指数与指数函数复习学案

指数与指数幂的运算教学目的:1、理解分数指数幂和根式的概念；2、掌握分数指数幂和根式之间的互化；3、掌握分数指数幂的运算性质；教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 教学难点：分数指数幂及根式概念的理解一、复习什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a =，则x 叫做a 的平方根.同理，若3x a =，则x 叫做a 的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零. 二、新课讲解类比平方根、立方根的概念，归纳出n 次方根的概念.n 次方根：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根（nthroot ），其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊,当n 为偶数时，a 的n用.n 为奇数时，a 的nn 称为根指数，a 为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？n a n a n a n ⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数, 的次方根有一个,为正数:为偶数, 的次方根有两个,为n a n a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为负数:为偶数, 的次方根不存在.零的n0=举例：16的4次方根为2±，275-的27-的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.根据n次方根的意义，可得：n a=n a=a n的n a=一定成立吗？通过探究得到：n a=n为偶数,,0 ||,0a aaa a≥⎧==⎨-<⎩|8|8==-=-=小结：当n再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误：例题：求下列各式的值（1）(1)(2)(3)(4)分析：当n||a=，然后再去绝对值.n=是否成立，举例说明.课堂练习：1.求出下列各式的值(1)a≤21,a a=-求的取值范围.3三．归纳小结：1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n x a x 是的次方根,n 为奇数时,n 为偶数时，x =2．掌握两个公式：(0),||(0)n a a n n a a a ≥⎧==⎨-<⎩为奇数时为偶数时分数指数幂的运算1．习初中时的整数指数幂，运算性质？00,1(0),0n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠无意义1(0)n na a a -=≠;()m n m n m n mn a a a a a +⋅==(),()n m mn n n n a a ab a b ==什么叫实数？有理数，无理数统称实数.2．观察以下式子，并总结出规律：a ＞0① 1025a a === ②842a a ===③1234a a === 1025a a ===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：23(0)a a ==> 12(0)b b ==>54(0)c c ==>*(0,,1)m na a n N n =>∈>为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：*0,,)m na a m n N =>∈正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：*1(0,,)m nm naa m n N a-=>∈规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)n mmmma a a a a =⋅⋅⋅⋅>由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）(0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈ （2）()(0,,)r S rs a a a r s Q =>∈ （3）()(0,0,)r r r a b a b Q b r Q ⋅=>>∈若a ＞0，P 是一个无理数，则P 该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P 62——P 62.所以，的近似值从小于的方向逼近.向逼近，所以，.一般来说，无理数指数幂(0,)p a a p >是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.思考：由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈ ()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈ ()(0,)r r r a b a b a r R ⋅=>∈3．例题 （1）．求值 解：① 2223323338(2)224⨯====② 1112()21222125(5)555--⨯--====③ 5151(5)1()(2)2322----⨯-===④334()344162227()()()81338-⨯--===（2）．用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）解：117333222a a a aa +=⋅==228222333a a a a a +⋅==421332()a a ====分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算. 课堂练习：补充练习：1. 计算：122121(2)()248n n n ++-⋅的结果2. 若13107310333,384,[()]n a a a a a -==⋅求的值小结：1．分数指数是根式的另一种写法. 2．无理数指数幂表示一个确定的实数.3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.例1．计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b-÷-（2）31884 () m n-分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的.整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.解：（1）原式=211115326236 [2(6)(3)]a b+-+-⨯-÷-=0 4ab =4a（2）原式=318884()() m n-=23m n-例2．（P61例5）计算下列各式（1）（22(a＞0）分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.解：（1）原式=111324 (25125)25-÷=231322 (55)5-÷=2131 3222 55---=1655-= 5（2）原式=125222362132a aa a a--===⋅小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数. 课堂练习：化简：（1）2932)-（2（3）归纳小结：1．熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.指数函数及其性质指数函数的定义一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在.若a =1, 11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1xx为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数.我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过先来研究a ＞1的情况用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2xy =的图象.从图中我们看出12()2xxy y ==与的图象有什么关系?通过图象看出12()2xxy y y ==与的图象关于轴对称,实质是2xy =上的x,y 点(-)x y x,y y 1与=()上点(-)关于轴对称.2讨论：12()2xx y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出115,3,(),()35x xx x y y y y ====的函数图象.问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看x y a =（a ＞1）与xy a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征.xx问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.问题3：指数函数xy a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系. 5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[,]xa b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ； 例题：例1：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.分析：要求(0),(1),(3),,x f f f a x π-13的值,只需求出得出f()=()再把0，1，3分别代入x ，即可求得(0),(1),(3)f f f -.课堂练习：P 68 练习：第1，2，3题补充练习：1、函数1()()2x f x =的定义域和值域分别是多少?2、当[1,1],()32x x f x ∈-=-时函数的值域是多少?解（1）,0x R y ∈>（2）（－53，１）例2：求下列函数的定义域：（1）442x y -= （2）||2()3x y =分析：类为(1,0)x y a a a =≠>的定义域是R ，所以，要使（1），（2）题的定义域，保要使其指数部分有意义就得 .3．归纳小结1、理解指数函数(0),101x y a a a a =>><<注意与两种情况。

指数函数单元复习教材分析：指数函数是学生对指数幂与基本初等函数的初始认识，是高中数学的基础，是刻画现实世界变化规律的重要模型.本节课是学生在已掌握了指数幂基本运算与指数函数的图像与性质的基础上，运用所学知识来解决一些实际问题，培养学生数学应用意识.为后面对数与对数函数和幂函数的学习打下坚实的基础，有助于后面类比法数学思想的实施.教学目标：（一）知识目标1、理解根式的概念与表示方法.了解指数函数模型背景及实用性、必要性.2、使学生正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.3、理解并掌握指数函数及其图象的性质，并能熟练解决相关问题.（二）能力目标1. 培养学生基本的运算能力.2．培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力.3．培养学生数形结合、辩证思维和动手实践的能力.4．培养学生应用函数思想方法解决实际问题的能力.（三）价值目标1．培养学生积极学习、刻苦钻研的学习毅力等良好的意志品质.2．培养学生观察分析、抽象概括能力、数形结合、归纳总结能力和实践与探索能力.3．学会理论联系实际，学以致用，在解决实际问题的过程中，逐步理解、认识函数思想方法，了解数学的应用.复习指导：1.熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是得分的保证，所以熟练掌握这一技能是重中之重.2.本节复习，还应结合具体事例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性质.重点解决：（1）指数幂的运算：（2）指数函数的图象和性质.教学重点：指数幂的运算、指数函数的图象和性质.教学难点：指数函数的图象和性质的应用教学方法：自主与分小组讨论结合. 教学过程：1．指数函数：叫做指数函数，其中x是自变量.2．指数函数的图象和性质：解析式xy a=定义域R值域()0,+∞图象1>a10<<a函数值函数的图象恒过_______点. 当0>x时，当0<x时，当0>x时，当0<x时，单调性在()+∞∞-,上是___函数.在()+∞∞-,上是___函数.奇偶性师：以幻灯片的形式展示给学生.生：完成空白部分的填写师生：共通对填写的结果辨别，修改错误之处.让学生重新回顾指数函数的图象及其性质，为其应用做好准备，让学生展示填写结果，让学生有自主参与课堂的意识.3分钟群策群力底数对图象的影响1>a时，图象像一撇，且在y轴右侧a越大，图象越靠近y轴(如图1)；01a<<时，图象像一捺，且在y轴左侧a越小，图象越靠近y轴(如图2)思考: xy a=与xay-=的图象有何关系？师：以幻灯片的形式将问题展示给学生生：小组讨论出结果，以小组形式将结果展示出来师生：共同修正结果，做出总结.复习指数函数的图象后，让学生用数形结合的思想解决该问题，同时强调特例法在数学中的应用.3分钟xOy1y=1y=O xy学以致用：（一） 指数与指数幂的运算部分例1.(1)计算：1200.2563433721.5()82(23)()63-⨯-+⨯+⨯-[解题思路] 根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算.[解析]原式1111113633344222()1(2)2(23)()242711033=⨯+⨯+⨯-=+⨯=（2）化简46394369)()(a a ⋅的结果为A ．a16B ．a8C ．a4D ．a 2[解题思路]根式有多重时，按从内到外的顺序化简牛刀小试：计算：()1 )0,0(3224>>⋅-b a ab b a（2）12112133265····a b a b a b---⎛⎫ ⎪⎝⎭（二）指数函数与性质部分 1）定义的考查：例2．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有( )A ．a ＝1或a ＝2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ＞0且a≠1 分析：主要考察指数函数的定义xy a =中系数为“1”.练习：指数函数y ＝f (x )的图象经过点(2,4)，那么f (2)·f (4)＝________关于y 轴对称方法 总结 主要方法：（1）指数方程，指数不等式：常要转化为同底数的形式，再利用指数函数的单调性求解；(2)确定与指数有关的函数的单调性时，常要注意针对底数进行讨论；(3)要注意运用数形结合思想解决问题.师：提出问题 生：讨论总结出结果 师生：共同对所总结方法补充完整，得到最终结果.通过总结让学生对所学知识有一个整体认识1分钟2）定义域与值域的应用例3.函数12-=x y 的定义域为 ，值域为注：定义域是使表达式有意义的x 的取值范围，值域求解时结合图象或函数单调性. 练习：求函数12xy = 的定义域与值域 3）图象的考察： 例4.（1）函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图象如右图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是 ( A )注：图象的关键是底与“1”的大小决定图象的单调情况.练习：函数y ＝2－x的图象是图中的( )4）单调性的应用： 类型一：比较大小例5. 比较下列各数的大小（按从小到大的顺序排列）5353537.0,7.0,7.1===-c b a练习： 比较大小 （1）2.05.05.0,5.0 ② 3 33类型二：解不等式例6．不等式282133x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为注：解指数不等式应将两侧化成同底指数，利用单调性得出指数部分的大小.练习：求不等式2741x x a a -->中的x 的取值范围5）过定点问题例7． 函数y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)的图象经过的定点坐标是( ) A ．(0,1) B ．(2,1) C ．(－2,0) D ．(－2,1) 注：指数函数恒过定点（0,1），指数型函数的图象是将指数函数图象平移的结果，定点也随着移动而移动，也可以采取变量替换的思想去计算.练习：函数12x y a-=+(0,1)a a >≠且的图象恒过定点_________.6）底数大小对图象位置的影响：例8. 如图所示是指数函数的图象，已知a 的值取2，43，310，15，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 依次为________．注：先用“1”分类，同类的再结合底的大小与图象和坐标轴距离的关系得出结论.设计意图：在进行完基本内容的复习后，针对每个知识点给出对应的例题和练习题，让学生学会知识点的应用，同时加深对知识的理解，让学生有个“理论联系实际”的过程. 本节小结：1）指数幂运算要化成分数指数幂的形式，利用运算法则运算，多重根式要从內至外依次展开.2）有关指数函数的问题要结合图象作出思考，即数形结合数学思想的应用. 作业： 必做题：1.计算43(22)的结果是( ) (A)22(B)2 (C) 2 (D)2 2 2.若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则a 的值为( ) (A)3 (B)2 (C)-2 (D)123.设a=22.5,b=2.50,c=()2.5,则a,b,c 的大小关系是( ) (A)a>c>b(B)c>a>b (C)a>b>c(D)b>a>c4．(广州)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b b a >b，则f (x )＝2x⊕2－x的图象是( )5.已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是( )6.()1xf x a b =+-（0a >，且1a ≠）的图经过第二、三、四象限，则一定 A ．010><<b a 且 B ．01>>b a 且 C ．010<<<b a 且 D ．01<>b a 且 选做题：1. 若指数函数()xf x a =在[]1,1-上的最大值与最小值的差是1，求a 的值2.4()42xx f x =+，若01a <<，试求下列式子的值：（1）()(1)f a f a +-；（2）1231000()()()()1001100110011001f f f f +++⋅⋅⋅+3. 已知定义域为R 的函数f(x)=22xxb a -+是奇函数. (1)求a,b 的值.(2)用定义证明f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.(3)若对于任意t ∈R,不等式f(t 2-2t)+f(2t 2-k)<0恒成立,求k 的范围.设计意图：在分层教学的需求下，习题分必做和选做，适合因材施教的要求.照顾到全体同学的需求，既让能力较差学生跟得上，也让学有余力的同学“吃得饱”.学情分析本节的学习内容是普通高中新课程标准实验教科书《数学必修1》（人教A 版）第二章每一节指数函数的单元复习课.函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中.而指数函数作为重要的基本初等函数之一，是高中所研究的第一种函数，指数函数的学习有助于加深学生对函数概念的理解，也有助于理解函数的应用价值.同时指数函数的学习也为今后研究其他函数提供了可供借鉴的方法和模式，指数函数在高中数学知识体系中起到了承上启下的作用，在整个高中数学课程中占有重要的地位.教学对象是刚步入高中的学生，学生系统地学习了函数概念及性质，掌握了指数与指数幂的运算以及指数函数的图像与性质的基础上展开复习的.虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也逐步形成，但对函数的研究方法虽然在初中的基础上有所进步，但对函数的掌握与应用仍然不熟练.通过本节的教学，让学生在初步掌握指数函数的基础上进一步加深对指数函数的理解.通过本节学习，学生为后面用类比法学习对数函数、幂函数等其它函数奠定更为坚实的基础.学生课前根据《导学案》内容，回顾学过的知识，对于基础较差同学，要求掌握基本的定义公式及图像与性质，会解决较容易的题目，并通过向基础较好的同学学习、探讨，巩固基础的同时，提高自己的能力；基础较好的同学负责几个基础较差的同学的学习掌握情况，在掌握基本的定义公式及图像与性质的基础上，通过给同学讲解，发现自己的不足.效果分析通过本节复习情况来看，学生掌握情况普遍较好，通过学生的评测练习的解答情况来看，大部分学生对指数幂的运算及指数函数的图像与性质的掌握情况良好.练习都是对于基础内容的考查，大部分学生解答情况良好.指数幂的运算部分,在讲解之前,部分学生根据预习可以做出正确答案,但缺少数学思想的归纳,甚至有些同学得出错误的结论.在讲解后,学生重新思考修改,对本类题型有了新的认识,从例题到思考题做的效果都很好.指数函数的定义部分练习,由于形式固定,计算不复杂,全体同学一起通过,没有出现错误;但在定义域与值域的考察题上,小数同学缺乏变量替换的意识,使值域计算错误;图象复习部分,基本图像学生都会,但针对题目,需一步转化过程,少数同学转化出现问题,使该题错误,究其原因,是对图像形成缺少理解.单调性的三个应用掌握情况良好,在本部分也相对应做出总结,学生更进一步理解内容并更好地应用;图像过定点问题,题目较简单,做的效果良好,但也让学生了解除了平移的思想还有变量替换的思想更适合于该种题型.在评测练习的答题情况中, 1，2，3,6,7,8,9,10题做的很好，没有出现错误。

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二．条件求值证明问题 见数学之友第 21 页例题 1.
三．幂、指数函数单调性的运用 见数学之友第 21 页例题 2.
2
指数与指数函数
1． 3 a 6 a 的值为（ ）
A． a
B． a
C． a
D． a
2．下列结论中，正确的命题的个数是（ ） 3
①当 a<0 时， (a 21) 2 a 3 ；② n a n | a | ； ③函数 y (x 2) 2 (3x 7)0 的定义域为 (0, ) ；④若 (n a ) n 与 n a n 相同。
①当 n 为奇数时， n a n =a.
②当
n 为偶数时， n
an
a =|a|= a
(a 0), (a 0).
（3）分数指数幂的意义
m
①a n = n a m （a＞0，m、n 都是正整数，n＞1）.
m
②a n =
1
=
1
（a＞0，m、n 都是正整数，n＞1）.
m
an
n am
2.指数函数 （1）指数函数的定义 一般地，函数 y=ax（a＞0 且 a≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象 （3）指数函数的性质 ①定义域：R. ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即 x=0 时，y=1. ④当 a＞1 时，在 R 上是增函数；当 0＜a＜1 时，在 R 上是减函数.
A．0
B．1
C．2
D．3
3．化简 a 4 (1 a) 4 的结果是( )
A．1
B．2a－1
C．1 或 2a－1
D．0
4．如果 a，b 都是实数，则下列实数一定成立的是（ ）
A． 3 a 3 b 2 a b

指数与指数函数复习学案（解析篇）【高考要求】指数函数（B ）【学习目标】理解有理数指数幂的含义；了解实数指数幂的意义,能进行幂的运算.理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质,会画指数函数的图象. 了解指数函数模型的实际案例,会用指数函数模型解决简单的实际问题.【学习重难点】指数函数的性质及其应用（课前基础知识回顾，事先发给学生填写，课上用投影打出一起回顾）一、根式1．根式的概念2．两个重要公式(1)n a n＝⎩⎨⎧a ， n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0)， n 为偶数；(2)(n a )n ＝a (注意a 必须使na 有意义)． 二、有理数指数幂 1．幂的有关概念(1)正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(2)负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂的性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q)； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q)； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)．三、指数函数的图象和性质函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)图象0<a <1a >1图象特征在x 轴上方，过定点(0,1)性 质定义域 R 值域(0，＋∞)单调性减函数增函数函数值变化规律 当x >0时，y >1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1当x <0时，0<y <1； 当x ＝0时，y ＝11．(教材习题改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9解析：选B 原式＝(26)12－1＝7.2．(教材习题改编)函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选A ∵1－2x ≥0，∴2x ≤1，∴x ≤0. 3．已知函数f (x )＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,4)D ．(4,0)解析：选A 当x ＝1时，f (x )＝5.4．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a 的值为________． 解析：∵a 2－3a ＋3＝1，∴a ＝2或a ＝1(舍)． 答案：25．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2)1.分数指数幂与根式的关系：分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程．2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论．【经典题回顾】[例1] 化简下列各式(其中各字母均为正数)． (1)(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5；(2)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027－23－3π0＋3748. [自主解答] (1)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. 总结提炼：指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．变式训练： 1．计算：(1)(0.027)－13－⎝⎛⎭⎫－17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－(2－1)0；(2)⎝⎛⎭⎫14－12·(4ab －1)30.1－2(a 3b －3)12.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫271 000－13－(－1)－2⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫25912－1 ＝103－49＋53－1＝－45. (2)原式＝412·432100·a 32·a －32·b 32·b －32＝425a 0·b 0＝425. 【重点知识强化】[例2] (2012·四川高考)函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )[自主解答] 法一：令y ＝a x －a ＝0，得x ＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.法二：当a >1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，且过(1,0)，排除选项A 、B ； 当0<a <1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，因为0<a <1，故排除选项D. [答案] C 总结提炼：1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． 变式训练：2．(1)(2012·北京模拟)在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________．解析：(1)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＝2－x ，∴它与函数y ＝2x 的图象关于y 轴对称． (2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解． 答案：(1)A (2)1[例3] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a .则函数f (x )的单调递增区间为________，单调递减区间为________．[自主解答] 令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t ，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增， 又y ＝⎝⎛⎭⎫23t 是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)． [答案] (－∞，0] [0，＋∞) 变式训练：在本例条件下，若f (x )的最大值等于94，则a ＝______.解析：由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝⎛⎭⎫23－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2， 从而a ＝2. 答案：2 总结提炼：求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．变式训练：3．(1)(2012·福州质检)已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >c >a(2)(2012·上海高考)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：(1)由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .(2)结合函数图象求解．因为y ＝e u 是R 上的增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，只需u ＝|x －a |在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a ≤1.答案：(1)A (2)(－∞，1]【课堂练习A 组—巩固】1．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1D ．y ＝1－2x解析：选B ∵1－x ∈R ，y ＝⎝⎛⎭⎫13x的值域是正实数集， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫131－x 的值域是正实数集．2．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：选B 由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3， 两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.3．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )解析：选B ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1，∴根据分段函数即可画出函数图象．4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域( ) A ．[9,81] B ．[3,9] C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析：选C 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x－2在[2,4]上是增函数，可知C 正确．5．(2012·深圳诊断)设函数f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( ) A ．f (－2)>f (－1) B ．f (－1)>f (－2) C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)解析：选A ∵f (2)＝4，∴a－|2|＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－|x |＝2|x |，∴f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x是增函数，∴x <0时，f (x )是减函数，∴f (－2)>f (－1)．6．若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2解析：选D 因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1，解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12；解2m ＋1>m 2＋m －1，即m 2－m －2<0，得－1<m <2. 综上所述，m 的取值范围是5－12≤m <2. 7.⎝⎛⎭⎫32－13×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－ ⎝⎛⎭⎫－2323＝________.解析：原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋234×214－⎝⎛⎭⎫2313＝2. 答案：28．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)． 函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 答案：m >n9．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)且f (1)＝9.则f (x )的单调递减区间是________． 解析：由f (1)＝9得a 2＝9，∴a ＝3.因此f (x )＝3|2x －4|，又∵g (x )＝|2x －4|的递减区间为(－∞，2]，∴f (x )的单调递减区间是(－∞，2]． 答案：(－∞，2]10．求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2；(2)y ＝ 32x －1－19.解：(1)显然定义域为R. ∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， 且y ＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数． ∴⎝⎛⎭⎫122x －x 2≥⎝⎛⎭⎫121＝12. 故函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. (2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2，∵y ＝3x 为增函数，∴2x －1≥－2， 即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞， 由上可知32x －1－19≥0，∴y ≥0.即函数的值域为[0，＋∞)．11．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．解：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.12．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值． 解：由3－4x ＋x 2＞0，得x ＞3或x ＜1， ∴M ＝{x |x ＞3，或x ＜1}，f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝⎛⎭⎫2x －162＋2512. ∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2， ∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值．【课堂练习B 组选做】1．(2013·绍兴一中模拟)函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定解析：选A 由题意知a >1，又f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)． 2．(2012·衡水模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c ；④2a ＋2c <2.解析：画出函数f (x )＝|2x －1|的图象(如图)， 由图象可知，a <0，b 的符号不确定，c >0. 故①②错；∵f (a )＝|2a －1|，f (c )＝|2c －1|， ∴|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1， 故2a ＋2c <2，④成立； 又2a ＋2c >22a ＋c ，∴2a ＋c <1，∴a ＋c <0，∴－a >c ，∴2－a >2c ，③不成立． 答案：④3．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3， 令t ＝－x 2－4x ＋3，由于t (x )在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.。