Bursa转换模型七参数严密解算方法研究

第２４卷第４期　２０１０年８月　资源环境与工程　Ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ　Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ＆Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｖｏ１．２４，Ｎｏ．４　Ａｕｇ．，２０１０　

Ｂｕｒｓａ转换模型七参数严密解算方法研究　

刘仁钊　，段文贵　，张玉堂　

（１．湖北国土资源职业学院，湖北荆州４３４０００；２．湖北省地球物理勘察技术研究院，湖北武汉４３００５６）　

摘要：针对现行教材中Ｂｕｒｓａ线性转换模型只适合小旋转角的情况，提出了基于中心化后Ｂｕｒｓａ转换模型　七参数严密解算方法，迭代过程无需计算搜索步长　。通过实例计算表明，该方法数值计算正确，适用于　

任意两空间坐标系之间的严密转换。　关键词：Ｂｕｒｓａ转换模型；中心化坐标；最小二乘法；迭代计算　中图分类号：Ｐ１２８．１；Ｐ２２８　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１—１２１ｌ（２ＯＬＯ）Ｏ４—０４１６～０３　

０　引言　

在空间大地测量学的理论和应用研究中，不同空　

间坐标系之间的坐标转换是经常遇到的。在现有的教　

材中…，传统的三维空间坐标转换大多采用７参数线　

性模型（即包含３个坐标平移参数、３个角度旋转参数　

和１个尺度缩放参数），通常只适用于小旋转角。随着　

测绘技术的发展，这种空间坐标系之间的转换在三维　

激光扫描、测量机器人自由设站以及ＧＩＳ坐标变换、区　

域独立坐标系转换中都遇到大量的大旋转角的转换　

问题。　

文献［２］提出了基于改进的高斯一牛顿法的非线　

性三维直角坐标转换方法，但在迭代求解过程中需要　计算搜索步长。本文在文献［２］的基础上，提出根据　

中心化后的坐标进行Ｂｕｒｓａ转换模型七参数严密解算　

方法，由于中心化后消去了平移参数向量，不仅计算简　

单，而且求解过程不需计算搜索步长。通过实例计算　

证明，该方法理论正确，计算简单，不仅适合小旋转角，　

也适用于大旋转角，可用于任意两空间坐标系的严密　

转换。　

１　Ｂｕｒｓａ七参数严密解算模型　

１．１　Ｂｕｒｓａ七参数转换模型　

设　和　分别为Ｉ、ＩＩ两个不同空间坐标系中的　

坐标向量，由文献［１］知，若按照绕ｚ—ｙ－　轴依次旋转，　

Ｂｕｒｓａ七参数转换模型为：　

Ｘ　：Ｘｏ＋（１＋６ｕ）Ｒ１（　）Ｒ２（　ｙ）Ｒ３（ｓｚ）　）　

其中　和　为旋转角，　为第１坐标系原点　

在ＩＩ坐标系中的坐标向量，乩为两坐标系中尺度比例　ｓｉｎ８ｚ　０７　ｌ　ｃｏｓ　ｚ　０　Ｉｌ　

０　１　ｊ　

变化因子。　

令Ｒ＝Ｒ　（８ｘ）Ｒ　（　）Ｒ　（　），则不难推求：　

ｃｏｓ　ｅｒｓｉｎｓ　ｚ　－ｓｉｎＣｒ

ＳｌｎＳｘＣＯＳ８Ｙ

ＳｌｎＳｘＣＯＳ￣Ｚ　ＣＯＳＳｙ＿］ｘｃｏｓ占ｚ＋ｌｎ　ｓｌｎ　ｙｓｌｎ占ｚ　ｌｃｏｓ　ｓｌｎ　ｙｓｌｎｓｚ—　ｃ０ｓ　Ｉ　

进一步令Ｋ＝１＋６ｕ，于是式①可写成如下向量形式：　Ｘ”＝Ｘ０＋Ｋ・　・　③　②　

１．２中心化后的Ｂｕｒｓａ七参数转换模型　

设有ｎ个公共点，分别有两套坐标　和　，，（ｉ＝１，　

收稿日期：２０１０—０４—０２；改回日期：２０１０—０４—２０　作者简介：刘仁钊（１９６４一），男，副教授，博±，从事高精度大地测量与ＧＰＳ测量数据处理的教学与研究。Ｅ—ｍａｉｌ：ｒｅｎｚｈａｏ～ｌｉｕ＠　

ｙａｈｏｏ．ｅｏｍ．ｃｎ　第４期　刘仁钊等：Ｂｕｍａ转换模型七参数严密解算方法研究　４１７　

２，…，ｎ），将３ｎ个方程相加，取平均值，则有：　

耋　＝　ｎ　＋Ｋ・尺・　：　

或写为：　ＸＨ＝Ｘｏ＋Ｋ・Ｒ・Ｘ　④　

根据式③，将ｎ个公共点的方程分别减去方程④，　

消去坐标平移参数向量，则有：　

一Ｘ”＝Ｋ・Ｒ・（　—Ｘ　）　

或记为：　

ａｘｅ＇＝Ｋ・Ｒ・ＡＸ　⑤　

式⑤即为中心化后的向量形式的Ｂｕｒｓａ七参数转　

Ｉ　ｃ０ｓ８ｌｏ　ｃｏｓ　ｚ０　

＝ｌ　ｓｉｎｅ加ｓｉｎｅ＇ｏＣ０Ｓｅ　一ｃｏｓｅｘｏｓｉｎｅｚ０　ｌ　ｓｉｎｅｘｏｓｉｎ占　＋ＣＯＳｅ￣Ｓｉｎｓ＇ｏｃ。ｓ　ｚ。　

ｒＲ１ｌ　Ｒｌ２　Ｒｌ３］　

＝ｌ　Ｒ２１　Ｒ２２　Ｒ２３　Ｉ，　

ＬＲ３１　Ｒ３２　Ｒ３３ｊ　

其中矩阵各元素：　换模型。与式③比较，除少了坐标平移参数向量之外，　

其余形式完全一样。为了不至引起混淆，略去前面的　中心化符号“△”，下面仍然用　和　：　表示中心化后　

的坐标向量。　

１．３　Ｂｕｒｓａ七参数严密解算模型　

由于⑤式为非线性方程，根据文献［３］中求解非　

线性方程的高斯一牛顿法，取近似值Ｋ＝Ｋｏ＋８Ｋ，　＝　

加＋　，　ｙ：　＇Ｄ＋船ｙ，　ｚ＝占动＋船ｚ，将其在近似值　

处按台劳级数展开，略去二次及以上各项，有：　ＸＨ＝Ｋｏ・Ｒ、・ＸＩ＋Ｒｎ・Ｘｉ・６Ｋ＋Ｋｎ・８Ｒ・ｘｉ⑥　

式中：　

ＣｏＳ占＇ｏＳｌｎ８邪　

ＣｏＳ　加ＣＯＳ占ｚ０＋Ｓｌｎ　髑ＳｌｎＳ均ＳｌｎＳｚＤ　

Ｃ０Ｓ　加Ｓｌｎ　＇ｏＳｌｎ　ｚ０一ｓｌｎｏｏｘ０ｃｏｓｅｚ０　

Ｒｌ１＝一ｓｉｎｅｙＣＯＳｅｚ如ｙ—ＣＯＳｅｙｓｉｎｅｚ如ｚ　

Ｒ　２：一ｓｉｎｅＹｓｉｎｅｚ６ｓＹ＋ＣＯＳｅＹＣＯＳｅｚ８８ｚ　

Ｒｌ３：一ｃｏｓｅ￣ｅｙ　Ｒ２１＝（ＣＯＳｅ　ｓｉｎｅｙＣ０Ｓｅｚ＋ｓｉｎｅｘｓｉｎｅｚ）６　ｘ＋ｓｉｎｅ　

ＣＯＳｅＹＣ０Ｓｅｚ６ｓＹ一（ｓｉｎ８ｘｓｉｎ６Ｙｓｉｎ８ｚ＋ＣＯＳｅＸＣＯＳｅｚ　＆ｚ　

Ｒ２２＝（ＣＯＳｅ　ｓｉｎｅｙｓｉｎｓｚ—ｓｉｎｅ　ＣＯＳｅｚ）６　＋ｓｉｎｅ　

ＣＯＳｅＹＣＯＳｅｚ６ｓＹ＋　ｓｉｎｅｘｓｉｎｅＹＣＯＳ８ｚ—ＣＯＳｅＸｓｉｎｅｚ　６￡ｚ　

Ｒ２３＝Ｃ０Ｓｅ　ＣＯＳｅｙ．５　—ｓｉｎｅ　ｓｉｎｅｒ￣ｅｙ　

Ｒ３ｌ＝（ｃＯＳｅｘＳｉｎ８ｚ—ｓｉｎ６　ｓｉｎ８ｙＣＯＳｏ￣ｚ）瑟ｙ＋ＣＯＳｅｘＣＯＳｅｙ　ｃＯＳｅｚ＆￣ｙ＋（ｓｉｎ　ｓｉｎ　ｚ—ｃＯＳｅｘＳｉｎｅｙｓｉｎｅｚ）Ｉ占　

Ｒ３２＝一（ｓｉｎ６　ｓｉｎｅｙｓｉｎ　ｚ＋ＣＯＳｅ　Ｃ０Ｓｅｚ）　＋ＣＯＳｅ　

ＣＯＳｅＹｓｉｎｅｚ｛ｊｓＹ＋　ＣＯＳｅＸｓｉｎｅＹＣＯＳｅｚ＋ｓｉｎｅｘｓｉｎｅｚ　６￡ｚ　

Ｒ３３　一ｓｉｎｅｘｃｏｓｅｙ￣ｅｘ—Ｃ０Ｓｅｘｓｉｎｅｒ￥ｅｙ　令ｚ＝　一　Ｒ　，舾＝［船　船　掂　ｒ，于是有：　

・　・　＋　・Ｒ・龉一ｆ＝０　⑦　

或　［　】・【　】－ｌ＝０　⑧　

ｒ　ｌ１　ｔ２　ｌ３１　

式中：Ｒ＝Ｉ　。　Ｉ，其中矩阵各元素：　

Ｌ尺３ｌ　３２　３３ｊ　

Ｒ“＝０　

Ｒ１２＝一ｓｉｎｅｙＣＯＳｅｚ　一ｓｉｎｅｙｓｉｎｅｚＹ　一ＣＯＳｅｚＺ　

ＲＩ３＝－－ＣＯＳｅｙｓｉｎ占ｚ　＋ＣＯＳｅｒＣＯＳｅｚＹ　

ＲＥｌ＝（ＣＯＳｅ　ｓｉｎｅｙＣＯＳ８ｚ＋ｓｉｎｅ　ｓｉｎｅｚ）　＋（ＣＯＳＳ　ｓｉｎｅｙ　

ｓｉｎｅｚ—ｓｉｎ６ｘＣＯＳｅｚ）Ｙ　＋ＣＯＳｅＹｃｏｓｅｒｚ　Ｒ２２＝ｓｉｎｅ　ＣＯＳｅｙＣＯＳ８ｚ　＋ｓｉｎ６　ＣＯＳｅｙｓｉｎｅｚＹ　一ｓｉｎｅ　

ｓｉｎｅｒｚ　

Ｒ２３＝一（ｓｉｎｅｘｓｉｎｅｙｓｉｎｅｚ—ＣＯＳｅ　ＣＯＳｅ：）　＋（ｓｉｎｅｘ　

ｓｉｎｅｙＣＯＳｅｚ—ＣＯＳｅ　ｓｉｎｅｚ）ｙ　

Ｒ３ｌ＝（ＣＯＳｅ　ＣＯＳｅｚ—ｓｉｎ　ｓｉｎｅｙＣＯＳＥｚ）　一（ｓｉｎｓ　ｓｉｎｅｙ　

ｓｉｎｅｚ’ＣＯＳｅｘＣＯＳｅＺ）Ｊｙ—ＳｌＩｌｂ＇ｘＣＯＳＢＩ　Ｙｚ１　．　、　．　

Ｒ３２＝ＣＯＳｅ　ＣＯＳｅｙＣＯＳｅｚ　＋ＣＯＳｅ　ＣＯＳｅｙｓｉｎｅｚＹ　一ＣＯＳｅ　

・　，　ｓｉｎｅｙｚ　Ｒ３３＝（ｓｉｎｚ　ＣＯＳｅｚ—ＣＯＳｅ　ｓｉｎｅｙｓｉｎｓｚ）　＋（ｃｏｓ　ｓｉｎｅｙ　

ＣＯＳｅｚ＋ｓｉｎｅ　ｓｉｎｓｚ）ｙ　显然当ｎ＝７时，式⑧有唯一解：　

国　。　］＿ｌ２　⑨　

当ｎ＞７时，根据文献［１，３］，需要根据最小二乘法求　

解，式⑧的误差方程为：　

】・∞一ｚ　⑩　

令Ａ＝【尺。　ＫｏＲＩ，【　】＝［　】，于是法方程和未知　

数的解为：　（Ａ　）　一Ａｒｌ＝０　⑨　

＝（ＡｒＡ）　Ａ　ｚ　⑩　

１．４　Ｂｕｒｓａ七参数计算步骤　

（１）根据公共点坐标，计算出坐标平均值后，分别计　

算出两个空问坐标系的中心化坐标，即　一　ＩＩ刊Ａ　１一　；　

（２）取四个参数的近似值。第一次取　＝１，　＝　ｍ　ｍ　‰　一　一　．吼　珊　册　一　．．Ｈ　

Ｏ　４１８　资源环境与工程　

，ｏ＝　约＝０，分别求系数阵Ａ和常数项ｆ；　（３）组成法方程，求解四个参数６Ｋ、船　如　和　

船　，并计算四个参数的第二次近似值：Ｋ＝Ｋ０＋３Ｋ，　

＝　翮＋６　，　ｙ＝８　Ｈ】＋６　ｙ，　ｚ＝ｓ　ｚｆ】＋６　ｚ；　

（４）重复步骤②和③，当８Ｋ＜１０一　，船　瑟　和　

均＜１０“Ｓ时，就可停止迭代；　

（５）求解出未知参数后，将其代人式④求出平移参数。　

２算例　

本文采用的模拟计算算例是摘自文献［４］中的算　例。如图ｌ所示，已知点１～８分别为立方体的８个顶　

点，它们的坐标已知（见表１）。设这些点先沿　、ｌ，、ｚ　

轴各平移５００　ｍ、１　０００　Ｉｌｌ、２　０００　ｉｎ后，再分别绕轴逆时　针旋转３０。、４５。和６０。，尺度参数假定为１，变换后的坐　

标如表１。　

表１新旧坐标对照表　Ｔａｂｌｅ　１　Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ　图１坐标示意图　Ｆｉｇ．１　Ｃｕｂｉｃ　ｃｈａｒｔ　

根据上述推导的七参数严密解算公式和计算步　骤，在Ｖｉｓｕａｌ　Ｃ＋＋６．０中编程，并将结果转换为绕　

Ｙ－Ｚ轴依次旋转的旋转角，最后计算结果如下：　

转换中误差（ｍ）：Ｍｅａｎ＝３．３０８　０４ｅ～００７　

旋转角（。．　）：ｅｘ＝２９．５９５　９９９　９９４　９　

ｅｙ＝４４．５９５　９９９　９９７　５　

ｅｚ＝６０．０００　０００　００６　１　尺度比例：ｓｃａｌｅ＝１．０００　０００　０００　

平移参数（ｍ）：ｘＯ＝５００．０００　

ｙ０＝１　０００．０００　

ｚ０＝２　０００．０００　

计算结果与文献［２］一致，表明本文提出的Ｂｕｒｓａ　转换模型七参数严密计算理论和计算方法是正确的。　

在计算过程中，无需计算搜索步长　，比文献［２］简单。　

３结论　

传统的三维空问坐标转换，现行的教材中要求３　个旋转角为微小量，一般采用７参数线性模型，不适合　

大旋转角的坐标转换。本文提出的Ｂｕｒｓａ转换模型七　

参数严密求解方法，解决了大角度旋转的坐标转换情　况。由于中心化后消去了平移参数向量，不仅计算简　

单，而且求解过程不需计算搜索步长入，比文献［２］简　

单，适合任意两个空间坐标系中坐标转换。　

参考文献：　

［１］徐绍铨，张华海，杨志强，等．ＧＰＳ测量原理及应用［Ｍ］．武汉：武　汉大学出版社，１９９８：２５．　［２］　罗长林，张正禄，等．基于改进的高斯一牛顿法的非线性三维直角　坐标转换方法研究［Ｊ］．大地测量与地球动力学，２００７，２７（１）：５０　

—５３．　［３］　王新洲．非线性模型参数估计理论与应用［Ｍ］．武汉：武汉大学出　版社，２００２：７２．　［４］　王解先．七参数转换中参数之间的相关性［Ｊ］．大地测量与地球动　力学，２００７，２７（２）：４３—４６．　（责任编辑：胡立智）（下转４２３页）