高考数学提分专练：第22题 坐标与参数方程(选考题)

高考数学-坐标系与参数方程 （含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+t 6y =√t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =−2+s 6y =−√s（s 为参数）．(1)写出C 1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标． 【答案】(1)y 2=6x −2(y ≥0)；(2)C 3,C 1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，C 3,C 2的交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．【解析】 【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出． (1) 因为x =2+t 6，y =√t ，所以x =2+y 26，即C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0)．(2) 因为x =−2+s 6,y =−√s ，所以6x =−2−y 2，即C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0)，由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C 3的普通方程为2x −y =0． 联立{y 2=6x −2(y ≥0)2x −y =0 ，解得：{x =12y =1 或{x =1y =2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；联立{y 2=−6x −2(y ≤0)2x −y =0 ，解得：{x =−12y =−1 或{x =−1y =−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)． 2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t y =2sint ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π3)+m =0． (1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围． 【答案】(1)√3x +y +2m =0 (2)−1912≤m ≤52 【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可. (1)因为l ：ρsin (θ+π3)+m =0，所以12ρ⋅sinθ+√32ρ⋅cosθ+m =0，又因为ρ⋅sinθ=y,ρ⋅cosθ=x ，所以化简为12y +√32x +m =0，整理得l 的直角坐标方程：√3x +y +2m =0 (2)联立l 与C 的方程，即将x =√3cos2t ，y =2sint 代入 √3x +y +2m =0中，可得3cos2t +2sint +2m =0， 所以3(1−2sin 2t)+2sint +2m =0， 化简为−6sin 2t +2sint +3+2m =0，要使l 与C 有公共点，则2m =6sin 2t −2sint −3有解，令sint =a ，则a ∈[−1,1]，令f(a)=6a 2−2a −3，(−1≤a ≤1)， 对称轴为a =16，开口向上，所以f(a)max =f(−1)=6+2−3=5， f(a)min =f(16)=16−26−3=−196，所以−196≤2m ≤5m 的取值范围为−1912≤m ≤52.1．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．(1)求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 的极坐标方程为πR 02θαρα⎛⎫ ⎪=∈⎝<<⎭，，直线l 与曲线1C ，2C 分别交于M ，N （均异于点O ）两点，若4OMON=，求α． 【答案】(1)曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)π4α=【解析】 【分析】（1）1C 的参数方程消参可求出1C 的直角坐标方程；2C 的极坐标方程同乘ρ，把cos x ρθ=，222x y ρ=+代入2C 的极坐标方程可求出2C 的直角坐标方程.（2）设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，用极径的几何意义表示出4OMON=，即124ρρ=，解方程即可求出α. (1)解：1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），把2216y t =代入24x t =-中可得，24y x =-，所以曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，综上所述：曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)由（1）知，1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=-， 设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，则21sin 4cos ραα=-，22cos ρα=，由题意知02πα<<可得sin 0α≠，因为4OMON=，所以124ρρ=，所以24cos 42cos sin ααα-=⨯，故21sin 2α=，所以sin 2α=或sin 2α=（舍） 所以π4α=.2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）.已知曲线2C 与x ，y 正半轴分别相交于,A B 两点.(1)写出曲线1C 的极坐标方程，并求出,A B 两点的直角坐标；(2)若过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 与曲线1C 交于P 点，与直线AB 交于Q 点，求线段PQ 的长度.【答案】(1)2cos ρθ=，A 点为()3,0，B 点为()0,3(2)2【解析】 【分析】（1）普通方程()2211x y -+=，即可得2cos ρθ=（2）求出直线AB 的方程为3y x =-+，然后求出直线l 的方程，然后可求出PQ 的长度 (1)曲线1C 的普通方程()2211x y -+=，极坐标方程()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，∴2cos ρθ=.在曲线2C 上，当0x =时，0=t 或2t =，此时3y =或1y =-（舍），所以B 点为()0,3. 当0y =时，1t =-或1t =，此时3x =或1x =-（舍），所以A 点为()3,0. (2)直线AB 的方程为3y x =-+，极坐标方程为sin cos 3ρθρθ=-+， ∴()sin cos 3ρθθ+=，过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 的极坐标方程为4πθ=.4πθ=与2cos ρθ=联立，得1ρ 4πθ=与()sin cos 3ρθθ+=联立，得2ρ=∴21PQ ρρ=-=. 3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)设点Q的直角坐标为(，P 为C 上的动点，求PQ 中点R 的轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)直线l 的普通方程为2x y +=，曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)21ρ= 【解析】 【分析】（1）消去参数t ，即可得到直线l 的普通方程，再由两角和的正弦公式及222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设(),R x y ，即可表示P 点坐标，再根据点P 在曲线C 上，代入C 的方程，即可得到点R 的轨迹方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；(1)解：因为直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 所以直线l 的普通方程为2x y +=，因为曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即4sin cos cos sin 66ππρθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即2cos ρθθ=--，所以2sin 2cos ρθρθ=--，又222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，所以222x y x +=--，即()(2214x y +++=，即曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)解：设(),R x y，则(21,2P x y -，因为点P 在曲线C 上，所以()(2221124x y -++=，即221x y +=，所以PQ 中点R 的轨迹方程为221x y +=，即21ρ=4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos θsin θρ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PBPB PA+的值. 【答案】(1)10x y --=，22220x y x y +--= (2)4 【解析】 【分析】（1）直接消去参数，将直线l 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得到210t -=，得到12121t t t t +==- ，化简()222121212122112122PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+==，代入韦达定理，即可得到答案 (1)直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 可得l 的普通方程为10x y --=.曲线C 的极坐标方程为2(cos θsin θ)ρ=+，即22(cos θsin θ)ρρ=+，根据222cos θsin θx y x y ρρρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，可得2222x y x y +=+.∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= (2)在直线l的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）中，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 将直线l的参数方程221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22220x y x y +--=，得210t +-=，∴12t t +=121t t =-.∴()2221212121221121224PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+=== 5．（2022·安徽淮南·二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数，02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为(R)3πθρ=∈．(1)求曲线C 的极坐标方程与直线1l 的直角坐标方程；(2)设直线1l 与曲线C 交于点O ，A ，直线2l 与曲线C 交于点O ，B ，求AOB 面积的最大值． 【答案】(1)4sin ρθ=，y(2)【解析】【分析】（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决； （2）先求得AOB 面积的表达式，再对其求最大值即可. (1)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，展开得2240x y y +-=， 则曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． 直线1l的直角坐标方程为y (2)由（1）可知π||4sin3OA == 设直线2l 的极坐标方程为(R)θβρ=∈，根据条件知要使AOB 面积取最大值，则ππ3β<<，则||4sin OB β=，于是1ππsin sin 233OAB S OA OB βββ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π6sin cos cos 2)3sin 226ββββββ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭，所以当π3π262β+=即2π3β=时，AOB的面积取最大值，最大值为6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为))cos sin cos sin 2x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 100ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值. 【答案】(1)2214x y +=，23100x y +-=；【解析】 【分析】（1）消去曲线C 的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线l 的直角坐标方程作答.（2）设出曲线C 上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答. (1)由))cos sin cos sin x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），消去参数得2214x y +=， 所以曲线C 的普通方程为2214x y +=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的极坐标方程2cos 3sin 100ρθρθ+-=得：23100x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为23100x y +-=. (2)由（1）知，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()2cos ,sin P αα为曲线C 上一点，P 到直线l 的距离为d ，则105sin d αϕ-+===ϕ由4tan 3ϕ=确定，因此，当()sin 1αϕ+=时，d所以曲线C 上的点到直线l 7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐sin cos 0θρθ-．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程： (2)若直线与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,1)，求11||||PA PB +的值． 【答案】(1)224x y -=，0x+= (2)5【解析】【分析】（1）消去参数t 可得曲线C 的方程，利用公式法转化得到直线l 的直角坐标方程； （2）利用直线l 的参数方程中t 的几何意义求解. (1)∴11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），∴22222222112112x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，所以224x y -=， 所以曲线C 的方程为224x y -=又∴cos x ρθ=，sin y ρθ=，0x - 所以直线l的直角坐标方程为0x =； (2)∴()0,1P 在直线l 上，∴直线l的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）设A ，B 对应的参数分别为1t 与2t将直线l 的参数方程代入到224x y -=得22100t t --=． ∴2Δ(2)41(10)440=--⨯⨯-=>， ∴122t t +=，12100t t ⋅=-<， ∴1||PA t =，2||PB t =∴1212121111||||-+=+====t tPA PB t t t t，所以11||||+=PA PB 8．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 满足参数方程2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（t 为参数且11t -≤≤）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 为曲线1C 上一动点，且极坐标为(),ρθ. (1)求曲线1C 的直角坐标方程； (2)求()cos 3sin ρθθ+的取值范围.【答案】(1)y =()2204y x y +=≥(2)⎡-⎣ 【解析】 【分析】（1）消去参数t 可得普通方程，由11t -≤≤，得到0y ≥，即可求出曲线1C 的直角坐标方程； （2）先判断出2ρ=利用三角函数出()cos 3sin ρθθ+的范围. (1)由2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩消去t 可得：224x y +=. 由于11t -≤≤，则212t +≤，即0y ≥.因此曲线1C的直角坐标方程为y ()2204y x y +=≥(2)曲线1C 为上半圆，点P 在1C 上，因此2ρ=，0,θπ⎡⎤∈⎣⎦ 由三角函数的性质知，在[]0,π上，1cos 3sin θθ-≤+≤因此()cos 3sin 2,ρθθ⎡+∈-⎣9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为22x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ---=. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为()2,2，求1PA PB-.【答案】(1)()()22126x y -+-=；【解析】 【分析】(1)将222x y ρ=+、cos x ρθ=、sin y ρθ=代入圆C 的极坐标方程即可求其直角坐标方程； (2)将直线l 的参数方程化为标准形式，代入圆C 的直角坐标方程得到关于参数t 的二次方程，根据韦达定理和直线参数方程参数的几何意义即可求出1PA PB-．(1)∴22cos 4sin 10ρρθρθ---=，∴222410x y x y +---=， 即()()22126x y -+-=； (2)直线l参数方程的标准形式为2122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入圆C直角坐标方程整理得250t -=， 设方程的两根为1t 、2t ，则A 、B 对应参数1t 、2t ，则121250t t t t ⋅=-<⎧⎪⎨+⎪⎩，∴1PA PB-121211t t t t ==+-10．（2022·河南·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与1C 交于点P ，Q ，与2C 交于点S ，T ，与x 轴交于点R .(1)写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)若()4PR QR SR TR -=-，求直线l 的倾斜角. 【答案】(1)22y x =，()2211x y -+= (2)2π或4π或34π【解析】 【分析】（1）消参求得曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=同乘ρ得到2C 的直角坐标方程. （2）l 过定点1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，利用参数的几何含义化简求解. (1)曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=得22cos ρρθ=.所以2C 的直角坐标方程为222x y x +=，即()2211x y -+=.(2)不妨设0απ<<，则sin 0α>.易知1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭是l 过的定点.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，设P ，Q 对应的参数分别为P t ，Q t ，则22cos sin P Q PR QR t t αα-=+=.将直线l 的参数方程代入()222:11C x y -+=，得23cos 04t t α--=， 设S ，T 对应的参数分别为S t ，T t ，则cos S T SR TR t t α-=+=.由()4PR QR SR TR -=-得22cos 4cos sin ααα=，得cos 0α=或sin α=l 的倾斜角为2π或4π或34π. 11．（2022·河南洛阳·三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为12x ty kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，射线OM ：()04πθρ=≥与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】(1)22163x y +=，()0y ≠(2)2【解析】 【分析】（1）消去参数得到直线1l 、2l 的普通方程，联立两方程消去k ，即可得到P 的轨迹； （2）首先将1C 的方程化为极坐标方程，再将()04πθρ=≥代入两极坐标方程即可求出OA ，OB ，即可得解；(1)解：因为直线1l的参数方程为12x ty kt⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 得直线1l的普通方程为(12y k x =①， 直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数）， 消去参数m 得直线2l的普通方程为(1y x k=-②， 设(),P x y ，由①②联立得((121y k x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去k 得()22162y x =--即曲线1C 的普通方程为22163x y +=，()0y ≠；(2)解：设1OA ρ=，2OB ρ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2261sin ρθ=+（02θπ<<，θπ≠），代入()04πθρ=≥得12OA ρ==，将()04πθρ=≥代入2cos ρθ=得2OB ρ==所以2AB OA OB =-= 即线段AB的长度为212．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），将曲线1C 经过伸缩变换13x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)已知射线():0l θαρ=≥与曲线2C 交于A 、B 两点，若3OB OA =，求tan α的值. 【答案】(1)24cos 30ρρθ-+= (2)0 【解析】 【分析】（1）求出曲线2C 的参数方程，化为普通方程，再利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线2C 的极坐标方程；（2）设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根，由已知可得213ρρ=，结合韦达定理可求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系可求得tan α的值. (1)解：由题可得2C 的参数方程为2cos sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），则2C 的直角方程为()2221x y -+=，即22430x y x +-+=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以24cos 30ρρθ-+=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. (2)解：设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根， 2Δ16cos 120α=->，则124cos ρρα+=①，123ρρ=②， 因为3OB OA =，所以213ρρ=③，由①②③解得cos 1α=，则sin 0α=，tan 0α∴=，此时16120∆=->，合乎题意. 故tan 0α=.13．（2022·贵州遵义·三模（文））在极点为O 的极坐标系中，经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，且与极轴的交点为N ． (1)当π2α=时，求l 的极坐标方程； (2)当ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求MON △面积的取值范围．【答案】(1)cos ρθ=(2)⋃⎣⎦⎣⎦【解析】 【分析】（1）先求得l 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.（2）对直线l 的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得MON △面积的取值范围. (1)点π2,6M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π2cos 6π2sin 16x y ⎧=⨯=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，所以M点的直角坐标为)，当π2α=时，直线l的直角坐标方程为x =转化为极坐标方程为cos ρθ=.(2)在极坐标系下：经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，在直角坐标系下：经过点)M的直线l 的倾斜角为α或πα-.即直线l 的倾斜角是α或πα-. 当直线l 的倾斜角为α时，直线l 的方程为(1tan y x α-=，令0y =得1tan N x α-=ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan α⎡∈⎣，111,1,,tan tan tan N x ααα⎤⎡∈-∈-=-⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯ ⎝11tan 2α⎛=-⨯∈ ⎝⎣⎦.当直线l 的倾斜角为πα-时，直线l 的方程为()((1tan πtan y x x αα-=-=-，令0y =得1tan N x α=11,1tan tan N x αα⎤⎤∈=⎥⎥⎣⎦⎣⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎝11tan 2α⎛=⨯∈ ⎝⎣⎦.综上所述，MON △面积的取值范围是⋃⎣⎦⎣⎦. 14．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=，曲线2C 的参数方程是2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），点2,2P π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程； (2)设射线(0)3πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求PAB △的面积.【答案】(1)4cos ρθ=，22123sin ρθ=+(2)1 【解析】 【分析】（1）由公式法求极坐标方程（2）联立方程后分别求出A ，B 坐标，及P 到直线AB 距离后求面积 (1)曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. 曲线2C 的普通方程是：22143x y +=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线2C 的极坐标方程为：22123sin ρθ=+.(2)设12,,,33A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1||4cos23OA πρ===，22221216||53sin 3OB ρπ===+，所以||OB =，所以||||||2AB OA OB =-=-. 又(0,2)P到直线:AB y =的距离为：1d ==所以12112PABS⎛=⨯⨯= ⎝⎭ 15．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=. (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若点M ，N 分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.【答案】(1)22163x y +=，40x -=2- 【解析】 【分析】（1）利用22cos sin 1θθ+=消去参数θ，可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l 的直角坐标方程， （2）设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，然后利用点到直线的距离公式表示出d ，再根据三角函数的性质可求出其最小值 (1)由曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）可知2222cos sin 1θθ+=+=，故曲线C 的直角坐标方程为22163x y +=.由直线l的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可知l的直角坐标方程为40x -=. (2)MN 的最小值即为曲线C 上任意一点到直线l 距离的最小值.设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，则2cos 24d πθ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，故MN 2..。

【母题原题1】【2018新课标1，文22】在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.【母题原题2】【2017新课标1，文22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.【母题原题3】【2016新课标1，文23】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【解析】(Ⅰ)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.【命题意图】1.掌握极坐标与直角坐标之间的转化公式，能利用极坐标的几何意义解题．2．理解参数方程中参数的几何意义并灵活应用几何意义进行解题. 【基础知识与解题技巧】 1．参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，将参数方程化为普通方程需消去参数．（2）如果知道变量x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如，x =f （t ），把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t 的关系y =g （t ），那么x f t y g t =⎧⎨=⎩（），（）就是曲线的参数方程．（1）在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性． （2）普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同． 2．几种常见曲线的参数方程 （1）圆以O ′（a ，b ）为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在（0，0）时，方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．（2）椭圆椭圆x 2a 2＋y 2b 2=1（a >b >0）的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2=1（a >b >0）的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．（3）直线经过点P 0（x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．1．【河南省2017-2018学年 高三最后一次模拟考试】在平面直角坐标系中,已知倾斜角为的直线经过点.以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出曲线的普通方程;(2)若直线与曲线有两个不同的交点，求的取值范围.整理得.因为直线与曲线有两个不同的交点，所以,化简得.又,所以，且. 设方程的两根为,则，，所以,所以 .由，得，所以,从而，即的取值范围是.点睛：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．【湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟考试】已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同.曲线的极坐标方程是.直线的参数方程为（为参数，）.设，直线与曲线交于两点.（1）当时，求的长度；（2）求的取值范围.由，得化简得（其中），∴∴。

专题过关检测（二十二） 坐标系与参数方程1．(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧»AB ，，»CD所在圆的圆心分别是(1,0)，⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧»AB ，曲线M 2是弧，曲线M 3是弧»CD. (1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标．解：(1)由题设可得，弧»AB ，，»CD所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ，所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4， M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.2．曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.(1)写出C 的普通方程，并用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(α为直线的倾斜角，t 为参数)的形式写出直线l 的一个参数方程；(2)l 与C 是否相交？若相交，求出两交点的距离，若不相交，请说明理由． 解：(1)C 的普通方程为x 24＋y 2＝1，由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2得x －y －2＝0， 则直线l 的倾斜角为π4，又直线l 过点(2,0)，得直线l 的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t (t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入C 的普通方程得 5t 2＋42t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－425，显然l 与C 有两个交点，分别记为A ，B ，且|AB |＝|t 1－t 2|＝425.3．(2019·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos β，y ＝2sin β(β为参数，β∈[0，π])．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 恰有一个公共点P ，求点P 的极坐标．解：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos β，y ＝2sin β，得(x －4)2＋y 2＝4.∵β∈[0，π]，∴曲线C 的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4(y ≥0)． ∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，∴直线l 的倾斜角为α，且过原点O (极点)． ∴直线l 的极坐标方程为θ＝α，ρ∈R. (2)由(1)可知，曲线C 为半圆弧．若直线l 与曲线C 恰有一个公共点P ，则直线l 与半圆弧相切． 设P (ρ，θ)(ρ>0)．由题意，得sin θ＝24＝12，故θ＝π6.而ρ2＋22＝42，∴ρ＝2 3.∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.4．(2019·昆明质检)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋3cos α，y ＝3sin α(α为参数)，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos β，y ＝t sin β(t 为参数，0≤β<π)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|OA |－|OB |＝2，求β. 解：(1)由曲线C 的参数方程可得普通方程为(x －2)2＋y 2＝3， 即x 2＋y 2－4x ＋1＝0，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋1＝0.(2)由直线l 的参数方程可得直线l 的极坐标方程为θ＝β(ρ∈R)．因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以设A (ρ1，β)，B (ρ2，β)(ρ1>ρ2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ＋1＝0，θ＝β，可得ρ2－4ρcos β＋1＝0，因为Δ＝16cos 2β－4>0，所以cos 2β>14，所以|OA |－|OB |＝ρ1－ρ2＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝16cos 2β－4＝2， 解得cos β＝±22，所以β＝π4或3π4. 5．(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若极坐标系内异于O 的三点A (ρ1，φ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，φ＋π6，C ⎝⎛⎭⎪⎫ρ3，φ－π6(ρ1，ρ2，ρ3>0)都在曲线M 上．(1)求证：3ρ1＝ρ2＋ρ3；(2)若过B ，C 两点的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝12t (t 为参数)，求四边形OBAC的面积．解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6，ρ3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6，则ρ2＋ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＝23cos φ＝3ρ1. (2)由曲线M 的极坐标方程得曲线M 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，将直线BC 的参数方程代入曲线M 的直角坐标方程得t 2－3t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝3，∴在平面直角坐标系中，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (2,0)，则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝π6，∴ρ1＝ 3.∴四边形OBAC 的面积S ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12ρ1ρ2sin π6＋12ρ1ρ3sin π6＝334.6．(2020届高三·湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，y ＝－2＋t (t 为参数). 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 的交点为A ，B ，Q 是曲线C 上的动点，求△ABQ 面积的最大值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，y ＝－2＋t 消去t 得x ＋y －5＝0，所以直线l 的普通方程为x ＋y －5＝0.由ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ，得ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.(2)由(1)知，曲线C 是以(2,2)为圆心，22为半径的圆，直线l 过点P (3,2)，可知点P 在圆内．将直线l 的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－22t ，y ＝－2＋22t ，代入圆的直角坐标方程，得t 2－92t ＋33＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝92，t 1t 2＝33， 所以|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝30. 又圆心(2,2)到直线l 的距离d ＝|2＋2－5|2＝22，所以△ABQ 面积的最大值为12×30×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22＝5152.7．(2019·贵阳第一学期监测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42，消去t 得y ＝x ＋42，由ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4得ρ＝2cos θ－2sin θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝1，即C 是以⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22为圆心，1为半径的圆，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22到直线y ＝x ＋42的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5>1，所以直线l 与曲线C 相离．(2)圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22＋cos θ，y ＝－22＋sin θ(θ为参数)，则x ＋y ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又由θ∈R 可得－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，则－2≤x ＋y ≤2，所以x ＋y 的取值范围为[－2，2]．8．(2019·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α＋2，y ＝r sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝π3.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)当0<r <2时，若曲线C 与射线l 交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |的取值范围．解：(1)由题意知曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝r 2， 令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 化简得ρ2－4ρcos θ＋4－r 2＝0.(2)法一：把θ＝π3代入曲线C 的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r 2＝0.令Δ＝4－4(4－r 2)>0，结合0<r <2，得3<r 2<4.方程的解ρ1，ρ2分别为点A ，B 的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r 2>0， ∴1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝24－r 2. ∵3<r 2<4，∴0<4－r 2<1， ∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞)． 法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数，t ≥0)，将其代入曲线C 的方程(x －2)2＋y 2＝r 2中得，t 2－2t ＋4－r 2＝0，令Δ＝4－4(4－r 2)>0，结合0<r <2，得3<r 2<4，方程的解t 1，t 2分别为点A ，B 对应的参数，t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝4－r 2，t 1>0，t 2>0， ∴1|OA |＋1|OB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝24－r 2. ∵3<r 2<4，∴0<4－r 2<1， ∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞)．。

专题22坐标系与参数方程【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos()23ρθπ-=；（2）4cos ,[,]42ρθθππ=∈．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=，l 的直角坐标方程为1x =；（2）l 的斜率为2-．【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷理数】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．【答案】（1）22(2)4(0)x y x -+=≠；（2）2+．【命题意图】1．理解坐标系的作用．2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．3．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．4．能在极坐标系中给出简单图形的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义． 5．了解参数方程，了解参数的意义．6．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程． 【命题规律】参数方程与极坐标方程在高考中往往综合考查，各自的特征都较为突出，都是极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程方程转化为普通方程，最后转化为平面几何知识进行解决． 【答题模板】1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0）y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为坐标系中的伸缩变换． 2．极坐标和直角坐标的互化（1）进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)． （2）进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧． 3．参数方程与普通方程的互化（1）将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．4．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路为： 第一步，先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程； 第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．另外，当直线经过点P (x 0，y 0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时，可以把直线的参数方程设成(t 为参数)，交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，计算时，把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1+t 2，t 1·t 2，得到|AB |=|t 1-t 2|=．【方法总结】1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位． 如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0．几个特殊位置的圆的极坐标方程 （1）当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；（2）当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； （3）当圆心位于π(,)2M a ，半径为a ：ρ＝2a sin θ． 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 （1）直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；（2）直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； （3）直线过π(,)2M b 且平行于极轴：ρsin θ＝b ．4．直线的参数方程若直线过(x 0，y 0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为(t 为参数)．这是直线的参数方程，其中参数t 有明显的几何意义． 5．圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为0≤θ≤2π．6．椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点，而在点M 0(x 0，y 0)，相应的椭圆参数方程为0≤t ≤2π．7．参数方程化为普通方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有:①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法等，其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧． 8．普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值．一般地，与旋转有关的问题，常采用旋转角作为参数；与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数；与实践有关的问题，常取时间作为参数．此外，也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数．1．【重庆市南开中学2019届高三4月测试】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 极坐标方程为24sin 3ρρθ=-． （1）写出曲线1C 和2C 的直角坐标方程；（2）若,P Q 分别为曲线1C ，2C 上的动点，求||PQ 的最大值．【答案】（1）1C 的直角坐标方程为2214x y +=，2C 的直角坐标方程为22(2)1x y +-=；（2）2113+．2．【新疆乌鲁木齐地区2019届高三第三次质量检测】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x ty t =⎧⎨=+⎩（t为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中．曲线C 的极坐标方程为22cos()4ρθπ=+． （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由．3．【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()42ρθπ+=，曲线C 的极坐标方程为6cos 0ρθ-=． （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,0)M ，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求22||||MP MQ +的值．【答案】（1）直线l 和曲线C 的直角坐标方程分别为10x y --=，22(3)9x y -+=；（2）18．4．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值． 【答案】（1）5cos 2ρθ=；（2）．5．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．【答案】（1）曲线C 方程为28x y =，表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为y 轴的抛物线；（2）10．6．【新疆维吾尔自治区2019年普通高考第一次适应性检测】已知曲线12cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线21cos :1sin x t C y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．（1）若4απ=，求曲线2C 的普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）曲线1C 和曲线2C 的交点记为M ，N ，求||MN 的最小值．【答案】（1）曲线2C 的普通方程是2y x =-，它表示过(1,1)-，倾斜角为4π的直线；（2）．7．【青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校2019届高三4月联考】在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：2sin4cos ρθθ=，过点(2,1)P -的直线l 的参数方程为21x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求线段||MN 的长和||||PM PN ⋅的积．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为24y x =，直线l 的普通方程为10x y +-=；（2）8，14．8．【甘肃省2019届高三第二次高考诊断】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos (0)ρθθρ=+>． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，若(2,1)M 是AB 的中点，求直线l 的斜率．【答案】（1）22(1)(4x y -+-=；（2）12．9．【东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟】已知曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），(2,0)A ，P 为曲线C 上的一动点．（1）求动点P 对应的参数从3π变动到23π时，线段AP 所扫过的图形面积； （2）若直线AP 与曲线C 的另一个交点为Q ，是否存在点P ，使得P 为线段AQ 的中点？若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）6π；（2）存在点P 满足题意，且7(,88P ±．10．【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测】极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为2cos23ρθ=，曲线2C 的参数方程为221x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 是参数）．（1）求1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程； （2）若2C 与1C 有两个不同的公共点A ，B ，求||AB ．【答案】（1）1C 的直角坐标方程为223x y -=，2C 的普通方程为25y x =-；（2． 11．【甘肃省兰州市2019届高三实战模拟考试二诊】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为θα=，0α<<π，ρ∈R ，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C与2C 的交点，且A ，B 均异于原点O ，且||AB =，求实数α的值．【答案】（1）1C 的普通方程为22(2)4x y +-=，2C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=；（2）34π．12．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）． （1）求曲线C 的普通方程；（2）经过点(1,2)M -作直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若M 恰好为线段AB 的三等分点，求直线l 的普通方程．【答案】（1）22(1)(1)4x y ++-=；（25100y -=5100y +=．13．【新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,P ，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)．以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3cos()32ρθπ+=． （1）判断点P 与直线l 的位置关系并说明理由； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两个不同的点，求11||||PA PB +的值．【答案】（1）点P 在直线l 上；（2．14．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评】在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+． （1）当π6a =时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点(1,1)P -，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定||||PA PB ⋅的取值范围．【答案】（1）2210,142x y x ++=+=；（2）1[,1)2．15．【吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟】在平面真角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin cos a ρθθ=+．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于M ，N 两点，直线OM 和ON 的斜率分别为1k 和2k ，求12k k +的值． 【答案】（1）sin cos 2a ρθρθ+=，20ax y +-=；（2）1．16．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为315415x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+，点P 的极坐标为)4π．（1）求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；（2）设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求||PM ．【答案】（1）2212x y +=，（1，1）；（2）5541．17．【黑龙江省大庆市2019届高三第三次教学质量检测】在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为1x y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线2l 的极坐标方程为(0)6θρπ=≥． （1）求直线1l 的倾斜角及极坐标方程；（2）若射线2l 与1l 交于点M ，与圆C 交于点N （异于原点），求||||OM ON ⋅．【答案】（1）直线1l 的倾斜角56π，极坐标方程为cos sin 4ρθθ=；（2）8．18．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a，其参数方程为212x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值． 【答案】（1）曲线1C 普通方程10x y a --+=，曲线2C 的直角坐标方程24y x =；（2）136或94．19．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[0,]α∈π），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=-．（1）写出当34απ=时直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点(1,1)P -，直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求11||||PA PB +的最大值． 【答案】（1）直线l 的普通方程为0x y +=，曲线C 的直角坐标方程为2240x y x ++=；（2）2．20．【内蒙古呼和浩特市2019年高三年级第二次质量普查】在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线lcos()14θπ+=，曲线C 的极坐标方程为2 cos a ρθ=，0a >．（l ）设t为参数，若12y =-，求直线l 的参数方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于点P ，Q ，设(0,1)M -，且2||4||||PQ MP MQ =⋅，求实数a 的值．【答案】（1）212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）；（2）1．21．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为252x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）求曲线2C 上的动点M 到曲线1C 的最短距离．【答案】（1）曲线1C ：28x y +=，曲线2C ：2212y x +=；（2．22．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一】]在直角坐标系中，圆C的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若直线l ：cos tsin x t y ϕϕ=⎧⎨=⎩（t 为参数）被圆C截得的弦长为l 的倾斜角．【答案】（1）4cos()3ρθπ=-；（2）6π或2π．23．【重庆市第一中学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系xOy 中，直线:10l mx y m -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22sin 4ρρθ=+，直线l 与曲线C相交于,A B 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程，以及||AB 的取值范围；（2）若过原点的直线l'交曲线C 于,D E 两点，求11||||OD OE +的最大值． 【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22240x y y +--=，||(4,AB ∈；（224．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2019届高三第一次模拟】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，直线l 的方程为y kx =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）曲线C 与直线l 交于,A B两点，若||||OA OB +=k 的值． 【答案】（1）24cos 10ρρθ-+=；（2）3±．25．【新疆2019届高三第三次诊断性测试】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是24cos 30ρρθ-+=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，当(0,)6απ∈时，求||||OA OB +的取值范围．【答案】（1）直线l 的普通方程为sin cos 0x y αα-=，曲线C 的直角坐标方程为22(2)1x y -+=；（2）4)．26．【重庆市2019届高三学业质量调研抽测4月二诊】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos (0)a a ρθ=>．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，设点(0,1)M -，已知2||||||MA MB AB ⋅=，求实数a 的值．【答案】（1）直线l10y --=，曲线C ：2220x y ax +-=；（227．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()13ρθπ-=． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）已知射线:,(0,)2m θααπ=∈，若m 与圆C 交于点A （异于点O ），m 与直线l 交于点B ，求||||OA OB 的最大值．【答案】（1）4cos ρθ=；（2）3．28．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为1(sin cos )()2a a ρθθ-=∈R ．（1）写出曲线1C 的普通方程和直线2C 的直角坐标方程； （2）若直线2C 与曲线1C 有两个不同交点，求a 的取值范围． 【答案】（1）1C ：21(11)y x x =--≤≤，2C ：102ax y -+=；（2）11[,]22-．。