14 空间向量的运算及空间位置关系

高中数学-空间向量及向量的应用

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

设血勺乃召），氓叫•乃w），

AB = OB-OA=（^y2l切—（吊丹 丑）=（乃—咛乃—丹 勺一匂）

空间向量的直角坐标运算：

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① 口+ b= P],曲，电 宀|俎,给禺 ・=I角十知鬥 +為、屯 +鸟I ?

② a-b = \ a^a2,a21■ 诲.场岛i =（业一％ 气-如 码一為 帀

③ 加=兄I曲卫2，© ' = I現珂"久卷 '（/i e 7?）；

④ 总■&= |气命4 片妇任 | = &占 + 逐血 +&並：

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⑥ 7丄匸q 口血十口曲十m禺=0 ；

空间两点间距离:丄“ 「

1 :利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量）

2:利用空间向量求线线角、线面角

（1）异面直线所成角Z • gw设Q”分别为异面直线讥的方向向量，则则:

空间线段

的中点M （x，y，z）的坐标: 空间直角坐标系的原则:

规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应

(2) 线面角凰打殳《是直线l的方向向量，n是平面的法向量，则

3 :利用空间向量求二面角

其计算公式为：设 加“分别为平面G 8的法向量，则 与，剤7 互补或相等,

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• « . m * n

|( csfl i = | A>| = I忘I * I云I

操作方法：

1 •空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法:

斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos (S为原斜面面积，S为射影面积，为斜面与射影所成二面

角的平面角)这个公式对于斜面为三角形 ,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时

专题11.1 空间向量及空间位置关系（精讲精析篇）

提纲挈领

点点突破

热门考点01 空间向量及其运算

1．平行(共线)向量与共面向量

平行(共线)向量 共面向量

定

义 位置

关系 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：__互相平行或重合__

平行于同一个__平面__的向量

特征 方向__相同或相反__

特例 零向量与__任意向量__共线

充要条件 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使__a＝λb__ 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在__惟一__的有序实数对(x，y)使__p＝xa＋yb__

推论 对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式__OP→＝OA→＋ta__，向量a为直线l的__方向向量__或在直线l上取向量AB→＝a，则OP→＝__OA→＋tAB→__ 点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP→＝__xAB→＋yAC→__或对空间任意一点O，有OP→＝__OA→＋xAB→＋yAC→__

2．数量积的性质

设a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ，

①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向；

θ＝__π__时，a与b反向．

②a⊥b⇔θ＝__π2__⇔a·b＝0．

③θ为锐角时，a·b__>__0，但a·b>0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a·b__<__0，但a·b<0时，θ可能为__π__．

④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝__0__时，a·b＝|a|·|b|，当θ＝__π__时，a·b＝－|a|·|b|．

⑤对于实数a、b、c，若ab＝ac，a≠0，则b＝c；对于向量a、b、c，若a·b＝a·c，a≠0，却推不出b＝c，只能得出__a⊥(b－c)__．

⑥a·b＝0⇒/ a＝0或b＝0，a＝0时，一定有a·b＝__0__．

⑦不为零的三个实数a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但对于三个向量a、b、c，(a·b)c__≠__a(b·c)，因为a·b是一个实数，(a·b)c是与c共线的向量，而a(b·c)是与a共线的向量，a与c却不一定共线．

第44讲 空间向量的概念和空间位置关系

一、课程标准

1、空间向量的线性运算

2、共线、共面向量定理的应用

3、空间向量数量积的应用

4、利用空间向量证明平行或垂直

二、基础知识回顾

1．空间向量及其有关概念

概念 语言描述

共线向量(平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合

共面向量 平行于同一个平面的向量

共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb

共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb

空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.

推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP ―→＝xOA ―→＋yOB ―→＋zOC ―→且x＋y＋z＝1

2．数量积及坐标运算

(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.

(2)空间向量的坐标运算：

a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)

向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)

向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)

数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3

共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)

垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

夹角公式 cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23 三、自主热身、归纳总结

1、空间四点A(2，3，6)，B(4，3，2)，C(0，0，1)，D(2，0，2)的位置关系为( )

空间向量知识点总结讲解

一、向量的基本概念

1. 向量的定义：

在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常表示为有向线段。向量可以用坐标表示，也可以用行向量或列向量表示。

2. 向量的运算：

向量的运算包括加法、数量乘法、点乘、叉乘等。向量之间的加法和数量乘法可以直接进行，而点乘和叉乘需要通过向量的坐标或分量进行计算。

3. 向量的性质：

向量具有大小和方向两个基本属性，同时还具有平行四边形法则，向量共线与共面的性质等。

二、空间向量的概念

1. 空间向量的定义：

在三维空间中，向量的坐标可以用三个实数表示，即(x, y, z)，这就是空间向量。空间向量通常表示为有向线段，具有大小和方向。

2. 空间向量的运算：

空间向量的运算与平面向量相似，可以进行向量的加法、数量乘法、点乘、叉乘等运算。叉乘是空间向量特有的一种运算，用来得到垂直于两向量所在平面的向量。

3. 空间向量的坐标表示：

空间向量的坐标表示为(x, y, z)，用来描述向量的起始点和终点在三维空间中的位置。

4. 空间向量的性质：

空间向量具有大小和方向的性质，同时还具有与平面向量相似的性质，如共线、共面等。

三、空间向量的线性运算

1. 空间向量的线性组合：

空间向量的线性组合是指将若干个向量以一定的比例相加得到新的向量的过程。线性组合在向量空间中有重要的应用，可以通过线性组合来表示向量的线性相关性和线性无关性。

2. 空间向量的线性相关性和线性无关性： 当一组向量能够用线性组合的方式得到零向量时，这组向量就是线性相关的；当一组向量不能用线性组合的方式得到零向量时，这组向量就是线性无关的。线性相关性和线性无关性是向量空间中的重要概念。

3. 空间向量的线性空间：

线性空间是指满足一定条件的向量集合，具有向量加法、数量乘法、满足线性组合封闭性、交换性、结合律等性质。空间向量是线性空间的一个典型例子。

四、空间向量的应用

1. 空间向量在几何中的应用：