[解析] 解法一：2a－3b＝2(5,4)－3(3,2)＝(1,2)． 设与 2a－3b 平行的单位向量为(x，y)， 则xy2－＋2yx2＝＝01 ，
解得 x1＝
5 5
，或 x2＝－
5 5
.
y1＝2 5 5
y2＝－2 5 5
∴所求的单位向量为 55，2 55或－ 55，－25 5.
解法二：与 2a－3b 平行的单位向量是
±|22aa－－33bb|＝±1，52＝±
55，2
5
5
∴所求的单位向量为 55，2 55或－ 55，－25 5.
▪ [例3] 设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a ＋b|的值．
▪ [分[解析析]] 解本法题一：考因查为|向3a－量2b的|＝模3，的求法及有关 数所量以积9a的2－运12a算·b＋．4b2＝9.
章末归纳总结
▪ 1．向量运算 ▪ (1)加法运算 ▪ 加法法则：
▪ 运算性质：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b ＋c)，a＋0＝0＋a＝a.
▪ 坐标运算：设a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．
▪ (2)减法运算： ▪ 减法法则：
▪ 坐标运算：
▪ 设a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
▪ ▪
a设－Ab、A→＝B＝B(两x(x12－－点xx1的，2，y坐2－y标1y－1)分．y2别)．为(x1，y1)，(x2，y2)，
▪ (3)实数与向量的积
▪ 定义：λa，其中λ＞0时，λa与a同向，当λ ＜0时，λa与a反方向，当λ＝0时，0a＝0.
▪ 其中正确命题的序号为___a·b＝0，故①不正 确；
▪ ②由向量加减法的平行四边形法则知， a⊥b时，平行四边形为矩形，故对角线相 等，②正确．也可由a·b＝0证得|a＋b|＝ |a－b|；
▪ ③数量积不满足结合律，③不正确；
▪ ④(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0， 故④正确．故填②④.
▪ [例1] 下列几个命题： ▪ ①若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
▪ ②a，b为非零向量，且a⊥b，则|a＋b|＝|a －b|；
▪ ③ 对 非 零 向 量 a ， b ， c ， 必 有 a·(b·c) ＝ (a·b)·c；
▪ ④ 向 量 a 与 b 不共 线 ， 且 |a|＝ |b|， 则 (a ＋ b)·(a－b)＝0
[例 4] 已知 a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－2π<θ<2π.
(1)若 a⊥b，求 θ；
(2)求|a＋b|的最大值． [分析] 利用向量的模、向量垂直条件以及三角函数的性 质求解．(1)由 a⊥b 的坐标表示形式求出 tanθ＝－1，进而求 得 θ.(2)先求 a＋b 的坐标，再写出其模关于角 θ 的函数关系式， 利用三角函数的有界性可求|a＋b|的最大值．本题用到公式： sinθ＋cosθ＝ 2sin(θ＋π4)．
▪ 坐标运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则
▪ a·b＝x1x2＋y1y2.
▪ 2．重要的定理、公式
▪ (1)平面向量基本定理
▪ 如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向 量，那么对该平面内的任一向量a，有且 只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
▪ (2)两向量平行的条件：a∥b⇔存在实数λ， 使a＝λb(b≠0)．
▪ 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ▪ a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
▪ (3)两个非零向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝ 0.
▪ 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ▪ a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
▪ (1)数学中研究的向量只有大小和方向，与 物理中研究的向量不完全一样．如力向量 除与大小和方向有关外，还与作用点有 关．向量可以分别用有向线段、字母、坐 标表示.
▪ (2)对于向量的线性运算，要掌握向量加法 和向量数乘的几何意义，利用向量的加法 证明几何中的线段平行、相等等问题，利 用向量数乘可以解决线段平行、相等等问 题．
▪ (3)平面向量基本定理是向量坐标表示的理 论基础．直角坐标系中与x、y轴方向相同 的单位向量是它的一组正交基底，平面上 任何一个向量都可以由一对有序实数对(x、 y)表示．向量的坐标表示使向量的运算代 数化，也为我们提供了解决问题的方法——
a·b＝a·c，但 b≠c；C 错，因为A→B＝O→B－O→A，故选 D.
▪ [例2] 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝ (－1,2)，c＝(4,1)．
▪ (1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
▪ (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
▪ (3)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－ c|＝1，求向量d.
▪ [点评] 解法一运用了将模平方的方法，并 且注意到了整体代换；解法二运用向量的 坐标法处理，显得较繁，但体现了设未知 而不求的大局观念．
▪ 已知a，b都是非零向量，若－3a＋b与5a＋ 7b垂直，16a＋11b与2a－7b垂直，试求a与 b的夹角．.
▪ [解析] ∵－3a＋b与5a＋7b垂直，∴(－3a
▪ 已知a＝(cosα，sinα)．b＝(cosβ，sinβ)， 0<α<β<π.
▪ (1)求|a|的值； ▪ (2)求证：a＋b与a－b互直垂直．
[解析] (1)|a|＝ cos2α＋sin2α＝1； ∴|a|＝1. (2)∵|a|＝1，|b|＝1， ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝1－1＝0， ∴a＋b 与 a－b 互相垂直．
▪ 运算律：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa， λ(a＋b)＝λa＋λb，
▪ 坐标运算：设a＝(x，y)则λa＝λ(x，y)＝(λx， λy)．
▪ (4)平面向量的数量积 ▪ 定 义 ： a·b ＝ |a||b|cosθ(a≠0 ，
b≠0,0°≤θ≤180°)，0·a ＝0. ▪ 运算律：a ·b＝b·a， ▪ (λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)， ▪ (a＋b)·c＝a·c＋b·c.
▪ (5)运算律是运算的灵魂．要注意将向量的 运算律与数量的运算律类比．当a、b、c 两 两 不 平 行 时 ， (a·b)c≠a(b·c) ． 当 a·b ＝ b·c时，不一定有a＝c.但当a＝c时，一定 有a·b＝b·c.
▪ (6)学习本章应注意类比，如向量的运算法 则及运算律可与实数相应的运算法则及运 算律进行横向类比．而一维情形下向量的 共线条件与二维的平面向量基本定理又可 进行纵向类比．
▪ [分析] 主要考查向量的坐标运算、共线 条件以及运算能力．
[解析] (1)∵a＝mb＋nc， ∴(3,2)＝(－m＋4n,2m＋n)，
∴－2mm＋＋n4＝n＝2 3 ，∴mn＝＝8959
.
(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又 a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即 k＝－1163；
▪ [答案] ②④
下列说法正确的是
A．两个单位向量的数量积为 1 B．若 a·b＝a·c，且 a≠0，则 b＝c C.A→B＝O→A－O→B
D．若 b⊥c，则(a＋c)·b＝a·b
()
▪ [答[解案析]] AD错，因为两个单位向量的夹角未给出，故不能
求其数量积；B 错，举反例．当 b＝0，c≠0，且 a⊥c，满足
(3)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)， 又(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝1， ∴4x－x－442＋－2y－y－112＝＝10 ，
x＝4＋ 解得
5 5
y＝1＋25 5
x＝4－ ，或
5 5
y＝1－25 5
.
所以 d＝4＋ 55，1＋25 5或 d＝4－ 55，1－25 5.
▪ 已知a＝(5,4)，b＝(3,2)，则与向量2a－3b平 行[的答案单] 位( 向55，量25为5)或__(－__5_5_，_－_．255)
＋b)·(5a＋7b)＝0.
▪ ∴－15a2－16a·b＋7b2＝0，①
▪ 同理由16a＋11b与2a－7b垂直，得32a2－ 90a·b－77b2＝0，②
▪ 由11×①＋②，得－133a2－266a·b＝0，
▪ ∴a·b＝－a2，③ ▪ 将③代入①，得a2＝b2，∴|a|＝|b|.
▪ 又∵<a，b>∈[0°，180°]，∴<a，b>＝120°.
又|a|＝|b|＝1，所以 a·b＝13，
故|3a＋b|＝ 3a＋b2＝ 9a2＋6a·b＋b2
＝ 9＋6×13＋1＝2 3.
解法二：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 因为|a|＝|b|＝1，所以 x12＋y21＝x22＋y22＝1. 因为 3a－2b＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，故有 |3a－2b|＝ 3x1－2x22＋3y1－2y22＝3， 所以 x1x2＋y1y2＝13. 所以|3a＋b|＝ 3x1＋x22＋3y1＋y22 ＝ 9x21＋9y21＋x22＋y22＋6x1x2＋y1y2 ＝ 9＋1＋6×13＝2 3.
向量坐标法．同时，也体现了向量与解析 几何的联系，用向量方法可以解决解析几 何问题．通过向量的学习，体会向量在解 析几何中的应用．
▪ (4)向量的数量积不同于向量的线性运算， 因为它的运算结果是数量，而不是向 量．向量的数量积与距离、夹角有密切联 系，用它可以解决一些涉及距离、夹角的 几何度量问题，特别是有关垂直的问 题．向量的数量积与两向量的夹角有关， 体现了它与三角函数的联系．
[解析] (1)若 a⊥b，则 sinθ＋cosθ＝0，得 tanθ＝－1(－2π
<θ<π2)， ∴θ＝－4π.
(2)由 a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)， 得|a＋b|＝ sinθ＋12＋1＋cosθ2 ＝ 3＋2sinθ＋cosθ＝ 3＋2 2sinθ＋4π. 当 sin(θ＋4π)＝1 时，|a＋b|取最大值，且|a＋b|的最大值为 2＋1.
