2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第二讲 参数方程

高考数学一轮总复习不等式与参数方程在高考数学中，不等式和参数方程是一轮总复习中非常重要的部分。

通过掌握这两个知识点，学生们可以更好地应对考试，并在解题过程中展现他们的数学能力。

本文将深入讨论不等式和参数方程的定义、性质以及解题方法，帮助大家更好地理解和掌握这两个知识点。

一、不等式不等式是数学中用于表示数量大小关系的一种表达方式。

不等式中的符号可以是大于、小于、大于等于、小于等于等，利用不等式可以描述两个或多个数的大小关系。

在高考数学中，不等式通常与方程一起出现，要求学生求出不等式的解集或者判断不等式的真假。

1.1 不等式的基本性质不等式具有一些基本的性质，这些性质对于解决不等式问题非常有帮助。

首先，两个不等式的加法仍然是不等式，例如对于不等式a<b和c<d，可以得到a+c<b+d。

同样地，两个不等式的乘法也还是不等式，例如对于不等式a<b和c<d，可以得到ac<bd。

此外，如果一个不等式两边都乘以一个正数，那么不等号的方向不变；如果一个不等式两边都乘以一个负数，那么不等号的方向会发生改变。

1.2 不等式的解集求解一个不等式就是要找到该不等式的所有满足条件的解。

对于简单的不等式，可以通过画数轴或者列出数表等方法来找到解集。

但是在高考中，我们经常遇到复杂的不等式，这时就需要运用一些解不等式的常用方法，如区间判断法、辅助方程法和换元法等。

二、参数方程参数方程是一种描述曲线或者曲面上各点的方法。

在参数方程中，自变量通常是一个参数，通过改变参数的值，我们可以得到不同的点。

参数方程在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

在高考数学中，参数方程通常与直线、曲线的性质和方程求解相关，掌握参数方程的概念和应用是解题的关键。

2.1 参数方程的定义参数方程由参数关于未知量的表达式组成。

例如，对于平面上的一条直线，我们可以使用两个参数x和y来表示该直线上的不同点。

通常情况下，我们会使用t作为参数，直线上的点可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f(t)和g(t)是关于t的函数。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，lα，lβ，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A ．14 B．12 C ．1 D ．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编36：坐标系与参数方程填空题1 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））在极坐标系中,圆4sin p θ=的圆心的极坐标是________________________. 【答案】(2,)2π2 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））直线2,34x lt y t=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数,l 为常数)恒过定点_______________. 【答案】(-2,3) 解答题 3 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）C. 选修4 - 4:坐标系与参数方程 已知椭圆C :221169x y +=与x 正半轴、y 正半轴的交点分别为,A B ,动点P 是椭圆上任一点,求PAB ∆面积的最大值.【答案】C. 选修4 - 4:坐标系与参数方程 解:依题意(4,0)A ,(0,3)B ,5AB =,直线AB :143x y+=,即34120x y +-=设点P 的坐标为(4cos ,3sin )θθ,则点P 到直线AB 的距离是|34cos 43sin 12|12|)1|554d θθπθ⋅+⋅-==+-,当sin()14πθ+=-时,max d =所以PAB ∆面积的最大值是max 11)2S AB d =⋅=+ 4 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）C.[选修4-4:坐标系与参数方程]在极坐标系中,已知点P 为圆22sin 70ρρθ+-=上任一点.求点P 到直线 cos sin 70ρθρθ+-=的距离的最小值与最大值.【答案】C.圆22sin 70ρρθ+-=的普通方程为22270x y y ++-=, 直线cos sin 70ρθρθ+-=的普通方程为70x y +-=,设点1)P αα-,则点P 到直线70x y +-=的距离d =,所以mind==maxd==5 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)求圆3cosρθ=被直线22,14x ty t=+⎧⎨=+⎩(是参数截得的弦长.【答案】解:将极坐标方程转化成直角坐标方程:3cosρθ=即:223x y x+=,即2239()24x y-+=;22,14,x ty t=+⎧⎨=+⎩即:23x y-=, 0d,即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为36 ．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）已知曲线1C的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin22cos2yx（其中α为参数），M是曲线1C上的动点，且M是线段OP的中点，（其中O点为坐标原点），P点的轨迹为曲线2C，直线的方程为2)4sin(=+πρx，直线与曲线2C交于,A B两点。

2013年高考数学理知识与能力测试题(2)DF ，右准线l 与两条渐线交于P 、Q 两点，如果△PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率ｅ＝ 。

（3）函数y =的最大值是 。

三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知)cos ,sin 3(x x m ωω=，)cos ,(cos x x ωω=，0>ω，记函数n m x f •=)(，若函数)(x f 的最小正周期为π。

(1) 求ω； (2) 当30π≤≤x 时，试求)(x f 的值域。

16．（本小题满分13分）设飞机A 有两个发动机，飞机B 有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，飞机就能安全飞行。

现设各发动机发生故障的概率p 是 t 的函数tep λ--=1，其中t 为发动机启动后所经历的时间，λ为正常数，试论证飞机A 与飞机B 哪一个安全(这里不考虑其他故障)。

17．(本小题满分14分)在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -中，E是棱BC 、CD 上的点，且 ''B F D E ⊥。

(1) 求证：CF BE =；(2) 当三角形CEF 角'C EF C --的余弦值。

18．（本小题满分14分）在xoy 平面上有一系列的点 ),,(,),,(),,(222111nny x P y x P y x P ，对于正整数n ，点nP 位于函数)0(2≥=x x y 的图象上，以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切，若11=x ，且nn x x <+1。

(1) 求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧nx1是等差数列； (2) 设⊙nP 的面积为nS ，nnS S S S T ++++= 321，求证：23π<nT19．(本小题满分12分) 已知函数x ax x x f 3)(23+-=(1)若)(x f 在[)+∞∈,1x 是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若3=x 是)(x f 的极值点，求)(x f 在[]a ,1的最小值和最大值。

第二章 函数 一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】函数错误！未找到引用源。

的定义域为 （）A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知函数()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（ ）A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】设全集为R, 函数()f x =M, 则C M R 为 （ ）(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x关于y 轴对称，则f (x )=（ ）A.1e x +B. 1e x -C. 1e x -+D. 1e x --6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．07.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】已知y x ,为正实数，则（ ） A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B. lg()lg lg 222x y x y += C.y x yx lg lg lg lg 222+=∙ D. lg()lg lg 222xy x y =【答案】D8.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】函数21()log (1)(0)f x x x=+>的反函数1()f x -=（ ）A ．1(0)21x x >- B ．1(0)21xx ≠- C ．21()xx R -∈ D ．21(0)x x ->9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()21,f x x x=+,则()1f -=A.2-B. 0C. 1D. 210.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】方程1313313x x-+=-的实数解为________.二．能力题组11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】函数331x x y =-的图象大致是（ ）12.【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为（ ）(A) 1(B) 2(C) 3(D) 413.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】函数cos sin y x x x =+的图象大致为14.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】设a =log 36,b=log 510,c=log 714,则 （A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （ ） (A) [15,20] (B) [12,25](C) [10,30](D) [20,30]16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为______. 40m17.【2013年全国高考新课标（I ）理科】若函数f (x )=(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x =－2对称，则f (x )的最大值是______.18.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】已知()f x 是定义在R 上的奇函数. 当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为 .三．拔高题组19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数）。

第二节参数方程强化训练当堂巩固1.把方程xy=1化为以t 参数的参数方程是( ) A. 1212x t y t ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩== B. sint 1y sint x =⎧⎪⎨=⎪⎩C. cost 1y cost x =⎧⎪⎨=⎪⎩D. tant 1y tant x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 答案:D解析:xy=1,x 取非零实数,而A,B,C 中的x 的范围有各自的限制,不合题意,故选D.2.若点P(3,m)在以点F 为焦点的抛物线244x t y t⎧=,⎨=⎩ (t 为参数)上,则|PF|等于( )A.2B.3C.4D.5 答案:C 解析:抛物线为24y x =,准线为x=-1,|PF|为P(3,m)到准线x=-1的距离,即为4.3.直线 122112x t y t ⎧=-,⎪⎨⎪=-+⎩ (t 为参数)被圆224x y +=截得的弦长为 . 答案解析:直线为x+y-1=0,圆心到直线的距离d ==弦长的一半为=4.若直线3x+4y+m=0与圆 1cos y 2sin x θθ=+,⎧⎨=-+⎩(θ为参数)没有公共点,则实数m 的取值范围是 .答案:m<0或m>10解析:由圆的参数方程知圆心(1,-2),半径R=1,问题等价于圆与直线3x+4y+m=0无公共点,则圆心(1,-2)到直线3x+4y+m=0的距离1d r =>=,解得m<0或m>10.5.已知曲线1C : 32cos y 22sin x θθ=+,⎧⎨=+⎩ (θ为参数),曲线2C : 1314x t y t =+,⎧⎨=-⎩ (t 为参数),则1C 与2C 的位置关系为.答案:相离 解析:曲线1C 化为普通方程是22(3)(2)4x y -+-=,曲线2C 化为普通方程是4x+3y-7=0,圆心(3,2)到直线4x+3y-7=0的距离4332725d |⨯+⨯-|==.2>2,故1C 与2C 相离. 课后作业巩固提升见课后作业B题组一 参数方程的概念1.参数方程为 12x t t y ⎧=+,⎪⎨⎪=⎩ (t 为参数)表示的曲线是… ( )A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线答案:D解析:∵y=2,∴它表示一条平行于x 轴的直线,而2x ≥,或2x ≤-.∴表示两条射线.2.已知F 是曲线 2cos y 1cos2x θθ=,⎧⎨=+⎩ (θ为参数θ,∈R )的焦点,点1(0)2M ,,则|MF|的值是 . 答案解析:由参数方程可得抛物线标准方程为22x y =,其焦点为1(0)2,,故|MF|=. 3.设y=tx(t 为参数),则圆2240x y y +-=的参数方程为 . 答案: 2224141t x t t y t ⎧=,⎪+⎨⎪=+⎩解析:22()40x tx tx +-=,当x=0时,y=0;当0x ≠时241t x t ,=+; 而y=tx,即2241t y t =,+得 2224141t x t t y t ⎧=,⎪+⎨⎪=.+⎩题组二 参数方程与普通方程的互化4.与参数方程x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩== (t 为参数)等价的普通方程为( )A.2214y x += B.221(01)4y x x +=≤≤ C.221(02)4y x y +=≤≤ D.221(0102)4y x x y +=≤≤,≤≤ 答案:D解析:2222211144y y x t t x x =,=-=-,+=,由0≤t ≤1011t ,≤-≤,得02y ≤≤.故选D.5.直线 3445x t y t =+,⎧⎨=-⎩(t 为参数)的斜率为 . 答案:54- 解析:直线的斜率455344y t k x t --===--. 6.参数方程 t t t t e e y 2(e e )x --⎧=+,⎨=-⎩ (t 为参数)的普通方程为. 答案:221(2)416y x x -=≥ 解析: t t t t e e y e e 2x -⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩=+=- ⇒ t t 2e 2y x 2e 2y x ⎧⎪⎪⎪⎨⎪-⎪⎪⎩+=-= ()()422y y x x ⇒+-=, 即221416y x -=.又x=e t +e 2t -≥.题组三 参数方程的应用7.已知直线l:x-y+4=0与圆C:12cos y 12sin x θθ=+,⎧⎨=+,⎩则C 上各点到l 的距离的最小值为 .答案:2-解析:方法一:圆方程为22(1)(1)4x y -+-=,∴d==.∴所求距离的最小值为2-.方法二:d==cos θ-sin )θ+|=|2cos ()4πθ++∴所求距离的最小值为2-.8.如果曲线2cosy a2sinx aθθ=+,⎧⎨=+⎩(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2,则实数a的取值范围是 .答案:0a<<或0a-<<解析:由题可得以原点为圆心,以2为半径的圆与圆22()()4x a y a-+-=总相交,根据两圆相交的充要条件得204080a a<<⇒<<⇒<<或-<a<0.9.直线2413x ty t=-+,⎧⎨=--⎩(t为参数)被圆25cosy15sinxθθ=+,⎧⎨=+⎩(θ为参数)所截得的弦长为 .答案:6解析:在平面直角坐标系中,直线3x+4y+10=0到圆222(2)(1)5x y-+-=所截得的弦长,则圆心(2,1)到直线3x+4y+10=0的距离为23411045d|⨯+⨯+|==,半弦为3,弦长为6.10.曲线4cosyxθθ=,⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)上一点P到点A(-2,0)、B(2,0)距离之和为 .答案:8解析:曲线4cosyxθθ=,⎧⎪⎨=⎪⎩表示的椭圆的标准方程为216x+2112y=,可知点A(-2,0)、B(2,0)为椭圆的焦点,故|PA|+|PB|=2a=8.11.直线12xy⎧=,⎪⎨=⎪⎩(t为参数)上到点A(1,2)的距离为的点的坐标为 .答案:(-3,6)或(5,-2)解析:点P(x,y)为直线上的点|PA|==解得t=或t =-故P(-3,6)或(5,-2).12.已知点P(x,y)是圆222x y y +=上的动点,(1)求2x+y 的取值范围;(2)若0x y a ++≥恒成立,求实数a 的取值范围. 解:(1)设圆的参数方程为cos y 1sin x θθ=,⎧⎨=+⎩ (θ为参数),2x+y=2cos θ+sin 1θ+=()1θϕ++,其中tan 2ϕ=.∴121x y +≤+≤+.(2)x+y+a=cos θ+sin 10a θ++≥,∴(a ≥-cos θ+sin )1θ-=sin ()14πθ+-.∴1a ≥-.。

课时检测 参数方程(建议用时：45分钟)1．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.2．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.3．已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．4．(2015·福州调研)在平面直角坐标系中， 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝2，所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1， 所以直线l 与圆C 相交． 5．已知P为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程． 【解】 (1)∵M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3， 故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3.(2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)．6．(2014·湖南高考改编)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l 的极坐标方程．【解】 消去曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α中的参数α，得(x －2)2＋(y －1)2＝1.由于|AB |＝2，因此|AB |为圆的直径． ∴直线l 过曲线C 的圆心C (2,1)． 又直线l 的倾斜角为π4，则k ＝tan π4＝1.所以直线l 的方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，得ρcos θ－ρsin θ＝1. 因此直线l 的极坐标方程ρ(cos θ－sin θ)＝1.7．(2015·沈阳质检)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．【解】 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.8．(2014·重庆高考改编)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，若直线l 与曲线C 的公共点为M ，求点M 的极径．【解】 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t 化为普通方程为y ＝x ＋1.由ρsin 2θ－4cos θ＝0，得ρ2sin 2θ－4ρcos θ＝0， 其对应的直角坐标方程为y 2－4x ＝0，即y 2＝4x . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴直线l 和曲线C 的交点M (1,2)， 因此点M 的极径ρ＝12＋22＝ 5.9．(2015·郑州质检)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，求椭圆C 的离心率．【解】 由已知可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m . 又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 的右焦点(c,0)，则得c ＝m . 又因为直线l 与圆O 相切，所以|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)．整理，得c 2a 2＝23，故椭圆C 的离心率为e＝63. 10．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)将曲线C 横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 距离的最小值．【解】 (1)将曲线C ：ρ＝4cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝4x ， ∴曲线C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. 直线l 的普通方程是x －y ＋25＝0.(2)将曲线C ：(x －2)2＋y 2＝4横坐标缩短为原来的12，得到曲线的方程为(2x －2)2＋y2＝4，即4(x －1)2＋y 2＝4，再向左平移1个单位，得到曲线C 1的方程为4x 2＋y 2＝4，即x 2＋y 24＝1.设曲线C 1上的任意一点为(cos θ，2sin θ)，它到直线l 的距离为d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5θ＋φ2，当sin(θ＋φ)＝1时，d 取得最小值52＝102， ∴曲线C 1上的点到直线l 距离的最小值为102.。

选修4－4－2 参数方程一、填空题 1．曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－1t y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是__________． 答案：y ＝x (x －2)(x －1)22．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝__________. 解析：将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知|PF |＝3－(－1)＝4.答案：43．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，当圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为__________．答案：－154．已知O 为原点，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θy ＝3sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则|OA →|＝__________. 答案：35．若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)有唯一的公共点，则实数k ＝__________.答案：±336．如果曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θy ＝a ＋2sin θ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是__________．答案：(－22，0)∪(0,22)7．在极坐标系中，直线l 1的极坐标方程为ρ(2cos θ＋sin θ)＝2，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t y ＝2＋kt (t 为参数)，若直线l 1与直线l 2垂直，则k ＝__________. 答案：－18．求直线⎩⎨⎧ x ＝1＋45t y ＝－1－35t (t 为参数)被曲线ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4所截的弦长为__________． 答案：75 9．已知点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数，θ∈[π，2π])上，则y x 的取值范围是__________．答案： ⎣⎡⎦⎤0，33 三、解答题10．(2013·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解析：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.直线C 2的直角坐标方程x ＋y －4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)，故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1. ∴⎩⎨⎧b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2. 11．在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解析：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. (2)解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3 解法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 12．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．解析：(1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π， D ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．。