1．1 反比例函数
1．了解反比例函数的基本概念及确定反比例函数自变量的范围．
2．学会根据实际情况确定反比例函数
自变量的取值范围．(重点，难点)
3．学会利用反比例函数的基本形式建
立简单的数学模型．
一、情境导入
你吃过拉面吗？有人能拉到细如发丝，同时还能做到丝丝分明．实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识．
一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与面条的粗细之间有什么关系呢？
二、合作探究
探究点一：反比例函数的相关概念 【类型一】反比例函数的识别及比例系
数
下列函数中，哪些一定是反比例
函数，若是，写出其比例系数．
①y ＝3x ；②y ＝m 2＋1
x (m 为常数)；③y
＝
3x －2
；④y ＝－6x ；⑤y ＝－4x －
1；⑥xy ＝2.
解析：②中m 2
＋1≠0，故y ＝m 2
＋1x
是
反比例函数；④中y ＝－6
x
是反比例函数；⑤
中y ＝－4x －1＝－4
x 是反比例函数；⑥中xy
＝2可变形为y ＝2
x ，也满足定义．所以
②④⑤⑥是反比例函数．①为正比例函数，
③中y 与x －2成反比例，但y 不是x 的反比
例函数．求比例系数先将其化为y ＝k
x 的形
式，k 即为比例系数．
解：一定是反比例函数的有：②④⑤⑥；②y ＝m 2＋1x (m 为常数)的比例系数为m 2＋1，
④y ＝－6x 的比例系数为－6，⑤y ＝－4x －
1的
比例系数是－4，⑥xy ＝2的比例系数为2.
方法总结：(1)辨别一个函数是否为反比
例函数，必须具备y ＝k
x (k 为常数，k ≠0)的
形式，且比例系数不为0；(2)反比例函数可写成如下三种形式：①y ＝k
x ，②xy ＝k ，③y
＝kx －1，但要注意三种形式中都有k ≠0. 【类型二】根据反比例函数的概念求字
母系数的值
若函数y ＝(m ＋1)xm 2－2是反比
例函数，求m 的值．
解：由反比例函数的定义可知，
⎩
⎪⎨⎪⎧m 2－2＝－1，m ＋1≠0，解得m ＝1. 方法总结：反比例函数的基本形式y ＝
kx－1(k≠0，k为常数)，解题时k的取值不为0及x项的次数为－1，两个条件缺一不可．
探究点二：反比例函数自变量的取值范围及函数值
已知反比例函数y＝－
1
2x.
(1)写出这个函数自变量的取值范围；
(2)求当x＝－
1
2时函数的值；
(3)求当y＝2时自变量x的值．
解析：(1)中反比例函数的自变量x位于
分母的位置，其取值范围为x≠0，(2)(3)中
求函数和自变量的值，分别把已知量代入y
＝－
1
2x中即可求出结果．
解：(1)x≠0；
(2)把x＝－
1
2代入y＝－
1
2x得，y＝－
1
2×（－
1
2）
＝1.即当x＝－
1
2时，函数的值为
1；
(3)当y＝2时，－
1
2x＝2，解得x＝－
1
4.
即当y＝2时，自变量x的值为－
1
4.
方法总结：反比例函数的自变量的取值
范围是所有非零实数，但在实际问题中，应
该根据具体情况来确定(如例4)．
探究点三：建立简单的反比例函数模型
如图所示，某学校广场有一段25
米长的旧围栏(图中用线段AB表示)．现打
算利用该围栏的一部分(或全部)为一边建成
一块面积为100米2的矩形草坪(图中的矩形
CDEF，CD长度为x米，新围栏CD的长度为y米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出
自变量x的取值范围；
(2)若利用旧围栏12米，整修旧围栏的
价格为 1.75元/米，建新围栏的价格为 4.5
元/米，则计划修建费用应为多少元？
解析：可先利用面积把长与宽表示出
来，再写出y与x之间的关系，再利用x＝
12求出y的值．
解：(1)∵S矩形CDEF＝CD·CF＝xy＝100，
∴y＝
100
x(10(2)由(1)知，当x＝12时，y＝
25
3.计划修
建费用为：1.75x＋4.5(x＋
200
x)＝6.25x＋
900
x
＝6.25×12＋
900
12＝150(元)．即计划修建费
用应为150元．
方法总结：解此类题型，首先要理解题
意，然后根据已知条件选择合适的数学模
型，最后根据实际情况确定自变量的取值范
围．
三、板书设计
反比例函数
⎩⎪
⎨
⎪⎧
定义
自变量：x≠0
形式
⎩⎪
⎨
⎪⎧y＝k x（k≠0）
xy＝k（k≠0）
y＝kx－1（k≠0）
.
