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必修4-平面向量总复习ppt课件

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高中数学必修四《平面向量》PPT

高中数学必修四《平面向量》PPT

B、e1和3e2 D、e1和e1 e2
2、指出下列两个向量的夹角。
120
0
1200
600
思维拓展
1、如图所示，在平行四边形ABCD中，
AD =a，AB=b，E、M分别是AD、DC的中
点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为
基底分别表示向量 AM
B
和
F
EF
.
C
M
A ED
思维拓展 2、如图在平行四边形ABCD中， AC =a，BD =b，以a，b为基底分别表示 向量 AB 和 BC 。
AB 1 a- 1 b 22
BC 1 a+ 1 b 22
DF
C
M
AEB
思维拓展
3、设 e1, e2 是平面 的一组基底，如果 AB 3e1 2e2, BC 4e1 e2,CD=8e1 9e2 求证：A、B、D 三点共线．
2.3.1 平面向量基本定理
复习回顾
1.两向量的加法和减法有哪些几何法 则？
2.怎样理解向量的数乘运算 a？
（1）|λa|=|λ||a|；
（2）λ>0时，λa与 a方向相同；
λ<0时，λa与 a方向相反； λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
b与非零a共线
存在唯一实数λ，使b＝λa.
思维引领
问题1：给定平面内任意两个向量e1，e2， 如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？
e1-2e2
B
e2
2e2
C
e1
O e1 D
3e1 A
3e1＋2e2
思维引领
问题2：已知 e1 :
e2 ：
分别用 e1，e2 表示下列向量：

人教版高中数学必修4《平面向量》课件共15页

人教版高中数学必修4《平面向量》课件共15页
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
人教版高中数学必修4《平面向量》 课件
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
• 围绕类比、数形结合、等价转化的数学思想方法这一主题来展 开 教学环节； • 着重培养学生掌握数学的基本思想和提高学生的能力是设计这 堂课的出发点；
• 教学中采用多媒体的手段，使学生的多种感官获得外部刺激， 有利于完善认知结构， 让学生感受到数学变化的美； • 在学生个性情感中融入了创新的意识与胆量。
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
教学方法的选择
1.教学方法---启发探究式的教学方法
•由教材的特点确立类比思维为教学的主线 •由学生的特点确立自主探索式的学习方法
2.教学手段
•多媒体投影仪、计算机辅助教学
教学过程的设计
B
A
O
C
F
D
E
教学过程的设计
4.学习，小结阶段
通过学习小结进行课堂教学反馈，组织和 指导学生归纳知识，技能，方法的一般规 律，为后续学习打好基础。
板书设计
一.向量的概念
［练习1］评析
二.向量的几个表示
［练习2］评析 例题评析
三.相等向量与共线向量
自我教学评价
• 这节课安排了知识引入、知识探索、知识应用、总结和作业等 几个教学环节。既讲授了新知识, 又训练了学生的解题技能;

高中数学必修四第2章《平面向量》ppt课件

高中数学必修四第2章《平面向量》ppt课件

[解析] 解法一：2a－3b＝2(5,4)－3(3,2)＝(1,2)． 设与 2a－3b 平行的单位向量为(x，y)， 则xy2－＋2yx2＝＝01 ，
解得 x1＝
5 5
，或 x2＝－
5 5
.
y1＝2 5 5
y2＝－2 5 5
∴所求的单位向量为 55，2 55或－ 55，－25 5.
解法二：与 2a－3b 平行的单位向量是
±|22aa－－33bb|＝±1，52＝±
55，2
5
5
∴所求的单位向量为 55，2 55或－ 55，－25 5.
▪ [例3] 设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a ＋b|的值．
▪ [分[解析析]] 解本法题一：考因查为|向3a－量2b的|＝模3，的求法及有关 数所量以积9a的2－运12a算·b＋．4b2＝9.
章末归纳总结
▪ 1．向量运算 ▪ (1)加法运算 ▪ 加法法则：
▪ 运算性质：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b ＋c)，a＋0＝0＋a＝a.
▪ 坐标运算：设a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．
▪ (2)减法运算： ▪ 减法法则：
▪ 坐标运算：
▪ 设a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
▪ ▪
a设－Ab、A→＝B＝B(两x(x12－－点xx1的，2，y坐2－y标1y－1)分．y2别)．为(x1，y1)，(x2，y2)，
▪ (3)实数与向量的积
▪ 定义：λa，其中λ＞0时，λa与a同向，当λ ＜0时，λa与a反方向，当λ＝0时，0a＝0.
▪ 其中正确命题的序号为___a·b＝0，故①不正 确；
▪ ②由向量加减法的平行四边形法则知， a⊥b时，平行四边形为矩形，故对角线相 等，②正确．也可由a·b＝0证得|a＋b|＝ |a－b|；

人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件

人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件
2.3.1 平面向量基本定理
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

必修4 平面向量总复习课件

必修4 平面向量总复习课件

3、数量积的坐标运算
B
a ?b ? x1 x2 ? y1 y2
4、运算律: （1） a ?b ? b?a
Oθ
B
A
（2）（? a）?b ? ?（a ?b）? a（? ?b）1
（3）（a ? b）?c ? a ?c ? b ?c
.
5、数量积的主要性质及其坐标表示：
?1?a ? b ? a ?b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
必修四 平面向量
专题 复习
.
知 识
向量的概念
零向量、单位向量、 共线向量、相等向量
解决
网
图形
络
平 面
加法、减法
向量平行的充要条件
的平 行和 比例
向 量
数乘向量
ห้องสมุดไป่ตู้
平面向量基本定理
问题 的
初
向 量
坐标表示
两向量的夹角公式
解决 步 图形 应
的垂 用
两向量数量积
向量垂直的充要条件 直和 角度,
两点. 的距离公式
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
.
一、平面向量概念
2.向量的减法运算
B
1）减法法则： OA－OB = BA
2）坐标运算:
O
A
若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则a － b= (x1 － x2 , y1 － y2)
?5?a ?b ? a ?b
.
例1.设非零向量a , b不共线，c ? ka ? b, d ? a ? kb (k ? R), 若c // d ,试求 k.

高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT

高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
栏目 导引
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：

高中数学必修四人教版第二章：平面向量4ppt课件


一.基本概念
2.零向量及其特殊性
(1)0方向任意(2)0 // a(3)0 0(4) 0 0
(5)0 a a 0 a
(6)0 0
(7)0 a 0
3.单位向量
a 与非零向量a共线的单位向量a0
|a|
一.基本概念
区分向量平行、共线与几何平行、共线
4.平行向量
运算律
| b | cos 叫做向量b在a方向上的投影
ab |a|
可正可负可为零
二.基本运算（坐标途径）
若a ( x1, y1), b ( x2 , y2 ), 则
1)a b (x1 x2 , y1 y 2 )
2)a b (x1 x2 , y1 y 2 )
利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组
五.应用举例
向量加减法则
例1.如图平行四边形OADB的对角线OD、AB相交于 点C,线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一 点N满足CD=3CN,
设OA a, OB b, 试用a, b表示MN
五.应用举例
向量的长度与夹角问题

例2.
已知两单位向量a与b的夹角为120 ，若 c 2a b, d 3b a, 试求c与d的夹角的 余弦值.
练习1、、若a (4,2),求与a垂直的单位向量. 变、若a (4,2),求与a平行的单位向量.
谢谢观看！
今日作业 1.系统复习平面向量一章的基础知识 2.完成《非常学案》中平面向量一章的习题 周二单元检测
| a b |2 | a b |2 2(| a |2 | b |2 )
二.基本运算（向量途径）
3.实数与向量的积

人教版必修四第二单元平面向量的复习课件


变式：若等边 ABC 的边长为 2
3 ，平面内一点
M
满足 CM
1
CB
2 CA
,则
63
MA• MB ________.
题型五: 向量与三角函数的综合
例 已知向量 a (sin ,2) 与 b (1, cos ) 互相垂直，其中 (0, ) ．
2 （1）求 sin 和 cos 的值；
（2）若 sin( ) 10 , 0 ，求tan( )的值．
4.注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题。如向量的共线定理， 平面向量基本定理，三角形四心与向量有关的常见结论等。
1. (湖南)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,
且 =2 ， =2 ， =2 ,则
（）
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
A
解:
E F
D.既不平行也不垂直
B
C
D
仿照上题，用坐标运算的方法解决下列问题：
例 已知 ABC，AD 为中线，求证 AD2 1 AB2 AC2 BC 2
2
2
例 设两个向量 e1 、e2 ，满足| e1 | 2 ，| e2 | 1 ，e1 、e2 的夹角为 60°，若向量 2te1 7e2
与向量 e1 te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围.
3
3
OM ,ON, MN
B
D
M
N C
A O
题型三: 向量平行与垂直的条件
4、已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0 ，
且 PA• PB PB • PC PC • PA ，则点 O，N，P 依次是 ABC 的

人教A版数学必修四第二章2.3《平面向量的坐标表示与运算》(共20张PPT)


解：设c→=x→a+→yb，即 （4，2）=x(1,1)+y(-1,1) =(x,x)+(-y,y)
X-y=4
解得
X+y=2
X=3
y=-1
=(x-y，x+y) c→=3→a-→b,故选B
随堂演练：
1、下列说法正确的有（ B ）个 （1）向量的坐标即此向量终点的坐标。 （2）位置不同的向量其坐标可能相同。 （3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标。 （4）相等的向量坐标一定相同。 A2、：已1 知M→NB=（：-21，2）C：，3则-3M→ND等：于4 （ C ） A3、、已（知-3a→，=3（）1B，、3）（，-6→，b=3（）-C2、，（1）3，，-则6）→b-Da→、等（于-（4，C-1）） A、（-3，2）B、（3，-2）C、（-3，-2）D、（-2，-3） 4、已知A→B=（5，7），λAB→=（10，14）则实数λ=___2_
探索研究
设得问出： 向已 量知a r向b r量,a ra r b r(，x1， λa→y的1)坐，标b r 表(示x2， 吗？y2)，你能
r rrr rr 解 ： a b ( x 1 i r y 1 j ) r( x 2 i y 2 j )
(x1 x2)i(y1y2)j
即 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) 同理可得
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）实数与向量的积的坐标表示
r
已 知 R ， 向 量 a (x ， y )， 那 么
a r _ _ ( _ x _ r i _ _ _ y _ u j r _ ) _ _ _ _ x _ r i _ _ _ _ y _ r _ j

人教A版数学必修四第二章平面向量单元复习课件ppt


D
A
M
MN
C N
B
1 3
MC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
例4
在Rt△ABC中，已知斜边BC=2，
线段PQ以A为中点，且PQ=4，向量 B C 与
P Q 的夹角为60°，求 BP CQ .
（5）相等向量： 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 长度相等且方向相同的向量. （6）相反向量： 长度相等且方向相反的向量. （7）平行向量（共线向量）： 方向相同或相反的非零向量. （8）向量的数量积： a·b=|a||b|cosθ.
例1设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，
c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，
2(a－c），d 的有向线段首尾相接能构 成四边形，求向量d 的坐标.
d＝(－2，－6)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
Cபைடு நூலகம்
Q
BPCQ 2 A
B
P
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
知识梳理 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
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必修四 平面向量
专题 复习
1
知 识
向量的概念
零向量、单位向量、 共线向量、相等向量
解决
网
图形
络
平 面
加法、减法
向量平行的充要条件
的平 行和 比例
向 量
数坐标表示
两向量的夹角公式
解决 步 图形 应
的垂 用
两向量数量积
向量垂直的充要条件 直和 角度,
长度
两点的距离公式
3、数量积的坐标运算
B
a b x1x2 y1 y2
θ
4、运算律: （1） ab ba O
B
A
（2）（ a）b （a b） a（ b）1
（3）（a b）c ac b c
13
5、数量积的主要性质及其坐标表示：
1a b a b 0 x1x2 y1y2 0
2.当a
//
b时，a
8
一、平面向量概念 4.实数λ与向量 a 的积
定义：λa是一个 向量.
它的长度 |λa| = |λ| |a|；
它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向 与a方向相同； (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！ 坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
向量，那么对于这一平面内的任一向
量a，有且只有一对实数1, 2 ,使
a 1e1 2 e2
12
(四) 数量积
1、平面向量数量积的定义：a b | a | | b | cos
2、数量积的几何意义：
r
r rr
r
等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 方向上的投影 | b | cos 的乘积.
7
练习
填空：
uuur uuur uuur
AB uuur
BD uuur
__uA_uDu_r _;
BA uuur
BC uuur
__uC_uu_Ar __;
BC uuur
CA uuur
__uB_uAu_r__;
OD OA __A_D___;
uuur uuur uuur
OA OB __B_A___ .
= (λ x , λ y)
9
一、平面向量概念
定理1:两个非零向量 平行 (方向相同或相反)
存在唯一实数，使得
结论: 设 表示与非零向量 a同向的单位向量.
则
10
二、平面向量之间关系
向量平行(共线)充要条件的两种形式:
(1)a // b(b 0) a b;
(2)a // b(a (x1, y1),b (x2, y2 ),b 0) x1 y2 x2 y1 0
|a|cosθ=
ab |b|
2 (4) 3 7 13 65 .
解：设顶点D的坐标为（x，y） AB (1 （ 2），3 1）（1，2）
DC (3 x,4 y)
由AB DC，得
(1,2) (3 x,4 y)
2 1
3 4
x y
x y
2 2
顶点D的坐标为（2，2）
17
例13、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2), C(4,3),BC边上的高为AD。 （1）求证：AB⊥AC； （2）求点D和向量AD的坐标； （3）求证：AD2=BD·DC
b
a
b，当a，b同向时
a b，当a，b反向时
2
(3)a a a , a a a x12 y12
4cos a b x1x2 y1 y2
ab
x12 y12
x22
y
2 2
(a, b是两个非零向量)
5a b a b
14
例1.设非零向量a, b不共线，c ka b, d a kb (k R), 若c // d,试求 k.
（3）AD=(
3 2
,-
3 2
)
BD=(
9 2
,
9 2
)
D|ACD=|2(=12
,
9
4
1 2
)
+
9 4
=
9 2
BD·DC=
9 4
+
9 4
=
9 2
∴AD 2=BD·DC
18
例14.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（ C ）
A. 13 B. 13 5
C. 65 D. 65 5
解析 设a和b的夹角为θ，
3
一、平面向量概念
向 量 几何表示 : 有向线段 的 字母表示 表 示 坐标表示 : (x，y)
若 A(x1,y1), B(x2,y2) 则 AB = (x2 － x1 , y2 － y1)
4
一、平面向量概念
向量的模（长度） 1. 设 a = ( x , y ), 则
x2 y2
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
x1 x2 2 y1 y2 2
5
一、平面向量概念
1.向量的加法运算 三角形法则
平行四边形法则
CB
C
AB+BC= AC
OA+OB= OC
A
BO
A
重要结论：AB+BC+CA= 0
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
问题
2
一、平面向量概念
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
重要概念：
（1）零向量： 长度为0的向量，记作0. （2）单位向量：长度为1个单位长度的向量. （3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
的非零向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
向量垂直充要条件的两种形式:
(1)a b a • b 0
(2)a b a • b x1x2 y1 y2 0
11
（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的
坐标相等.
即: a 那么 a
(x1, y1), b
x1
b
(x2, y2 )
x2且y1
y2
三、平面向量的基本定理
如果 e1, e2是同一平面内的两个不共线
解：∵ ∴由向量共线的充要条件得：
即 又∵ 不共线
∴由平面向量的基本定理
15
r
r
例7.已知向量a 1, 2,b x,1,分别求出当
r r rr
a 2b与2a b平行和垂直时实数x的值.
16
例8． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求 顶点D的坐标．
6
一、平面向量概念
2.向量的减法运算
1）减法法则： OA－OB = BA
2）坐标运算:
O
若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则a － b= (x1 － x2 , y1 － y2)
3.加法减法运算律
1）交换律： a+b=b+a 2）结合律： （a+b)+c=a+(b+c)
B A