不等式选讲高考真题版
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不等式选讲综合测试
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若||||acb，则下列不等式中正确的是（ ）．
A．abc B．acb C．||||||abc D．||||||abc
2．设0,0,1xyxyAxy, 11xyBxy，则,AB的大小关系是（ ）．
2．B 11111xyxyxyBAxyxyyxxy，即AB．
3．设命题甲：|1|2x，命题乙：3x，则甲是乙的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知,,abc为非零实数，则222222111()()abcabc最小值为( ) ．
A．7 B．9 C．12 D．18
4．B 22222222111111()()()(111)9abcabcabcabc，
∴所求最小值为9．
5．正数,,,abcd满足adbc，||||adbc，则有（ ）．
A．adbc B．adbc C．adbc D．ad与bc大小不定
5．C 特殊值：正数2,1,4,3abcd，满足||||adbc，得adbc．
或由adbc得222222aaddbbcc，
∴2222()()22adbcbcad，（1）
由||||adbc得222222aaddbbcc，（2）
将（1）代入（2）得2222bcadbcad，即44bcad，∴adbc．
6．如果关于x的不等式250xa的非负整数解是0,1,2,3，那么实数a的取值
围是（ ）．
A．4580a B．5080a C．80a D．45a
6．A 250xa，得55aax，而正整数解是1,2,3，则345a．
7．设,,1abc，则log2log4logabcbca的最小值为（ ）． A．2 B．4 C．6 D．8
7．C log,log,log0abcbca，
33lglglglog2log4log3log2log4log386lglglgabcabcbcabcabcaabc．
8．已知|23|2x的解集与2{|0}xxaxb的解集相同，则（ ）．
A．53,4ab B．53,4ab C．53,4ab D．174ab
8．Ｂ 由|23|2x解得1522x，因为|23|2x的解集与2{|0}xxaxb
的解集相同，那么12x或52x为方程20xaxb的解，则分别代入该方程，得11304252550442aabbab．
9．已知不等式1()()9axyxy对任意正实数,xy恒成立，则正实数a的最小值为（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
9．B ∵21()()1(1)ayaxxyaaxyxy，∴2(1)9a，∴4a．
10．设222,,0,3abcabc，则abbcca的最大值为（ ）．
A．0 B．1 C．3 D．333
10．C 由排序不等式222abcabbcac，所以3abbcca．
11．已知2()3(1)32xxfxk，当xR时，()fx恒为正，则k的取值围是（ ）．
A．(,1) B．(,221) C．(1,221) D．(221,221)
11．B 23(1)320xxk，232(1)3xxk，即23213xxk，
得232213xxk，即221k．
12．用数学归纳法证明不等式111113123224nnnn(2,)nnN的过程中，由nk逆推到1nk时的不等式左边（ ）．
A． 增加了1项)1(21k B．增加了“)1(21121kk”，又减少了“11k”
C．增加了2项)1(21121kk D．增加了)1(21k，减少了11k
12．B 注意分母是连续正整数．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．不等式2||1xx的解集为 ．
13．{|1}xx ∵0x，∴|2|||xx，即22(2)xx，∴10x，1x，
∴原不等式的解集为{|1}xx．
14．已知函数2()1fxxax，且|(1)|1f，那么a的取值围是 ．
14．13a 2()1fxxax，(1)2fa，而|(1)|1f，即|2|1a．
15．函数212()3(0)fxxxx的最小值为_____________．
15．9 32221233123312()3392222xxxxfxxxxx．
16．若,,abcR，且1abc，则cba的最大值是 ．
16．3 2222(111)(111)()3abcabc．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
求证：22233abcabc．
17．证明：∵2222222(111)()()abcabc，
∴2222()39abcabc，
即22233abcabc．
18．（本小题满分10分） 无论,xy取任何非零实数，试证明等式111xyxy总不成立．
18．证明：设存在非零实数11,xy，使得等式1111111xyxy成立，
则11111111()()yxyxxyxy，
∴2211110xyxy，即221113()024yxy，
但是10y，即221113()024yxy，从而得出矛盾．
故原命题成立．
19．（本小题满分12分）
已知a，b，c为ABC的三边，求证：2222()abcabbcca．
19．证明：由余弦定理得2222cosbcAbca，2222cosacBacb，
2222cosabCabc，
三式相加得2222cos2cos2cosbcAacBabCabc，
而cos1,cos1,cos1ABC，且三者至多一个可等于1，
即2cos2cos2cos222bcAacBabCbcacab，
所以2222()abcabbcca．
20．（本小题满分12分）
已知,,abc都是正数，求证：32()3()23ababcababc．
20．证明：要证32()3()23ababcababc，
只需证323abababcabc，即323abcabc，
移项得323cababc，
∵,,abc都是正数，
∴33233cabcababcabababc，
∴原不等式成立．
21．（本小题满分12分）
某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，试问：（1）仓库面积S的最大允许值是多少？（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
21．解：如图，设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则有Sxy，
由题意得40245203200xyxy，
应用二元均值不等式，
得32002409020xyxy
12020xyxy
12020SS
∴6160SS，即(16)(10)0SS，
∵160S，∴100S，∴100S．
因此，S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是4090xy，
而100xy，求得15x，即铁栅的长应是15米．
22．（本小题满分12分）
已知()fx是定义在(0,)上的单调递增函数，对于任意的,0mn满足
()()()fmfnfmn，且a，b(0)ab满足|()||()|2|()|2abfafbf．
（1）求(1)f；
（2）若(2)1f，解不等式()2fx；
（3）求证：322b．
22．解：（1）因为任意的,0mn满足()()()fmfnfmn，
令1mn，则(1)(1)(1)fff，得(1)0f；
（2）()211(2)(2)fxff，
而(2)(2)(4)fff，
得()(4)fxf，而()fx是定义在(0,)上的单调递增函数，
04x，得不等式()2fx的解集为(0,4)； （3）∵(1)0f，()fx在(0,)上的单调递增，
∴(0,1)x时，()(1)0fxf，(1,)x时，()(1)0fxf．
又|()||()|fafb，()()fafb或()()fafb，
∵0ab，则()(),()()fafbfafb，∴()()fafb，
∴()()()0(1)fafbfabf，
∴1ab，得01ab．
∵|()|2|()|2abfbf，且1b，12abab，()0,()02abfbf，
∴()2()2abfbf，∴2()()()[()]222abababfbfff，
得2()2abb，∴2242baabb，
即2242bba，而01a，
∴20421bb，又1b，
∴322b．
答案与解析：
备用题：
1．已知ab，cd，则下列命题中正确的是（ ）．
A．acbd B．abdc C．acbd D．cbda
1．D 令1,0,1,2abcd，可验证知D成立，
