解三角形的知识总结和题型归纳
一、知识必备：
1．直角三角形中各元素间的关系：
在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b
a 。
2．斜三角形中各元素间的关系：
在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos
C 。
3．三角形的面积公式：
（1）∆S ＝
21ah a ＝21bh b ＝21
ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2
1
ac sin B ；
4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面
【高中数学】
积等等．主要类型：
（1）两类正弦定理解三角形的问题：
第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：
第1、已知三边求三角.
第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换
因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
2
sin 2cos ,2cos 2sin
C
B A
C B A =+=+；（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
6．求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；
（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；
（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。
二、典例解析题型1：正、余弦定理
例1．（1）在∆ABC 中，已知0
32.0=A ，0
81.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；
（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到0
1，边长精确到1cm ）。解：（1）根据三角形内角和定理，
0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；
根据正弦定理，0
sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0=
=≈a B b cm A ；根据正弦定理，0
sin 42.9sin66.274.1().
sin sin32.0==≈a C c cm A （2）根据正弦定理，0
sin 28sin40sin 0.8999.20
==≈b A B a 因为0
0＜B ＜0180，所以0
64≈B ，或0116.
≈B ①当0
64≈B 时，
00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，
0sin 20sin7630().
sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，
180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0
sin 20sin2413().sin sin40
==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器题型2：三角形面积
例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22
，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC
的面积。
解法一：先解三角方程，求出角A 的值。
.
2
1
)45cos(,2
2)45cos(2cos sin =-∴=-=+ A A A A 又0180 <A A ∴-==
tan tan(4560)2A ∴=+=
=-- .4
6
260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=
+=+==
A S AC A
B A AB
C ∆=
⨯=⨯⨯⨯+=+12122326434
26sin ()。解法二：由sin
cos A A +计算它的对偶关系式sin cos A A +的值。
sin cos A A +=
2
2
①
21(sin cos )2
12sin cos 2
0180,sin 0,cos 0.1
(sin 2)
2
A A A A A A A A ∴+=∴=-
<<∴><=- 另解2
3cos sin 21)cos (sin 2=
-=-A A A A ,∴-=
sin cos A A 62
②
①+②得sin A =
+26
4
。①－②得cos A =-264
。
从而sin tan 2cos A A A =
==-。
