(完整)2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》

2020年高考试题分类汇编（坐标系与参数方程）
1.（2020·全国卷Ⅰ）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin k k x t y t
⎧=⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
4cos 16sin 30ρθθ-+=.
（Ⅰ）当1k =时，1C 是什么曲线？
（Ⅱ）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标.
2.（2020·全国卷Ⅱ）已知曲线1C ，2C 的参数方程分别为1C ：224cos 4sin x y θθ
⎧=⎨=⎩（θ为参数），2C ：
11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数）. （Ⅰ）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设1C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且过极点和P 的圆的极坐标方程.
3.（2020·全国卷Ⅲ）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2
2223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且1t ≠）.C 与坐标轴交于A ，B 两点. （Ⅰ）求AB ；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.。

2020年高考试题分项版解析数学（理科）专题19 选修系列：坐标系与参数方程（教师版）一、填空题:1. (2020年高考广东卷理科14)（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为1:(x t C t y t=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）和22cos :(2sin x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），则曲线C 1与C 2的交点坐标为______.2．(2020年高考北京卷理科9)直线t t y t x (12⎩⎨⎧--=+=为参数)与曲线ααα(sin 3cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数)的交点个数为______。

3. (2020年高考湖北卷理科16)（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线π4θ=与曲线21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）相较于A ，B 来两点，则线段AB 的中点的直角坐标为_________. 【答案】55(,)22【解析】π4θ=在直角坐标系下的一般方程为)(R x x y ∈=，将参数方程21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为222)2()11()1(-=--=-=x x t y 表示一条抛物线，联立上面两个方程消去y 有0452=+-x x ，设B A 、两点及其中点P 的横坐标分别为0x x x B A 、、，则有韦达定理2520=+=B A x x x ,又由于点P 点在直线x y =上，因此AB 的中点)25,25(P ..【考点定位】本小题考查坐标系与参数方程,属选学内容之一,熟练掌握基础知识是解决好本题目的关键.4. (2020年高考湖南卷理科9)在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)与曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，则__a =.5.(2020年高考天津卷理科12)己知抛物线的参数方程为2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩（t 为参数），其中>0p ，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作的垂线，垂足为E ，若||=||EF MF ，点M 的横坐标是3，则=p .6．(2020年高考上海卷理科10)如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .7. (2020年高考江西卷理科15)（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2-2x =0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C 的极坐标方程为___________。

坐标系与参数方程本专题涉及极坐标系的基础知识，参数方程的概念以及直线、圆、椭圆的参数方程．这部分内容既是解析几何的延续，也是高等数学的基础． 【知识要点】1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示． 在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离｜OM |叫做点M 的极径，记作ρ ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对(ρ ，θ )叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定ρ ≥0．2．极坐标系与直角坐标系的互化．直角坐标化极坐标：x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ；极坐标化直角坐标：222y x +=ρ，).0(tan =/=x xy θ 3．参数方程的概念设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f xb t a ≤≤……①，如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数．4．参数方程与普通方程的互化把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．把曲线C 的普通方程F (x ，y )＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．要注意方程中的参数的变化范围． 5．直线、圆、椭圆的参数方程．(1)经过一定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数)；(2)直线参数方程的一般形式为⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,(t 为参数)；(3)圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00r y y r x x (θ 为参数)；(4)椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x (θ 为参数)．【复习要求】1．理解坐标系的作用．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．了解参数方程．4．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用． 【例题分析】例1 (1)判断点)35π,23(-是否在曲线2cos θρ=上． (2)点P 的直角坐标为)3,1(-，则点P 的极坐标为______．(限定0＜θ ≤2π) (3)点P 的极坐标为)4π,3(-，则点P 的直角坐标为______．解：(1)因为2365πcos2cos-==θ，所以点)35π,23(-是在曲线2cos θρ=上． (2)根据ρ 2＝x 2＋y 2，)0(tan =/=x xy θ， 得ρ ＝2，3tan -=θ，又点P 在第四象限，2π23π≤<θ，所以35π=θ， 所以点P 的极坐标为).3π5,2( (3)根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，得223,223-==y x ， 所以点P 的直角坐标为).223,223(- 例2 (1)圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为______．(2)直线)(3πR ∈=ρθ与圆ρ ＝2sin θ 交与A ，B 两点，则|AB |＝______． 解：(1)由ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )，得ρ 2＝2ρ (cos θ ＋sin θ )，所以，x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2， 所以圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为2．(2)将直线)(3πR ∈=ρθ与圆ρ ＝2sin θ 化为直角坐标方程，得 由3π=θ得xy=3πtan ，即x y 3=，由ρ ＝2sin θ ，变形为ρ 2＝2ρ sin θ ，得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为21311=+=d ， 所以.3)21(12||2=-=AB评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题；(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定θ 的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一；(3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决．这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识．如：①过极点，倾斜角为α 的直线：θ ＝α (ρ ∈R )或写成θ ＝α 及θ ＝α ＋π． ②过A (a ，α)垂直于极轴的直线：ρ cos θ ＝a cos α ． ③以极点O 为圆心，a 为半径的圆(a ＞0)：ρ ＝a ．④若O (0，0)，A (2a ，0)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a cos θ ．⑤若O (0，0)，A (2a ，2π)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a sin θ ． 对于例2(2)，可以利用结论①⑤，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB ｜，当然也可以用极坐标方程直接解ρ ，根据ρ 的几何意义求｜AB ｜．例3 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ ＝4cos θ ，ρ ＝－4sin θ ． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O 1和圆O 2交点的直线的直角坐标方程．解：(1)由ρ ＝4cos θ 得ρ 2＝4ρ cos θ ，根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，所以x 2＋y 2＝4x ．即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程，同理x 2＋y 2＋4y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==;0,011y x ⎩⎨⎧-==.2,222y x 即圆O 1和圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x ．例4 (1)曲线的参数方程是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x (t 为参数，t ≠0)，它的普通方程是________．(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y t x 3,3 (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin 2,cos 2θθy x (参数θ ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______．解：(1)由t x 11-=得x t -=11，带入y ＝1－t 2，得,)1()2()11(122--=--=x x x x y 注意到111=/-=t x ，所以已知参数的普通方程为⋅--=2)1()2(x x x y (2)直线l 的普通方程为x ＋y －6＝0，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l 的距离.222|620|=-+=d 评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问题； (2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题．如例4(1)，若参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x(t 为参数，t ＞0)，则其普通方程为).1()1()2(2<--=x x x x y 例5 求椭圆12222=+by a x 的内接矩形的最大面积．解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P (a cos θ ，b sin θ )，P 点在两轴上的投影分别为A 、B ，则有S 内接矩形＝4S 矩形OAPB ＝4·a cos θ ·b sin θ ＝2ab sin2θ ．因为)2π,0(∈θ，所以2θ ∈(0，π)，S 内接矩形的最大值为2ab ． 评述：圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点，从而讨论最值等有关问题．椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x (θ 为参数)．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222.例6 圆M 的参数方程为x 2＋y 2－4Rx cos α －4Ry sin α ＋3R 2＝0(R ＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及圆M 的半径；(2)当R 固定，α 变化时，求圆心M 的轨迹，并证明此时不论α 取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆．解：(1)依题意得圆M 的方程为(x －2R cos α )2＋(y －2R sin α )2＝R 2， 故圆心的坐标为M (2R cos α ，2R sin α )，半径为R ．(2)当α 变化时，圆心M 的轨迹方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααR y R x (α 为参数)，两式平方相加得x2＋y 2＝4R 2，所以圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆．由于,32)sin 2()cos 2(22R R R R R -==+αα,2)sin 2()cos 2(22R R R R R +==+αα所以所有的圆M 都和定圆x 2＋y 2＝R 2外切，和定圆x 2＋y 2＝9R 2内切．例7 过P (5，－3)，倾斜角为α ，且53cos -=α的直线交圆x 2＋y 2＝25于P 1、P 2两点．(1)求|PP 1|·|PP 2｜的值；(2)求弦P 1P 2的中点M 的坐标． 解：(1)由已知53cos -=α得,54sin =α所以已知直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=,543,535t y t x …………………①(t 为参数)代入圆的方程化简，得.095542=+-t t …………………②②的两个解t 1、t 2就是P 1、P 2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知 ｜PP 1|·｜PP 2|＝|t 1|·|t 2|＝9．(2)设M (x ，y )为P 1P 2的中点，则点M 对应的参数527221=+=t t t ，代入参数方程， 得,2533,2544==y x 所以M PP PP ,9||||21=⋅).2533,2544(评述：根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2｜； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③设弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值221t t t M +=，(由此可求得|M 2M |及中点坐标)．习题14一、选择题 1．极坐标)34π(2,的直角坐标为 (A)(1，3)(B)(－3，－1) (C)(－1，－3) (D)(－1，3)2．椭圆⎩⎨⎧==θθsin 5,cos 2y x (θ 为参数)的焦距等于( )(A)21 (B)221 (C)29 (D)2923．已知某条曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x (0≤t ≤5)，则该曲线是( )(A)线段 (B)圆弧 (C)双曲线的一支 (D)射线4．若)3π,2(--P 是极坐标系中的一点，则、、、)3π5,2()3π8,2()3π2,2(-M R Q )3π5π2,2(-k N)(Z ∈k 四点中与P 重合的点有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是)4π5,2()4π,2(B A 、，那么顶点C 的坐标可能是( ) (A))4π3,4( (B))43π,32( (C))π,32((D)(3，π)二、选择题 6．过极点，倾斜角是6π的直线的极坐标方程为____________． 7．点M 的直角坐标(3，－3)化为极坐标是____________．8．直线⎩⎨⎧+-=+=t y at x 41,3(t 为参数)过定点____________．9．曲线⎩⎨⎧=+-=ty t x ,12(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．10．参数方程⎩⎨⎧+==θθθcos sin ,2sin y x (θ 为参数)表示的曲线的普通方程是____________．三、解答题11．求过点)4π,3(，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程．12．在椭圆14922=+y x 上求一点，使点M 到直线021032=-+y x 的距离最小，并求出最小距离．13．设圆C 是以C (4，0)为圆心，半径等于4的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程．14．已知点M (2，1)和双曲线1222=-y x ，求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在直线l的方程．参考答案习题14一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 二、填空题 6．)(6πR ∈=ρθ； 7．)47π,23(； 8．(3，－1)； 9．(0，1)，(0，－1)； 三、解答题 11．⋅=223cos θρ12．解：由题设知椭圆参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 3y x (θ 为参数)．设M 的坐标(3cos θ ，2sin θ )由点到直线距离,13|210)4πsin(26|13|210sin 6cos 6|-+=-+=θθθd即d 的最小值为26134，此时4π=θ．所以M 的坐标为).2,223(13．解：(1)设P (ρ ，θ )为圆C 上任意一点，圆C 交极轴于另一点A ．由已知|OA |＝8，在Rt △ABC 中，|OP |＝|OA ｜cos θ ，即ρ ＝8cos θ ，这就是圆C 的方程．(2)连结CM ，因为M 是ON 的中点，所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上． 由r ＝|OC |＝4，得动点M 的轨迹方程是ρ ＝4cos θ ． 14．解：设AB 的方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x (t 为参数)，代入双曲线方程，得(2cos 2α －sin 2α )t 2＋(8cos α －2sin α )t ＋5＝0，由于M 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0，则tan α ＝4，从而AB 的方程为：4x －y －7＝0．。

2020届全国各地高考试题分类汇编16 极坐标和参数方程1.（2020•全国1卷）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k k x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【解析】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x t t y t =⎧⎨=⎩为参数）， 两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x t t y t ⎧=⎨=⎩为参数）， 所以0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin t t t==为参数）， 两式相加得曲线1C1+=，1=1,01,01y x x y =-≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C方程141630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -+=，12=136=（舍去），11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11(,)44.2.（2020•全国2卷）已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）. （1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【解析】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=； 由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=.（2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >， 则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =， ∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=， ∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=. 3.（2020•全国3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【解析】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.4.（2020•江苏卷）在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【解析】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系， 11cos 2,43πρρ=∴=，因为点B为直线6πθ=上，故其直角坐标方程为y x =， 又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y+-=，由2240y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得00x y==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=. （2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴=， 5[0,2),,44ππθπθ∈∴=，当4πθ=时ρ= 当54πθ=时0ρ=-<，舍；即所求交点坐标为当),4π。

2020年高考数学选修4-4：坐标系与参数方程解答题专练1.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线，曲线（φ为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为.（1）求直线l1和曲线C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线与,C的公共点分别为A,B，且，求MOB的面积．2.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是设点P(-1,2)．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程化为普通方程；(2)设直线l与曲线C相交于M,N两点，求的值．3.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），点P的坐标为(-2,0)(1)若点Q在曲线C上运动，点M在线段PQ上运动，且，求动点M的轨迹方程；(2)设直线l与曲线C交于A,B两点，求的值.4.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：（t为参数）与曲线（φ为参数）相交于不同的两点A,B．（1）若，若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程；（2）若直线的斜率为，点，求的值．5.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OM与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．6.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P(-1,0)，直线l和曲线C交于A,B两点，求的值．7.【选修4-4：坐标系与参数方程】以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为(1,0)，若直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程是，（m为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，求．8.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l与圆C交于A，B两点.（1）求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；（2）动点P在圆C上（不与A，B重合），试求ABP的面积的最大值9.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，点P（0，﹣1），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ=8sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，M是线段AB的中点，当|PM|=时，求sinα的值．10.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，z轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点M(0，1)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为.(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；(2)若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，始终满足|AB|=4，求△MAB面积的最大值与最小值。

【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题1.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，-2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．2.平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M(-2，-4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2cos θ. (1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值．3.在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点．(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|，求直线l 的斜率k.4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝sin α(α为参数，t>0)．在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4= 2.(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值．6.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y=33x ，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP|·|OQ|的值．7.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3=12.直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求直线l 的直角坐标方程；(2)设点P(1,0)，求|PA|·|PB|的值．8.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ-3=0.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|.9.在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ＋3sin θ，在以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧x′＝22x ，y′＝2y后得到曲线C 3，若M ，N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点，求|MN|的最小值．10.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R )，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ-ρ=0．(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|=2|PB|，求实数a 的值．答案解析1.解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2=1.当α=π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α=k ，则l 的方程为y=kx- 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k2<1，解得k<-1或k>1， 即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α⎝⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P =t A ＋t B 2，且t A ，t B 满足t 2-22tsin α＋1=0.于是t A ＋t B =22sin α，t P =2sin α.又点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.2.解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tcos α，y ＝－4＋tsin α(t 为参数)，ρsin 2θ=2cos θ，即ρ2sin 2θ=2ρcos θ，将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x.(2)把直线l 的参数方程代入y 2=2x ，得t 2sin 2α-(2cos α＋8sin α)t ＋20=0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2=2cos α＋8sin αsin 2α，t 1t 2=20sin 2α， 根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB|=|t 1t 2|=20sin 2α=40，得α=π4或α=3π4.又Δ=(2cos α＋8sin α)2-80sin 2α>0，所以α=π4.3.解：(1)由题意知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋tcos α，y ＝1＋tsin α(t 为参数)，因为ρ=2sin θ，所以ρ2=2ρsin θ，把y=ρsin θ，x 2＋y 2=ρ2代入得x 2＋y 2=2y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2=2y.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，得t 2＋(4cos α)t ＋3=0，由Δ=(4cos α)2-4×3>0，得cos 2α>34，由根与系数的关系，得t 1＋t 2=-4cos α，t 1t 2=3. 不妨令|AP|=|t 1|，|AQ|=|t 2|，所以|PQ|=|t 1-t 2|，因为|PQ|2=|AP|·|AQ|，所以(t 1-t 2)2=|t 1|·|t 2|，则(t 1＋t 2)2=5t 1t 2，得(-4cos α)2=5×3，解得cos 2α=1516，满足cos 2α>34，所以sin 2α=116，tan 2α=115，所以k=tan α=±1515.4.解：(1)由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为x 29＋y23=1，由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=32，得ρcos θ-ρsin θ=6， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x-y-6=0.(2)设点M 的坐标为(3cos β，3sin β)， 点M 到直线x-y-6=0的距离d=|3cos β－3sin β－6|2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＋62=6＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π32，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3=-1时，|MN|有最小值，最小值为32-6， 此时点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，－32.5.解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4=2， 即ρcos θ＋ρsin θ=2，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y-2=0.因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝sin α(α为参数，t>0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t2＋y 2=1(t>0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x 2t2＋y 2＝1，消去x 得，(1＋t 2)y 2-4y ＋4-t 2=0，所以Δ=16-4(1＋t 2)(4-t 2)<0，又t>0， 解得0<t<3，故t 的取值范围为(0，3)． (2)由(1)知直线l 的方程为x ＋y-2=0，故曲线C 上的点(tcos α，sin α)到l 的距离d=|tcos α＋sin α－2|2，故d max =t 2＋1＋22=62＋2，解得t=± 2.又t>0，∴t= 2.6.解：(1)曲线C 1的普通方程为(x-3)2＋(y-2)2=4，即x 2＋y 2-23x-4y ＋3=0，则曲线C 1的极坐标方程为ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ＋3=0.∵直线C 2的方程为y=33x ，∴直线C 2的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)．(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，将θ=π6(ρ∈R)代入ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ＋3=0得，ρ2-5ρ＋3=0， ∴ρ1ρ2=3，∴|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=3. 7.解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3=12得ρcos θcos π3-ρsin θsin π3=12， 即12ρcos θ-32ρsin θ=12， 又ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，∴直线l 的直角坐标方程为x-3y-1=0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋4y 2=4，∵P(1,0)在直线l 上，故可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋1，y ＝12t (t 为参数)，将其代入x 2＋4y 2=4得7t 2＋43t-12=0，∴t 1·t 2=-127，故|PA|·|PB|=|t 1|·|t 2|=|t 1·t 2|=127.8.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t 消去t 得，y=2x ，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y=2x ，得ρsin θ=2ρcos θ，所以直线l 的极坐标方程为sin θ=2cos θ.(2)因为ρ2=x 2＋y 2，y=ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2y-3=0，即x 2＋(y ＋1)2=4.圆C 的圆心C(0，-1)到直线l 的距离d=55，所以|AB|=24－d 2=2955.9.解：(1)∵C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ＋3sin θ，∴4ρcos θ＋3ρsin θ=24， ∴4x ＋3y-24=0，故C 1的直角坐标方程为4x ＋3y-24=0．∵曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，∴x 2＋y 2=1，故C 2的普通方程为x 2＋y 2=1．(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧ x′＝22x ，y′＝2y后得到曲线C 3，则曲线C 3的参数方程为⎩⎨⎧x′＝22cos α，y′＝2sin α(α为参数)．设N(22cos α，2sin α)，则点N 到曲线C 1的距离d=|4×22cos α＋3×2sin α－24|5=|241sin (α＋φ)－24|5=24－241sin (α＋φ)5其中φ满足tan φ=423．当sin(α＋φ)=1时，d 有最小值24－2415，所以|MN|的最小值为24－2415．10.解：(1)C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，消参得普通方程为x-y-a ＋1=0，C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ-ρ=0，两边同乘ρ得ρ2cos 2θ＋4ρcos θ-ρ2=0，得y 2=4x ．所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2=4x ． (2)曲线C 1的参数方程可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数，a ∈R )，代入曲线C 2：y 2=4x ，得12t 2-2t ＋1-4a=0，由Δ=(-2)2-4×12×(1-4a)>0，得a>0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由|PA|=2|PB|得|t 1|=2|t 2|，即t 1=2t 2或t 1=-2t 2，当t 1=2t 2时，⎩⎨⎧ t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2(1－4a )，解得a=136；当t 1=-2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2(1－4a )，解得a=94，综上，a=136或94．。

12 极坐标和参数方程1.（2020•全国1卷）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k k x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【答案】（1）曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）11(,)44.【解析】（1）利用22sin cos 1t t +=消去参数t ，求出曲线1C 的普通方程，即可得出结论；（2）当4k =时，0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin t t t ==为参数），两式相加消去参数t ，得1C 普通方程，由cos ,sin x y ρθρθ==，将曲线2C 化为直角坐标方程，联立12,C C 方程，即可求解.【详解】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x t t y t =⎧⎨=⎩为参数）， 两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x t t y t⎧=⎨=⎩为参数）， 所以0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin t t t==为参数）， 两式相加得曲线1C1=，1=，平方得1,01,01y x x y =-≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C方程141630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -=12=或136=（舍去）， 11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11(,)44. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.2.（2020•全国2卷）已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）. （1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y +=；222:4C x y -=；（2）17cos 5ρθ=. 【解析】（1）分别消去参数θ和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=； 由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=.（2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >， 则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =， ∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=， ∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=. 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.3.（2020•全国3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【答案】（1）2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.4.（2020•江苏卷）在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【答案】（1）1242ρρ==，（2）)4π【解析】(1)将A ,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.【详解】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos 2,43πρρ=∴=，因为点B为直线6πθ=上，故其直角坐标方程为y x =， 又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y +-=，由2240y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得00xy ==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=. （2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴=，5[0,2),,44ππθπθ∈∴=，当4πθ=时ρ= 当54πθ=时0ρ=-<，舍；即所求交点坐标为当),4π 【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.。

2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》【题型归纳】题型一 曲线的极坐标方程例1 、在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积. 【答案】（1）C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0；（2）面积为12. 【解析】(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12. 【易错点】互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响. 【思维点拨】１．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法等技巧. ２．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.题型二 参数方程及其应用例2、已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值.【答案】（1）2x ＋y －6＝0；（2）最大值为2255，最小值为255.【解析】(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0. (2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255； 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255. 【易错点】参数方程要变形使用.【思维点拨】1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.2. 在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.题型三 极坐标与参数方程的综合应用例3、在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin )4(πθ+＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.【答案】（1）x ＋y －4＝0；（2）最小值为2，此时点P 的直角坐标为)21,23(【解析】(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. (2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值.又d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值， 最小值为2，此时点P 的直角坐标为)21,23(.【思维点拨】1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的. 【巩固训练】题型一 曲线的极坐标方程1.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求直线C 1与曲线C 2交点的极坐标. 【答案】)4,22(π-. 【解析】联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝－2，θ＝π4，解之得θ＝π4且ρ＝－2 2. 所以直线C 1与曲线C 3交点的极坐标为)4,22(π-.2.在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两点间的距离.【答案】（1）x －3y －1＝0，表示一条直线，(x －1)2＋y 2＝1圆.【解析】(1)由C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，∴x －3y －1＝0，表示一条直线.由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ.∴x 2＋y 2＝2x ，则(x －1)2＋y 2＝1，∴C 2是圆心为(1，0)，半径r ＝1的圆.(2)由(1)知，点(1，0)在直线x －3y －1＝0上，因此直线C 1过圆C 2的圆心.∴两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径，因此两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2.3.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求圆C 2关于极点的对称圆的方程.【答案】ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.【解析】∵点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆C 2上， ∴(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，故所求圆C 2关于极点的对称圆方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.题型二 参数方程及其应用1.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4【答案】A 【解析】∵∴y ＝1－x 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.故选A. 2.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝22t(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出直线l 的普通方程以及曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 的两个交点分别为M ，N ，直线l 与x 轴的交点为P ，求|PM |·|PN |的值.【答案】（1）ρ＝4sin θ；（2）1.【解析】(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去参数t ，得x ＋y －1＝0. 曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)， 利用平方关系，得x 2＋(y －2)2＝4，则x 2＋y 2－4y ＝0.令ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，代入得C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)在直线x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得点P (1，0).把直线l 的参数方程代入圆C 的方程得t 2－32t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝1.由直线参数方程的几何意义，|PM |·|PN |＝|t 1·t 2|＝1.题型三 极坐标与参数方程的综合应用1.在直角坐标系中，圆的方程为．（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（2）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由可得的极坐标方程（2）在（I ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得于是 xOy C 22(6)25x y ++=x C l cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩t l C ,AB ||AB =l 212cos 110ρρθ++=3±cos ,sin x y ρθρθ==C 212cos 110.ρρθ++=l ()R θαρ=∈,A B 12,,ρρl C 212cos 110.ρρα++=121212cos ,11,ρραρρ+=-=由得，所以的斜率为或 2.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin )6(πθ+＝4.(1)写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若射线θ＝π3与曲线C 交于O ，A 两点，与直线l 交于B 点，射线θ＝11π6与曲线C 交于O ，P 两点，求△P AB 的面积.【答案】（1）x ＋3y －8＝0；（2）23.【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，消去θ. 普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.从而曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝4，即32ρsin θ＋12ρcos θ＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0.(2)依题意，A ，B 两点的极坐标分别为)3,2(π，)3,4(π， 联立射线θ＝11π6与曲线C 的极坐标方程，得P 点极坐标为)611,32(π， ∴|AB |＝2，∴S △P AB ＝12×2×23sin )63(ππ+＝2 3.12||||AB ρρ=-==||AB=23cos ,tan 8αα==l33-。

2020年高考全国Ⅰ卷坐标系与参数方程试题分析与教学建议*广州市第十六中学(510000)陈丹霞摘要本文根据2020年高考全国Ⅰ卷数学选做22题广东省文理考生的作答情况,对该试题的题目、解法及典型错误进行分析,并由此提出中学生计算能力的提升策略与教学建议.关键词高考数学;坐标系与参数方程;数学运算;分析;建议2021年起广东省高考数学将采用新课标卷,不分文理,坐标系与参数方程模块作为选修内容,即将在明年的高考新课标卷中被取消.尽管如此,今年试卷中对应于该模块的选做题(全国Ⅰ卷第22题)所体现的“试题源于课本并注重基础、蕴含数形结合和转化化归的数学思想、体现数学运算和逻辑推理的学科核心素养”,却仍将是未来高考考核范畴的重要组成部分.笔者有幸参加了2020年广东省高考评卷工作,以下结合选做22题的解析和考生的典型错误分析,就如何在教学过程中进行规范性数学表述与提高数学计算能力等,谈谈个人的认识与思考,不足之处敬请批评指正.一、试题呈现与解析高考真题(2020年高考全国I 卷文理科第22题)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为x =cos k ty =sin k t(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ−16ρsin θ+3=0.(1)当k =1时,C 1是什么曲线?(2)当k =4时,求C 1与C 2的公共点的直角坐标.问题分析试题考查学生对含字母的参数方程与直线极坐标方程的掌握情况,以及能否通过方程组解出公共点坐标的能力,更考查学生对参数方程这一章节的概念理解;同时,考查了学生数形结合、转化化归思想方法的运用与运算求解、逻辑推理的能力.第一问求曲线是什么,考生只要对参数方程的参数和常数理解正确,正确代入k =1,就可以得到常见的圆的参数方程,也可通过参数方程与普通方程的转化得出C 1是什么样的曲线.第一个问题的提出,考察的是基础知识,也为第二问k =4作了铺垫.第二问是求当k =4时,两曲线的公共点坐标,考察的是基本技能.考生只要利用数形结合的思想方法,就知道应该将求公共点坐标的问题转化为求方程组的解.而很多考生因为没有见过这么高次幂的参数方程形式,无法获知是哪种曲线或者无法实现降幂消元,便望而却步.实际上,这一问的解题思路很多,学生只要抓住问题本质,愿意尝试,有一定的数学计算能力,定能将问题解决.解答第一问解法1.当k =1时,C 1:x =cos ty =sin t(t为参数),故曲线C 1是以原点(0,0)为圆心,以1为半径的圆.第一问解法2.当k =1时,C 1: x =cos t,y =sin t,(t 为参数),由cos 2t +sin 2t =1消参得x 2+y 2=1,故曲线C 1是以原点(0,0)为圆心,以1为半径的圆.点评第一问源于课本,属于基础题.在选修4-4课本23页,写道“ x =r cos θ,y =r sin θ,(θ为参数)是圆心在原点O ,半径为r 的圆的参数方程.”因此,学生只要代入k =1,并对参数方程进行识别,就可以得到正确的结论.即使不能直接由参数方程判断,在选修4-4课本25页,又写道“将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线的类型”.这就给学生解决问题提供了第二种方法,也是学生更为熟悉的解法.不仅如此,课本25页例3及习题2.1第4题提出同样的问题“将下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线”的问题.因此学生只要通过方程的辨别,完整描述出曲线的位置与形状,即可完成第一问.第二问解法1.当k =4时,由C 1:x =cos 4ty =sin 4t(t 为参数)可得√x =cos 2t,√y =sin 2t,(t 为参数)消去参数t 得C 1的直角坐标方程为√x +√y =1.由x =ρcos θ,y =ρsin θ可得C 2的直角坐标方程为4x −16y +3=0.联立 √x +√y =1,4x −16y +3=0,消元得一元二次方程12y +8√y −7=0,解得√x =12,√y =12,或*本文是广州市越秀区科技计划项目(教育卫生专项)《中学数学计算能力提升的有效策略研究》(项目编号2018-JY-025)的研究成果之一.√x =136,√y =−76.(舍去),所以x =14,y =14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).点评第二问高于课本,属于中档题.解法1通过开方运算将4次方化成熟悉的三角函数式,实现曲线C 1的参数方程转化成普通方程,借助互化公式将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程,进而通过联立两个直角坐标方程,消元,解得方程组的解,又通过变量的取值范围限制,最终得到唯一的交点坐标.实际上,消去不同的元,我们可以得到不同的一元二次方程,如:12x −32√x +13=0或144y 2−232y +49=0或144x 2−712x +169=0.这里着重考察了学生的数学运算求解能力,如何消参、如何消元、如何解一元二次方程,每一步都要求学生抓住问题本质,并且有清晰的解题方向,拥有良好的计算能力.事实上,我们通过曲线C 1的直角坐标方程√x +√y =1进行变形,可得到方程x 2−2xy +y 2−2x −2y +1=0.这是一个以直线y =x 为对称轴的抛物线方程.又由于在变形过程中,扩大了变量的取值范围,因此曲线C 1普通方程的另一种表达是x 2−2xy +y 2−2x −2y +1=0(0 x 1,0 y 1),也即曲线是抛物线的一部分.由此通过数形结合的方法(如图1所示),我们可以验证直线与曲线只有唯一公共点.图1第二问解法2.由x =ρcos θ,y =ρsin θ可得C 2的直角坐标方程为4x −16y +3=0.当k =4时,将C 1:x =cos 4ty =sin 4t (t 为参数)代入C 2方程可得4cos 4t −16sin 4t +3=0.因为cos 2t +sin 2t =1,所以12cos 4t −32cos 2t +13=0,解得cos 2t =12或136(舍去),所以x =cos 4t =14,y =sin 4t =14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).点评解法2通过直角坐标系下参数方程与普通方程的联立,整理出关于sin 2t 或cos 2t 的一元二次方程,求解得sin 2t 或cos 2t ,从而回代参数方程,得到公共点的直角坐标.相对解法1而言,计算量更小.但要求学生能理解直角坐标系下,参数方程与普通方程只是不同的表达方式,依旧可以合二为一.当然,无论解法1还是解法2,解一元二次方程都是解决本问的一个必要途径,学生可以通过十字相乘法或公式法得到方程的根.这里,仍需注意变量的取值范围.第二问解法3.C 2的直角坐标方程为4x −16y +3=0.当k =4时,C 1: x =cos 4ty =sin 4t(t 为参数).由二倍角公式cos 2t =cos 2t +12,sin 2t =1−cos 2t2得4x =(cos 2t +1)2和4y =(1−cos 2t )2.代入4x −16y +3=0得(cos 2t +1)2−4(1−cos 2t )2+3=0,化简得3(cos 2t )2−10cos 2t =0,解得cos 2t =0或cos 2t =103(舍去),所以x =cos 4t =14,y =sin 4t =14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).点评解法3先通过二倍角公式将变量x,y 用同一个元cos 2t 表示,再将两曲线方程进行联立,得到关于cos 2t 的一个一元二次方程,从而解得公共点坐标.数学运算讲究的是统一,这样处理,从一开始就将两个变量统一起来,也不失为一个好的想法.当然,易错点在于代入后的展开化简及有没有分类讨论,若直接将化简后的一元二次方程中的cos 2t 约去,没有讨论cos 2t =0的情况,就会造成错解.考生在考试过程中,必须熟悉每一步的运算法则,并且计算正确,才能得到最终正解.第二问解法4.由C 1的直角坐标方程为√x +√y =1且x =ρcos θ,y =ρsin θ,可得√ρcos θ+√ρsin θ=1.联立√ρcos θ+√ρsin θ=1,4ρcos θ−16ρsin θ+3=0,消去ρ得13sin θ−6√cos θsin θ−7cos θ=0,即(13√sin θ+7√cos θ)(√sin θ−√cos θ)=0.从而√sin θ=√cos θ,θ=π4,故极坐标系下交点坐标P (ρ,θ)=(√24,π4).此时,x =ρcos θ=14,y =ρsin θ=14.故直角坐标系下交点坐标P (x,y )=(14,14).点评解法4利用极坐标系解决问题.这里需要将C 1的参数方程先转化成普通方程,再利用互化公式,写成极坐标方程.联立过程应采用消去极径ρ更好,进而由sin θ与cos θ的关系,得到交点的极坐标,最后回归直角坐标,回答问题.此解法中,需要注意参数方程中参数t 与极坐标方程中极角θ的定义不同.笔者在评卷过程中发现,不少考生会将参数t换成熟悉的字母θ,便直接利用极坐标解决问题,这是知识性的错误.因此,还需不断强调概念教学,渗透数学的符号化定义.第二问解法5.C 2的直角坐标方程为4x −16y +3=0.将C 1:x =cos 4ty =sin 4t (t 为参数)代入4x −16y +3=0,得4cos 4t −16sin 4t +3=0.将3=3(cos 2t +sin 2t )2=3(cos 4t +2cos 2t sin 2t +sin 4t )代入,得4cos 4t −16sin 4t +3cos 4t +6cos 2t sin 2t +3sin 4t =0,即7cos 4t +6cos 2t sin 2t −13sin 4t =0,同除以cos 4t 可得13tan 4t −6tan 2t −7=0,解得tan 2t =1或tan 2t =−713(舍去).所以sin 2t =12,cos 2t =12,所以x =cos 4t =14,y =sin 4t =14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).第二问解法6.当k =4时,有C 1:x =cos 4t,y =sin 4t,(t 为参数),由x =ρcos θ,y =ρsin θ,可得C 2的直角坐标方程为4x −16y +3=0.从而C 2的参数方程为x =−34+4u,y =u,u 为参数.联立得方程组cos 4t =−34+4u,sin 4t =u,消去参数u得cos 4t =−34+4sin 4t ,令a =sin 2t 可得12a 2+8a −7=0,所以a =sin 2t =12.从而x =cos 4t =(1−a )2=14,y =sin 4t =a 2=14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).点评解法5利用三角函数平方关系得齐次式,利用三角函数商数关系化弦为切,从而得到关于tan 2t 的一元二次方程,最终将问题解决.本解法对考生三角函数模块的公式使用与化“1”的解题技巧要求较高,计算量偏大.解法6给出了将直角坐标系下两组参数方程联立的思路.虽较少用,但对于学生理解两个不同坐标系(直角坐标系与极坐标系)的不同方程形式,以及它们是否能直接产生联系,起到一定的作用.解法5和6在评卷时并不多见,在此列出,供大家教学参考.二、考生答题情况分析1答题情况综述本题是选做题之一,分值为10分,有六分之五的考生选做,考生基本能读懂问题.第一问大部分学生能代入k =1并回答曲线是圆;第二问学生主要采用解法1和解法2,大部分考生能写出直线C 2的普通方程并与曲线C 1联立.但考生的计算能力有待提高,往往只能表达出联立的步骤,并不能实现消元;或者能够通过消元得到一元二次方程,却无法解得方程的正解.通过典型错误的统计,可以发现学生对这一模块的知识掌握情况并不乐观,主要体现在基本概念不清晰、基本方法不熟练,运算能力、表达能力等方面的欠缺.因此,在数学基本概念的理解教学上,在提高学生的数学计算能力上,我们任重而道远.2典型错误分析(1)第一问曲线描述正确但不完整在抽样统计中,有24%的考生只回答“圆”或“半径为1的圆”或“圆心在原点的圆”.反映了考生不知道描述一条曲线不能仅仅说明形状,还应该包含这条曲线的关键要素.也就是说描述应该产生一个唯一确定的结果,即能根据曲线的文字描述将曲线还原.体现了考生的规范意识有所欠缺.(2)第一问曲线描述不正确或没有回答问题部分考生转化参数方程时,得到错误曲线y =x tan t 或x 2+y 2=t 2,并回答曲线是“直线”或“椭圆、双曲线”等.这部分考生有的不知道如何消参,有的对参数的理解错误,造成转化过程并没有消去参数t ;也有的认为cos t 是cos 乘t ;还有的是对于常见曲线方程的形式不能给出正确判断.反映出考生的基本概念不清晰.(3)第二问参数方程C 1无法正确消参在抽样统计中,也有22%的考生卡在如何消去参数这个步骤.大部分考生只代入k =4,或者尝试用x −y =cos 2t −sin 2t 就没有后续,或者消参后得到错误的方程x +y =1.究其原因,是考生对三角恒等式的运用不熟练,不能观察出√x =cos 2t 与√y =sin 2t 或者不懂得进一步化成cos 2t 完成消元,进而消参.也有部分考生错用cos 2t +sin 2t =1.体现考生观察能力不佳,解题的基本方法没有掌握.(4)不会求解方程组√x +√y =1,4x −16y +3=0.在抽样统计中,有14%的考生懂得通过联立求交点坐标,却不知道如何求解方程组.考生的心理素质有待提高,很多学生看到根号就懵了.对代入消元法解方程组没有掌握到位,以至于只能表达出联立步骤.部分考生能通过消元法得到一个一元二次方程,却无法正确使用十字相乘法或公式法求解得方程的根.这正体现了考生的数学运算的学科核心素养的欠缺.(5)写出4cos 4t −16sin 4t +3=0后不会消元在抽样统计中,约有13%考生看到四次方就不知所措,实际上反映出考生指数运算不过关,不知道可以把cos 4t 看成(cos 2t )2,并利用cos 2t +sin 2t =1实现消元,化成一个一元二次方程.指数运算的不过关还体现在二倍角公式的使用错误,有些考生将x =cos 4t =(cos 2t +12)2y =sin 4t =(1−cos 2t 2)2写成错误形式 x =cos 4t =cos 22t +12,y =sin 4t =1−cos 22t 2,实属不该.(6)书写过程出现符号错误或结果出现增根等有考生将直线的方程4x −16y +3=0写成错误形式4x −6y +3=0,4x −16y +3,4x +16y +3=0或2x −16y +3=0等.这种错误属于考生的非智力因素失分,应尽量避免粗心导致的符号或系数的抄错.有的考生将√x +√y =1变形错误得到x 2+y 2+2√xy =1或x 2+y 2=1等,体现的是对完全平方公式的使用不熟练.也有考生回答公共点坐标为(14,14)或(16936,4936),并没有舍去增根,是作答过程中缺乏严谨性.三、教学建议由于2021年起广东省高考数学采用新课标卷,不分文理,取消选做题,因此本模块学习不再作为新课程标准要求的教学内容.但基于以上试题呈现与问题分析,结合解法研究及考生典型错误分析,不难发现考生运算能力薄弱与数学基本概念不清晰是导致高考数学失分的一个重要因素.2017版《普通高中数学课程标准》指出数学学科核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.笔者针对数学运算这一核心素养,结合中学数学计算能力的提升策略,给出如下教学建议.1立足运算对象,实现知识迁移,讲好数学运算法则数学运算是解决数学问题的基本手段.学生在学习数学的过程中,几乎都是在利用数学运算解决各种问题,从低年级实数的加减乘除运算到高年级的集合、指对数、三角函数、向量、概率等,运算不断拓展与深化.然而,很多学生只知其一不知其二,甚至只会通过记背公式的方式进行数学运算,导致无法熟练掌握运算法则,容易出现计算错误.数学教育家傅种孙提出:知其然,知其所以然,何由以知其所以然!在教学过程中,学生要真正掌握知识本身,教师应该做好第一步,让学生“知其然,知其所以然”.教学中,教师应该立足运算对象,首先让学生了解我们的运算对象是什么.例如在讲集合的运算前,学生可以从一类事物的实例了解集合提出的背景,再对研究对象的概念进行剖析,让学生理解何为集合,接着从集合的基本关系出发定义集合的运算.而不是草率地把集合的概念抛出,接着类比实数的运算给出集合的交并补运算.教师只有带着学生一步一步探索知识本身,重视知识的生成过程,学生清楚地知道其来龙去脉,才能形成自己的知识框架,才能拥有自己的思维模式,才能将运算真正理解透彻.其次是运算法则的讲解,如何讲好?实际上就是如何让学生接受一个新的事物,并能将其纳入自己的知识体系,融会贯通.讲一个新的概念,特别是数学概念,往往是比较抽象的,学生难免会产生认知冲突,甚至无法理解与接受.如何做好教学工作,使得新旧知识产生联系,又能使学生明确他们之间的区别,尤为重要.人教版数学书写道“数学中,引进一个新的概念或法则时,总希望它与已有的概念或法则相容”.因此,讲好运算法则,需要注重知识的迁移,通常运用类比、归纳、公式的正向与逆向使用对比等方法.如有理数指数幂运算性质,是可以从整数指数幂的运算性质类比得到的,它们是相容的;又如向量的加法运算,是从物理的合力概念而来,由位移的合成到向量的加法归纳得出向量的加法运算法则;再如十字相乘法解一元二次方程,先将二次项和常数项分别进行多次因式分解,再逆向交叉相乘验证,直至配凑出正确的因式.除了注重知识的迁移,笔者认为,还需要注重运算性质的推导.例如数列的性质,对于等差数列{a n },∀m,n,p,q ∈N ∗,若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q .不能要求学生只记忆“下标和相等,两项和相等”,建议从等差数列的通项公式出发,推导证明得出公式的正确性,学生在理解的基础上,才能更好地进行数列的运算.高考始终围绕基本知识和基本技能进行考核,题目只是考核的形式和载体,教学中应立足基础,注重迁移,不能过度地以题为本,否则容易导致学生学习和备考中的高强度和低效率,产生厌学情绪.2板书详细解答,强化变式训练,提升学生计算能力学生计算能力的提升需要教师的言传身教,无论计算的难易、步骤的繁简,教师若能事无巨细,条理清晰,详细板书计算过程,一定可以给学生起到良好的示范作用.学生在解答的过程中,也会模仿老师的做法,规划好草稿区域,尽量细化每一步运算,不断深化自己的计算功力.如若教师在授课过程中,不愿意用黑板或白板书写详细解答过程,只依赖课件或者通过投影进行答案的展示,则很难让学生感受到数学解题过程中需要注意的细节问题,包括解题思路、书写规范、计算过程等.当然,教师还需要强化变式训练,让学生能够在有限的题型训练中,获取更多的思维碰撞,实现计算的灵活性.计算并不是一条路走到黑,而是可以有多种途径选择,如何明确2020年高考全国I 卷不等式选讲试题分析及备考建议广东省深圳中学(518001)周峻民摘要本文对2020年高考全国I 卷文理第23题进行分析与点评,并对2021年高考备考提出建议.关键词高考;选做题;不等式;分析;点评;建议1试题呈现题目(2020年高考全国I 卷文理第23题)已知函数f (x )=|3x +1|−2|x −1|.(1)画出y =f (x )的图像;(2)求不等式f (x )>f (x +1)的解集.该题以分段一次函数的作图与解不等式为载体,体现数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法,渗透直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的考查.自己的计算方向,简化运算,降低计算错误率是学生提升计算能力的重要环节.正如本试题解答所提及的解一个一元二次方程,我们有公式法、十字相乘法、配方法等,在解题的过程中,我们会依据方程的特点,选用最合适的方法.例如对于方程12cos 4t −32cos 2t +13=0采用十字相乘法更佳,对于方程3(cos 2t )2−10cos 2t =0采用提公因式法更加,对于方程12y +8√y −7=0采用十字相乘法或公式法均可.3作业精细批改,强化检验意识,培养良好计算习惯《普通高中数学课程标准》指出高中数学学习评价关注学生知识技能的掌握,更关注数学学科核心素养的形成和发展,制定科学合理的学业质量要求,促进学生在不同学习阶段数学学科核心素养水平的达成.评价既要关注学生学习的结果,更要重视学生学习的过程.笔者认为,学生计算能力的培养,是在掌握了数学运算法则之后对该法则的使用中不断实现的.在现阶段的教学形式上,作业与考试是反馈学生学习效果的最佳手段,也是教师在阶段性评价上能帮助学生更好地掌握运算法则的重要途径.很多时候,学生在计算上出现的错误,我们并不能一概而论;学生对法则的掌握程度也是不相同的;甚至我们不能想象在高考中学生也会出现抄错数字的低级错误.事实上,任何计算过程都难免出错,例如错位相减法求和运算中,很多学生不能得到正确的运算结果,有的学生是乘公比后作差时最后一项符号出现错误,有的学生是等比公式使用时指数书写错误,有的学生是化简时系数计算错误等等,这些都需要教师更为细致地点拨,才能助力学生核心素养的发展.因此,要减少在运算法则的进一步使用中出现计算错误,教师在批改作业时应尽可能精细,若能用红笔圈出错误步骤,在课后一对一辅导找出错误原因,并指明更正方向;同时在学生广泛涉猎题型和题目的基础上,教师有计划有目的地安排少量典型题目展开精解和细评活动,将是有益的;甚至可以要求学生尽可能以最少的笔墨不失严谨地将解题过程展现出来,先让学生之间相互批改共同进步,后由教师课上进行权威点评.在作业批改过程中,对表达过程的这种严苛要求,将促使学生能清晰地知道自己每个步骤在做什么(所依据的是题目中的什么条件和课本中的哪些命题结论),从而实现对相关知识和计算方法的严谨梳理.培养学生养成良好的计算习惯,还需要强化学生的检验意识.事实上,计算结果正确与否,只需代入验算即可.然而许多教师在教学过程中却“重头轻脚”,只想着如何将运算法则讲好讲细,如何在训练中使学生熟练掌握运算法则,却忽略了验算这一重要的计算习惯.同样的,不少学生极力展示解答问题的过程和步骤,甚至到了啰嗦冗余的地步,但却不愿花费仅约十分之一的时间去对所得计算结果进行验证,错失纠错机会.例如解一元二次方程12y +8√y −7=0时,将结果√y =12代入验证,即可确定其正确性;而把√y =136代入验证,等式不成立即为错解.因此,只要学生能够有意识的进行计算的检验,就可以有效发现自己的计算错误,减少失分.只有在教学过程中做好细节,积累经验,不断探索,才能实现计算能力的稳步提升,培养学生良好的数学运算核心素养.参考文献[1]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)[S].北京:人民教育出版社,2020.[2]钟进均.2017年高考课标卷数学选做题答题情况分析及备考建议[J].中学数学研究(华南师范大学版),2017(9):39-44.[3]刘龙标.2019年高考全国Ⅰ卷坐标系与参数方程试题评析和备考建议[J].中学数学研究(华南师范大学版),2019(9):41-45.。

专题18 坐标系与参数方程考纲解读三年高考分析1.坐标系(1)理解坐标系的作用.(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.2.参数方程(1)了解参数方程,了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.(4)了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.方程的互化和几何意义的应用是考查的重点，解题时常用到参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，利用几何意义将原问题转化三角函数的问题，考查学生的数学逻辑推理能力、数学运算能力，题型以选择填空题和解答题为主，中等难度.1、会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.2、了解参数的意义，重点考查直线参数方程中参数的几何意义及圆、椭圆的参数方程与普通方程的互化，往往与极坐标结合考查．在高考选做题中以解答题形式考查，难度为中档.1．【2019年北京理科03】已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：由（t为参数），消去t，可得4x﹣3y+2＝0．则点（1，0）到直线l的距离是d．故选：D．2．【2019年天津理科12】设a∈R，直线ax﹣y+2＝0和圆（θ为参数）相切，则a的值为．【解答】解：∵a∈R，直线ax﹣y+2＝0和圆（θ为参数）相切，∴圆心（2，1）到直线ax﹣y+2＝0的距离：d2＝r，解得a．故答案为：．3．【2018年北京理科10】在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ＝a（a＞0）与圆ρ＝2cosθ相切，则a ＝．【解答】解：圆ρ＝2cosθ，转化成：ρ2＝2ρcosθ，进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2＝1，把直线ρ（cosθ+sinθ）＝a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a＝0．由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径．则：1，解得：a＝1±．a＞0则负值舍去．故：a＝1．故答案为：1．4．【2018年天津理科12】已知圆x2+y2﹣2x＝0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．【解答】解：圆x2+y2﹣2x＝0化为标准方程是（x﹣1）2+y2＝1，圆心为C（1，0），半径r＝1；直线化为普通方程是x+y﹣2＝0，则圆心C到该直线的距离为d，弦长|AB|＝222，∴△ABC的面积为S•|AB|•d．故答案为：．5．【2017年北京理科11】在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为．【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0，再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1；如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：|AP|min＝|CP|﹣r C＝2﹣1＝1，故答案为：1．6．【2017年天津理科11】在极坐标系中，直线4ρcos（θ）+1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点的个数为．【解答】解：直线4ρcos（θ）+1＝0展开为：4ρ1＝0，化为：2x+2y+1＝0．圆ρ＝2sinθ即ρ2＝2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2＝2y，配方为：x2+（y﹣1）2＝1．∴圆心C（0，1）到直线的距离d1＝R．∴直线4ρcos（θ）+1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2．7．【2019年新课标3理科22】如图，在极坐标系Ox中，A（2，0），B（，），C（，），D （2，π），弧，，所在圆的圆心分别是（1，0），（1，），（1，π），曲线M 1是弧，曲线M 2是弧，曲线M3是弧．（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；（2）曲线M由M 1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标．【解答】解：（1）由题设得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝﹣2cosθ，则M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，（0≤θ），M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，（θ），M3的极坐标方程为ρ＝﹣2cosθ，（θ≤π），（2）设P（ρ，θ），由题设及（1）值，若0≤θ，由2cosθ得cosθ，得θ，若θ，由2sinθ得sinθ，得θ或，若θ≤π，由﹣2cosθ得cosθ，得θ，综上P的极坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．8．【2019年全国新课标2理科22】在极坐标系中，O为极点，点M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为P．（1）当θ0时，求ρ0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．【解答】解：（1）当θ0时，，在直线l上任取一点（ρ，θ），则有，故l的极坐标方程为有；（2）设P（ρ，θ），则在Rt△OAP中，有ρ＝4cosθ，∵P在线段OM上，∴θ∈[，]，故P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈[，]．9．【2019年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθρsinθ+11＝0．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【解答】解：（1）由（t为参数），得，两式平方相加，得（x≠﹣1），∴C的直角坐标方程为（x≠﹣1），由2ρcosθρsinθ+11＝0，得．即直线l的直角坐标方程为得；（2）设与直线平行的直线方程为，联立，得16x2+4mx+m2﹣12＝0．由△＝16m2﹣64（m2﹣12）＝0，得m＝±4．∴当m＝4时，直线与曲线C的切点到直线的距离最小，为．10．【2019年江苏22】在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin（θ）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB；（2）由直线1的方程ρsin（θ）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．11．【2018年江苏23】在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（θ）＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：∵曲线C的方程为ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，⇒x2+y2＝4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r＝2得圆．∵直线l的方程为ρsin（θ）＝2，∴2，∴直线l的普通方程为：x y＝4．圆心C到直线l的距离为d，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．12．【2018年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3＝0，转换为标准式为：（x+1）2+y2＝4．（2）由于曲线C1的方程为y＝k|x|+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y＝kx+2的距离等于半径2．故：，或解得：k或0，当k＝0时，不符合条件，故舍去，同理解得：k或0经检验，直线与曲线C2没有公共点．故C1的方程为：．13．【2018年新课标2理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：x sinα﹣y cosα+2cosα﹣sinα＝0．（2）把直线的参数方程（t为参数），代入椭圆的方程得到： 1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8＝0，则：，（由于t1和t2为A、B对应的参数）由于（1，2）为中点坐标，所以利用中点坐标公式，则：8cosα+4sinα＝0，解得：tanα＝﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．14．【2018年新课标3理科22】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2＝1，圆心为O（0，0），半径r＝1，当α时，过点（0，）且倾斜角为α的直线l的方程为x＝0，成立；当α时，过点（0，）且倾斜角为α的直线l的方程为y＝tanα•x，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）l的参数方程为，（t为参数，），设A，B，P对应的参数分别为t A，t B，t P，则，且t A，t B满足，∴，∵P（x，y）满足，∴AB中点P的轨迹的参数方程为：，（α为参数，）．15．【2017年江苏23】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8＝0，∴P到直线l的距离d，∴当s时，d取得最小值．16．【2017年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a＝﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：y2＝1；a＝﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3＝0；联立方程，解得或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（，）．（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4＝0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d为：d，φ满足tanφ，且的d的最大值为．①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|＝|5+a+4|＝17解得a＝8和﹣26，a＝8符合题意．②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|＝|5﹣a﹣4|＝17，解得a＝﹣16和18，a＝﹣16符合题意．17．【2017年新课标2理科22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x＝4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0，∵|OM||OP|＝16，∴16，即（x2+y2）（1）＝16，∴x4+2x2y2+y4＝16x2，即（x2+y2）2＝16x2，两边开方得：x2+y2＝4x，整理得：（x﹣2）2+y2＝4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2＝4（x≠0）．（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C 2上，|OA|＝2，∴曲线C 2的圆心（2，0）到弦OA的距离d，∴△AOB的最大面积S|OA|•（2）＝2．18．【2017年新课标3理科22】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l 2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ（cosθ+sinθ）0，M为l3与C的交点，求M的极径．【解答】解：（1）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y＝k（x﹣2）①；又直线l 2的参数方程为，（m 为参数），同理可得，直线l 2的普通方程为：x ＝﹣2+ky ②；联立①②，消去k 得：x 2﹣y 2＝4，即C 的普通方程为x 2﹣y 2＝4（y ≠0）； （2）∵l 3的极坐标方程为ρ（cos θ+sin θ）0，∴其普通方程为：x +y 0， 联立得：，∴ρ2＝x 2+y 25．∴l 3与C 的交点M 的极径为ρ．1．【安徽省安庆市市示范中学2019届髙三联考】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过A 作曲线C 的切线，切点为M ，过O 作曲线的C 切线，切点为N ，求||||ON AM ．【答案】（1）24cos 6sin 120ρρθρθ--+=（2）2 【解析】 （1）由23x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩，得()()22231x y -+-=，即2246120x y x y +--+=，故曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 120ρρθρθ--+=. （2）由（1）知，曲线C 表示圆心为()2,3C ，半径为1的圆.因为A （0，3），所以2AC =， 所以2213AM =-=.因为13OC = 所以13123ON =-=故2ON AM=.2．【安徽省1号卷A10联盟2019届高考最后一卷】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为22cos 2x y sin ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，[)0,2ϕ∈π），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出直线l 与圆C 的极坐标方程； （2）已知点1,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求MA MB -的值 【答案】(1) 1cos sin 2ρθρθ-=;4cos ρθ=.(2) 322. 【解析】（1）由题意得，直线l 的普通方程为102x y --=， ∴直线l 的极坐标方程为1cos sin 2ρθρθ-=.圆C 的直角坐标方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=.∴圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）显然直线l 过点1,02M ⎛⎫⎪⎝⎭， 将122222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入圆C 的直角坐标方程得2327024t --=.设12,t t 是上述方程的两根，则12322t t +=，12704t t =-<，121232MA MB t t t t ∴-=-=+=3．【山东省潍坊市2019届高三上学期期末】已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以x 轴的非负半轴为极轴，原点O 为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线3πθ=和56πθ=()R ρ∈分别与曲线C 相交于A 、B 两点（A ，B 两点异于坐标原点）.（1）求曲线C 的普通方程与A 、B 两点的极坐标； （2）求直线AB 的极坐标方程及ABO ∆的面积. 【答案】（1）(3,)3A π，5(1,)6B π.（23【解析】（1）曲线C 的参数方程为1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以消去参数α得曲线C 的普通方程为2220x y y +-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入曲线C 可得C 的极坐标方程：2sin ρθ=. 将直线3πθ=，56πθ=代入圆的极坐标方程可知:13ρ=21ρ=， 故A 、B 两点的极坐标为3,3A π⎫⎪⎭，51,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得：332A ⎫⎪⎪⎝⎭，312B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，根据两点式可知直线AB 的方程为：，所以的极坐标方程为：31y x =+.所以AB 的极坐标方程为3sin 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知直线AB 恰好经过圆的圆心，故ABO ∆为直角三角形，且3OA =1OB =，故1332ABO S ∆==4．【福建省2019届高三模拟考试】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是32cos 12sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()2sin()3m m R ρπθ=∈-.（1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；（2）设A ，B 分别在曲线1C ，2C 上运动，若AB 的最小值是1，求m 的值.【答案】（1）曲线1C 的直角坐标方程为22(3)(1)4x y +-=，2C 的直角坐标方程为30x y m -+=；（2）4m =或8m =-. 【解析】（1）由3212x cos y sin θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去参数，得(()22314x y +-=，所以曲线1C 的直角坐标方程为(()22314x y +-=.由2sin 3mρπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，整理得sin 3cos m ρθρθ=， 而cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以3y x m =，即2C 30x y m -+=. （2）由（1）知曲线1C 是圆心为()3,1，半径2r =的圆，则圆心()3,130x y m -+=()()2233131m⨯-++-所以()()min 223312131mAB ⨯-+=-=+-，解得4m =或8m =-.5．【山东省聊城市2019届高三二模】在直角坐标系xOy 中，曲线12cos :12sin x C y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）若曲线C 与直线l 交于,A B 两点，点()1,0P ，求PA PBPB PA+的值. 【答案】（1）22(1)(1)4x y -++=，10x y --=；（2）83【解析】（1）曲线C 的普通方程为()()22114x y -++=， 直线l 的直角坐标方程为10x y --=.（2）点()1,0P 在直线l 上，直线l 的参数方程为21222x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程化简，得2230t t +-=. 设点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，则122t t +=-123t t =-.所以2212122112PAPBt t t t PB PA t t t t ++=+= ()21212122t t t t t t +-=(()2223833---==-. 6．【河北省沧州市2019届高三普通高等学校招生全国统一模拟】在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为()1cos28cos ρθθ-=，直线cos 1ρθ=与曲线C 相交于,M N 两点，直线l 过定点()2,0P 且倾斜角为α，l 交曲线C 于,A B 两点．（1）把曲线C 化成直角坐标方程，并求MN 的值；（2）若PA ，MN ，PB 成等比数列，求直线l 的倾斜角α． 【答案】(1) 答案见解析 (2) 4a π=或34π 【解析】（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ=8ρcosθ， ∴x 2+y 2-x 2+y 2=8x ，即y 2=4x ． 由ρcosθ=1得x =1，由124x y x =⎧=⎨⎩的M （1，2），N （1，-2），∴|MN |=4． （2）直线l 的参数方程为：{2x tcos y tsin αα=+=(t 为参数)，联立直线l 的参数方程与曲线C ：y 2=4x ， 得t 2sin 2α-4t cosα-8=0，设A ，B 两点对应的参数为t 1，t 2， 则t 1+t 2=24cos sin αα，t 1t 2=-28sin α， 因为|P A |，|MN |，|PB |成等比数列， ∴|P A ||PB |=|MN |2=16， ∴|t 1||t 2|=16，∴|t 1t 2|=16， ∴28sin α=16，∴sin 2α=12， ∵0≤α＜π， ∴sinα=22， ∴α=4π或α=34π． 7．【山东省实验中学2019届高三4月上旬质量检测】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22143x y +=．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 24πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(1)求曲线C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，P 为曲线C 上的动点，求△PAB 面积的最大值．【答案】（1）2cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），20x y --=（272【解析】（1）由22143x y +=，得C 的参数方程为2cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数） 由()2sin sin cos 242πρθρθθ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，得直线l 的直角坐标方程为20x y --= （2）在20x y --=中分别令0y =和0x =可得：()2,0A ，()0,2B -22AB ⇒=设曲线C 上点()2cos 3sin P αα，则P 到l 距离：327sin cos 22cos 3sin 23sin 2cos 277222d αααααα⎛⎫-+ ⎪---+⎝⎭===()7sin 22αϕ-+=，其中：3cos 7ϕ=，sin 7ϕ=当()sin 1αϕ-=，max 722d +=所以PAB ∆面积的最大值为172227222+⨯= 8．【广东省东莞市2019届高三上学期期末调研】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的普通方程为22(1)1x y -+=，曲线2C 的参数方程为2cos ,4sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）直线l 与曲线1C 在第一象限内的交点为P ，过点P 的直线l '交曲线2C 于,A B 两点，且AB 的中点为P ，求直线l '的斜率.【答案】(1) 1C 的极坐标方程2cos ρθ=,曲线2C 的普通方程221416x y+= (2)-4【解析】（1）曲线1C 的圆心极坐标为()1,0，半径为1，所以，其极坐标方程为2cos ρθ=.由题意得：,2,4xcos y sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22124x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，曲线2C 的普通方程221416x y +=.（2）当4πθ=时，2cos 2ρθ==，11x cos y sin ρθρθ==⎧⎨==⎩，所以，()1,1P于是直线l '的参数方程为11x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（α为倾斜角，t 为参数），代入2C 的普通方程，整理得关于t 的方程()()223cos 12sin 8cos 110t t ααα+++-=.①因为曲线1C 截直线l '所得线段的中点()1,1在1C 内，设,A B 对应的参数为1t ，2t ，则120t t +=. 由韦达定理得：1222sin 8cos 03cos 1t t ααα++=-=+，2sin 8cos 0αα+=，tan 4α=-.所以，直线l '的斜率为-4.9．【山东省德州市2019届高三下学期第一次练习】在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为x 2t (t 3y kt 4=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)，直线2l 的参数方程为x 2m (m m y k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数).设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．()1写出C 的普通方程；()2以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设31：π2ρsin θ42⎛⎫+=⎪⎝⎭，3l 与C 的交点为A 、B ，M 为线段AB 的中点，求M 的极径．【答案】（1）22143x y +=；（2）57【解析】()1直线1l 的普通方程为()324y k x =-，直线2l 的普通方程为2x y k +=-，消去k 得22143x y+=，即C 的普通方程为22143x y +=．()2设()11,A x y ，()22,B x y ，3l 化成普通方程为1x y +=．联立221143x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩得27880x x --=，1287x x ∴+=，()1212627y y x x +=-+=， 43,77M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，2222435()()()777ρ=+=，M ∴的极径为57．10．【河北省沧州市2019年普通高等学校招生全国统一模拟】在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为()1cos28cos ρθθ-=，直线cos 1ρθ=与曲线C 相交于,M N 两点，直线l 过定点()2,0P 且倾斜角为α，l 交曲线C 于,A B 两点．（1）把曲线C 化成直角坐标方程，并求MN 的值；（2）若PA ，MN ，PB 成等比数列，求直线l 的倾斜角α． 【答案】(1) 答案见解析 (2) 4a π=或34π【解析】（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ=8ρcosθ， ∴x 2+y 2-x 2+y 2=8x ，即y 2=4x ． 由ρcosθ=1得x =1，由124x y x =⎧=⎨⎩的M （1，2），N （1，-2），∴|MN |=4． （2）直线l 的参数方程为：{2x tcos y tsin αα=+=(t 为参数)，联立直线l 的参数方程与曲线C ：y 2=4x ，得t 2sin 2α-4t cosα-8=0，设A ，B 两点对应的参数为t 1，t 2， 则t 1+t 2=24cos sin αα，t 1t 2=-28sin α， 因为|P A |，|MN |，|PB |成等比数列， ∴|P A ||PB |=|MN |2=16， ∴|t 1||t 2|=16，∴|t 1t 2|=16， ∴28sin α=16，∴sin 2α=12， ∵0≤α＜π， ∴2∴α=4π或α=34π． 11．【广东省珠海市2019届高三上学期期末学业质量监测】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，A ，B 均异于原点O ，且42AB =，求α的值. 【答案】（1）()()222224,24x y x y -+=+-=；（2）3π4. 【解析】（1）由222x cos y sin ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ，得1C 的普通方程为()2224x y -+=.由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，又sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以2C 的直角坐标方程为()2224x y +-=.（2）由（1）知曲线1C 的普通方程为()2224x y -+=， 所以其极坐标方程为4cos ρθ=.设点A ，B 的极坐标分别为(),A ρα，(),B ρα， 则4cos A ρα=，4sin B ρα=， 所以4cos sin 42sin 424A B AB πρρααα⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭所以sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，即()42k k Z ππαπ-=+∈， 解得()34k k Z παπ=+∈， 又0απ<<，所以34πα=. 12．【江苏省南通市2019届高三适应性考试】已知曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1232x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求直线l 被曲线C 所截得的弦长.【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.直线l 的普通方程为32y x =+.（23【解析】（1）因为曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ=.且222x y ρ+=，sin y ρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.直线l ：12322x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为32y x =+.（2）圆心(0,1)到直线l ：32y x =+的距离为21213d ==+，又因为半径为1，所以弦长为212132⎛⎫-= ⎪⎝⎭13．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知直线l 的参数方程为122x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为322sin 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的值.【答案】（1）220x y +-=，22220x y x y +--=；（265【解析】（1）直线l 的参数方程为122x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去t ，得()21x y -=，即直线l 的普通方程为220x y +-=. 又曲线3:22sin 4C πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即2cos 2sin ρθθ=+， 22cos 2sin ρρθρθ∴=+，∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=.（2）由（1）得，直线l 的标准参数方程为155x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的直角坐标方程得，2105t -=，125t t ∴+=1210t t =-<， ()21212126545AB t t t t t t ∴=-=+-=. 14．【河北省中原名校联盟2019届高三3.20联考】已知曲线C 的参数方程为32,12,x cos y sin αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数），以直角坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.()1求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹.()2若直线l 的极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.【答案】（1）26cos 2sin 60ρρθρθ--+=,表示以()3,1为圆心，2为半径的圆 ；（2）525+. 【解析】()1由3212x cos y sin αα=+⎧⎨=-⎩得32,12,x cos y sin αα-=⎧⎨-=-⎩两式两边平方并相加，得()()22314x y -+-=. 所以曲线C 表示以()3,1为圆心，2为半径的圆.将,,y sin x cos ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得()()22cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得26cos 2sin 60ρρθρθ--+=.所以曲线C 的极坐标方程为26cos 2sin 60ρρθρθ--+=.()2由1sin 2cos θθρ-=，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=.所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+=. 因为圆心()3,1C 到直线:210l x y -+=的距离()23111655d ⨯+-⨯+==. 所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为652d r +=. 15．【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次】已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.【答案】（1）26cos 2sin 60ρρθρθ--+=（26525【解析】（1）由3212x cos y sin αα=+⎧⎨=-⎩，得3212x cos y sin αα-=⎧⎨-=-⎩，两式两边平方并相加，得()()22314x y -+-=， 所以曲线C 表示以()3,1为圆心，2为半径的圆.将y sin x cos ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得()()22cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得26cos 2sin 60ρρθρθ--+= 所以曲线C 的极坐标方程为26cos 2sin 60ρρθρθ--+= （2）由1sin 2cos θθρ-=，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+= 因为圆心()3,1C 到直线:l 210x y -+=的距离()23111655d ⨯+-⨯+==， 所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为652d r +=. 16．【河南省南阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x t y t =--⎧⎨=+⎩，（t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程42)4πρθ=+.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，(2,3)P -为直线l 上一点，求11||||PA PB +. 【答案】（1）直线l 的普通方程为10x y ++=，曲线C 的直角坐标方程为22(2)(2)8f x y -++=（2）307【解析】（1）直线l 的普通方程为10x y ++=，曲线C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -++=.（2）将直线l 的参数方程化为2223x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程22(2)(2)8x y -++=，得2270t t -=，所以122t t +=127t t =-，所以()21212121212|4|1130||7t t t t t t PA PB t t +--+===17．【福建省2019届高三毕业班数学学科备考关键问题指导系列适应性练习（一）】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=. （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标.【答案】（1）1C ：2213xy +=，2C ：40x y +-=；（2）min 2PQ =31(,)22P . 【解析】（1）1C 的普通方程为2213xy +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意，可设点P 的直角坐标为3,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，3π()2sin()2|32d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α2，此时P 的直角坐标为31(,)22.18．【山东省淄博市2019届高三3月模拟】在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t为参数，0≤α<π）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为5，求直线l 的普通方程．【答案】(Ⅰ) ()()22219x y -++=；（Ⅱ）34y x =和x=0. 【解析】（Ⅰ）将x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 极坐标方程得：曲线C 的直角坐标方程为：22442x y x y +-=- 即()()22219x y -++=（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程：()()22cos 2sin 19t t αα-++=整理得24cos 2sin 40t t t αα-+-= 设点A ，B 对应的参数为1t ，2t ， 解得124cos 2sin t t αα+=-，124t t ⋅=- 则()()2212121244cos 2sin 1625AB t t t t t t αα=-=+-=-+=23cos 4sin cos 0ααα-=，因为0απ≤<得3tan 24παα==或，直线l 的普通方程为34y x =和x=0 19．【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】已知曲线1C 的参数方程为23x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()14πρθ-=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）射线OM ：()2πθααπ=<<与曲线1C 交于点M ，射线ON ：4πθα=-与曲线2C 交于点N ，求2211OMON+的取值范围．【答案】（1）1C 的极坐标方程为222cos 26ρθρ+=，2C 的直角方程为20x y -+=；（2）13()32，.【解析】（1）由曲线1C 的参数方程23x cos y sin ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)得：2222cos sin 123ϕϕ+=+=，即曲线1C 的普通方程为22123x y+=又cos ,sin x y ρθρθ==，曲线1C 的极坐标方程为22223cos 2sin 6ρθρθ+=，即222cos 26ρθρ+= 曲线2C 的极坐标方程可化为sin cos 2ρθρθ-=故曲线2C 的直角方程为20x y -+=（2）由已知，设点M 和点N 的极坐标分别为()1,ρα，2,4πρα⎛⎫-⎪⎝⎭，其中2παπ<<则22126cos 2OMρα==+，2222211cos sin 2ON ρπαα===⎛⎫- ⎪⎝⎭于是2222211cos 27cos 2cos 66OM ONααα+++=+= 由2παπ<<，得1cos 0α-<<故2211OMON+的取值范围是1332，⎛⎫⎪⎝⎭20．【山东省威海市2019届高三二模】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且曲线1C 与2C 恰有一个公共点. (Ⅰ)求曲线1C 的极坐标方程；(Ⅱ)已知曲线1C 上两点A ，B 满足4AOB π∠=，求AOB ∆面积的最大值.【答案】(Ⅰ) 4cos ρθ=.(Ⅱ) 222+. 【解析】(Ⅰ)曲线2C 的极坐标方程为31sin()sin cos 362πρθρθρθ+=+=， 将sin ,cos y x ρθρθ==代入上式可得2C 直角坐标方程为31322y x +=， 即360x y +-=，所以曲线2C 为直线．又曲线1C 是圆心为(2,0),半径为||r 的圆， 因为圆1C 与直线1C 恰有一个公共点， 所以|26|||22r -==， 所以圆1C 的普通方程为2240x y x +-=，把222,cos x y x ρρθ+==代入上式可得1C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=.(Ⅱ)由题意可设()2121(,),0,0,4(),B A πθρρρθρ+>>，1212||sin 42cos cos 2444MON S OA OB ππρρθθ∆⎛⎫===+ ⎪⎝⎭uu r uu u r ‖ ()21cos 2sin 24cos sin cos 422θθθθθ+⎛⎫=-=-⎪⎝⎭222cos 24πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以当cos 214πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，AOB ∆的面积最大，且最大值为222+.1．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：为参数，，曲线C 的极坐标方程为：．写出曲线C 的直角坐标方程；设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，若，求直线l 的斜率．【答案】（1）；（2）。

解密30 坐标系与参数方程考点1 两种互化及其应用调研1 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON △，且满足π2MON ∠=，求MON △面积的最大值. 【答案】（1）π4sin()3ρθ=+；（2）4 【思路分析】（1）利用22cos sin 1ϕϕ+=消掉参数ϕ，求得曲线C 的直角坐标方程，再利用极坐标和直角坐标相互转化的公式，求得曲线C 的极坐标；（2）设出,M N 两点的极坐标，写出三角形面积的表达式，并利用三角函数性质求得面积的最大值.【解析】（1）可知曲线C 的普通方程为22((1)4x y -+-=，所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即π4sin()3ρθ=+. （2）由（1）不妨设1(,)M ρθ，2π(,)2N ρθ+12(0,0)ρρ>>，1211πππ2π8|sin()sin()|4|sin(2)|4223233MON S OM ON ρρθθθ===+++=+≤△， 所以MON △面积的最大值为4.【名师点睛】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和和极坐标方程的相互转化，考查利用极坐标求解三角形面积的最大值问题.属于中档题.调研2 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线122cos :12sin x tC y t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:2C 01sin cos 4=+-θρθρ. （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值.【答案】（1）曲线1C 的普通方程为4)1()2(22=-++y x ，曲线2C 的直角坐标方程为014=+-y x ；（2）217178-. 【解析】（1）由122cos :12sin x t C y t=-+⎧⎨=+⎩消去t 得4)1()2(22=-++y x ，因为01sin cos 4=+-θρθρ，由直角坐标与极坐标的转化公式可得014=+-y x .所以曲线1C 的普通方程为4)1()2(22=-++y x ，曲线2C 的直角坐标方程为014=+-y x . （2）由（1）知:1C 4)1()2(22=-++y x 的圆心为)1,2(-，半径为2，:2C 014=+-y x ，||PQ 的最小值即为)1,2(-到直线014=+-y x 的距离减去圆的半径，因为)1,2(-到直线014=+-y x 的距离为17178)1(4|1142|22=-++-⨯-=d ， 所以||PQ 的最小值为217178-.调研3 在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的方程为221106x y+=，曲线2C的参数方程为1,282x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数）.（1）求1C 的参数方程和2C 的普通方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值.【答案】（1）1C的参数方程为,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），2C80y ++=；（2）1.【思路分析】（1）由椭圆的参数方程的公式可直接写出1C 的参数方程；由曲线2C 的参数方程消去参数可得到2C 的普通方程；（2）先由1C 的参数方程设出点P 的坐标，由题意知求PQ 的最小值即是求点P 到直线2C 的距离，再由点到直线的距离公式可直接求解.【解析】（1）由曲线1C 的方程为221106x y +=，得曲线1C的参数方程为,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），由曲线2C的参数方程为1,282x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数），得曲线2C80y ++=.（2）设)P θθ，点P 到直线2C 的距离为d ， 则PQ 的最小值即为d 的最小值，因为()6sin 82d θϕ++==，其中tan ϕ=当sin()1θϕ+=-时，d 的最小值为1，此时min 1PQ =.【名师点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及参数的方法求两点间的距离，只需熟记公式即可，属于基础题型.☆技巧点拨☆1．参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧. 2．普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y 的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.3．极坐标方程与直角坐标方程互化进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)．4．参数方程与极坐标方程互化进行参数方程与极坐标方程互化的关键是可先将参数方程（或极坐标方程）化为普通方程（或直角坐标方程），再转化为极坐标方程（或参数方程）.考点2 利用参数几何意义解题调研1 以平面直角坐标系的坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线l 的参数方程为2312x ty t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求AB .【答案】（1）24y x =；（2【解析】（1）由2sin 4cos ρθθ=，即22sin 4cos ρθρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为24y x =.（2）将l 的参数方程代入24y x =，整理得24870t t +-=， ∴122t t +=-，1274t t =-， ∴12AB t =-===调研2 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0πα≤<)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为222.1sin ρθ=+（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 的坐标为(1，0)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11MA MB+的值. 【答案】（1）2212x y +=；（2）. 【解析】（1）曲线2221sin ρθ=+，即222sin 2ρρθ+=， 222,sin x y y ρρθ=+=Q ，∴曲线C 的直角坐标方程为2222x y +=，即2212x y +=.（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2222x y +=并整理得22(1sin )2cos 10t t αα++-=，1212222cos 1,1sin 1sin t t t t ααα-∴+=-=++， 121211···MA MB AB t t MA MB MA MB MA MB t t +-∴+===-，12t t -===Q22111sin 11sin MA MBαα+∴+==+ 【名师点睛】直线的参数方程的标准形式的应用：过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 是参数，t 可正、可负、可为0).若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则（1）M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α). （2）|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.（3）若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝122t t +，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝122t t +. （4）若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. 调研3 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为6x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22232cos 3ρρθ-=． （1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 是曲线2C 上的动点，求点P 到曲线1C 的最小距离．【答案】（1）226013x x y y -+=+=，；（2）.【思路分析】（1）曲线C 1的参数方程消去参数，能求出曲线C 1的普通方程，曲线C 2的极坐标方程利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，能求出曲线C 2的直角坐标方程；（2）设点P的坐标为,sin )θθ，利用点到直线的距离表示点P 到曲线1C 的最小距离，结合三角函数的图象与性质即可得到最小值. 【解析】（1）消去参数t 得到6y x =+，故曲线1C 的普通方程为60x y -+=.由22232cos 3ρρθ-=，222cos x x y ρθρ=⎧⎨+=⎩得到2223()23x y x +-=，即2213x y +=, 故曲线2C 的直角坐标方程为2213x y +=.（2）解法1：设点P的坐标为,sin )θθ，则点P 到曲线1C的距离π|2cos()6|d θ++==所以当πcos()16θ+=-时，d 的值最小， 所以点P 到曲线1C的最小距离为（2）解法2：设平行直线1C ：60x y -+=的直线l 的方程为0x y m -+=. 当直线1C 与椭圆2C 相切于点P 时，P 到直线1C 的距离取得最大或最小值.由22013x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2246330x mx m ++-=， 令其判别式0∆=，解得2m =±，经检验，当2m =时，点P 到直线1C的距离最小，最小值为d ==所以点P 到曲线1C的最小距离为【名师点睛】本题考查的知识要点：参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 调研4 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设(1,0)P ，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），已知l 与圆C 交于,A B 两点，且34PA PB =，求l 的普通方程. 【答案】（1）22(6)25x y ++=;（2）(1)y x =±-.【思路分析】（1）利用222,cos x y x ρρθ=+=代入212cos 110ρρθ++=，即可得圆C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入圆C 的直角坐标方程22(6)25x y ++=中，化简得214cos 240t t α++=，利用根与系数的关系以及直线参数的几何意义可得tan 1k α==±，从而可得结果.【解析】（1）将222,cos x y x ρρθ=+=代入圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=，得2212110x y x +++=，化为圆的标准方程为22(6)25x y ++=.（2）将直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入圆C 的直角坐标方程()22625x y ++=中，化简得214cos 240t t α++=，设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ， 由根与系数的关系知121214cos ,24t t t t α+=-=，① ∴12,t t 同号，又34PA PB =，∴1234t t =，② 由①②可知12=32=42t t ⎧⎪⎨⎪⎩或12=32=42t t ⎧-⎪⎨-⎪⎩，∴14cos 72α-=或14cos α-=72-，解得2cos α=±， ∴tan 1k α==±， ∴l 的普通方程为(1)y x =±-.【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y yxρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．☆技巧点拨☆若直线过(x 0,y 0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t 为参数).考点3 利用ρθ,的几何意义解题调研 1 平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos sin x a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数,0a >),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为222cos 24sin 2(0)ρθρθρ+=>.（1）求出曲线1C 的极坐标方程及曲线2C 的直角坐标方程； （2）若直线3C曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求2a 的值. 【答案】（1）1C 的极坐标方程为222cos 10a ρρθ-+-=，2C 的直角坐标方程为2232x y +=；（2）2【解析】（1）消去参数ϕ得到1C 的普通方程为222(1)x y a -+=,将cos ,sin x y ρθρθ==代入1C 的普通方程,得到1C 的极坐标方程为222cos 10a ρρθ-+-=.由222cos 24sin 2ρθρθ+=得2222cos 3sin 2ρθρθ+=, 把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式得曲线2C 的直角坐标方程为2232x y +=.（2）曲线1C 与2C 的公共点的极坐标满足方程组2222222cos 10cos 3sin 2a ρρθρθρθ⎧-+-=⎨+=⎩, 因为曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,所以把π4θ=代入方程组得222101a ρρ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩, 消去ρ得22a =-调研2 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆的方程为：2212012x y +=，动点P 在椭圆上，O 为原点，线段OP 的中点为Q .（1）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点Q 的轨迹的极坐标方程；（2）设直线l的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），l 与点Q 的轨迹交于M 、N 两点，求弦长MN .【答案】（1）22(32sin )15ρθ+=；（2）MN =. 【解析】（1）设点Q 的坐标为(,)x y ，Q Q 为线段OP 的中点，∴点P 的坐标为(2,2)x y ．由点P 在椭圆上得22(2)(2)12012x y +=，化简得点Q 的轨迹的直角坐标方程为22153x y +=，①将cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入①得2222cos sin 153ρθρθ+=，化简可得点Q 的轨迹的极坐标方程为22(32sin )15ρθ+=．（2）方法1：把直线l的参数方程1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)代入①得22344153t t +=， 化简得2103t =，12t t ∴== 设M 、N 两点对应的参数分别为1t ，2t ， 由直线参数方程t的几何意义得弦长12MN t t =-=． 方法2：由直线l的参数方程1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)知，直线l 过极点，倾斜角为π3， ∴直线l 的极坐标方程为π()3θρ=∈R ． 由22π,3(32sin )15,θρθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得：1π,3θρ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和2π,3θρ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴弦长12MN ρρ=-=． 方法3：由直线l的参数方程1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)知，直线l的普通方程为y =，联立22153y x y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，，解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩弦长3MN ==．1．（广东省2019-2020学年高三第一次教学质量检测）极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2ρ=．以极点为原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的普通方程；（2）若曲线C 上恰有四个不同的点到直线l 的距离等于1，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）曲线C ：224x y+=，直线l ：0x a -=；（2）(2,2)-．【思路分析】（1）根据极坐标222x y ρ=+化简曲线C ．再消去直线l 的参数方程中的参数t 即可；（2）圆上恰有四个不同的点到直线l 的距离等于1的问题可转换为圆心到直线的距离1d <的问题．【解析】（1）依题意，24ρ=，代入公式222x y ρ=+，得曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，由直线的参数方程消去参数t ，得直线l 的普通方程为0x a --=； （2）依题意可得，圆心O 到直线l ：0x a --=的距离1d<，1<，解得22a -<<． 故实数a 的取值范围为(2,2)-．【名师点睛】（1）本题主要考查极坐标的基本化简222x y ρ=+，与消去参数方程中参数的方法；（2）圆与直线的问题重点考虑圆心到直线的距离或半径的关系．2．（四川省绵阳市2019-2020学年高三上学期第一次诊断性考试）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos ,sin x y αααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()36ρθπ-=．（1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程； （2）设射线:3OM πθ=与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长．【答案】（1）224x y +=，2ρ=；（2）2．【思路分析】（1）结合三角函数的基本关系消去参数可得普通方程，结合公式cos x ρθ=，sin y ρθ=可得极坐标方程；（2）分别联立极坐标方程，求得交点的极径，从而可得线段AB 的长． 【解析】（1）由题意得2222(cos )(sin )4x y αααα+=++=， ∴曲线C 的普通方程为224x y +=．∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴代入可得曲线C 的极坐标方程为2ρ=． （2）把3θπ=代入cos()36ρθπ-=中，可得cos()336ρππ-=，解得ρ=B点的极径B ρ=， 由（1）易得2A ρ=，∴||2A B AB ρρ=-=．【名师点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程，参数方程化为普通方程一般是消去参数，普通方程化为极坐标方程主要利用cos x ρθ=，sin y ρθ=来实现，侧重考查数学运算的核心素养．3．（贵州省安顺市2019-2020学年高三上学期第一次联考）在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为23x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=． （1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设点(0,2)P ，直线1C 交曲线2C 于,M N 两点，求22PMPN +的值．【答案】（1）1C20y +-=，2C ：23x y =；（2）90．【思路分析】（1）消去t 得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案；（2）将直线的参数方程代入23x y =，化简得到2180t --=，利用韦达定理计算得到答案．【解析】（1）直线1C的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），消去t20y +-=； 由2cos 3sin ρθθ=，得22cos 3sin ρθρθ=，则曲线2C 的直角坐标方程为23x y =．（2）将直线1C的参数方程32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入23x y =，得2180t --=，设,M N 对应的参数分别为12,t t，则121218t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩()2221212290PM PN t t t t +=+-=．【名师点睛】本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得到答案，是解题的关键．4．（河南省郑州市第一中学2019-2020学年高三上学期期中考试）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：1cos sin x t y t θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），[)0,θ∈π．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：8sin()6ρθπ=+． （1）在直角坐标系xOy 中，求圆C 的圆心的直角坐标；（2）设点P ，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求证：PA PB ⋅为定值，并求出该定值． 【答案】（1）(2,；（2）证明见解析，该定值为12．【思路分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．【解析】（1）∵圆C的极坐标方程为8sin()4cos 6ρθθθπ=+=+，∴2sin 4cos ρθρθ=+，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴2240x y x +--=．∴圆C的方程为22(2)(16x y -+-=， ∴圆C的圆心的直角坐标为(2,．（2）将直线l的参数方程代入22(2)(16x y -+-=，得22cos )120t t θθ-+-=，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1212t t =-， ∴1212PA PB t t ⋅==，故PA PB ⋅为定值，该定值为12．【名师点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5．（重庆市重庆市渝中区巴蜀中学2019-2020学年高考适应性月考）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于P ，Q 两点，且(2,1)A ，求11AP AQ+的值． 【答案】（1）4cos ρθ=；（2． 【思路分析】（1）先得到曲线1C 的普通方程，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入化简得到答案；（2）将2C 的参数方程代入1C 的普通方程，得到12t t +，12t t ，将所求的11AP AQ+用12,t t 表示，从而得到答案． 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为2224()x y -+=，即2240x y x +-=．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入化简得1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（2）将2C 的参数方程代入1C 的普通方程2224()x y -+=中，得28305t t +-=， 设P ，Q 两点的参数分别为1t ，2t ，则12128530t t t t ⎧+=-⎪⎨⎪=-<⎩，1t 、2t 异号，所以1212121111t t AP AQ t t t t -+=+====． 6．（重庆市沙坪坝区南开中学校2019-2020学年高三11月月考）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t xy t x=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0α<<π），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(12cos 2)8cos ρθθ-=．（1）判断直线l 与曲线C 的公共点的个数，并说明理由； （2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B ，点()1,1P -，若114||3PA PB -=，求tan α的值． 【答案】（1）两个，理由见解析；（2）43． 【思路分析】（1）先将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得到一元二次方程，根据判别式，即可判断出结果；（2）先由（1）设方程()22sin 2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=的两根为12,t t ，得到1222sin 4cos sin ααα++=t t ，12t t ⋅=230sin α-<，再由114||3PA PB -=，得到121224sin 2cos 33αα+=+=⋅t t t t ，求解即可得出结果． 【解析】（1）由()1cos28cos ρθθ-=得2sin 4cos ρθθ=，所以22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =，将直线l 的参数方程代入24y x =，得()()21sin 41cos t t αα-+=+，即()22sin2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=，由0α<<π知2sin 0α>，()222sin 4cos 12sin 0∆ααα=++>， 故直线l 与曲线C 有两个公共点； （2）由（1）可设方程()22sin2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=的两根为12t t ，，则1222sin 4cos sin ααα++=t t ，12230sin α-⋅=<t t ， 故12121124||sin 2cos 33PA PB t t PA PB PA t t αα-+-===+=⋅， ∴22sin 4sin cos 4cos 4αααα++=， 即24sin cos 3sin ααα=，∴4tan 3α=． 【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及由参数的方法判断直线与曲线位置关系，熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及参数方法研究曲线的弦长等即可，属于常考题型． 7．（湖南省师范大学附中2019-2020学年年高三上学期11月月考）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程θπ=4()ρ∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积． 【答案】（1）cos 2ρθ=-；22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）12． 【思路分析】（1）由条件根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ求得C 1，C 2的极坐标方程；（2）把直线C 3的极坐标方程代入ρ2﹣+4＝0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C 2M ⊥C 2N ，从而求得△C 2MN 的面积12⋅C 2M ⋅C 2N 的值． 【解析】（1）222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=Q1C ∴的极坐标方程为cos 2ρθ=-．由2C 的直角坐标方程22(1)(2)1x y -+-=， 展开得222440x y x y +--+=，2C ∴的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）将4θπ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1212,ρρρρ=-=∴即||MN =2C 的半径为1，即221C M C N ==．易知22222||C M C NMN +=，即2C MN ∆为等腰直角三角形，2111122C MN S ∆=⨯⨯=∴．【名师点睛】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．8．（云南省师范大学附属中学2019-2020学年高三上学期11月月考）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⋅⎧⎨=+⋅⎩，，（t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为6cos 8sin ρθθ=+，圆心为C ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,2)M ，当ACB ∠最小时，求||||MA MB +的值． 【答案】（1）22(3)(4)25x y -+-=；（2） 【思路分析】（1）根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩将圆C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）根据题意得到直线l 与CM 垂直时ACB ∠最小，此时MA MB AB +=，由圆的弦长公式，得到答案．【解析】（1）因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以圆C ：26cos 8sin ρρθρθ=+可得2268x y x y +=+，整理得：22(3)(4)25x y -+-=．（2）因为直线1cos 2sin x t l y t αα=+⋅⎧⎨=+⋅⎩，，过点(1,2)M ，当ACB ∠最小时，直线l 与CM 垂直，因为CM ==，且点M 在圆C 内部，所以MA MB AB+====．【名师点睛】本题考查极坐标与直角坐标之间的转化，直线与圆的位置关系，求圆的弦长，属于简单题． 9．（2019年11月四川省攀枝花市一模）在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=+⎩，(0r >，ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点π(2,)6P ，曲线2C 的极坐标方程为2(2cos 2)6ρθ+=． （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若1(,)A ρα，2π(,)2B ρα+是曲线2C 上两点，求2211||||OA OB +的值． 【答案】（1）4sin ρθ=；（2）23． 【思路分析】（1）先化参数方程为普通方程，再化为极坐标方程，利用曲线1C 经过点π(2,)6P 求出r 的值即可；（2）把1(,)A ρα，2π(,)2B ρα+代入曲线2C 的方程，对2222121111=||||OA OB ρρ++变形化简即可．【解析】（1）将曲线1C 的参数方程cos 2sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=+⎩，化为普通方程为222(2)x y r +-=，即222440x y y r +-+-=．由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得曲线1C 的极坐标方程为224sin 40r ρρθ-+-=． 由曲线1C 经过点π(2,)6P ，则22π242sin 4026r r -⨯⨯+-=⇒=(2r =-舍去)， 故曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（2）由题意可知21(2cos 2)6ρα+=，2222π[2cos 2()](2cos 2)62ραρα++=-=，所以22221211112cos 22cos 22||||663OA OB ααρρ+-+=+=+=． 【名师点睛】本题考查参数方程与极坐标方程的转化，考查对极坐标方程含义的理解，是一道基础题．牢记转化公式和极坐标系中ρθ，的含义即可顺利解题．10．（山西省大同市2019-2020学期高三上学期第一次联合考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为32cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2ρ=．（1）设点,M N 分别为曲线1C 与曲线2C 上的任意一点，求||MN 的最大值；（2）设直线1cos :sin x t l y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1C 交于,P Q 两点，且||1PQ =，求直线l 的普通方程．【答案】（1）7；（270y -+=70y ++=．【思路分析】（1）将曲线1C 和2C 都化成普通方程后，可知||MN 的最大值是圆心距加上两个圆的半径；（2）将直线l 的参数方程代入22(3)4x y -+=中后，利用韦达定理以及参数的几何意义可得弦长||PQ ，代入已知||1PQ =，可解得斜率，再由点斜式可得直线l 的方程．【解析】（1）由32cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩得2222(3)(2cos )(2sin )4x y ϕϕ-+=+=，所以曲线1C 的普通方程为22(3)4x y -+=，圆心()13,0C ，半径1=2r ．曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=，圆心()20,0C ，半径22r =．所以max 1212||||3227MN C C r r =++=++=．（2）将直线l 的参数方程代入22(3)4x y -+=中，得22(cos 4)(tsin )4t αα-+=， 整理得28cos 120t t α-+=，所以264cos 480∆α=->． 设,P Q 两点对应的参数分别为12,t t ，则128cos t t α+=，1212t t =．由||1PQ =及参数t 的几何意义，得121t t -===，解得7cos 8α=±，满足>0∆，所以sin α==所以直线l 的斜率为tan α=tan α=由点斜式得01)y x -=+或01)y x -=+，所以直线l 70y -+=70y ++=．【名师点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程化直角坐标方程，直线参数方程的几何意义，直线的点斜式方程，属于中档题．11．（吉林省长春市东北师范大学附属中学2019-2020学年高三上学期一摸）已知在直角坐标系xOy 内，直线l 的参数方程为3cos ,21sin .2x t y t θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数，θ为倾斜角）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4ρθπ=+． （1）写出曲线C 的直角坐标方程及直线l 经过的定点P 的坐标；（2）设直线l 与曲线C 相交于两点A B 、，求点P 到A B 、两点的距离之和的最大值．【答案】（1）22(1)(1)2x y -++=，31(,)22P -；（2）．【思路分析】（1）将曲线的极坐标化简成直角坐标即可求解曲线C 的直角坐标方程，直线过的定点由参数方程即可求得；（2）将直线的参数方程代入曲线的标准方程，联立可得关于t 的一元二次方程，由韦达定理可得根与系数关系，由参数t 的几何意义结合三角函数即可求得最值【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -++=，直线l 过定点31(,)22P -．（2）将直线l 的参数方程代入22(1)(1)2x y -++=， 得23(cos sin )02t t θθ++-= 设点A B 、对应的参数分别为12t t 、， 则12(cos sin )t t θθ+=-+，1232t t =-， 因为120t t <，所以1212PA PB t t t t +=+=-===因此，当4θπ=时，PA PB+有最大值 【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，由直线参数的几何意义求解弦长问题，属于中档题．12．（安徽省蚌埠市第二中学2019-2020学年高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为11x mty t =+⎧⎨=-⎩m R t ∈（，为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=-． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 上的点到直线l1，求实数m 的值．【答案】（1）l ：10x my m +--=；C ：22(1)1x y ++=；（2）12m =． 【思路分析】（1）将直线l 的参数方程中的t 消去即可得直线l 的普通方程，利用222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）由题意知曲线C 为以原点为圆心，圆心(1,0)O -到直线l的距离为1)1d =-=m 即可．【解析】（1）因为直线l 的参数方程为11x mtt y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）；所以消得直线l 的普通方程为l ：1(1)x m y =+-； 即l ：10x my m +--=；因为曲线C 的极坐标为2cos ρθ=-，即22cos ρρθ=-；将222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩代入得曲线C 的直角坐标方程 所以方程C ：222x y x +=-，整理得C ：22(1)1x y ++=．（2）因为曲线22(1)1x y ++=是以(1,0)O -为圆心，半径为1r =的圆， 而曲线C 上的点到直线l1．故圆心(1,0)O -到直线l ：10x my m +--=的距离为1)1d =-==()22(2)51m m --=+，解得12m =．【名师点睛】（1）直角左边和极坐标之间的转化主要利公式222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩；（2）参数方程转化为直角坐标方程需要消参；（3）直线与圆的位置关系主要由圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断．13．（云南省曲靖市第一中学2019-2020学年高考复习质量监测三）在极坐标系中，已知圆的圆心(6,)3C π，半径3r =，Q 点在圆C 上运动．以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． （1）求圆C 的参数方程；（2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程．【答案】（1）33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（2）225120sin()10806ρρθπ-++=．【思路分析】（1）已知得，圆心(6,)3C π的直角坐标为C ，3r =，则可求得圆的标准方程； （2）结合（1）得，圆C 的极坐标方程为212sin()276ρρθπ=+-，再设(),P ρθ，()1,Q ρθ，则1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程即可得解． 【解析】（1）由已知得，圆心(6,)3C π的直角坐标为C ，3r =，所以C的直角坐标方程为22(3)(9x y -+-=，所以圆C的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为26(cos )270ρρθθ-++=， 即212sin()276ρρθπ=+-，设(),P ρθ，()1,Q ρθ，根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程，得225120sin()10806ρρθπ-++=， 即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin()10806ρρθπ-++=．【名师点睛】本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题．14．（广西壮族自治区玉林市2019年高三上学期11月月考）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为512x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为4cos()3ρθπ=-． （1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程；（2）若点(,)P x y 在圆Cy -的取值范围．【答案】（1）直线l的直角坐标方程为20x +-=；圆C的直角坐标方程为22(1)(4x y -+=； （2）[4,4]-；【思路分析】（1）由直线l 的参数方程，消去参数t ，即可得到直线l 的直角坐标方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得圆C 的直角坐标方程；（2）设(12cos 2sin )P θθ+，化简得24sin()3y θπ-=+，结合三角函数的性质，即可求解． 【解析】（1）由题意，直线l的参数方程为512x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t ，得直线l的直角坐标方程为20x +-=，又由圆C 的极坐标方程为4cos()3ρθπ=-，即22cos sin ρρθθ=+，又因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y r q =，可得圆C的直角坐标方程为22(1)(4x y -+-=．（2）因为点(,)P x y 在圆C上，可设(12cos 2sin )P θθ+，22sin 4sin()3y θθθπ-=-=+， 因为2sin()[1,1]3θπ+∈-y -的取值范围是[4,4]-． 【名师点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，以及合理应用圆的参数方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．（吉林省长春市东北师范大学附属中学2019-2020学年高三上学期一摸）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴建立极坐标系，点P 的极坐标(5)4π，曲线C的极坐标方程为)4ρθπ=+． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l 的距离最小值．【答案】（1）10x y ++=，22(1)(1)2x y -++=；（2． 【思路分析】（1）利用加减消元法消参可以求出直线l 的普通方程．利用极坐标与直角坐标之间的转化公式可以求出曲线C 的直角坐标方程；（2）求出P 的直角坐标，利用曲线C 的参数方程设出点Q 的坐标，利用中点坐标公式，求出M 的坐标，利用点到直线距离公式求出M 到直线l 的距离，利用辅助角公式，根据正弦型函数的单调性可以求出PQ 中点M 到直线l 的距离最小值． 【解析】（1）直线l 的普通方程10x y ++=，由)sin 2cos 2sin 4ρθθθθθπ=+=-=-， 22cos 2sin ρρθρθ∴=-，即2222x y x y +=-， ∴曲线C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -++=；（2）易知P 的直角坐标()3,3--，设(1,1)Q αα-+， 则PQ的中点24(,)22M αα-+-+，设M 到直线l 的距离为d ，则24|1||sin()2|d ααα-+-+π+++-==当sin()14απ+=时，min 2d =． 【名师点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了中点坐标公式，考查了点到直线距离公式，考查了圆的参数方程的应用，考查了数学运算能力．。