必修系列复习之-----指数函数备课资料

必修系列复习之——指数与指数函数

知识点梳理：

1. 幂的有关概念

（1）正整数指数幂)(Nnaaaaann个

（2）零指数幂)0(10aa

（3）负整数指数幂10,nnaanNa

（4）正分数指数幂0,,,1mnmnaaamnNn；

（5）负分数指数幂110,,,1mnmnmnaamnNnaa

（6）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

2. 有理数指数幂的性质

10,,rsrsaaaarsQ

20,,srrsaaarsQ

30,0,rrrabababrQ

3. 根式的内容

（1）根式的定义：一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根，其中Nnn,1，na叫做根式，

n叫做根指数，a叫做被开方数。

（2）根式的性质： ①当n是奇数，则aann；

当n是偶数，则00aaaaaann

②负数没有偶次方根，

③零的任何次方根都是零

4．指数函数的图象与性质：

一般地，函数)1a,0a(ayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R。

注意：①指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；

②注意指数函数的底数的取值范围

a>1

0

图

象

性

质 （1）定义域：R

（2）值域：（0，＋∞）

（3）过点（0，1），即x＝0时，y＝1

（4）在R上是增函数 （4）在R上是减函数

（5）非奇非偶函数 （5）非奇非偶函数

5. 指数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；

6. 比较几个数的大小的常用方法有：

①以0和1为桥梁；

②利用函数的单调性；

③作差

7. 利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，)1a0a(a)x(fx且的值域是)]b(f),a(f[或)]a(f),b(f[；

（2）若0x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数，当且仅当Rx；

（3）对于指数函数)1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f；

（4）当1a时，若21xx，则)x(f)x(f21；

题型一：幂的运算

例1.

计算下列各式

①30312)26()03.1(2323)661()41(

②)0,0()21(24833323323134baaabaabbbaa

思维分析：式子中既有分数指数又有根式，可先把根式化成分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算。在指数式运算中，应注重运算顺序和灵活运用乘法公式

解：

16660814636256161)866()2()3()23()6(1612223123原式

（2）

aab2aa)b2a(aaab2aaba2b4)b8a(a31313131313131313131313231313231原式

例2. 已知42121aa，求下列各式的值

（1）1aa

（2）21212323aaaa

思维分析：如何合理运用已知条件，熟练掌握乘法公式及用方程的观点处理问题。 解：（1）42121aa

两边平方得1416211aaaa

（2）原式＝151)1)(()()(12121121212121321321aaaaaaaaaaaa

题型二：指数函数图象

例3. （1）指数函数①②满足不等式，则它们的图象是（

）。

分析：此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性，再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线。

解：由可知①②应为两条递减的曲线，故只可能是或，进而再判断①②与n和m的对应关系，此时判断的方法很多，不妨选特殊点法，令x＝1，①②对应的函数值分别为m和n，由nm可知应选C。

（2）曲线 分别是指数函数 ，和的图象，则与1的大小关系是（ ）。

A.

B.

C.

D.

分析：首先可以根据指数函数的单调性，确定，在对称轴右侧令，对应的函数值由小到大依次为 ，故应选D。

说明：1. 这种类型的题目是比较典型的数形结合的题目，第（1）题是由数到形的转化，第（2）题则是由图到数的翻译，它的主要目的是提高识图、用图的意识。

2. 当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴。

题型三：指数函数的单调性

例4. 函数y＝a2x＋2ax－1（a>0，a≠1）在区间[－1，1]上的最大值为14，求a的值。

解：令u＝ax，y＝（u＋1）2－2。因为－1≤x≤1

当a>1时),,1[],1[aau

)(5312142舍或aaaa

当0

综上得，3a31a或

例5. 已知函数2()1xxfxax(1)a，

求证：（1）函数()fx在(1,)上为增函数；

（2）方程()0fx没有负数根． 证明：（1）设121xx，

则1212121222()()11xxxxfxfxaaxx

121212121212223()11(1)(1)xxxxxxxxaaaaxxxx，

∵121xx，∴110x，210x，120xx，

∴12123()0(1)(1)xxxx；

∵121xx，且1a，

∴12xxaa，

∴120xxaa，

∴12()()0fxfx，

即12()()fxfx，

∴函数()fx在(1,)上为增函数；

（2）假设0x是方程()0fx的负数根，且01x，

则000201xxax，

即00000023(1)31111xxxaxxx， ①

当010x时，0011x，

∴0331x，∴03121x，

而由1a知01xa，

∴①式不成立；

当01x时，010x， ∴0301x，∴03111x，

而00xa，

∴①式不成立．

综上所述，方程()0fx没有负数根．

本讲涉及的主要数学思想方法

1. 指数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据幂的运算法则及性质加以解决，要注意运用方程的观点处理问题。

2. 用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．

3. 用函数思想去处理有关问题，是一种重要的思想方法，特别在综合题目中，尤为重要．

课后练习及作业（答题时间：50分钟）

一、选择题

1.

下列函数中值域为正实数的是（ ）

A. y＝－5x B. y＝（31）1－x C. y＝1)21(x

D. y＝x21

2. 已知函数(2),2()1,22xfxxfxx，则(3)f的值为（ ）

A. 2 B. 8 C. 18 D. 12 3. 当a>1时，在同一坐标系中，函数f（x）＝a－x与g（x）＝logax的图象为（ ）

4. 函数bxaxf)(的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）

A. 0,1ba B. 0,1ba

C. 0,10ba D. 0,10ba

*5. 下图是指数函数（1）y＝ax，（2）y＝bx，（3）y＝cx，（4）y＝dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是（ ）

A. a＜b＜1＜c＜d B. b＜a＜1＜d＜c

C. 1＜a＜b＜c＜d D. a＜b＜1＜d＜c

**6.

设函数1122,0(),0xxfxxx，若0()1fx，则0x的取值范围是 （ ）

A.（－1，1） B. (1,)

C. (,2)(0,) D. (,1)(1,)

二、填空题

7、设133,2xxxx则的值为__ __

8、121316324(124223)27162(8)的值为__ __

**9. 若直线y＝2a与函数)1,1(1aaayx的图象有两个公共点， 则a的取值范围是__ __

三、解答题

10. 已知11223xx，求22332223xxxx的值。

**11. 要使函数y＝1＋2x＋4xa在x∈（－∞，1）上（y＞0）恒成立，求a的取值范围。

*12. 已知2xx2≤（41）x－2，求函数y＝2x－2－x的值域。

【试题答案】

1. 解析：∵y＝（31）x的值域是正实数，而1－x∈R，∴y＝（31）1－x的值域是正实数。

答案：B

2. C

3. A

4. D

5. B

6. D

7. 2

8. 原式12133(1)246324(113)3228

213332113322211338811

9. 0

10. 解：∵11223xx，∴11222()9xx，∴129xx，∴17xx，

∴12()49xx，∴2247xx，

又∵331112222()(1)3(71)18xxxxxx，

∴223322247231833xxxx。

11. 解：由题意，得1＋2x＋4xa＞0在x∈（－∞，1]上恒成立，即a＞－xx421在x∈（－∞，1]上恒成立。又∵－xx421＝－（21）2x－（21）x＝－［（21）x＋21］2＋41，当x∈