2019江苏高考数学微专题·隔项等差数列

考点21 等差数列与等比数列

内容 要求

A B C

等差数列 √

等比数列 √

1. 理解等差数列、等差中项的概念,掌握等差数列的通项公式、前 n 项和的公式,能运用公式解决一些简单问题 .

2. 能在具体的情境中识别数列的等差关系,并能运用有关的知识解决问题 . 了解等差数列与一次函数的关系及等差数列的前 n 项和的公式与二次函数的关系 .

3. 理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式、前 n 项和的公式,能运用公式解决一些简单问题 .

4. 能在具体的情境中识别数列的等比关系,并能运用有关的知识解决问题 . 了解等比数列与指数函数的关系

年 份 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年

知识点 （填空）等比数列的通项公式。 （解答）等差数列等比数列的综合运用 （填空）等差数列的通项公式与前n项和 （填空）等比数列（解答）等差数列等比数列定义与性质 （填空）等差数列与等比数列与求和的综合（解答）等差数列等比数列定义与性质

等比数列是高考中的 C 级要求,它作为一种特殊的数列,也是一种基本的数列形式,是高考命题的热点与难点 . 考查形式主要有两种:一是考查等比数列的概念,二是公式、性质的直接应用及等比中项的间接应用 .

解题中,要紧紧抓住以下几个方面: 考纲要求

近五年高考情况分析 1. 深刻理解并应用好它的定义 . 在理解定义时,要紧扣从“第二项起”和“比是同一常数”这两点 .

2. 高效、灵活地应用好的通项公式及前 n 项和公式,进行科学的计算 . 在等比数列中有五个量 a 1 ,q , n , a

n , S n ,当知道其中三个量就可以求出其余的两个量,即“知三求二”,要求能根据不同的问题合理选用不同的公式,恰当应用它们,做到运算简单、合理、有效,运算量小 . 为此,就得合理地应用好两种基本方法“基本量法”与“对称性”法 . 另外,对于利用等比数列的前 n 项和公式时,要注意判断它的公比 q 是否等于 1 ,否则就容易导致出错 .

2020年高考数学三轮冲刺微专题（文理通用）

最值问题之数列篇

【例】【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，

Sn的最小值为__________．

【例】【2018全国卷Ⅱ】记nS为等差数列{}

na的前n项和，已知17a，315S．

(1)求{}

na的通项公式；

(2)求nS，并求nS的最小值．

【例】(2018江苏)已知集合*{|21,}AxxnnN，*{|2,}nBxxnN．将AB的所有元素从小到大

依次排列构成一个数列{}na．记nS为数列{}na的前n项和，则使得112

nnSa

成立的n的最小值为 ．

【例】（2016年全国I）设等比数列{}na满足1310aa，245aa，则12naaa的最大值为 .

【例】（2015四川）设数列{}

na的前n项和12

nnSaa，且123,1,aaa成等差数列

（1）求数列{}

na的通项公式；

（2）记数列1

{}

na的前n项和nT，求得1

|1|

1000nT成立的n的最小值。

有关数列中最大项的问题：

【例】（2020·海南中学高三月考）已知等差数列

na的首项及公差均为正数，令2020

nnnba

a *,2020nnN，当kb是数列

nb的最大项时，k（ ）

A．1100 B．1001 C．1011 D．1010

有关等差数列前n和中的最值问题：

【例】等差数列{an}的首项a1>0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，Sn有最大值？

数列与不等式恒成立相结合的最值问题：

【例】（2020·山西实验中学高三）已知数列

na的前n项和122n

nnSa，若不等式223(5)

nnna，

对nN恒成立，则整数的最大值为______．

数列与基本不等式相结合的最值问题：

【例】（2020·江西高三模拟）已知正项等比数列

1 隔项等差、等比数列

1. （隔项等差、等比数列求和）秋末冬初，流感盛行，我市某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列na，1221,2,1(1)nnnaaaa且 (n∈N)，该医院30天入院治疗流感的人数有（ ）

A.253 B. 254 C. 255 D.256

解析 因为1221,2,1(1)nnnaaaa且所以n为奇数时2nnaa；n为偶数时2-=2nnaa；即奇数项为常数列，偶数项为2为首项，2为公差的等差数列，所以总和为255.

2. （隔项等差、等比数列求和）已知数列na中12-22,3,=+3nnaaaa且（n3）

(1)求数列na的通项公式na（2）求数列na的前n项和nS

解析 （1）由-2=+3nnaa（n3）得-2-=3nnaa（n3）即na从第3项起，每一项与它的前2项的差都等于3，所以它是公差为3的隔两项的等差数列，从而有n是奇数时1n131=+22nnaa（-1）3=； n是偶数时2n3=+22nnaa（-1）3= 所以

3n1 n23n 2=nna是奇数是偶数

（2）n是偶数时 n1231nnSaaaaa=（131naaa）+（24naaa）

=1n3(1)113123=n(34)2222224nnnn

n是奇数时 n1231nnSaaaaa=n-1+anS=13113(1)4=(n+1)(31)424nnn（n-1）

1n(3n+4) n41(n+1)(3n+1) n4=nS 是偶数是奇数

3.

（隔项等差、等比数列求和）

已知数列na中1224,5,=(-)2nnnaaaa且，求数列na的通项公式na

第十九讲 数列中的隔项问题

数列隔项(奇偶项)符合一般递推规律的一类问题是数列中一种常见题型，这类问题学生往往对奇偶分类搞混淆，那么本文就针对这一类问题给出解题策略与方法总结.

【例1】已知数列na，11a，16nnaan，求数列na的通项公式na

【分析】先根据递推式16nnaan，得2161nnaan，两式相减+26nnaanN，即隔项之差为定值，通过观察发现na的奇数项与偶数项均为等差数列，可分别求奇数项与偶数项的通项公式.

【解析】由16nnaan，得+21+61nnaan 两式相减得：+26nnaanN

令2nkkN，则2226kkaa，2ka是以首项25a，公差为6的等差数列，22161kaakdk 31nann为偶数

令21nkkN时，21216kkaa 21ka是以首项11a，公差为6的等差数列，211165kaakdk， 32nann为奇数

综上：3132nnnann为偶数为奇数

【总结】在计算偶数项通项2ka时，要注意下标2k只是代表在原数列na中所在的项的位置，并非代表数列2ka的项数，项数代表的是k，换句话也就是说数列2ka是关于k的函数关系，这点要特别注意.最后再将k换成n，最终na的通项公式是分奇偶的形式

例2 已知数列na中，111,3,nnnaaanN，求na的通项公式.

【答案】21233nnnnan为偶数为奇数 思路分析：由13nnnaa，得1123nnnaa，两式作比值得23nnaa

令2nkkN，2223kkaa，21nkkN，21213kkaa，221,kkaa均为等比数列.