课题: §1．1．1正弦定理
如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，
角与边的等式关系。
从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a
b
c
A B C ==
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则
sin sin a b A B =， C 同理可得
sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a
b A B =sin
c C = A c B
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin a
b
A B =sin c
C =
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；
（2）sin sin a
b
A B =sin c
C =等价于sin sin a
b
A B =，sin sin c
b
C B =，sin a
A =sin c
C
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B
=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b
=。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
例1．在∆ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。
例2．在∆ABC 中，已知20=a cm ，202b =cm ，045A =，解三角形。
练习：1.在∆ABC 中，已知045A =，030C =，10c =cm ，解三角形。
2.在∆ABC 中，已知060A =，045B =，20c =cm ，解三角形。
3.在∆ABC 中，已知20=a cm ，102b =，030B =，解三角形。
4.在∆ABC 中，已知102c =cm ，20b =cm ，045B =，解三角形。
补充：请试着推理出三角形面积公式（利用正弦）
课题: §1.1.2余弦定理
如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b 和∠C ，求边c
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c
()()222 2 2c c c a b a b
a a
b b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B
从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)
同理可证 2222cos a b c bc A =+-
2222cos b a c ac B =+-
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+-
2222cos b a c ac B =+-
2222cos c a b ab C =+-
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：
222
cos 2+-=b c a A bc
222
cos 2+-=a c b B ac
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
若∆ABC 中，C=090，则cos 0=C ，这时222=+c a b
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
例1．在∆ABC 中，已知=a c 045B =，求b 及A
练习：在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A 。
例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B a =
可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+ 从而sin a C c A
= 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。
2．当A 为锐角时，
如果a ≥b ，那么只有一解；
如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若sin a b A >，则有两解；
（2）若sin a b A =，则只有一解；
（3）若sin a b A <，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且
sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
练习：（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。
（2）在∆ABC 中，若1a =，12
c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。 （3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。
例2．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。
