高一上数学解三角形重难题2

第15讲 解三角形中角平分线中线内切外接圆问题

【考点分析】

考点一：角平分线相关的定理

遇到角平分线问题一般有两种思路：

思路一：角平分线定理：CDBDACAB

思路二：等面积法：ABCABDACDSSS

考点二：有关三角形中线问题

遇到角平分线问题一般有两种思路：

思路一：中线倍长法：延长中线，构造平行四边形

思路二：利用平面向量：上图中若D为BC的中点，则ACABAD21，两边平方即得

考点三：有关三角形外接圆内切圆问题

三角形外接圆：利用正弦定理RCcBbAa2sinsinsin（其中R为三角形内切圆的半径）

三角形面积和内切圆半径的关系：rcbaSABC21（其中r为三角形内切圆的半径）

【题型目录】

题型一：角平分线相关的定理及应用

题型二：有关三角形中线问题

题型三：有关外接圆，内切圆问题（正弦定理，等面积法）

【典型例题】

题型一：角平分线相关的定理及应用

【例1】（多选题）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，π3ABC，内角B的平分线交AC于点D且3BD，则下列结论正确的是（ ）

A．111ac B．b的最小值是2

C．3ac的最小值是43 D．ABC的面积最小值是3

【答案】ABD 【分析】由三角形面积公式寻找a，c关系，再利用基本不等式判断．

【详解】解：由题意得：ABCABDBCDSSS△△△，

由角平分线以及面积公式得111sin3sin3sin232626acac，

化简得acac，所以111ac，故A正确；

2acacac，当且仅当ac时取等号，

2ac，4ac，

所以13sin324ABCacASBCac，当且仅当2ac时取等号，故D正确；

由余弦定理222222cosbacacABCacac

222334344acacacac

1 2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用

例1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sin()8sin2BAC．

(1)求cosB

(2)若6ac，ABC面积为2，求b．

【答案】（1）15cos17B（2）2b．

【解析】由题设及ABC得2sin8sin2BB，故sin4(1cos)BB．

上式两边平方，整理得217cos32cos150BB，

解得cos1B（舍去），15cos17B.

（2）由15cos17B得8sin17B，故14sin217ABCSacBac．

又2ABCS，则172ac．

由余弦定理及6ac得22222cos()2(1cos)bacacBacacB

1715362(1)4217．

所以2b．

【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用

【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出

例2 ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc,若2coscoscosbBaCcA,则B .

【答案】π3

【解析】1π2sincossincossincossin()sincos23BBACCAACBBB. 2 【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

例3在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝1，c＝3，C＝23π，则S△ABC＝________.

【答案】34

【解析】因为c＞b，所以B＜C，所以由正弦定理得bsin B＝csin C，即1sin B＝3sin2π3＝2，即sin B＝12，所以B＝π6，所以A＝π－π6－2π3＝π6.所以S△ABC＝12bc sin A＝12×3×12＝34.

高一数学必修五第一章试题——解三角形

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是( )

A．平行 B．重合

C．垂直 D．相交但不垂直

2．在△ABC中，已知a－2b＋c＝0，3a＋b－2c＝0，则sinA∶sinB∶sinC等于( )

A．2∶3∶4 B．3∶4∶5

C．4∶5∶8 D．3∶5∶7

3．△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径为( )

A．43 B．5 C．52 D．62

4．已知关于x的方程x2－xcosA·cosB＋2sin2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是( )

A．直角三角形 B．钝角三角形

C．等腰三角形 D．等边三角形

5．△ABC中，已知下列条件：①b＝3，c＝4，B＝30°；②a＝5，b＝8，A＝30°；③c＝6，b＝33，B＝60°；④c＝9，b＝12，C＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是( )

A．①② B．①④ C．①②③ D．③④

6．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a＝1，sinB＝32，C＝π6，则b的值为( )

A．1 B．32 C．3或32 D．±1

7．等腰△ABC底角B的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( )

A．30°或150° B．15°或75° C．30° D．15°

8．若G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且aGA→＋bGB→＋33cGC→＝0，则角A＝( )

A．90° B．60° C．45° D．30°

9．在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D为BC上一点，且BD→＝3－12BC→，则AD的长为( )

高考数学最新真题专题解析—解三角形（全国通用）

考向一 正余弦定理及三角形面积公式

【母题来源】2022年高考北京卷

【母题题文】 在ABC中，sin23sinCC．

（1）求C； （2）若6b，且ABC的面积为63，求ABC的周长．

【试题解析】【小问1详解】

解：因为0,C，则sin0C，由已知可得3sin2sincosCCC，

可得3cos2C，因此，6C.

【小问2详解】

解：由三角形的面积公式可得13sin6322ABCSabCa，解得43a.

由余弦定理可得22232cos48362436122cababC，23c，

所以，ABC的周长为636abc.

【命题意图】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，重点考查正余弦定理、三角恒等变形及三角形面积公式等.

【得分要点】

（1）一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系；

（2）应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用；

（3）注意边或角的限制范围.

考向二 正余弦定理的综合应用

【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）

【母题题文】 记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinsinsinsinCABBCA．

（1）若2AB，求C； （2）证明：2222abc

【试题解析】【小问1详解】

由2AB，sinsinsinsinCABBCA可得，sinsinsinsinCBBCA，而π02B，所以sin0,1B，即有sinsin0CCA，而0π,0πCCA，显然CCA，所以，πCCA，而2AB，πABC，所以5π8C．