2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系.(易混点)[基础·初探]教材整理1 平面向量的正交分解及坐标表示 阅读教材P 94～P 95内容，完成下列问题. 1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示.显然，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若OA →＝(2，－1)，则点A 的坐标为(2，－1).( )(2)若点A 的坐标为(2，－1)，则以A 为终点的向量的坐标为(2，－1).( ) (3)平面内的一个向量a ，其坐标是唯一的.( )【解析】 (1)正确.对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表示相同. (2)错误.以A 为终点的向量有无数个，它们不一定全相等. (3)正确.由平面向量坐标的概念可知. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√教材整理2 平面向量的坐标运算阅读教材P 96“思考”以下至P 97例4以上内容，完成下列问题.1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.2.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.3.若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.4.向量坐标的几何意义：图2-3-13在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1).如图2-3-13所示.1.已知a ＝(2,1)，b ＝(3，－2)，则3a －2b 的坐标是( ) A.(0，－7) B.(0,7) C.(－1,3)D.(12，－1)【解析】 3a －2b ＝3(2,1)－2(3，－2) ＝(6,3)－(6，－4)＝(0,7). 【答案】 B2.已知A (3,1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( ) A.(－2，－1) B.(2,1) C.(1,2)D.(－1，－2) 【解析】 BA →＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2). 【答案】 C[小组合作型]平面向量的坐标表示(1)已知AB →＝(1,3)，且点A (－2,5)，则点B 的坐标为( ) A.(1,8) B.(－1,8) C.(3,2)D.(－3,2)(2)如图2-3-14，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OC →＝________；OD →＝________.图2-3-14图2-3-15(3)如图2-3-15，已知在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求点B 和点D 的坐标和AB →与AD →的坐标.【精彩点拨】 表示出各点的坐标→用终点坐标减去起点坐标→得相应向量的坐标【自主解答】 (1)设B 的坐标为(x ，y )，AB →＝(x ，y )－(－2,5)＝(x ＋2，y －5)＝(1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝1，y －5＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝8，所以点B 的坐标为(－1,8).(2)如题干图，OC →＝－OA →＝－(－1，－1)＝(1,1)， 由正方形的对称性可知，B (1，－1)，所以OB →＝(1，－1)， 同理OD →＝(－1,1).【答案】 (1)B (2)(1，－1) (1,1) (－1,1)(3)由题意知B, D 分别是30°，120°角的终边与以点O 为圆心的单位圆的交点.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2).由三角函数的定义，得x 1＝cos 30°＝32，y 1＝sin 30°＝12， 所以B ⎝⎛⎭⎫32，12.x 2＝cos 120°＝－12，y 2＝sin 120°＝32， 所以D ⎝⎛⎭⎫－12，32.所以AB →＝⎝⎛⎭⎫32，12，AD →＝⎝⎛⎭⎫－12，32.求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标.(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.[再练一题]1.已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标. 【导学号：00680048】【解】 如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)， ∴C (1，3)，D ⎝⎛⎭⎫12，32，∴AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)， BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)， BD →＝⎝⎛⎭⎫12－2，32－0＝⎝⎛⎭⎫－32，32.平面向量的坐标运算(1)设AB →＝(2,3)，BC →＝(m ，n )，CD →＝(－1,4)，则DA →等于( ) A.(1＋m,7＋n ) B.(－1－m ，－7－n ) C.(1－m,7－n ) D.(－1＋m ，－7＋n )(2)已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－4，12 B.⎝⎛⎭⎫4，－12 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D.(8,1)(3)若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →的坐标.【精彩点拨】 (1)可利用向量加法的三角形法则将DA →分解为DC →＋CB →＋BA →来求解. (2)可借助AB →＝OB →－OA →来求12AB →坐标.(3)可利用AB →＝(x B －x A ，y B －y A )来求解. 【自主解答】 (1)DA →＝DC →＋CB →＋BA →＝－CD →－BC →－AB → ＝－(－1,4)－(m ，n )－(2,3) ＝(－1－m ，－7－n ). (2)12A B →＝12(OB →－OA →)＝12[](－5，－1)－(3，－2)＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12，∴12AB→＝⎝⎛⎭⎫－4，12.【答案】(1)B(2)A(3)∵AB→＝(－2,10)，BC→＝(－8,4)，AC→＝(－10,14)，∴AB→＋2BC→＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－2,10)＋(－16,8)＝(－18,18)，BC→－12AC→＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3).平面向量坐标的线性运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.[再练一题]2.已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－13b.【解】(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).(3)12a－13b＝12(－1,2)－13(2,1)＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23.[探究共研型]向量坐标运算的综合应用探究1 已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →.当t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？【提示】 ∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t ). 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0， ∴t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， ∴t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.探究2 对于探究1条件不变，四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由.【提示】 ∵OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t ). 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解. 故四边形不能成为平行四边形.已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10).若A P →＝A B →＋λA C →(λ∈R )，试求λ为何值时， (1)点P 在一、三象限角平分线上；(2)点P 在第三象限内. 【导学号：70512032】【精彩点拨】 解答本题可先用λ表示点P 的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解.【自主解答】 设点P 的坐标为(x ，y )， 则A P →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，A B →＋λ·A C →＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)] ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ). ∵A P →＝A B →＋λA C →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ. (1)若P 在一、三象限角平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12，∴λ＝12时，点P 在一、三象限角平分线上.(2)若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1.当λ<－1时，点P 在第三象限内.1.解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.2.坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.[再练一题]3.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图2-3-16所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.图2-3-16【解析】 以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3).由c ＝λa ＋μb ，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.【答案】 41.已知OA →＝(4,8)，OB →＝(－7，－2)，则3AB →＝( ) A.(－9,18) B.(9，－18) C.(－33，－30)D.(33,30)【解析】 3AB →＝3(OB →－OA →)＝3[(－7，－2)－(4,8)]＝(－33，－30). 【答案】 C2.若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是( ) A.(5,3) B.(4,3) C.(8,3)D.(0，－1)【解析】 3a ＋2b ＝3(2,1)＋2(1,0)＝(8,3). 【答案】 C3.若向量AB →＝(1,2)，BC →＝(3,4)，则AC →等于( ) A.(4,6) B.(－4，－6) C.(－2，－2)D.(2,2) 【解析】 由AC →＝AB →＋BC →＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6).故选A. 【答案】 A4.已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________.【导学号：00680049】【解析】 AB →＝(3，－4)，则与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫35，－45 5.已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求MN →的坐标. 【解】 因为A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，所以CA →＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)， CB →＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，所以CM →＝3CA →＝(3,24)， CN →＝2CB →＝(12,6).设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝3，y ＋4＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20，所以M (0,20)，同理可得N (9,2)， 所以MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18).。
