝3，∴点C的坐标是（﹣2，3），设反比例函数的解析式为，把点C的坐标（﹣2，3）代入得，，解得k＝﹣6，∴反比例函数的解析式为；（2）在直线y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，∴B（0，1），由（1）知，C（﹣2，3），∴BC＝＝2，当BC＝BP时，BP＝2，∴OP＝2+1，∴P（0，2+1），当BC＝PC时，点C在BP的垂直平分线，∴P（0，5），即满足条件的点P的坐标为（0，5）或（0，）．9．（2020•湖北）如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为（6，1），△AOB的面积为8．（1）填空：反比例函数的关系式为y＝；（2）求直线AB的函数关系式；（3）动点P在y轴上运动，当线段PA与PB之差最大时，求点P的坐标．解：（1）将点A坐标（6，1）代入反比例函数解析式y＝，得k＝1×6＝6，则y＝，故答案为：y＝；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥y轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形，设B（m，n），∴mn＝6，∴BE＝DE﹣BD＝6﹣m，AE＝CE﹣AC＝n﹣1，∴S△ABE＝＝，∵A、B两点均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△BOD＝S△AOC＝＝3，∴S△AOB＝S矩形ODEC﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE＝6n﹣3﹣3﹣＝3n﹣m，∵△AOB的面积为8，∴3n﹣m＝8，∴m＝6n﹣16，∵mn＝6，∴3n2﹣8n﹣3＝0，解得：n＝3或﹣（舍），∴m＝2，∴B（2，3），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4；（3）如图，根据“三角形两边之差小于第三边可知：当点P为直线AB与y轴的交点时，PA﹣PB有最大值是AB，把x＝0代入y＝﹣x+4中，得：y＝4，∴P（0，4）．10．（2020•济南）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．解：（1）∵B（2，2），则BC＝2，而BD＝，∴CD＝2﹣＝，故点D（，2），将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得k＝3，故反比例函数表达式为y＝，当x＝2时，y＝，故点E（2，）；（2）由（1）知，D（，2），点E（2，），点B（2，2），则BD＝，BE＝，故＝＝，＝＝＝，∴DE∥AC；（3）①当点F在点C的下方时，当点G在点F的右方时，如下图，过点F作FH⊥y轴于点H，∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝2，则tan∠OCA＝＝＝，故∠OCA＝30°，则FH＝FC＝1，CH＝CF•cos∠OCA＝2×＝，故点F（1，），则点G（3，），当x＝3时，y＝＝，故点G在反比例函数图象上；②当点F在点C的上方时，同理可得，点G（1，3），同理可得，点G在反比例函数图象上；综上，点G的坐标为（3，）或（1，3）都在反比例函数图象上．三．二次函数的图像变换11．（2020•河北）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对解：y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，∴甲、乙的说法正确；若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确；故选：C．12．（2020•贵港）如图，对于抛物线y1＝﹣x2+x+1，y2＝﹣x2+2x+1，y3＝﹣x2+3x+1，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点C（0，1）；②抛物线y3的对称轴可由抛物线y1的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是①②④．解：①当x＝0时，分别代入抛物线y1，y2，y3，即可得y1＝y2＝y3＝1；①正确；②y1＝﹣x2+x+1，y3＝﹣x2+3x+1的对称轴分别为直线x＝，x＝，由x＝向右平移1个单位得到x＝，②正确；③y1＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣）2+，顶点坐标（，），y2＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，顶点坐标为（1，2）；y3＝﹣x2+3x+1＝﹣（x﹣）2+，顶点坐标为（，），∴顶点不在同一条直线上，③错误；④当y＝1时，则﹣x2+x+1＝1，∴x＝0或x＝1；﹣x2+2x+1＝1，∴x＝0或x＝2；﹣x2+3x+1＝1，∴x＝0或x＝3；∴相邻两点之间的距离都是1，④正确；故答案为①②④．13．（2020•巴中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，M为BC中点，点P为抛物线上一动点，已知点A坐标（﹣1，0），且OB＝2OC＝4OA．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCM≌△POM时，求PM的长；＝5S△BCP时，求点P的坐标．（3）当4S△ABC解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，又∵OB＝2OC＝4OA，∴OC＝2，OB＝4，∴B（4，0），C（0，2），∵点B，点C，点A在抛物线上，∴解得：，、∴抛物线解析式为：；（2）连接OM，∵M为BC中点，∴M（2，1），∵△PCM≌△POM，∴CM＝OM，PC＝PO，∴MP是OC的垂直平分线，∴PM∥x轴，∴点P的纵坐标为1，当y＝1时，代入，解得：，∴或，∴PM＝或；（3）∵S△ABC＝×AB×OC＝5，4S△ABC＝5S△BCP，∴S△BCP＝4，∵B（4，0），C（0，2），∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，当点P在BC上方时，如图2，过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，设点P（p，﹣p2+p+2），则点E（p，﹣p+2），∴PE＝﹣p2+2p，∴4＝×4×（﹣p2+2p），∴p＝2，∴点P（2，3）；当点P在BC下方时，如图3，过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，∴PE＝p2﹣2p，∴4＝×4×（p2﹣2p），∴p＝2±2，∴点P或；综上，点P的坐标为：（2，3）或或．14．（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为（﹣1010，10102）．解：∵A点坐标为（1，1），∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），∵A1A2∥OA，∴直线A1A2为y＝x+2，解得或，∴A2（2，4），∴A3（﹣2，4），∵A3A4∥OA，∴直线A3A4为y＝x+6，解得或，∴A4（3，9），∴A5（﹣3，9）…，∴A2019（﹣1010，10102），故答案为（﹣1010，10102）．15．（2020•西宁）如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，且B点坐标为（0，4），以点A为顶点的抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2．（1）求一次函数的解析式；（2）如图2，将抛物线的顶点沿线段AB平移，此时抛物线顶点记为C，与y轴交点记为D，当点C的横坐标为﹣1时，求抛物线的解析式及D点的坐标；（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以点B，D，P为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2，∴点A的坐标为（﹣2，0），设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），把A（﹣2，0），B（0，4）代入y＝kx+b，得，解得，∴一次函数解析式为y＝2x+4；（2）∵点C在直线y＝2x+4上，且点C的横坐标为﹣1，∴y＝2×（﹣1）+4＝2，∴点C坐标为（﹣1，2），设平移后的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），∵a＝﹣1，顶点坐标为C（﹣1，2），∴抛物线的解析式是y＝﹣（x+1）2+2，∵抛物线与y轴的交点为D，∴令x＝0，得y＝1，∴点D坐标为（0，1）；（3）存在，①过点D作P1D∥OA交AB于点P1，∴△BDP1∽△BOA，∴P1点的纵坐标为1，代入一次函数y＝2x+4，得，∴P1的坐标为（，1）；②过点D作P2D⊥AB于点P2，∴∠BP2D＝∠AOB＝90°，又∵∠DBP2＝∠ABO（公共角），∴△BP2D∽△BOA，∴，∵直线y＝2x+4与x轴的交点A（﹣2，0），B（0，4），又∵D（0，1），∴OA＝2，OB＝4，BD＝3，∴，∴，∴，过P2作P2M⊥y轴于点M，设P2（a，2a+4），则P2M＝|a|＝﹣a，BM＝4﹣（2a+4）＝﹣2a，在Rt△BP2M中，∴，解得（舍去），∴，∴，∴P2的坐标为（，），综上所述：点P的坐标为：（，1）或（，）．。

初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。

定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。

倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。

设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。

2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。

定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。

专题21反比例函数的图象与性质（3个知识点5种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数图象的画法（重点）知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）知识点3.反比例函数表达式中比例系数k 的几何意义（难点）【方法二】实例探索法题型1.反比例函数的图象与性质的应用题型2.反比例函数与图形面积问题题型3.利用反比例函数图象的对称性解题题型4.创新题题型5.反比例函数与几何图形的综合【方法三】仿真实战法考法1.反比例函数的比例系数k 的几何意义考法2.利用反比例函数的性质比较函数值大小【方法四】成果评定法【学习目标】1.能画出反比例函数的图象，知道反比例函数的图象是双曲线。

2.理解反比例函数的性质，并能运用其性质解决相关的问题。

3.理解反比例函数)0(≠=k xky 中的比例系数k 的几何意义，并能运用其意义求与反比例函数图象有关的图形面积问题。

【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数图象的画法（重点）（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当0k >时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k <时，两支曲线分别位于第二、四象限内．知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.注意：（1）若点(a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点(a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(k 为常数，0k ≠)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．2.反比例函数的性质（1）如图1，当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；（2）如图2，当0k <时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；注意：（1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号.（2）反比例的图像关于原点的对称【例2】（2022秋•南华县期末）反比例函数与一次函数y ＝kx +1在同一坐标系的图象可能是（）A ．B ．C．D．【变式】（2022秋•大渡口区校级期末）在同一坐标系中，函数和y＝kx﹣2的图象大致是（）A．B．C．D．【例3】（2023•瑞安市开学）对于反比例函数，当﹣1＜y≤2，且y≠0时，自变量x的取值范围是（）A．x≥1或x＜﹣2B．x≥1或x≤﹣2C．0＜x≤1或x＜﹣2D．﹣2＜x＜0或x≥1【变式】（2023•西湖区校级开学）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，其中y2＜0＜y1＜y3，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x3＜x1C．x1＜x3＜x2D．x2＜x1＜x3知识点3.反比例函数表达式中比例系数k的几何意义（难点）通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为12k，与两条坐标轴围成矩形面积为k，注意加绝对值时，有正负两个答案．【例4】（2023•和平区校级三模）如图，点A在双曲线上，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB ＝2，则k 的值为（）A ．2B ．4C ．﹣2D ．﹣4【变式】如图，矩形ABCD 的边CD 在x 轴上，顶点A 在双曲线1y x =上，顶点B 在双曲线3y x=上，求矩形ABCD 的面积．A B CDE Oxy【方法二】实例探索法题型1.反比例函数的图象与性质的应用1．（2023•株洲）下列哪个点在反比例函数的图象上？（）A ．P 1（1，﹣4）B ．P 2（4，﹣1）C ．P 3（2，4）D ．2.（2023•西湖区校级开学）若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），都在反比例函数（k 为常数，k＞0）的图象上，其中y 2＜0＜y 1＜y 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是（）A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 2＜x 3＜x 1C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 2＜x 1＜x 33.（2023春•东阳市期末）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．（1）求此反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．（2）求当y ≤4，且y ≠0时自变量x 的取值范围．4.（1）平面直角坐标系中，点A (725)m m --，在第二象限，且m 为整数，求过点A 的反比例函数解析式；（2）若反比例函数3k y x -=的图像位于第二、四象限内，正比例函数2(1)3y k x =-过一、三象限，求整数k 的值．5.已知反比例函数(0)k y k x =≠，当自变量x 的取值范围为84x ≤≤--时，相应的函数取值范围是12y ≤≤--1，求这个反比例函数解析式．题型2.反比例函数与图形面积问题6.（1）若P是反比例函数3kyx=图像上的一点，PQ⊥y轴，垂足为点Q，若2POQs∆=，求k的值；（2）已知反比例函数kyx=的图像上有一点A，过A点向x轴，y轴分别做垂线，垂足分别为点B C，，且四边形ABOC的面积为15，求这个反比例函数解析式．7.（2022秋•朝阳期末）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点．（1）求反比例函数的解析式和n的值；（2）根据图象直接写出不等式k1x+b的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．题型3.利用反比例函数图象的对称性解题8．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（）A．﹣3B．﹣C．D．39．（2023•广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D 两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（）A．4B．3C．2D．1(1)若点A（1，1），分别求线段(2)对于任意的点A（a，b），试探究线段14．（2022秋·安徽滁州·九年级统考期中）如图，已知1A，2A，3A，…，n A…是x轴上的点，且15．（2021秋·河北石家庄每个台阶凸出的角的顶点记作（1）若L 过点1T ，则k =（2）若曲线L 使得1T T ～16．（2022秋·全国·九年级期末）如图，已知反比例函数题型5.反比例函数与几何图形的综合17.过原点作直线交双曲线(0)ky k x=>于点A 、C ，过A 、C 两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形ABCD ，如图所示．（1）已知矩形ABCD 的面积等于8，求双曲线的解析式；（2）若已知矩形ABCD 的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能，请予求出；如果不能，说明理由．y ABCDOx18.正方形OAPB 、ADFE 的顶点A 、D 、B 在坐标轴上，点E 在AP 上，点P 、F 在函数(0)ky k x=>的图像上，已知正方形OAPB 的面积是16．（1）求k 的值和直线OP 的函数解析式；（2）求正方形ADEF 的边长．yABPFOxED19.如图，已知正方形OABC 的面积是9，点O 为坐原点，A 在x 轴上，C 在y 轴上，B 在函数(00)ky k x x=>>，的图像上，点P （m ，n ）在(00)ky k x x=>>，的图像上异于B 的任意一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别是E 、F ．设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积是S ．（1）求点B 的坐标；（2）当92S =时，求点P 的坐标；（3）写出S 关于m 的函数解析式．A BC PE FyOx【方法三】仿真实战法考法1.反比例函数的比例系数k 的几何意义1．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y ＝和y ＝的图象的四个分支上，则实数n 的值为（）A ．﹣3B．﹣C．D ．32．（2023•湘西州）如图，点A 在函数y＝（x ＞0）的图象上，点B 在函数y＝（x ＞0）的图象上，且AB ∥x 轴，BC ⊥x 轴于点C ，则四边形ABCO 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．4考法2.利用反比例函数的性质比较函数值大小3．（2023•镇江）点A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1y2（用“＜”、“＞”或“＝”填空）．4．（2022•广东）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（）A．y1B．y2C．y3D．y45．（2021•广安）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1【方法四】成果评定法一、单选题A．1 43．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，在x轴于B、D两点，连结A ．4B ．65．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，过双曲线上任意一点交x 轴、y 轴于点M 、N ，所得矩形A ．4B ．4-6．（2021秋·河北石家庄·九年级校联考期中）关于反比例函数A ．函数图像分别位于第一、三象限C ．函数图像过()(23A mB n -，、，A．4 10．（2023·江苏宿迁图像上，点E在yA．1B 二、填空题11．（2022秋·湖南永州13．（2022秋·黑龙江大庆的大小关系是14．（2023·安徽滁州15．（2023秋·重庆沙坪坝比例函数()0ky k x=≠上两点，平行线，两直线交于点16．（2023秋·福建泉州·九年级校考专题练习）如图，已知直线(00)a y x a x =>>，和b y x =象于点D ，过点C 作CE ∥17．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期中）如图，点112232021OA A A A A A ==== 图象分别交于点123,,,B B B 18．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，点所示，分别过点A ，C 作x 轴与构成的阴影部分面积为2，则矩形三、解答题19．（2023秋·陕西榆林·九年级校考期末）已知反比例函数(1)函数的图象在第二、四象限？(1)求k的值；(2)请用无刻度的直尺和圆规作出(3)设（2）中的角平分线与⊥．证：DE OA(1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点()121,7552,,,,2A y B y C x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②当函数值2y =时，求自变量x 的值；(1)求点A 的坐标；(2)求反比例函数的解析式：(1)点D的坐标为______，点E的坐标为______；(2)动点P在第一象限内，且满足12PBO ODE S S∆∆=。

一次函数图像专项2一．填空题（共40小题）1．若y与x的函数关系式为y＝3x﹣2，当x＝2时，y的值为_______．2．直线y＝3x+2沿y轴向下平移6个单位，则平移后直线解析式为_______．3．如图是一次函数y＝kx+b的图象，当y＜0时，x的取值范围是_______．4．正比例函数y＝mx经过点P（m，9），y随x的增大而减小，则m＝_______．5．若一次函数y＝2x+b的图象不经过第二象限，则b的取值范围为b_______0．6．直线y＝2x+6经过点（0，a），则a＝_______．7．一次函数y＝﹣4x﹣5的图象不经过第_______象限．8．若k＞0，x＞0，则关于函数y＝kx的结论：①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③y恒为正值；④y恒为负数．正确的是_______．（直接写出将正确结论的序号）9．一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，且与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则k的值等于_______．10．将直线y＝﹣3x+1向右平移2个单位长度，所得直线的解析式为_______．11．一次函数y＝2x﹣6的函数值为0，则x＝_______．12．函数y＝m|x|与y＝x+m的图象恰有两个公共点，则实数m的取值范围是_______．13．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2（k≠0）与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，且S△AOB＝2，则k的值为_______．14．写出一个y随x的增大而减小，且不经过第三象限的一次函数解析式_______．15．请写出一个与y轴交于点（0，1）的一次函数的表达式_______．16．将一次函数y＝3x的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为_______．17．如图，一次函数y＝2x+6的图象与y轴交于点B，与x轴交于点A，点P为x轴上一点，且S△ABP＝12，则点P的坐标为_______．18．直线y＝3x﹣2与x轴的交点坐标为_______19．点P（2，5）在一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象上，则k的值为_______．20．关于x的一次函数y＝（2k+1）x+（2k﹣1），当k＝_______时，它的图象过原点．21．已知有两点A（，y1），B（2，y2）都在一次函数y＝﹣3x+5的图象上，则y1，y2的大小关系是_______（用“＜”连接）22．已知一次函数y＝ax+6（a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，若OB＝2OA，则a的值是_______．23．若点A（3，y1）和点B（4，y2）都在一次函数y＝﹣x+2的图象上，则y1_______y2（选择“＞”、“＜“、“＝”填空）24．点A（﹣1，y1），B（2，y2）均在直线y＝﹣2x+b的图象上，则y1_______y2（选填“＞”＜”＝”）25．一次函数y＝﹣x，函数值y随x的增大而_______．26．已知直线y＝3x﹣4+b与x轴的交点在A（﹣1，0）、B（2，0）之间（包括A、B两点），则b的取值范围是_______．27．已知一次函数y＝ax﹣a+2（a为常数，且a≠0）．若当﹣1≤x≤4时，函数有最大值7，则a的值为_______．28．将直线y＝3x+4向下平移5个单位得到直线l，则直线对应的函数表达式为_______．29．已知直线L1：y＝2x﹣6，则直线L1关于y轴对称的直线L2函数关系式是_______．30．若一次函数y＝kx+k+2的图象不经过第一象限，则k的取值范围为_______．31．一次函数y＝x﹣2的图象与y轴的交点坐标_______．32．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB 长为5，则k的值为_______．33．已知一次函数y＝2x+4的图象经过点（m，6），则m＝_______．34．直线y＝x﹣3向上平移4个单位后，所得直线的解析式为_______．35．平面直角坐标系xOy中，直线y＝11x﹣12与x轴交点坐标为_______．36．如图，直线y＝x+3与坐标轴交于A，B两点，在射线AO上有一点P，当△APB是以AP为腰的等腰三角形时，点P的坐标是_______．37．直线y＝x+9沿y轴平行的方向向下平移3个单位，所得直线的函数解析式是_______．38．如果将直线y＝x+1平移，使其经过点（0，2），那么平移后所得直线的表达式是_______．39．将直线y＝﹣2x+1向左平移一个单位长度，则平移后的直线解析式为_______．40．直线y＝﹣x+1在x轴下方的点的横坐标的取值范围是x_______．一次函数图像专项2参考答案与试题解析一．填空题（共40小题）1．解：把x＝2代入y＝3x﹣2，得y＝3×2﹣2＝4，故答案为4．2．解：直线y＝3x+2沿y轴向下平移6个单位长度后的函数解析式是y＝3x+2﹣6＝3x﹣4，故答案为：y＝3x﹣4．3．解：由图象可知，当x＝2时，y＝0，该函数图象y随x的增大而增大，∴当y＜0时，x的取值范围是x＜2，故答案为：x＜2．4．解：把x＝m，y＝9代入y＝mx中，可得：m＝±3，因为y的值随x值的增大而减小，所以m＝﹣3，故答案为﹣3．5．解：一次函数y＝2x+b的图象不经过第二象限，则可能是经过一三象限或一三四象限，经过一三象限时，b＝0；经过一三四象限时，b＜0．故b≤0．故答案是：≤．6．解：∵令x＝0，则y＝2，∴a＝6故答案为：67．解：∵一次函数y＝﹣4x﹣5，∴该函数经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故答案为：一．8．解：∵k＞0，x＞0，函数y＝kx，∴y随x的增大而增大，故①正确，②错误，当x＞0时，y＞0，故③正确，④错误，故答案为：①③9．解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，又∵一次函数y＝kx﹣2与两坐标轴的交点分别为（0，﹣2），（，0），∴与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×2×||＝||＝4，∴k＝±，∵k＞0，∴k＝．故答案为：．10．解：由“左加右减”的原则可知，将将直线y＝﹣3x+1向右平移2个单位长度所得函数的解析式为y＝﹣3（x﹣2）+1，即y＝﹣3x+7．故答案为：y＝﹣3x+7．11．解：∵y＝2x﹣6，∴当y＝0时，x＝3，故答案为：3．12．解：根据题意，y＝m|x|的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；分两种情况讨论，①m＞0时，过第一、二象限，y＝x+m斜率为1，m＞0时，过第一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有m＞1；②m＜0时，y＝m|x|过第三、四象限；而y＝x+m过第一、三、四象限；若使其图象恰有两个公共点，必有m＜﹣1；③m＝0，显然不成立．综上所述，m的取值范围为m＜﹣1或m＞1，故答案为：m＜﹣1或m＞1．13．解：令x＝0，则y＝2．令y＝0，则x＝﹣∴A（﹣，0），B（0，2）∴OA＝|﹣|，OB＝2∴S△AOB＝OA•OB＝|﹣|＝2解得：k＝±1故答案为：±1．14．解：函数y＝﹣x+1图象中y随x的增大而减小，且不经过第三象限，故答案为：y＝﹣x+1．15．解：y＝x+1过点（0，1），故答案为：y＝x+1．16．解：将正比例函数y＝3x的图象向上平移2个单位后所得函数的解析式为y＝3x+2，故答案为：y＝3x+2．17．解：设点P的坐标为（p，0），∵一次函数y＝2x+6，∴当x＝0时，y＝6，当y＝0时，x＝﹣3，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，6），∵S△ABP＝12，∴＝12，解得，p1＝1，p2＝﹣7，故点P的坐标为（﹣1，0）或（7，0），故答案为：（﹣1，0）或（7，0）．18．解：当y＝0时，即3x﹣2＝0，解得：x＝；∴直线y＝3x﹣2与x轴的交点坐标为（，0）故答案为：（，0）19．解：将点P（2，5）代入一次函数y＝kx﹣3中，得5＝2k﹣3，∴k＝4；故答案为4．20．解：∵关于x的一次函数y＝（2k+1）x+（2k﹣1）经过原点，∴，解得：k＝．故答案为：．21．解：∵y＝﹣3x+5，∴k＝﹣3＜0，∴y随x的增大而减小，∵点A（，y1），B（2，y2）都在一次数y＝﹣3x+5的图象上，＜2，∴y2＜y1．故答案为y2＜y1．22．解：当x＝0时，y＝6，∴一次函数y＝ax+6的图象与y轴的交点B（0，6）∴OB＝6∵OB＝2OA，∴OA＝3∴A（3，0）或（﹣3，0）当A（3，0）时，3a+6＝0，即：a＝﹣2；当A（﹣3，0）时，﹣3a+6＝0，即：a＝2．故答案为：2或﹣2．23．解：因为y＝﹣x+2中k＜0，∴y随x的增大而减小，∵3＜4，∴y1＞y2，故答案为＞．24．解：y＝﹣2x+b中k＜0，∴y随x的增大而减小，∵﹣1＜2，∴y1＞y2，故答案为＞．25．解：因为一次函数y＝﹣x中k＝﹣＜0．所以函数值y随x的增大而减小．故答案是；减小．26．解：∵直线y＝3x﹣4+b与x轴的交点在A（﹣1，0）、B（2，0）之间（包括A、B两点），∴﹣1≤x≤2，令y＝0，则3x﹣4+b＝0，解得x＝，则﹣1≤≤2，解得2≤b≤7．故答案是：2≤b≤7．27．解：①a＞0时，y随x的增大而增大，则当x＝4时，y有最大值7，把x＝4，y＝7代入函数关系式得7＝4a﹣a+2，解得a＝；②a＜0时，y随x的增大而减小，则当x＝﹣1时，y有最大值7，把x＝﹣1代入函数关系式得7＝﹣a﹣a+2，解得a＝﹣，所以a＝或a＝﹣，故答案为或﹣．28．解：将直线y＝3x+4向下平移5个单位所得直线的解析式为y＝3x+4﹣5，即y＝3x﹣1．故答案为：y＝3x﹣1．29．解：∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，∴直线L1：y＝2x﹣6与直线L2关于y轴对称，则直线l2的解析式为y＝﹣2x﹣6．故答案为：y＝﹣2x﹣6．30．解：∵一次函数y＝kx+k+2的图象不经过第一象限，∴，解得：k≤﹣2．故答案是：k≤﹣2．31．解：当x＝0时，y＝0﹣2＝﹣2∴一次函数y＝x﹣2的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）故答案为：（0，﹣2）．32．解：一次函数与y轴交点坐标为B（0，3），与x轴交点为A（﹣，0），则OB2＝9，OA2＝，AB2＝25，在Rt△AOB中，OB2+OA2＝AB2，解得k＝或﹣．故答案为或﹣．33．解：把（m，6）代入y＝2x+4中，得6＝2m+4，解得m＝1．故答案为1．34．解：由“上加下减”的原则可知，将直线y＝x﹣3向上平移4个单位后所得的直线的解析式是y＝x﹣3+4，即y＝x+1．故答案为y＝x+1．35．解：当y＝0时，0＝11x﹣12．解得x＝，所以与x轴交点坐标为（，0）．故答案为（，0）．36．解：当y＝0时，x＝﹣6，即A（﹣6，0），当x＝0时，y＝3，即B（0，3），∴OA＝6，OB＝3，在Rt△ABO中，AB＝＝3，若AP＝AB＝3，则OP＝AP﹣AO＝3﹣6，∴点P（3﹣6，0）若AP'＝BP'，在Rt△BP'O中，BP'2＝BO2+P'O2＝9+（AO﹣BP'）2．∴BP'＝AP'＝∴OP'＝，∴P'（﹣，0）综上所述：点P（﹣，0）或（3﹣6，0）故答案为：（﹣，0）或（3﹣6，0）．37．解：将直线y＝x+9沿y轴平行的方向向下平移3个单位后得到的直线函数解析式为y ＝x+9﹣3＝x+6．故答案为y＝x+6．38．解：设平移后直线的解析式为y＝x+b．把（0，2）代入直线解析式得2＝b，解得b＝2．所以平移后直线的解析式为y＝x+2．故答案为：y＝x+2．39．解：由“左加右减”的原则可知，将直线y＝﹣2x+1向左平移一个单位所得的直线的解析式是y＝﹣2（x+1）+1＝﹣2x﹣1，即y＝﹣2x﹣1，故答案为y＝﹣2x﹣1．40．解：∵y＝﹣x+1，∴当y＝0时，x＝2，该函数y随x的增大而减小，∴直线y＝﹣x+1在x轴下方的点的横坐标的取值范围是x＞2，故答案为：＞2．。

初中八年级数学函数与图像练习题一、选择题1. 下列函数中，是二次函数的是：A. y = 2x - 3B. y = x^2 + 3C. y = 1/xD. y = |x|2. 已知函数 y = -2x^2 + 4x + 3，其对称轴的方程是：A. x = -1B. x = 1C. x = 2D. x = -23. 函数 y = 3x + 2 在 x = 5 处的函数值为：A. 23B. 17C. 16D. 154. 下列函数中，是单调递减函数的是：A. y = x^2B. y = 1/xC. y = -3x + 5D. y = |x|5. 已知函数 y = x^3 + 2x^2 - x - 2，其零点的个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题1. 函数 y = -2x + 3 在 x = 2 处的函数值为______。

2. 函数 y = 4x^2 - 6x + 1 的对称轴的方程为 x = ______。

3. 函数 y = 2^x 在 x = 3 处的函数值为______。

4. 函数 y = -3x^2 + 4x - 1 的最大值为______。

5. 函数 y = 1/x 的图像关于 y 轴的对称图形是______。

三、计算题1. 画出函数 y = 2x - 3 的图像，并标注出其中一个点坐标。

2. 已知函数 y = x^2 - 4x + 3，求解方程 y = 0 的解，并表示在坐标系中的位置。

3. 画出函数 y = 3x^2 的图像，并写出其定义域和值域。

4. 将函数 y = |x| + 2 在坐标系中画出，并表示出 x < 0 和x ≥ 0时的函数式。

5. 函数 y = -2x^2 + 4x + 3 的对称轴方程是什么？并画出函数的图像。

四、解答题1. 什么是函数？简单解释一下。

2. 函数 y = 2x^2 + 3 在 x = 4 处的函数值是多少？请写出解题步骤。

3. 你能画出函数 y = |x + 1| + 2 的图像吗？请画出来并解释一下。

二次函数图像与系数的六种关系题型01a与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·河北保定·期末)二次函数y=ax2的图象如图所示，则a的值可能为()A.2B.0C.-1D.-2【答案】A【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象的开口方向求解即可．【详解】解：由图象知，二次函数y=ax2的图象开口向上，则a>0，故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意，故选：A2(2024九年级·全国·专题练习)在同一个平面直角坐标系中，二次函数y1=a1x2，y2=a2x2，y3=a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为．【答案】a3>a2>a1#a1<a2<a3【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定的，a 越大，开口越小，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定是解题的关键．【详解】解：由抛物线开口方向可知，a1、a2、a3为正数，又由开口大小可得，a3>a2>a1，故答案为：a3>a2>a13(23-24九年级上·福建厦门·阶段练习)已知y=k+2x k2+k-4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．求k的值，并画出它的图象；【答案】k=-3【分析】根据二次函数定义以及当x<0时，y随x的增大而增大．可得出函数解析式，再描点画图即可；【详解】解：由y=k+2x k2+k-4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得k2+k-4=2，k+2<0解得：k=-3或k=2(舍去)；二次函数的解析式为y=-x2，如图所示：【变式演练】1(23-24九年级上·山东青岛·阶段练习)图中与抛物线y=13x2，y=2x2，y=-13x2，y=-2x2，的图象对应的是()A.①②④③B.②①④③C.①②③④D.②①③④【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象．抛物线的形状与a和a 有关，根据a 的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．【详解】解：∵①②开口向上，则a>0，∵②的开口最宽，∴y=13x2是②，y=2x2是①，∵③④开口向下，则a<0，∵④的开口最宽，∴y=-13x2是④，y=-2x2是③，综上，依次②①④③，故选：B2(23-24九年级上·吉林松原·阶段练习)二次函数y=k+2x2的图象如图所示，则k的取值范围是．【答案】k>-2【分析】由图示知，该抛物线的开口方向向上，则系数k+2>0，据此易求k的取值范围．【详解】解：如图，抛物线的开口方向向上，则k+2>0，解得k>-2．故答案为：k>-2．【点睛】本题考查了二次函数的图象．二次函数y=ax2的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小3(24-25九年级上·全国·假期作业)已知函数y=(m+3)x m2+3m-2是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？(3)当m为何值时，该函数有最小值？(4)试说明函数的增减性．【答案】(1)m=-4或m=1(2)当m=-4时，该函数图像的开口向下(3)当m=1时，原函数有最小值(4)见解析【分析】(1)由二次函数的定义可得m2+3m-2=2m+3≠0故可求m的值．(2)图像的开口向下，则m+3<0，结合(1)中的结果，即可得m的值；(3)函数有最小值，则m+3>0，结合(1)中的结果，即可得m的值；；(4)根据(1)中求得的m的值，先求出抛物线的解析式，函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．【详解】(1)根据题意，得m2+3m-2=2 m+3≠0，解得m1=-4,m2=1 m≠-3，∴当m=-4或m=1时，原函数为二次函数．(2)∵图像开口向下，∴m+3<0，∴m<-3，∴m=-4，∴当m=-4时，该函数图像的开口向下．(3)∵函数有最小值，∴m+3>0，则m>-3，∴m=1，∴当m=1时，原函数有最小值．(4)当m=-4时，此函数为y=-x2，开口向下，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小；当m=1时，此函数为y=4x2，开口向上，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的增减性．二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a>0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a<0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．题型02b与图像的关系【典例分析】1(21-22九年级上·安徽合肥·开学考试)已知二次函数y=-x2+2m-1x-3，当x>1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是()A.m<32B.m≤32C.m≤12D.m<-12【答案】B【分析】本题主要考查二次函数图象对称轴，增减性，解一元一次不等式的问题，根据题意可得二次函数图象的对称轴为x=2m-22，结合函数图象的增减性可得2m-12≤1，由此即可求解，掌握二次函数图象的性质，解不等式的方法是解题的关键．【详解】解：二次函数y=-x2+2m-3x-3中，a=-1<0，b=2m-1，c=-3，∴图象开口向下，对称轴为x=-2m-12×-1=2m-12，∵当x>1时，y随x的增大而减小，∴2m-12≤1，解得，m≤3 2，故选：B2(2023·九年级上·西藏日喀则·)已知抛物线γ=x²+mx的对称轴为直线x=2．则m的值是() A.-4 B.1 C.4 D.-1【答案】A【分析】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质，对于二次函数y=ax2+bx+c，其对称轴为直线x=-b2a，据此即可求解．【详解】解：由题意得：抛物线γ=x²+mx的对称轴为直线：x=-b2a=-m2×1=-m2，∴-m2=2解得：m=-4故选：A3(23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习)抛物线y=-x2+2ax+3的对称轴位于y轴的右侧，与x轴交于点A，B(点B在点A的右边)，且AB=4．(1)此抛物线的顶点坐标为．(2)当-1≤x≤m时，-5≤y≤4，则m的值为．【答案】1,44【分析】(1)令y=0，则x2-2ax-3=0．设A x1,0，B x2,0，则x1+x2=2a，x1x2=-3．根据AB=4，得出x2-x1=4，结合完全平方公式得出x2-x12=x1+x22-4x1x2=16，求出a的值，即可求解；(2)根据二次函数的性质可得当x=1时，y取得最大值4．求出当x=-1时，y=0>-5，且-5≤y≤4，得出m>1，则当x=m时，y=-5，即可求解．【详解】解：(1)令y=0，则-x2+2ax+3=0，即x2-2ax-3=0．设A x1,0，B x2,0，则x1+x2=2a，x1x2=-3．∵AB=4，∴x2-x1=4，∴x2-x12=x1+x22-4x1x2=16，∴4a2+12=16，∴a=±1．∵抛物线的对称轴位于y轴的右侧，即a=1，∴y=-x2+2x+3=-x-12+4，∴抛物线的顶点坐标为1,4．(2)∵y=-x2+2x+3=-x-12+4，∴当x=1时，y取得最大值4．∵当x=-1时，y=0>-5，且-5≤y≤4，∴m>1，∴当x=m时，y=-5，∴-m2+2m+3=-5，∴m=4或m=2(舍去)．故答案为：1,4，4．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数与x轴交点坐标的求法，将二次函数表达式化为顶点式的方法和步骤，以及二次函数的增减性【变式演练】1(22-23九年级上·福建厦门·期中)已知抛物线y=-x2+6-2mx-3的对称轴在y轴的右侧，当x >2时，y的值随着x值的增大而减小，则m的取值范围是()A.m≥1B.m<3C.-3<m≤1D.1≤m<3【答案】D【分析】先得出抛物线对称轴为直线x=3-m，根据抛物线y=-x2+6-2mx-3的对称轴在y轴的右侧，可得m<3，根据当x>2时，y的值随着x值的增大而减小，得出m≥1，即可求解．【详解】解：∵抛物线y=-x2+6-2mx-3的对称轴在y轴的右侧，∴x=-b2a =6-2m2=3-m>0，解得：m<3，又∵a=1<0，抛物线开口向下，当x>2时，y的值随着x值的增大而减小，则3-m≤2，解得：m≥1，综上所述，1≤m<3，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键2(23-24九年级上·重庆合川·期末)关于x的二次函数y=x2+a-1x-1在y轴的右侧，y随x的增大而增大，且使得关于y的分式方程a-12-y+1y-2=2有非负数解的所有整数a的值之和．【答案】19【分析】本题主要考查了二次函数的性质、分式方程的解以及解一元一次不等式，依据题意，解分式方程可先确定出a的取值范围，再由二次函数的性质可确定出a的范围，从而可确定出a的取值，可求得答案．【详解】解分式方程a-12-y+1y-2=2可得y=6-a2，∵关于y的分式方程a-12-y +1y-2=2有非负数解，∴y=6-a2≥0且y=6-a2≠2，∴a≤6且a≠2，∵y=x2+a-1x-1，∴抛物线开口向上，对称轴为x=1-a2，∴当x>1-a2，时，y随x的增大而增大．∵在x>0时，y随x的增大而增大，≤0，解得a≥1．∴1-a2综上1≤a≤6且a≠2，∴满足条件的整数a的值为1，3，4，5，6．∴所有满足条件的整数a的值之和是1+3+4+5+6=19．故答案为：19．3(23-24九年级上·浙江宁波·期末)如图，已知二次函数y=x2+ax+2的图象经过点E1,5．(1)求a的值和图象的顶点坐标．(2)若点F m,n在该二次函数图象上．①当m=-2时，求n的值．②若n≤2，请根据图象直接写出m的取值范围．【答案】(1)a=2；-1,1(2)①n=2；②-2≤m≤0【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．(1)把点E(1,5)代入y=x2+ax+2中，即可求出a；(2)①把m=-2代入解析式即可求n的值；②由n≤2，在此范围内求m即可．【详解】(1)把点E(1,5)代入y=x2+ax+2中，∴a=2，∴y=x2+2x+2=(x+1)2+1，∴顶点坐标为(-1,1)；(2)①把m=-2代入n=m2+2m+2=(m+1)2+1，可得：n=2，②∵n≤2，对称轴为x=-1，∴-2≤m≤0．【典例分析】1(23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习)关于二次函数y=x2-6x+5下列说法中错误的是()A.用配方法可化成y=x-32-4 B.将它的图象向下平移5个单位，会经过原点C.函数有最小值，最小值为5D.当x<3时，y随x的增大而减小【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象和几何变换，掌握二次函数的图象与坐标轴交点的求法是解题的关键．运用配方法把一般式化为顶点式，由二次函数的顶点式可判断其开口方向、对称轴、顶点坐标；令x=0可求得与y轴的交点坐标；则可得出答案．【详解】解：y=x2-6x+5=x-32-4，故A正确，不符合题意；2-9+5=x-3∴其对称轴为直线x=3，开口向上，顶点坐标为3，-4，∴函数有最小值，最小值为-4，当x<3时，y随x的增大而减小，故C错误，符合题意，D正确，不符合题意；令x=0可得y=5，∴与y轴的交点坐标为0，5，∴将它的图象向下平移5个单位，会经过原点，故B正确，不符合题意；故选：C2(2023·九年级上·上海杨浦·)将抛物线y=x2-2x+3向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么m=．【答案】2【分析】将抛物线解析式改为顶点式，即可求出平移后的解析式，进而可求出平移后的顶点坐标，最后根据它的顶点恰好落在x轴上，即顶点的纵坐标为0，可求出答案．【详解】解：∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2，∴该抛物线向下平移m个单位后的解析式为y=(x-1)2+2-m，∴此时顶点坐标为(1，2-m)．∵此时它的顶点恰好落在x轴上，∴2-m=0，解得：m=2．故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质．掌握二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键3(23-24九年级上·四川泸州·期中)写出抛物线y=-2x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标，并指出抛物线y=-2x2-4x+5可由抛物线y=-2x2怎样平移得到．【答案】抛物线y=-2x2-4x+5开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为-1,7，抛物线y=-2x2-4x+5可由y=-2x2向上平移7个单位长度，向左平移1个单位长度得到．【分析】本题考查的知识点是二次函数的图像与性质、二次函数图像的平移，解题关键是理解抛物线y=ax2+bx+c的性质及掌握抛物线平移规律．先将抛物线y=-2x2-4x+5经配方转换为y=-2x+12+7，即可直接根据表达式判断抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标；另根据抛物线平移规律“上加下减，左加右减”即可得出y=-2x2到y=-2x2-4x+5=-2x+12+7的平移过程．【详解】解：依题得抛物线y=-2x2-4x+5=-2x+12+7，则可根据抛物线性质得：抛物线y=-2x2-4x+5开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为-1,7，∵根据抛物线平移规律“上加下减，左加右减”，∴y=-2x2-4x+5=-2x+12+7可由y=-2x2向上平移7个单位长度，向左平移1个单位长度得到【变式演练】1(23-24九年级上·安徽合肥·期末)若将抛物线y=ax2(a>0)向右平移h(h>0)个单位，得到抛物线y=ax2+bx+c，则函数y=bx+c的图象可能是()A. B.C. D.【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，熟练掌握图象与系数的关系是关键．先根据题意判断 b<0,c>0，再判断经过的象限．【详解】∵将抛物线y=ax2(a>0)向右平移h(h>0)个单位，得到抛物线y=ax2+bx+c，∴y=ax2+bx+c对称轴在y轴的右侧，且交于y轴的正半轴，∴b<0,c>0，∴y=bx+c的图象过第一、二、四象限．故选：C2(22-23九年级上·浙江宁波·期末)将抛物线y=x2+3x-6向上平移m个单位后，得到的图象不经过第四象限，则m的值可能是()A.1B.3C.5D.7【答案】D【分析】根据将抛物线y=x2+3x-6向上平移m个单位后，得到的图象不经过第四象限可知-6+m≥0，即可得出结果．【详解】解：∵将抛物线y=x2+3x-6向上平移m个单位后，得到的图象不经过第四象限，∴-6+m≥0，∴m≥6，∴m的值可能是7，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键3(21-22九年级上·广东中山·阶段练习)已知二次函数y=x2-2x-3．(1)请写出函数图象顶点坐标和对称轴∶(2)当函数值y为正数时，自变量x的取值范围∶(3)将该函数图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，求所得图象的函数表达式．【答案】(1)1,-4，直线x=1(2)x<-1或x>3(3)y=x-22【分析】本题考查了二次函数的顶点式，对称轴，平移，不等式解集的确定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．(1)化成顶点式，确定对称轴和顶点坐标即可．(2)求得x2-2x-3=0的两个根，进而即可求解．(3)根据右减上加的平移规律，即可求解．【详解】(1)∵y=x2-2x-3=x-12-4．∴对称轴为直线x=1，顶点为1,-4．(2)根据题意，得x2-2x-3=0，解得x1=-1,x2=3，∵y=x2-2x-3=x-12-4开口向上，故当x<-1或x>3时，y>0．(3)∵y=x2-2x-3=x-12-4．平移后的解析式为y=x-1-122-4+4即y=x-2题型04a，b与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·浙江金华·期末)已知二次函数y=-mx2+2mx+4m>0，点经过点A-2,y1 B1,y2，那么y1，y2，y3的大小关系为()，点C3,y3A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2C.y2<y3<y1D.y3<y1<y2【答案】B【分析】本题考查利用二次函数性质比较函数值大小，涉及二次函数图像与性质、比较二次函数值大小等知识，根据二次函数图像与性质，利用图像上点到对称轴距离比较函数值大小即可得到答案，熟练掌握利用距离比较二次函数值大小的方法是解决问题的关键．【详解】解：由二次函数y=-mx2+2mx+4m>0可知抛物线开口向下，对称轴为x=-2m-2m=1，∴抛物线上点到对称轴距离越近，函数值y越大，∵二次函数y=-mx2+2mx+4m>0经过点A-2,y1，点B1,y2，点C3,y3，∴三个点A、B、C到对称轴的距离为3、0、2，∴y1<y3<y2，故选：B．2(23-24九年级上·广东广州·期中)若点A-134,y1B-1,y2，C53,y3为二次函数y=-ax2-4ax+5a<0图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是．【答案】y3>y1>y2【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得抛物线开口向上，对称轴为直线x=-2，则点A-134,y1关于直线x=-2的对称点54,y1在抛物线y=-ax2-4ax+5a<0上，根据二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．【详解】解：∵y=-ax2-4ax+5a<0，∴-a>0，对称轴为直线x=--4a2×-a=-2，∴抛物线开口向上，∴点A-134,y1关于直线x=-2的对称点54,y1在抛物线y=-ax2-4ax+5a<0上，∵-2<-1<54<53，∴y3>y1>y2，故答案为：y3>y1>y23(23-24九年级上·云南昆明·阶段练习)已知关于x的二次函数y=mx2+3m+1x+3．(1)求证：不论m为任何实数，方程mx2+3m+1x+3=0总有实数根；(2)若抛物线与x轴交于两个不同的整数点，m为正整数，点P x1,y1与Q x1+n,y2在抛物线上(点P, Q不重合)，且y1=y2，求代数式4x21+12x1n+5n2+16n+8的值．【答案】(1)证明见解析；(2)24【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的图象与性质等知识；(1)用根的判别式可以直接证明；(2)令y=0，方程可以化为mx+1x+3=0，解得x=-3或x=-1m，又m为正整数，可以求解m的值，进而可求出函数解析式；点P、Q在抛物线上，且y1=y2，可将x1、x1+n代入解析式联立方程，用含n的式子表示出x1，然后带入代数式化简求解即可．【详解】(1)解：由题意可知m≠0，∵Δ=b2-4ac=(3m+1)2-4m×3=(3m-1)2≥0∴此方程总有实数根；综上，不论m为任何实数时，方程总有实数根．(2)解：令y=0，则有mx+1x+3=0解得：x1=-3，x2=-1 m，因为抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，所以m=1，所以抛物线为y=x2+4x+3．∵点P、Q在抛物线上，且y1=y2，∴x12+4x1+3=(x1+n)2+2(x1+n)+3∴2x1n+n2+4n=0即：n(2x1+n+4)=0，∵P、Q不重合，∴n≠0，∴2x1=-n-4∴4x12+12x1n+5n2+16n+8=(2x1)2+2x1∙6n+5n2+16n+8=(n+4)2+6n(-n-4)+5n2+16n+8=24所以代数式 4x21+12x1n+5n2+16n+8的值为24【变式演练】1(23-24九年级上·浙江杭州·期末)已知关于x的二次函数y=ax2-4ax a>0．若P m,n和Q5,b是抛物线上的两点，且n>b，则m的取值范围为()A.m<-1B.m>5C.m<-1或m>5D.-1<m<5【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由抛物线的解析式可知开口方向和对称轴为直线x=2，根据函数的对称性和增减性即可求解；熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．【详解】解：∵二次函数y=ax2-4ax a>0．∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=--4a2a=2，∵P m,n和Q5,b是抛物线上的两点，∴当n=b时，m=-1，∵抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，∴n>b时，m的取值范围为m<-1或m>5；故选：C．2(23-24九年级上·浙江杭州·期末)已知二次函数y=ax2-4ax+2(a为常数，且a≠0) (1)若函数图象过点1,0，求a的值；(2)当2≤x≤5时，函数的最大值为M，最小值为N，若M-N=18，求a的值．【答案】(1)a=2 3(2)a=±2【分析】本题考查了求二次函数的表达式、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．(1)将点1,0的坐标代入表达式求解即可；(2)分类讨论a的正负，结合对称轴和图象的增减性即可得出答案．【详解】(1)解：函数图象过点1,0得a-4a+2=0解得：a=2 3(2)由y=ax2-4ax+2可知对称轴为直线x=2①当a>0时，开口方向向上，当2≤x≤5时当x=2时取最小值，当x=5时取最大值∴M=5a+2，N=-4a+2∵M-N=5a+2--4a+2=9a=18解得a=2，满足题意．②当a<0时，开口方向向下，当2≤x≤5时当x=2时取最大值，当x=5时取最小值∴M=-4a+2，N=5a+2∴M-N=-4a+2-5a+2=-9a=18解得a=-2 满足题意．综上所述：a=±2．3(23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习)如图所示，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点A(-1，0)，点B(4，0)，与y轴交于点C，连接AC，BC．点M是线段OB上不与点O、B重合的点，过点M作DM⊥x 轴，交抛物线于点D，交BC于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)过点D作DF⊥BC，垂足为点F．设M点的坐标为M(m，0)，请用含m的代数式表示线段DF的长，并求出当m为何值时DF有最大值，最大值是多少？【答案】(1)抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4(2)当m=2时，DF有最大值为22【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式．(2)先求出B,C所在直线解析式可得∠OBC=∠OCB=45°，通过DF=22DE可表示DF长度的代数式，再配方求解即可．【详解】(1)把点A(-1，0)，点B(4，0)分别代入y=ax2+bx+4a≠0中，得：a-b+4=016a+4b+4=0解得：a=-1 b=3∴抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4．(2)把x=0代入y=-x2+3x+4中，得：y=4∴C0,4设BC所在直线解析式为y=kx+b,把B4,0,C0,4代入y=kx+b中，得：0=4k+b 4=b解得k=-1 b=4∴y=-x+4设M m,0,则D(m,-m2+3m+4)，E m,-m+4∴DE=-m2+3m+4+m-4=-m2+4m ∵OB=OC=4,OC⊥OB∴∠OBC=∠OCB=45°∵DM⊥x轴∴∠DEF=∠BEM=45°又∵DF⊥BC∴DF=22DE=22-m2+4m=-22(m-2)2+22∵-22<0∴当m=2时，DF有最大值为22．【点睛】本题考查二次函数与图形的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法求代数式的最值题型05a，c与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·广东梅州·期末)如图所示是二次函数y=ax2-x+a2-1的图象，则a的值是()A.a=-1B.a=12C.a=1D.a=1或a=-1【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象．由图象得，此二次函数过原点0,0，把点0,0代入函数解析式得a2 -1=0，解得a的值．【详解】解：由图象得，此二次函数过原点0,0，把点0,0代入函数解析式得a2-1=0，解得a=±1；又因为此二次函数的开口向上，所以a>0；所以a=1．故选：C．2(23-24九年级上·浙江丽水·期末)已知二次函数y=ax²+2x+c a≠0的图象如图所示．(1)写出c的值；(2)求出函数的表达式．【答案】(1)3(2)y=-x²+2x+3【分析】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，综合利用已知条件求出抛物线的解析式是解题的关键．(1)将点0,3即可求出c；代入y=ax²+2x+c a≠0(2)把点A3,0即可求出函数表达式．代入y=ax²+2x+3a≠0【详解】(1)解：∵二次函数y=ax²+2x+c a≠0；的图象经过点0,3∴将点0,3得；代入y=ax²+2x+c a≠0c=3．(2)解：设函数的表达式为y=ax²+2x+3a≠0；∵函数图象经过点A3,0；∴把点A3,0得；代入y=ax²+2x+3a≠0a=-1；∴函数的表达式为：y=-x²+2x+33(23-24九年级上·广东广州·阶段练习)如图，二次函数y=ax2-2x+c的图象与x轴交于点A-3,0和点B，点y轴交于点C0,3．(1)求二次函数的解析式；(2)求B点坐标，并结合图象写出y<0时，x的取值范围；【答案】(1)y=-x2-2x+3；(2)B1,0，x<-3或x>1．【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．(1)利用待定系数解答，即可求解；(2)根据当y=0时，-x2-2x+3=0，求出点B1,0，进而根据图象可得出答案．【详解】(1)解：∵二次函数y=ax2-2x+c的图象经过点A-3,0，C0,3，∴9a+6+c=0 c=3，解得：a=-1 c=3，∴该二次函数的解析式为y=-x2-2x+3；(2)解：由(1)可知，二次函数的解析式为y=-x2-2x+3，当y=0时，-x2-2x+3=0，解得x1=1，x2=-3，∴B1,0，根据图象可知，当y<0时，x的取值范围为x<-3或x>1【变式演练】1(23-24九年级上·广西崇左·期末)已知二次函数y=m+2x2+m2-9有最大值，且图象经过原点，则m的值为()A.±3B.3C.-3D.±4.5【答案】C【分析】本题考查二次函数的基本性质，根据二次函数有最大值得出m<-2，根据二次函数图象经过原点得出m=±3，即可得出答案，掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵二次函数的解析式为：y=m+2x2+m2-9有最大值，∴m+2<0，∴m<-2，∵二次函数y=m+2x2+m2-9的图象经过原点，∴m2-9=0，∴m=-3或m=3，∵m<-2，∴m=-3．故选：C2(20-21九年级上·全国·单元测试)如图所示，抛物线y=ax2-x+c的图象经过A-1,0、B0,-2两点．1 求此抛物线的解析式；2 求此抛物线的顶点坐标和对称轴；3 观察图象，求出当x取何值时，y>0？【答案】1 y=x2-x-2；2 抛物线的对称轴是直线x=12；顶点坐标是12,-94；3当x取x<-1或x>2时，y>0．【分析】(1)把A点和B点坐标代入y=ax2-x+c得到关于a、c的方程组，然后解方程组求出a、c即可得到抛物线解析式；(2)把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解；(3)先通过解方程x2-x-2=0 得到抛物线y=x2-x-2与x轴的另一个交点的坐标为2,0．然后写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可．【详解】1 ∵二次函数y=ax2-x+c的图象经过A-1,0、B0,-2，∴a+1+c=0c=-2，解得a=1c=-2∴此二次函数的解析式是y=x2-x-2；2 ∵y=x2-x-2=x-122-94，∴抛物线的对称轴是直线x=12；顶点坐标是12,-94 ；3 当y=0时，x2-x-2=0，解得x1=-1，x2=2，即抛物线y=x2-x-2与x轴的另一个交点的坐标为2,0．所以当x取x<-1或x>2时，y>0．【点睛】待定系数法求二次函数解析式, 二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系等，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键3(23-24九年级上·江苏扬州·期末)如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A1，0，B-2，3(1)求a+b的值；(2)用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；(用虚线表示画图过程，实线表示画图结果)(3)结合图象，直接写出当y≤3时，x的取值范围是．【答案】(1)a+b=-3(2)见解析(3)x≤-2或x≥0【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．(1)利用待定系数法求解即可；(2)根据二次函数图象的对称性可得出抛物线的对称轴；(3)观察函数图象，结合方程，即可得出结论．【详解】(1)解：将A1，0，B-2，3代入二次函数y=ax2+bx+3得：a+b+3=0 4a-2b+3=3，解得：a=-1 b=-2，∴a+b=-1+-2=-3；(2)解：如图，直线l为所求对称轴，，由(1)得二次函数的解析式为y=-x2-2x+3=-x+12+4，∴可以得出顶点坐标为-1，4，对称轴为直线x=-1；(3)解：令y=3，则-x2-2x+3=3，解得：x=0或x=-2，结合图象得：x≤-2或x≥0时，y≤3，故答案为：x≤-2或x≥0题型06a，b，c与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·山东济南·期末)二次函数y=ax2+bx+c a≠0的图像如图所示，则下列结论中：①abc<0；②2a-b=0；③当-2<x<3时，y<0；④当x≥1时，y随x的增大而减小，正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质．根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图像确定y<0时，x的范围，根据二次函数的性质确定增减性．掌握二次函数的图像和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．【详解】解：①∵二次函数的图像开口向上，∴a>0，∵二次函数图像的对称轴在y轴的右侧，∴-b>0，2a∴b<0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc>0，故结论①不正确；②∵a>0，b<0，∴2a-b>0，故结论②不正确；③∵二次函数的图像开口向上，对称轴为：x=1，该图像与x轴的位于对称轴左边的交点的坐标为-2,0，∴该图像与x轴的位于对称轴右边的交点的坐标为4,0，∴当-2<x<4时，y<0，∴当-2<x<3时，y<0，故结论③正确；④∵二次函数的图像开口向上，对称轴为：x=1，∴当x≥1时，y随x的增大而增大，故结论④不正确，∴正确的个数是1个．故选：A2(23-24九年级上·湖北随州·期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示抛物线的顶点坐标是1,1在该抛物线上，则am2+bm ，有下列结论①a>0；②b2-4ac>0；③4a+b=1；④若点A m,n+c≥a+b+c．其中正确的结论是．【答案】①③④【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，开口方向判断①，与x轴的交点个数，判断②，特殊点判断③，最值判断④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a>0；故①正确；∵抛物线与x轴没有交点，∴b2-4ac<0；故②错误；∵顶点坐标为1,1，，图象过3,3∴a+b+c=1,9a+3b+c=3，两式相减，得：8a+2b=2，∴4a+b=1；故③正确；∵当x=1时y=a+b+c=1值最小，∴am2+bm+c≥a+b+c，故④正确；故答案为：①③④3(23-24九年级上·河南洛阳·期末)已知二次函数y=ax2+2ax-m．(1)当a=1时，二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；(2)若二次函数y=ax2+2ax-m的部分图象如图所示，①求二次函数y=ax2+2ax-m图象的对称轴；②求关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解．【答案】(1)m>-1(2)①直线x=-1；②x1=1，x2=-3【分析】(1)将a=1代入二次函数y=ax2+2ax-m中，然后根据当a=1时，二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴有两个交点，可知 22-4×1×-m>0，然后即可求得m的取值范围；(2)①将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴；②根据图象与x轴的一个交点和二次函数的性质，可以写出该函数图象与x轴的另一个交点，然后即可写出关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解；本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合熟练掌握以上知识的应用．【详解】(1)当 a=1时，y=ax2+2ax-m，∵当a=1时，二次函数y=ax²+2ax-m的图象与x轴有两个交点，∴22-4×1×-m>0，解得m>-1；(2)①∵y=ax2+2ax-m=a x+12-a-m，∴二次函数y=ax2+2ax-m的图象的对称轴是直线x=-1；②由图象可知：二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴交于点(1,0),由①知，该函数的对称轴为直线x=-1，∴该函数与x轴的另一个交点为-3,0，∴关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解是x1=1，x2=-3【变式演练】1(23-24九年级上·云南昭通·阶段练习)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是()A.b<0B.当x>0时，y>0C.a-3=cD.2a+b=0【答案】D【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可得，A．该函数图象的开口向下，∴a<0，∵对称轴位于y轴右侧，∴-b>0，2a∴b>0，故此选项不符合题意；B．由图象可得：当x>0时，y不一定大于0，故此选项不符合题意；C．该函数图象与y轴交于正半轴，∴c>0，而a<0，∴a-c<0，∴a-c=3错误，即a-3=c错误；故此选项不符合题意；D．该函数的对称轴为直线x=1，=1，∴x=-b2a∴b=-2a，即2a+b=0，故选项符合题意．故选：D2(23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①ac<0；②a+b=0；③a+b+c>0；④b2-4ac<0．其中正确的是．(填序号)。

热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。

此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。

只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。

考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。

1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。

初中数学北师大版八年级数学第四章3一次函数的图像练习题一、选择题1.如图，两个不同的一次函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是()A. B. C. D.2.若一次函数y=2x−3的图象经过()A. 第一、二、三象限B. 第二、三、四象限C. 第一、二、四象限D. 第一、三、四象限3.已知正比例函数y=kx，且y随x的增大而增大，则一次函数y=2x+k的图象是()A. B.C. D.4.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2−bx与y=bx+a的图象可能是()A. B.C. D.5.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3…和点C1，C2，C3…分别在直线y=x+1和x轴上，则点A2019的坐标是()A. (22018,22019)B. (22018−1,22018)C. (22019,22018)D. (22018−1,22019)6.在平面直角坐标系中，将函数y=−2x的图象沿y轴负方向平移4个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为()A. (2,0)B. (−2,0)C. (−4,0)D. (0,−4)7.P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是正比例函数y=−x图象上两点，则下列正确的是()A. y1>y2B. y1<y2C. 当x1<x2时，y1<y2D. 当x1>x2时，y1<y28.下列说法不正确的是()A. 正比例函数是一次函数的特殊形式B. 一次函数不一定是正比例函数C. y=kx+b是一次函数D. y=2x的图象经过第一、三象限9.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=12x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是y轴正半轴上的一点，当∠CAO=2∠BAO时，则点C的纵坐标是()A. 2B. 2√53C. 2√63D. 8310.对于一次函数y=(k−3)x+2，y随x的增大而增大，k的取值范围是()A. k<0B. k>0C. k<3D. k>3二、填空题11.点P(−1,y1)和点Q(−2,y2)是一次函数y=−3x+m的图象上的两点，则y1，y2的大小关系是______．12.一次函数y=kx+b(k≠0)，当−2≤x≤3时，−1≤y≤9，则k+b=______．13.函数y=kx+b的图象平行于直线y=−2x，且与y轴交于点(0,3)，则k=______ ，b=______ ．14.将直线y=2x+1平移后经过点(5,1)，则平移后的直线解析式为______．15.一次函数y=mx+|m−1|的图象过点(0,4)且y随x的增大而减小，则m=______．三、解答题16.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(−2,−1)，B(1,3)两点，求该一次函数的表达式．17.已知一次函数的图象过点(3,5)与点(−4,−9)．(1)求这个一次函数的解析式．(2)若点(3a,2a+1)在这个函数的图象上，求a的值．18.已知一次函数的图象经过点(3,1)和(0,−2)(1)求该函数图象与x轴的交点坐标；(2)判断点(−3,6)是否在该函数图象上．19.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+4过点A(6,m)且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C.过点C且与y=3x平行的直线交y轴于点D．(1)求直线CD的解析式；(2)直线AB与CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，平移到经过点B的位置结束，求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数图象有关知识．对于各选项，先确定一条直线的位置得到a和b的符号，然后根据此符号判断另一条直线的位置是否符合要求．【解答】解：A.若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a>0，b>0，所以直线y=bx+a 经过第一、二、三象限，所以A选项错误；B.若经过第一、二、四象限的直线为y=ax+b，则a<0，b>0，所以直线y=bx+a 经过第一、三、四象限，所以B选项错误；C.若经过第一、三、四象限的直线为y=ax+b，则a>0，b<0，所以直线y=bx+a 经过第一、二、四象限，所以C选项正确；D.若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a>0，b>0，所以直线y=bx+a 经过第一、二、三象限，所以D选项错误．故选C．2.【答案】D【解析】解：∵在一次函数y=2x−3中，k=2>0，b=−3<0，∴一次函数图象在一、三、四象限，故选：D．根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)是一条直线，当k>0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0,b)．3.【答案】A【解析】解：∵正比例函数y=kx，且y随x的增大而增大，∴k>0．在直线y=2x+k中，∵2>0，k>0，∴函数图象经过第一、二、三象限．故选：A．先根据正比例函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．4.【答案】A【解析】C解：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a>0，b<0；而对于>0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确．抛物线y=ax2−bx来说，对称轴x=−−b2aB、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a<0，b<0；而对于抛物线y=ax2−bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a<0，b>0；而对于抛物线y=ax2−bx<0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误，来说，对称轴=−−b2aD、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线y=ax2+bx 来说，图象应开口向上，故不合题意，图形错误．故选：A．首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．5.【答案】B【解析】解：当x=0时，y=0+1=1，当y=0时，x=−1，∴OC=OA1=1，△A1OC是等腰直角三角形，同理可得：△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……都是等腰直角三角形，于是：A1(0,1)，A2(1,2)，A3(3,4)，A4(7,8)……A2019(22018−1,22018)故选：B．分别求出A1、A2、A3、A4、A5……，探究坐标的变化规律，进而得出A2019的坐标，做出选择即可．考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，找出坐标之间的规律是解决问题的关键．6.【答案】B【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y=−2x的图象沿y轴负方向平移4个单位长度所得函数的解析式为y=−2x−4，∵此时与x轴相交，则y=0，∴−2x−4=0，即x=−2，∴点坐标为(−2,0)，故选：B．根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令y=0，解得即可．本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．7.【答案】D【解析】解：∵正比例函数y=−x，k=−1<0，∴y随x的增大而减小，∴当x1>x2时，y1<y2，故选：D．根据正比例函数的增减性即可判断；本题考查一次函数图象上的点的特征，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用一次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．8.【答案】C【解析】解：A、正比例函数是一次函数的特殊形式，正确；B、一次函数不一定是正比例函数，正确；C、y=kx+b当k≠0时是一次函数，故错误；D、y=2x的图象经过第一、三象限，正确，故选：C．根据正比例函数与一次函数的关系、一次函数的定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．考查了正比例函数、一次函数的定义及它们的性质，属于函数的基础知识，比较简单．9.【答案】D【解析】解：设点C的坐标为(0,c)，作BD⊥AC于点D，∵直线y=12x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，∴点A(−2,0)，点B(0,1)，∴OA=2，OB=1，∵∠CAO=2∠BAO，∴AB平分∠OAC，∴BD=OB=1，∵S△ABC=AC⋅BD2=BC⋅OA2，∴√c2+22×12=(c−1)×22，解得，c=83，即点C的纵坐标是83，故选：D．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理和等积法可以求得点C的纵坐标的长度，本题得以解决．本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．10.【答案】D【解析】解：根据一次函数的性质，对于y=(k−3)x+2，当k−3>0时，即k>3时，y随x的增大而增大．故选：D．一次函数y=kx+b，当k>0时，y随x的增大而增大．据此列式解答即可．本题考查了一次函数的性质．一次函数y=kx+b，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．11.【答案】y1<y2【解析】解：k =−3<0，故函数y 的值随x 的增大而减小，∵−1>−2，∴y 1<y 2，故答案为：y 1<y 2．k =−3<0，故函数y 的值随x 的增大而减小，即可求解．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图象上增减性与k 值的关系，进而求解．12.【答案】5或3【解析】解：当k >0时，由题意得：x =−2，y =−1，x =3，y =9，将上述数值代入函数表达式得：{−1=−2k +b 9=3k +b ，解得：{k =2b =3； 当k <0时，同理可得：k =−2，b =5，故k +b =5或3，故答案为5或3．当k >0时，由题意得：x =−2，y =−1，x =3，y =9，将上述数值代入函数表达式，可求k 、b 的值；当k <0时，同理可得：k =−2，b =5，即可求解．本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，要求学生熟悉一次函数图象上点的坐标特征，确定相应的的坐标，进而确定函数表达式．13.【答案】−2；3【解析】解：∵y =kx +b 的图象平行于直线y =−2x ，∴k =−2，则直线y =kx +b 的解析式为y =−2x +b ，将点(0,3)代入得：b =3，故答案为：−2，3．根据互相平行的直线的解析式的k 值相等求出k =−2，然后设一次函数的解析式为y =−2x +b ，再把与y 轴的交点坐标代入求出b 的值，从而得解．本题考查了两直线相交的问题，熟记互相平行的直线的解析式的k 值相等并求出k 值是解题的关键．14.【答案】y =2x −9【解析】解：设平移后的解析式为：y =2x +b ，∵将直线y =2x +1平移后经过点(5,1)，∴1=10+b ，解得：b =−9，故平移后的直线解析式为：y =2x −9．故答案为：y =2x −9．直接利用一次函数平移的性质假设出解析式进而得出答案．此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确假设出解析式是解题关键． 15.【答案】−3【解析】解：∵一次函数y =mx +|m −1|的图象过点(0,4)，∴|m −1|=4，解得：m =−3或5，∵y 随x 的增大而减小，∴m <0，∴m =−3，故答案为：−3．根据一次函数与y 轴交点可得|m −1|=4，解出m 的值，然后再根据y 随x 的增大而减小确定答案．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握直线y =kx +b(k 、b 为常数、k ≠0)与y 轴交于(0,b)点．16.【答案】解：∵一次函数y =kx +b 的图象经过A(−2,−1)，B(1,3)两点， ∴{−2k +b =−1k +b =3， 解得{k =43b =53， ∴一次函数的表达式为y =43x +53．【解析】直接把(−2,−1)，(1,3)代入一次函数y =kx +b 中可得关于k 、b 的方程组，再解方程组可得k 、b 的值，进而求出一次函数的解析式．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．17.【答案】解：(1)设函数解析式为y =kx +b ，将点(3,5)与点(−4,−9)代入上式，得{3k +b =5−4k +b =−9， 解得{k =2b =−1， 一次函数的解析式为y =2x −1；(2)将点(3a,2a +1)代入y =2x −1，得2a +1=2⋅3a −1，解得a =12．【解析】(1)先设一次函数解析式一般式，再把两个点坐标代入一般式中，得到二元一次方程组，求解二元一次方程组，即可得出答案；(2)把点的坐标代入(1)中的解析式中，可得到一元一次方程，求解方程即可得出答案． 本题主要考查应用待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象点的特征，待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：(1)先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y =kx +b ；(2)将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．本题属于基础题，比较简单． 18.【答案】解：(1)设该一次函数的关系式为y =kx +b(k ≠0)，将点(3,1)和(0,−2)代入y =kx +b ，得：{3k +b =1b =−2， 解得：{k =1b =−2， ∴该函数关系式为y =x −2．当y =0时，x −2=0，解得：x =2，∴该函数图象与x 轴的交点坐标是(2,0)．(2)当x =−3时，y =−3−2=−5，∵−5≠6，∴点(−3,6)不在该函数图象上．【解析】(1)根据点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数关系式，再代入y =0求出与之对应的x 值，进而可得出该函数图象与x 轴的交点坐标；(2)代入x =−3求出与之对应的y 值，将其与6比较后即可得出结论．本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y =kx +b ．19.【答案】解：(1)把A(6,m)代入y =−x +4得m =−6+4=−2，则A(6,−2)， ∵点A 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C ，∴C(4,2)，∵过点C 且与y =3x 平行的直线交y 轴于点D ，∴CD 的解析式可设为y =3x +b ，把C(4,2)、代入得12+b =2，解得b =−10，∴直线CD 的解析式为y =3x −10；(2)当x =0时，y =−x +4，则B(0,4)，当y =0时，3x −10=0，解得x =103，则直线CD 与x 轴的交点坐标为(103,0)； 易得CD 平移到经过点B 时的直线解析式为y =3x +4，当y =0时，3x +4=0，解的x =−43，则直线y =3x +4与x 轴的交点坐标为(−43,0)， ∴直线CD 在平移过程中与x 轴交点的横坐标的取值范围为−43≤x ≤103．【解析】(1)先把A(6,m)代入y =−x +4得A(6,−2)，再利用点的平移规律得到C(4,2)，接着利用两直线平移的问题设CD 的解析式为y =3x +b ，然后把C 点坐标代入求出b 即可得到直线CD 的解析式；(2)先确定B(0,4)，再求出直线CD 与x 轴的交点坐标为(103,0)；易得CD 平移到经过点B 时的直线解析式为y =3x +4，然后求出直线y =3x +4与x 轴的交点坐标，从而可得到直线CD 在平移过程中与x 轴交点的横坐标的取值范围．本题考查了一次函数与几何变换：求直线平移后的解析式时要注意平移时k 的值不变，会利用待定系数法求一次函数解析式．。

28道初中数学函数及其图像检测题，每道都是经典（内含答
案）
函数是初中数学中的一个基本概念，也是代数学里面最重要的概念之一。

函数就是设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。

我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

函数对于很多初中同学还说都是一个重难点，下面是小编今天带来的28道初中数学函数及其图像检测题，同学们赶紧练习一下，看自己掌握的如何。

初中数学对函数的学习只是基本的知识学习，进入高中后还会更深入的学习函数知识。

同学们在初中学习的时候一定要掌握好，打好基础，不然高中学习函数的时候就无法跟上老师的进度！如果您的孩子在学科知识点记忆上存在问题、学习效率不高，。