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b
|
3，| a
b
2 |
3
2 3
一、平面向量概念 4.实数λ与向量 a 的积
定义：λa是一个 向量.
它的长度 |λa| = |λ| |a|；
它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向 与a方向相同； (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！ 坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
2
为△OAB的中线公式(向量式)．
例5. 设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求证：A、B、D 三点共线。
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
a b，当a，b反向时
2
(3)a a a , a a a x12 y12
4cos a b x1x2 y1 y2
ab
x12 y12
x22
y
2 2
(a, b是两个非零向量)
5a b a b
例1. 证明对任意a、b有：a b a b a b
证明: (1)若a，b有一个为0,结论显然成立。
向量垂直充要条件的两种形式:
(1)a b a • b 0
(2)a b a • b x1x2 y1 y2 0
（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的
坐标相等 .
即: a 那么 a
(x1, b
y1),
x1
b
(x2, y2 )
x2且y1
y2
三、平面向量的基本定理
如果 e1, e2是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量a，有且只有一对实数1, 2 ,使
a 1e1 2 e2
(四) 数量积
1、平面向量数量积的定义：a b | a | | b | cos
2、数量积的几何意义： 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 方向上的投影 | b | cos 的乘积.
3、数量积的坐标运算
一、平面向量概念
1.向量的加法运算 三角形法则
平行四边形法则
CB
C
AB+BC= AC
OA+OB= OC
A
BO
A
重要结论：AB+BC+CA= 0
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
一、平面向量概念
2.向量的减法运算
知 识
向量的概念
零向量、单位向量、 共线向量、相等向量
解决
网
图形
络
平 面
加法、减法
向量平行的充要条件
的平 行和 比例
向 量
数乘向量
平面向量基本定理
问题 的
初
向 量
坐标表示
两向量的夹角公式
解决 步 图形 应
的垂 用
两向量数量积
向量垂直的充要条件 直和 角度,
两点的距离公式
长度 问题
一、平面向量概念
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
BA BC __C__A__; BC CA __B_A___; OD OA __A_D___;
OA OB __B_A___ .
C
O
D b
`
120o
a
B
A
解：以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，
由于 | AD || AB | 3，故此四边形为菱形
由向量的加减法知
AC 故|
a AC
|a|cosθ=
ab |b|
2 (4) 3 7 13 65 .
(4)2 72
65 5
例
15．已知
a
b
1，且
ab
( 3 , 5
4) 5
求：① a 与 b 的夹角θ；② a b
a
b
(
3
,
4)
a b
1
解：
即（a
b）2＝5 a52
2a
b
b 2＝1
a
b＝
1
2
cos
a
b，DB || a b
ab |，| DB ||
a
b
|
D
因为DAB 120O，所以DAC 60O b
C
O
12`0o
a
B
A
所以ADC是正三角形，则 | AC | 3
由于菱形对角线互相垂直平分,所以AOD是直角三角形，
| OD || AD | sin 60o 3 3 3 3
所以
|
a
cos a b
2
3e172e2
2
6e1
1
e1e 2
2
e2
2
7 2
a b 7 7 2
∴θ=120°
[解] [答案] C
例18(06陕西)已知非零向量 AB与 AC满足
(
AB AB
+
AC AC
) BC=0且
(
7 2
,
3) 2
例13、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2), C(4,3),BC边上的高为AD。 （1）求证：AB⊥AC； （2）求点D和向量AD的坐标； （3）求证：AD2=BD·DC
解：（1）A(2,4) B(-1,-2) C(4,3) AB=(-3,-6) AC=(2,-1) AB·AC=(-3)×2+(-6)×(-1)=0 AB⊥AC
∴ A、B、D 三点共线
例6.设非零向量a, b不共线，c ka b, d a kb (k R), 若c // d,试求 k.
解：∵ ∴由向量共线的充要条件得：
即
又∵ 不共线 ∴由平面向量的基本定理
例7.已知向量a 1, 2,b x,1,分别求出当
a 2b与2a b平行和垂直时实数x的值.
x y
x y
2 2
顶点D的坐标为（2，2）
例9. 已知A(－2，1)，B(1，3)，求线段AB中 点M和三等分点坐标P，Q的坐标 .
解：(1) 求中点M的坐标，由中点公式可知 M(－ 1 ，2)
2
(2) 因为 AB OB OA =(1，3)－(－2，1) =(3，2)
OP OA 1 AB 3
b
ab
1 2
[0 ,180 ] 120
a
b
2
a
2
2a
b
b2
3
ab
3
2
2
2
2
2
解：∵ a 2e1 e2 2e1 e2 4e1 4e1e 2 e 2
4
e1
2
e2
2
4
e1
e2
cos 60
41 411
1 2
1
7
∴ a 7 同理可得 b 7
ab
2e1 e2
（3）AD=(
3 2
,-
3 2
)
BD=(
9 2
,
9 2
)
D|ACD=|2(=12
,
9
4
1 2
)
+
9 4
=
9 2
BD·DC=
9 4
+
9 4
=
9 2
∴AD 2=BD·DC
例14.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（ C ）
A. 13 B. 13 5
C. 65 D. 65 5
解析 设a和b的夹角为θ，
重要概念：
（1）零向量： 长度为0的向量，记作0. （2）单位向量：长度为1个单位长度的向量. （3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
的非零向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
一、平面向量概念
向 量 几何表示 : 有向线段 的 字母表示 表 示 坐标表示 : (x，y)
（2）D(x,y)
AD=(x-2,y-4) BC=(5,5)
BD=(x+1,y+2) AD⊥BC
∴AD·BC=0
5(x-2)+5(y-4)=0 又B、D、C共线
∴5×(x+1)-5(y+2)=0
x+y-6=0 x-y-1=0
x=
7 2
y=
5 2
AD=(
3 2
,-
3 2
)
D(
7 2
,
52)
例13、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2), C(4,3),BC边上的高为AD。 （1）求证：AB⊥AC； （2）求点D和向量AD的坐标； （3）求证：AD2=BD·DC
例8． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求 顶点D的坐标．
解：设顶点D的坐标为（x，y） AB (1 （ 2），3 1）（1，2）
DC (3 x,4 y)
由AB DC，得
(1,2) (3 x,4 y)
2 1
3 4
（3）已知a (3,0),b (k,5)，且a与b的夹角为3 ，
4 求k的值.
例 12、以原点 O 和 A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形 OAB，∠B=90°，求点 B 和 AB 的坐标。
解：设点 B 的坐标为（x,y），
则 OB (x, y), AB (x 5, y 2)
