高中人教A版数学必修第2册教学用书：7.1.1 数系的扩充和复数的概念 Word版含解析
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第七章 复 数
7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
素养目标·定方向
素养目标 学法指导
1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系
的扩充过程，理解复数集出现的一些基本概念.(逻辑推理) 2．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.(逻辑推理) 3．会根据复数相等的充要条件解方程.(数学运算) 1．每一种数的出现都是在研究代数方程的过
程中产生的，学习时可以查阅一元多项式方
程求解的历史，感受数的产生，体会复数产
生的必要性.
2．类比数的分类方法，感受复数的分类.
必备知识·探新知
知识点1 复数及相关概念
1．复数的定义
我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__虚数单位__，满足i2＝__－1__.
全体复数所构成的集合C＝__{a＋bi|a，b∈R}__叫做复数集.
2．复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的__实部
__与__虚部__.
3．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi
与c＋di相等当且仅当__a＝c且b＝d__.
知识点2 复数的分类
1．复数a＋bi(a，b∈R)
__实数__b＝0，
__虚数__b≠0当a＝0时为纯虚数.
2．集合表示：
[知识解读] 1．数系扩充的脉络
自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集.
2．复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是.
3．两个复数相等的条件
(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立.
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问
题转化为实数问题来求解.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 复数的概念
典例1 (1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i
的实部是0．其中真命题的个数为( B )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)(2019·启东高二检测)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b
的值分别是__±2，5__.
(3)判断下列命题的真假.
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集.
[解析] (1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①
为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；
对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题.
(2)由题意得：a2＝2，－(2－b)＝3，
所以a＝±2，b＝5．
(3)①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要
条件，故①是假命题.
②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题.
③由复数集的分类知，③正确，是真命题.
[归纳提升] 判断与复数有关的命题是否正确的方法
1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按
照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.
2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意
这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部.
特别提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质.
【对点练习】❶ 给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②若复数z＝3m
＋2ni，则其实部与虚部分别为3m,2n；③在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一
定不是纯虚数；④若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数.其中正确的说法的序号是__③__.
[解析] ①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数.
②错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m,2n.
③正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一
定不是纯虚数.
④错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数.
题型二 复数的分类及其应用
典例2 已知复数z＝(m2－2m)＋m2－2m－8mi，其中m∈R.试求当m为何值时，
(1)z是实数？
(2)z是虚数？
(3)z是纯虚数？
[分析] 根据复数分类的标准及条件，建立关于实数m的方程或不等式(组)，求解m满足
的条件.
[解析] (1)当z是实数时，应有m2－2m－8m＝0，
即 m2－2m－8＝0，m≠0，解得m＝4或－2；
(2)当z是虚数时，应满足m2－2m－8m≠0，
即 m2－2m－8≠0，m≠0，因此m≠4，且m≠－2，且m≠0；
(3)当z是纯虚数时，应满足 m2－2m＝0，m2－2m－8m≠0，
解得m＝2．
[归纳提升] 利用复数的分类求参数的方法及注意事项.
1．利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，若
不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解；
2．要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解；
3．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0，且b≠0．
【对点练习】❷ m取何实数时，复数z＝m2－m－6m＋3＋(m2－2m－15)i.
(1)是实数？
(2)是虚数？
(3)是纯虚数？
[解析] (1)由条件得 m2－2m－15＝0，m＋3≠0，
∴ m＝5或m＝－3，m≠－3.
∴当m＝5时，z是实数.
(2)由条件得 m2－2m－15≠0，m＋3≠0.
∴ m≠5且m≠－3，m≠－3.，
∴当m≠5且m≠－3时，z是虚数.
(3)由条件得 m2－m－6＝0，m＋3≠0，m2－2m－15≠0，
∴ m＝3或m＝－2，m≠－3，m≠5且m≠－3.
∴当m＝3或m＝－2时，z是纯虚数.
题型三 复数相等的条件
典例3 已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x－10)＋i＝y－3i，求x与y.
[分析] 因为y是纯虚数，所以可设y＝bi(b∈R，b≠0)代入等式，把等式的左、右两边都
整理成a＋bi的形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与
b的值.
[解析] 设y＝bi(b∈R且b≠0)代入(3x－10)＋i＝y－3i，
整理得(3x－10)＋i＝bi－3i，
由复数相等的充要条件得 3x－10＝0，1＝b－3，解得 x＝103，b＝4，
∴x＝103，y＝4i.
[归纳提升] 一般利用复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的
方程组，从而可确定两个独立参数.复数相等是实现复数向实数转化的桥梁.
【对点练习】❸ (1)若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( C )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
(2)已知复数z＝(a＋1)－(a2－1)i，若z＝0，则实数a的值为__－1__.
[解析] (1)易知 4－3a＝a2－a2＝4a，
解得a＝－4．
(2)∵z＝0，∴ a＋1＝0a2－1＝0，
解得a＝－1．
易错警示
对复数相关概念的理解不清致误
典例4 给出下列命题：(1)若x＋yi＝0，则x＝y＝0；(2)若a＋bi＝3＋8i，则a
＝3，b＝8；(3)若x为实数，且(x2－4)＋(x2＋2x)i是纯虚数，则x＝±2；(4)若x，m∈R且3x
＋mi<0，则有x<0．其中正确命题的序号是__(4)__.
[错解] (1)(2)(4)
[错因分析] a，b∈R是复数代数形式定义中的必不可少的条件，忽视了这一条件，就会
导致错误的答案.
[正解] 命题(1)和(2)都是错误的，原因是没有x，y∈R，a，b∈R的限制条件，因此相应
结论都是错误的；命题(3)也是错误的，事实上，当(x2－4)＋(x2＋2x)i是纯虚数时，应有
x2－4＝0，x2＋2x≠0，所以x＝2；(4)是正确的，因为由3x＋mi<0可得
3x<0，
m＝0，
即x<0．
[点评] 复数中的许多结论，都是建立在复数为标准的代数形式这一条件下的，如果没有
这一条件，相应结论不一定能够成立.例如：a＋bi＝0⇒a＝b＝0成立的条件是a，b∈R；a＋
bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d成立的条件是a，b，c，d∈R.另外，复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数
的条件是a＝0，且b≠0，切记不能丢掉“b≠0”这一条件.
