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学而思讲义：函数的图象与性质1

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板块一.函数的单调性

典例分析

题型一：求函数的单调区间，常用以下四种方法。

1.定义法

【例1】 试用函数单调性的定义判断函数在区间上的单调性．

【例2】 证明函数在定义域上是增函数．

【例3】 根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．

【例4】 证明函数在定义域上是减函数．

【例5】 讨论函数的单调性．

【例6】 求函数f(x)=x+的单调区间。

【例7】 求证:函数在上是增函数.

【例

8】 （2001春季北京、安徽，12）设函数f（x）＝（a＞b＞0），

求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调

性。

【例9】 （2001天津，19）设，是上的偶函数。

（1）求的值；（2）证明在上为增函数。

【例

10】 已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，

且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结

论。

【例

11】 已知函数对任意实数，均有．且当＞0时，，试判断的单

调性，并说明理由．

【例

12】 已知给定函数对于任意正数，都有＝·，且≠0，当时，．试

判断在上的单调性，并说明理由．

2.图象法

【例13】 如图是定义在区间上的函数，根据图象说出函数的单调区

间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

【例14】 求函数的单调减区间

【例15】 求下列函数的单调区间：

⑴ ；⑵ （）．

【例16】 求下列函数的单调区间：

⑴；⑵

【例17】 作出函数的图象，并结合图象写出它的单调区间．

【例18】 画出下列函数图象并写出函数的单调区间

（1） （2）

3.求复合函数的单调区间

【例19】 函数（，）的递增区间是（ ）

A． B．或 C． D．或

【例20】 已知是偶数，且在上是减函数，求单调增区间。

【例21】 求函数的单调区间．

【例22】 讨论函数的单调性．

【例23】 求函数㏒的单调区间

【例24】 （1）求函数的单调区间；

（2）已知若试确定的单调区间和单调性。

题型二：利用单调性求函数中参数的取值范围

【例25】 设函数是R上的减函数，则的范围为( )

A． B． C． D．

【例26】 函数)是单调函数的充要条件是( )

A． B． C． D．

【例

27】 已知（且）是上的增函数．则实数的取值范围是（

）．

A． B．

C． D．

【例28】 设是实数，，⑴试证明对于任意，为增函数；

⑵试确定值，使为奇函数．

【例

29】 设定义域为R上的函数f(x)既是单调函数又是奇函数，若对

一切正实数t成立，求实数k的取值范围。

【例

30】 已知f（x）是奇函数，在实数集R上又是单调递减函数且0

＜θ＜时,,求t的取值范围.

【例

31】 已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞］上是增函

数，是否存在实数m，使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对

所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m

的范围，若不存在，说明理由。

题型三：函数的单调性与方程、不等式

【例32】 比较的大小.

【例

33】 已知在区间上是减函数，且，则下列表达正确的是（

）

A． B．

C． D．

【例

34】 若是上的减函数，且的图象经过点和点，则不等式的解

集为（ ）．

A． B． C． D．

【例35】 解方程.

【例

36】 设f(x)在R上是偶函数，在区间（-∞,0）上递增，且

有f(2a2+a+1)

【例37】 设是定义在R上的函数，对、恒有，且当时，。

（1）求证：； （2）证明：时恒有；

（3）求证：在R上是减函数； （4）若，求的范围。

【例38】 设是定义在上的单调增函数，满足

求：（1）f（1）；（2）当时x的取值范围.

【例39】 已知是定义在上的增函数，且．

⑴求证：，；

⑵若，解不等式．

【例

40】 已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等

式f［log2(x2+5x+4)］≥0。

【例41】 已知 a、b、c，求证：

【例42】 已知x＞-1，且x≠0，，求证：

【例

43】 设，是定义在有限集合上的单调递增函数，且对任何，

有．那么，（ ）

A． B． C． D．

【例44】 已知是定义在上的增函数，且当时，，，则 ．

题型四：函数的最值

【例45】 求函数，的最小值．

【例46】 求函数的最小值．

【例47】 求函数的最值．

【例

48】 （2002全国理，21）设a为实数，函数f（x）=x2+|x

－a|+1，x∈R。

（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值。

【例

49】 设m是实数，记M={m|m>1}，f(x)=log3(x2－

4mx+4m2+m+)。

(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)

对所有实数x都有意义，则m∈M；

(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值；

(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1。

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最新“学而思”反比例函数知识点总结

最新“学而思”反比例函数知识点总结

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初中数学反比例函数知识点

—、反比例函教的定賈：

—般地-羽如"%是當数S）的国教叫做反比厉幽数。

X

说明（1）反比例函敎可以理解対两个变里的乘秋4个不対0的當教，因此可以写成』或 的册式0

< 2）反比例函数的自变里工是不尊于D的任意冥数。

X

二、反比例函数的图象与性质；

反比方牺数的性质与A的苻号有关*反比例函数的性质如下表所示；

反比例函数 门餌°）

k晞号 Jt>0 比<0

图象

L ■ ■ | y

f \r'

性质 当 3 时，函数的圏象在第一、

三象服在每个釁限内，曲线从左向右 下隆，也就是在每个象服內y随T的増

犬而减小 岂k<0时，函数的图象在第二、

四象陆在每个彖服内，曲埶左向右 上升，也就是在寄个象眼內，F隨X的

增大而增大

说明：（1）反比例函数圏象的债蛊和函缴的増减性，都是由比例系数氏的苻号决定的。反过来，由液

曲线所在的位蛊或醱［的增减性，也可叹和断出k的苻号。

（2） 反比例函数的增减性，只能在每个象限內讨论；当七>0时・在每一象限（第一、三象限）丿随

兀的増大而减小・但不能宠绕地说；当贮>0时，y^x的増犬而减小宀同样,当k

（3） 反比例函数的囹象是收曲线，笄目这两条戏曲线只能无服接近于两坐标轴，不能勻其相交。

三、确定反比例函数解析式：

确走反比例函数的关系的方法仍然是待走系数法。由于反比例函数y=-

系數k,所以在确定关系式时只需要一组屁$的对应值翦孤曲线上一个点的坐标，将直优入关系式中，

即可建立起方程，逬而把k的值求出，从而得到函数关紊式◎

Jr

用特定系数法求反比例函数关系式的一般步骤：L设；设所求的反比例函数的关系T = -?工代:

X 将已知杀件中对应的心V值代入工=£中，从而偉到关于k的方程门谓:解关于上的方程,求出斤的值； 丄定；将的值代入丁 = £中，谓到函数羌融卜

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四、反比洌函数的几何意文:

反比例函数的本质特征是两个娈里的乘租杲一个常数。由此不谁得出反比例函数的一个重要性质，也 即是比例系数无的几何意文如圏"若过朝曲线上的任意一点虫，分别向X轴、y轴作爭线肿、应？，则 矩刑ABOC面翟SflB JC = |>|^-|v卜啊

函数的图象与性质

函数的图象与性质

函数的图象与性质

高考考点 考点解读

函数的概念及其表示 1.求具体函数的定义域、值域

2．以分段函数为载体考查求函数值或已知函数值求字母的值(或取值范围)等

函数的图象及其应用 1.以具体函数的解析式选择图象或知图象选解析式

2．利用函数的图象研究函数的性质(特别是单调性、最值、零点)、方程解的问题及解不等式、比较大小等

函数的性质及其应用 1.确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值

2．综合应用函数的性质求值(取值范围)、比较大小等，常与不等式相结合

备考策略

本部分内容在备考时应注意以下几个方面：

(1)深刻理解函数、分段函数及函数的单调性、奇偶性、最值、周期性等概念．

(2)掌握各种基本初等函数的定义、图象和性质，以及幂和对数的运算性质．

(3)掌握函数图象的作法、变换法则及利用图象解决函数性质、方程、不等式问题的方法．

(4)掌握利用函数性质比较大小、求值、求参数范围等问题的方法．

预测2019年命题热点为：

(1)求函数定义域及与分段函数有关的求值、求范围等问题．

(2)给出函数解析式选图象及利用图象解决交点个数、方程的解、不等式等问题．

(3)利用函数的性质求值，求参数取值范围、比较大小等问题．

Z知识整合hi shi zheng he

1．指数与对数式的七个运算公式 (1)am·an＝am＋n，am÷an＝am－n.

(2)(am)n＝amn.

(3)loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0)．

(4)logaMN＝logaM－logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0)．

(5)logaMn＝nlogaM(a>0且a≠1，M>0)．

(6)alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)．

(7)logaN＝logbNlogba(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)．

2．单调性定义

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，且x1f(x2)成立，则f(x)在D上是减函数)．

学而思高中题库完整版函数的图象与性质[1].板块四.函数的图象与数字特征.学生版

学而思高中题库完整版函数的图象与性质[1].板块四.函数的图象与数字特征.学生版

.板块四.函数的图象与数字特征.题库 1

题型一：函数的图象

【例1】 当a≠0时，y=ax+b和y=bax的图象只可能是(

)

【例2】 （1996上海，文、理8）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（ba）x的图象只可能是（ ）

【例3】 （06重庆 理）如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是（ ）

典例分析

板块四.函数的图象与数字特征 .板块四.函数的图象与数字特征.题库 2

【例4】 定义域和值域均为,aa（常数0a）的函数yfx和ygx的图像如图所示，给出下列四个命题：

（1）方程0fgx有且仅有三个解；

（2）方程0gfx有且仅有三个解；

（3）方程0ffx有且仅有九个解；

（4）方程0ggx有且仅有一个解。

那么，其中正确命题的个数是 。

【例5】 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( ) A B

C D .板块四.函数的图象与数字特征.题库 3

【例6】 （06江西 12）某地一年内的气温()Qt(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃，令()Ct表示时间段0,t的平均气温，()Ct与t之间的函数关系用下图表示，则正确的应该是（ ）

【例7】 （2002上海文，理16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图2—1所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（ ）

函数的图像与性质课件

函数的图像与性质课件

函数的图像与性质课件

函数是数学中一个非常重要且广泛应用的概念。它将输入值映射到输出值，可以用图像来直观地表示函数的性质。本课件将介绍函数的图像与性质，帮助读者更好地理解和应用函数。

一、函数的定义与图像表示

函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。数学上常用的表示函数的方式有函数符号法、图像法和映射关系法。其中，图像法是最直观且常用的一种方式。

图像法通过将函数的输入值和输出值表示在坐标系中，从而形成一个函数的图像。在直角坐标系中，横轴表示输入值，纵轴表示输出值，将函数的所有点连接起来，就得到了函数的图像。函数图像可以帮助我们观察函数的性质，如增减性、奇偶性等。

二、常见函数的图像与性质

1. 线性函数

线性函数是函数中最简单且最重要的一类函数。它的图像呈现为一条直线，表达式为y=ax+b，其中a和b是常数。线性函数的特点是斜率恒定，图像可以通过斜率和截距来确定。

2. 幂函数 幂函数是一类以自变量为底数的函数，常见的有平方函数、立方函数等。幂函数的图像呈现为一条曲线，其形状受幂指数的正负和大小的影响。根据幂指数的奇偶性，可以确定幂函数的对称性。

3. 指数函数

指数函数是以指数为变量的函数，常见的有以e为底的自然指数函数。指数函数的特点是增长速度快，图像在原点处必过(0,1)，具有递增性质。

4. 对数函数

对数函数是指以某个正常数为底数的函数，常见的有自然对数函数。对数函数的图像在正半轴递增，并且在(1,0)处必过，具有递增性质。

5. 三角函数

三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，常见的有正弦函数、余弦函数等。三角函数的图像周期性重复出现，并且具有交替性。

三、函数图像的应用

函数图像不仅能够直观地展示函数的性质，还有很多实际应用。以下是一些常见的应用领域：

1. 物理学中的运动轨迹

函数图像可以用于描述物体在不同时间的位置变化情况，常见的有抛物线轨迹、圆周运动等。